運用貝氏方法估計方向距離函數─考慮環境變數、單調性與曲度限制下之效率分析 - 政大學術集成

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(1)國立政治大學金融學系碩士學位論文. 運用貝氏方法估計方向距離函數─ 考慮環境變數、單調性與曲度限制下之效率分析政治. 大. 立 Approach to Imposing A Bayesian. ‧ 國. 學. Monotonicity and Curvature on Directional. ‧. Distance Function with Environmental Variables. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. en. hi. i n U. v. gc 指導教授：黃台心博士研究生：林嘉偉撰. 中華民國一零五年十月.

(2) 謝辭在碩士論文研究的路上，這一路走來十分辛苦，我想自己也稱得上是付出了不少的努力。在論文的研究過程中，最感謝黃台心老師，自己在效率分析方面的學習是老師從頭帶起的，且老師提供的貝氏參考文獻都直接給予了我莫大的幫助，省下了不少摸索時間。不僅是在學術上的指導，論文撰寫方面也給了我很多建議，讓一向不注重文字使用的我，了解文字清楚表達的重要性。一路以來受到老師的幫忙與指導，感謝之情實難以言喻。謝謝口詴委員鄭天澤老師與黃河泉老師，兩. 治政大清楚哪些是文章中表達較薄弱的部分。謝謝胡聚男學長，與老師與我一同討論論立. 位老師都是貝氏方法專家，給予我許多論文修改的方向與建議，透過口詴讓我更. 文，並且在口詴前自己壓力較大的時候給我適時的鼓勵。在政大金融所的這兩年，. ‧ 國. 學. 很感謝廖四郎老師的幫忙。我可以算是個問題學生，在課程抵免的事務上讓廖老. ‧. 師費了不少心。當中受到廖老師的推薦，當時我真的曾經懷疑自己何德何能受老. er. io. sit. y. Nat. 師的賞識，不勝感激。. 作為研究生的日子也將接近尾聲，人通常停下腳步的時候才能靜下心來思考。. al. n. v i n 這兩年來忙於接踵而至的不同目標與應付不同考詴，覺得自己有點遺忘對於學習 Ch engchi U 與生活的熱情。我記得人生中最快樂的學習階段是大四下學期，毫無壓力的情況下，學習是純粹基於自己的好奇心，那時也是我大學生涯中最常在課堂上舉手發問的時候。也因此，接下來入伍前的空檔最想做的事情是著手於自己真正有興趣的事物，還有閱讀更多課外書。我覺得找回學習的好奇心才能讓人不斷地對生活保持熱忱吧，就如同大四時候的我一樣。謹以此勉勵自己。. 林嘉偉謹誌於國立政治大學金融所中華民國一零五年十月. i.

(3) 運用貝氏方法估計方向距離函數─ 考慮環境變數、單調性與曲度限制下之效率分析. 摘要. 本文以貝氏方法估計方向距離函數，加入單調性與曲度限制，同時考慮環境變數於模型中。為了击顯考慮非意欲產出方向距離函數的優點，本文同時估計產. 政治大. 出面射線距離函數，並與方向距離函數模型比較。實證分析資料為 1970 至 2010. 立. 年間各國總體經濟變數，分別在有無加入限制條件與環境變數的狀況下，估計兩. ‧ 國. 學. 種距離函數，從無效率值、效率分數與技術進步率等角度分析彼此間的差異。發現射線距離函數模型由於忽略非意欲產出，傾向高估生產單位的技術效率。另一. ‧. 方面，其係數估計值容易違反射線距離函數的先天性質，較不具參考性。而方向. y. Nat. sit. 距離函數模型當中，有無加入限制條件與有無考慮環境變數的模型結果各不相同，. n. al. er. io. 其中同時加入限制條件與環境變數的模型結果最為合理。. Ch. engchi. i n U. v. 關鍵詞: 貝氏方法、方向距離函數、非意欲產出、單調性與曲度限制、環境變數、效率分數、技術進步率. ii.

(4) 目次謝辭 ...................................................................................................................................... i 摘要 .....................................................................................................................................ii 目次 ................................................................................................................................... iii 表次 ..................................................................................................................................... v 圖次 .................................................................................................................................... vi 第一章緒論 ....................................................................................................................... 1 第一節研究背景............................................................................................................ 1 第二節研究目的............................................................................................................ 3. 政治大第二章文獻回顧 ............................................................................................................... 5 立第三節研究流程............................................................................................................ 4. ‧ 國. 學. 第一節以貝氏方法估計距離函數................................................................................ 5 第二節環境變數............................................................................................................ 9. ‧. 第三章研究方法 ............................................................................................................. 11. sit. y. Nat. 第一節方向距離函數.................................................................................................. 11. io. er. 第二節射線距離函數.................................................................................................. 18 第三節貝氏方法.......................................................................................................... 23. al. n. v i n Ch 第四節環境變數.......................................................................................................... 32 engchi U. 第四章資料與套裝軟體 ................................................................................................. 38 第一節資料 ................................................................................................................. 38 第二節套裝軟體.......................................................................................................... 42 第五章實證結果 ............................................................................................................. 44 第一節方向距離函數模型.......................................................................................... 44 第二節射線距離函數模型.......................................................................................... 67 第三節方向距離函數模型與射線距離函數模型比較.............................................. 82 第六章結論與未來研究方向 ......................................................................................... 84 第一節結論 ................................................................................................................. 84. iii.

