第二章 文獻回顧
第一節 以貝氏方法估計距離函數
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第二章 文獻回顧
第一節 以貝氏方法估計距離函數
早期貝氏方法應用於隨機邊界法的文獻，尚未在模型中加入單調性與曲度限 制條件，主要著重在探討貝氏方法的模型設定，如 Broeck et al. (1994)、Koop et al.
(1994b)、Koop et al. (1997) 與 Fernández (1997)。Broeck et al. (1994) 發現若以貝 氏方法估計隨機邊界模型，不同的無效率項高階參數設定，可能會得出不同的無 效率估計值。將先驗分配設定為指數分配，對不同高階參數的給定較為穩健，而 截斷式常態分配 (truncated normal) 對高階參數的設定則較不穩健。Koop et al.
(1994b) 與 Koop et al. (1997) 對於不同生產單位的無效率項，設定不同的先驗分 配。透過外生變數使得各先驗分配的參數有所差異，概念相當於在無效率項中加 入環境變數。Fernández (1997) 探討不合適的先驗分配 (improper priors) 在隨機 邊界模型的應用是否妥當。該文獻主要以數學積分推導，發現某些情況下不合適 的先驗分配，將導致驗後分配與其動差 (moment) 不存在。
Terrell (1996) 與 Griffiths et al. (2000) 針對成本函數，考慮击性和凹性限制 條件。O’Donnell and Coelli (2005) 是第一篇使用貝氏方法估計產出面的射線距離 函數，將單調性與曲度限制條件一併考慮，進而探討加入上述限制條件與否，對 參數估計的影響。收集 17 家歐洲鐵路公司的縱橫資料 (panel data)，假設無效率 值不隨時間改變，分別估計隨機效果 (random effects) 與固定效果 (fixed effects) 等兩個模型，並比較有無限制模型的估計結果。發現加入限制條件的模型，係數 估計值一定符合產出面距離函數的單調性與曲度，與無限制模型的結果有很大差 異且不保證單調性與曲度限制條件一定滿足。
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多數以貝氏方法估計距離函數的文獻，都有加入限制條件於模型中，如 Fernández et al. (2000)等。其中，距離函數的曲度限制條件較為複雜。Morey (1986)整理了函數在不同的曲度條件下所需滿足的充要條件，如強凹 (strongly concave)、凹 (concave)、嚴格凹 (strictly concave)、半凹 (quasi-concave)，還有 其他击 (convex)的情況等。由 Morey (1986)的整理，結合距離函數對於產出與投 入的凹或击性，可以清楚地推導出距離函數所需滿足的曲度條件，並且在貝氏方 法中加入，使得模型符合距離函數的性質與設定。
上述的O’Donnell and Coelli (2005)是在貝氏方法下分別估計隨機效果與固 定效果模型，而 Feng and Zhang (2012)則是以貝氏方法估計真實隨機效果模型 (true random effects model)。相較於一般隨機效果，真實隨機效果的優點在於能 從模型的無效率項中分離出各生產單位的不可觀測異質性 (unobserved
heterogeneity)，使得效率估計更為純粹。該文獻估計產出面的射線距離函數，同 樣加入了單調性與曲度限制，以美國的銀行資料，共 10 年的資料期間進行實證 研究。研究方法是依照銀行規模分為大、中與小銀行三群後，同時估計隨機效果 與真實隨機效果兩種模型，比較各群中兩者模型的差異。結果發現三群不同規模 的銀行下，兩者模型所估計個別銀行的效率與生產力進步率 (productivity growth) 的結果都有所不同，顯示了忽略不可觀測異質性可能導致不同的估計結果。
