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第四章 以小波轉換為基礎的指紋辨識系統
4-1 問題與目標
問題:
如何有效的降低指紋辨識演算法？如何利用低複雜的計 算，增進指紋辨識的速度?目標:
不影響辨識率的條件下，利用長度較短的特徵向量達到高 辨識率，並找出最佳特徵向量(best feature vectors)。4-2 以小波轉換為基礎的指紋辨識系統
小波轉換的好處在於能將各種交織在一起的不同頻率組成的信 號，分解成不相同頻率的信號，因此將小波轉換運用在指紋辨識上，
進行指紋影像資料分解與特徵值的分析[1]~[7]。Figure 4.3.1 為一 個以小波轉換為基礎的指紋辨識系統架構。
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Figure 4.3.1 以小波轉換為基礎的指紋辨識系統架構
為達到有效分析指紋(fingerprint)性質的目的，於是利用小波 轉換(wavelet transform)將指紋影像分解成不相同的頻率信號，對 各頻帶進行分析，尋找所需的特徵目標。將指紋影像經由離散小波轉 換分解後會得到 4 個頻帶的小波係數 LL、HL、LH 和 HH，其中 LL 代 表影像的列(row)跟行(column)均經過低通濾波器與降低取樣率運算 所得到的係數矩陣，稱為近似係數矩陣(approximation
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coefficient)，而 HL、LH 與 HH 分別表示在水平、垂直跟對角等三個 方向的細節係數(detail coefficient)。低頻帶(LL)與原影像特性相 近，其他頻帶(HL、LH、HH)則都是一些邊緣的訊息。換句話說，將指 紋影像經過離散小波轉換(Discrete Wavelet Transform)處理後會得 到四個特性不同的影像頻帶資訊，這些頻帶資訊是由許多高低不同的 頻率所組成，利用小波轉換的理論特性，可以根據這些資料的不同重 要性分別做處理，。
如 Figure 4.3.2 所示，指紋影像可以經由離散小波轉換來進行 頻帶的分析，藉此得到指紋影像中的低頻帶(LL1)、中頻帶(HL1、LH1) 和高頻帶(HH1)訊號，轉換分解影像結果如 Figure 4.3.3 所示。從數 位影像處理的角度來看，對人類的眼睛來說，影像中的低頻訊號是肉 眼可以接受且敏感度較高的部份，低頻的像素與像素之間的變化小，
影像較平滑、細緻而且清楚，所以只要低頻部份的值稍有改變，人的 眼睛一看就知道哪裡不對勁了；對於高頻的部份，肉眼對它的敏感度 較低，因為高頻的像素與像素之間的差異較大，影像較粗糙、模糊，
所以在高頻的部份做少許的修改，肉眼是無法清楚明確的分辨出。
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Figure 4.3.2 將影像分解成 LL1、HL1、LH1和 HH1頻帶
Figure 4.3.3 對指紋影像進行 1 階解析
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根據多層解析空間分析(multi-resolution)的原理，遞迴的重覆 對指紋影像中小波係數矩陣的低頻部分(LL)再做更進一步的解析。
Figure 4.3.4 為執行 4 層 2-D 離散小波轉換(DWT)的執行程序，若 是將執行 4 層 2-D 離散小波轉換的結果放在 2-D 平面上，則每個頻 帶所對應位置可以用 Figure 4.3.5 來表示。更進一步了解小波轉換 在指紋影像處理上的效果，對 Figure 4.3.6(a)的指紋影像執行 4 階 分解(decomposition)程序，所得處理結果如 Figure 4.3.6(b)所示，
為了更清楚的顯示 Figure 4.3.6(b)的現象，於是將 Figure 4.3.6(b) 展開成 Figure 4.3.6(c)的樹狀結構圖，如此一來，可更加清楚的分 析轉換後的訊息資料。依據小波轉換的理論特性，並將 Figure 4.3.6(b)搭配 Figure 4.3.6(c)著手分析，發現在 Figure 4.3.6(c) 中 LH1、LH2、LH3與 LH4，這四個頻帶資訊相當相似，一樣的情況也 發生在 HL1、HL2、HL3跟 HL4這一組，以及 HH1、HH2、HH3和 HH4這 一組，各頻帶彼此之間可視為放大或縮小版本，這也就是離散小波轉 換(discrete wavelet transform)的特性，跨頻帶的空間域具有相似 性，這對於指紋影像的分析以及特徵值的擷取有很大的幫助。
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Figure 4.3.4 將影像進行 4 階解析
Figure 4.3.5 2-D 4 階解析
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Figure 4.3.6(a)
Figure 4.3.6(b)
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Figure 4.3.6(c)
指紋影像經由解析(analysis)過程處理，可得到許多頻帶的資 料，將其中最重要的低頻訊息更進一步的分解(decomposition)，藉 此掌握指紋影像的各個子頻帶相關資料，並從各個子頻帶中去尋找所 需的特徵值
指紋訓練的步驟，將指紋影像利用離散小波轉換進行四階分解，
然後針對四階分解後所得的小波係數(
LLm、HLm、LHm 和 HHm；m
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=1,2,3,4
)，利用小波的統計學特色如 mean、standard deviation、median 等分別擷取各頻帶的特徵值[8]~[14]，所用方程式如 Eq.4-1 和 Eq.4-2。
mean(m) =
∑
= N
j i
j i
N12 , 1x( , ) Eq.4-1
standard deviation =
∑ [ ]
= N −
j i
m j i N , 1 x
)2 ,
2 (
1 Eq.4-2
對每一個 N x N 大小的次頻帶(sub-band)而言，p(i,j)是(i,j)是轉 換後所得到的值。理論上，使用這樣的程序來計算指紋影像轉換後的 特徵值，把從指紋影像用統計學觀點所取得的特徵值組合在一起(本 實驗以 mean 、standard deviation 、median 、median absolute 、 mean absolute deviation 等 5 個進行交叉模擬)，則每一個頻帶可 擁有 5 個特徵值，如此一來得到的特徵值資料格式如 Figure 4.3.7 所示，把結果儲存起來等待以後與未知影像比對。
將指紋影像進行 4 階分解(decomposition)後，可得到 13 個影像 頻帶訊號，而每一頻帶擁有 5 個特徵值，則每一枚指紋影像擁有 65 個特徵值可供利用，找出特徵值所組成的最佳向量，則可增快辨識速 度，減少不必要的運算。
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Figure 4.3.7 頻率域的特徵值格式
比對的過程是將未知指紋影像經過離散小波轉換後，擷取子頻帶 的統計特徵值，利用方程式 Eq.4-3，將所得的未知指紋影像特徵向 量與儲存在資料庫裡的特徵向量進行比對。
2
.
1
)) ( ) ( ( )
(i f x f i
D j
feature of No
j
i −
=
∑
=
Eq.4-3
) (i
fj 代表資料庫裡所存的第i個指紋特徵向量，fj(x)表示未知的指 紋影像特徵向量，將所輸入的未知指紋影像與資料庫所有的指紋進行 比對後，選擇比對結果D(i)距離為最小者。