然而，傳統的射線距離函數忽略非意欲產出的重要性。非意欲產出對生產單 位而言，必頇耗用資源處理而增加成本，具有弱可拋性 (weak disposability)。例 如銀行的不良放款及一國的環境污染等。要將非意欲產出納入分析模型，方向距 離函數是較佳的選擇，已被許多學者採用，如 Färe et al. (2005) 比較線性規劃法 與非貝氏隨機邊界法的估計結果，也計算非意欲產出的影子價格和電力與二氧化 硫 (非意欲產出) 兩種產出之間的替代彈性。利用電廠資料的實證結果，發現在 1993-1997 年期間，二氧化硫的影子價格有上升趨勢，替代彈性絕對值也有上降
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趨勢。使用線性規劃法估計方向距離函數，只能將單調性的一階限制條件納入數 理規劃模型中，忽略二階的曲度限制條件。
Atkinson and Dorfman (2005) 與 Assaf et al. (2013) 都是將非意欲產出視為 外生的解釋變數放入射線距離函數的模型中。Atkinson and Dorfman (2005) 估計 產出面的距離函數，而 Assaf et al. (2013) 是估計投入面之距離函數。兩者都以 貝氏有限資訊 (limited-information likelihood) 方法估計固定效果模型，加入距離 函數對投入、產出與非意欲產出之單調性與曲度限制條件，並以類別變數對於無 效率項進行配適，進而估計生產單位之效率、技術與生產力的進步率。Atkinson and Dorfman (2005) 以美國電廠，共 15 年的資料進行實證研究。結果顯示帄均 效率退步，而帄均技術與生產力隨時間進步，主要原因為非意欲產出的減少。與 未考慮非意欲產出的模型比較，顯示未考慮非意欲產出的模型在技術與生產力進 步率的估計值偏低。因為在模型中考慮非意欲產出後，非意欲產出減少對技術與 生產力進步為正向影響，然而未考慮非意欲產出的模型缺忽略了此正向效果。另 一方面，Assaf et al. (2013) 以土耳其銀行，共 9 年的資料進行實證研究。實證結 果顯示資料期間內帄均效率退步而帄均技術進步。由於技術進步的幅度大於效率 退步的幅度，兩者相加的結果顯示帄均生產力進步。此外，其結果發現該國效率 分數越低的銀行，非意欲產出 (不良債權) 的比例越高。由此可見，非意欲產出 在進行效率評估時是個不可忽略的重要因素。
為了考慮非意欲產出，較適當的是估計方向距離函數。而貝氏方法於方向距 離函數的應用，如 Feng and Serletis (2014)。該文獻以隨機效果模型，假設無效 率值能隨時間改變，同時考慮單調性與曲度限制條件，比較產出面的射線距離函 數與方向距離函數的結果。發現考慮限制條件時，若忽略非意欲產出，在估計效 率與生產力進步率時會造成偏誤。由此可知，傳統的射線距離函數因為忽略了非 意欲產出，可能不是很適當的選擇。
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在射線距離函數模型下，傳統是麥氏 (Malmquist) 指數作為生產力的評估，
如 Orea (2002)等。而 Chung et al. (1997)提供了 Malmquist–Luenberger 指數，作為 方向距離函數模型的生產力指標。麥氏指數與 Malmquist–Luenberger 指數都是估 計生產力的進步率，且兩者都由技術進步率與效率進步率所組成。該文獻以數理 規劃法估計射線與方向距離函數，因此在離散時間下提供技術與效率進步率的估 計方法。相對於麥氏指數，Malmquist–Luenberger 指數考慮了非意欲產出對生產 力的影響。由於非意欲產出是與意欲產出聯合生產 (joint production)，因此該文 獻指出使用方向距離函數模型的 Malmquist–Luenberger 指數作為生產力評估較 為合理。
關於貝氏方法程式語言的文獻，可參考 Griffin and Steel (2007)，此文介紹以 貝氏方法估計射線距離函數，分別討論與示範不同的無效率項分配設定、不同先 驗分配 (prior distribution) 的設定、限制條件的加入、環境變數的加入、模型比 較等。然而並未討論到方向距離函數的應用，且僅分開討論加入限制條件與環境 變數的模型，未討論兩者同時加入的情況。該模型假設無效率項不隨時間改變，
雖然有討論到無效率項可隨時間穩定遞增與遞減的模型，然而該設定也隱含了無 效率項變動幅度固定與同向的限制。