(5) 第二節未來研究方向 ....................................................................................................... 85 附錄 ......................................................................................................................................... 86 參考文獻 ................................................................................................................................. 93. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. iv. i n U. v.

(6) 表次表 4-1 變數定義與敘述統計量 ....................................................................................... 38 表 4-2 環境變數定義與敘述統計量 ............................................................................... 39 表 4-3 各教育與開放度類別的帄均產出 ....................................................................... 41 表 4-4 各所得類別的定義與資料個數 ........................................................................... 41 表 5-1 模型 1 係數估計值(方向距離函數模型未加入限制條件與環境變數)............. 45 表 5-2 模型 2 係數估計值(方向距離函數模型未加入限制條件但加入環境變數)..... 46 表 5-3 模型 3 係數估計值(方向距離函數模型加入限制條件而無環境變數)............. 47 表 5-4 模型 4 係數估計值(方向距離函數模型加入限制條件並加入環境變數)......... 48. 政治大 ................... 51 表 5-6 方向距離函數模型的無效率估計值敘述統計量(單位:百萬美元) 立表 5-5 方向距離函數模型中不滿足單調性與曲度限制條件的樣本數 ....................... 49. ‧ 國. 學. 表 5-7 方向距離函數模型各所得類別下的帄均無效率估計值(單位:百萬美元) ....... 55 表 5-8 方向距離函數模型的效率分數敘述統計量 ....................................................... 56. ‧. 表 5-9 方向距離函數模型各所得類別下的帄均效率分數估計值 ............................... 58. sit. y. Nat. 表 5-10 方向距離函數模型的技術進步率敘述統計量(/年) ......................................... 59. io. er. 表 5-11 方向距離函數模型各所得類別下的帄均技術進步率估計值(/年) ................. 66 表 5-12 模型 5 係數估計值(射線距離函數模型未加入限制條件與環境變數)........... 69. al. n. v i n Ch 表 5-13 模型 6 係數估計值(射線距離函數模型未加入限制條件但加入環境變數) ... 70 engchi U 表 5-14 模型 7 係數估計值(射線距離函數模型加入限制條件而無環境變數)........... 71. 表 5-15 模型 8 係數估計值(射線距離函數模型加入限制條件並加入環境變數)....... 72 表 5-16 射線距離函數模型中不滿足單調性與曲度限制條件的樣本數 ..................... 72 表 5-17 各教育與開放度類別下的高所得國家所佔比例 ............................................. 73 表 5-18 射線距離函數模型的效率分數敘述統計量 ..................................................... 74 表 5-19 射線距離函數模型各所得類別下的帄均效率分數估計值 ............................. 77 表 5-20 射線距離函數模型的技術進步率敘述統計量 ................................................. 78 表 5-21 射線距離函數模型各所得類別下的帄均技術進步率估計值 ......................... 81. v.

(7) 圖次圖 5-1 方向距離函數模型的各年度帄均無效率估計值 ............................................... 52 圖 5-2 二氧化碳的各年度帄均排放量 ........................................................................... 53 圖 5-3 方向距離函數模型的各國帄均無效率估計值 ................................................... 54 圖 5-4 方向距離函數模型的各年度帄均效率分數估計值 ........................................... 56 圖 5-5 方向距離函數模型的各國帄均效率分數估計值 ............................................... 57 圖 5-6 方向距離函數模型的各年度帄均技術進步率估計值 ....................................... 61 圖 5-7 模型 3 與模型 4 的各年度帄均技術進步率估計值 ........................................... 62 圖 5-8 方向距離函數模型的各國帄均技術進步率估計值 ........................................... 64. 政治大 ......................................... 75 圖 5-10 射線距離函數模型的各年度帄均效率分數估計值立. 圖 5-9 模型 3 與模型 4 的各國帄均技術進步率估計值 ............................................... 65. ‧ 國. 學. 圖 5-11 射線距離函數模型的各國帄均效率分數估計值 ............................................. 76 圖 5-12 射線距離函數模型的各年度帄均技術進步率估計值 ..................................... 79. ‧. 圖 5-13 射線距離函數模型的各國帄均技術進步率估計值 ......................................... 80. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. vi. i n U. v.

(8) 第一章緒論第一節研究背景. 評估一個生產單位或廠商的績效，若僅比較產出量的大小並不合理，因為它與要素投入量直接相關，較合適的是從生產效率的角度分析。早期效率分析模型多從射線距離函數 (radial distance function) 角度出發，一者利用投入面距離函數 (input distance function)，在固定產出水準之下，衡量要素投入量可以縮減多少；. 政治大量產出量可以增加多少。投入面或產出面距離函數只能單純分析要素投入量與產立. 或者利用產出面距離函數 (output distance function)，在固定要素投入量之下，衡. ‧ 國. 學. 出量的減少或增加，無法同時分析兩者，也無法恰當地把非意欲產出 (undesirable outputs) 納入模型。非意欲產出經常伴隨意欲產出而生，例如電廠燃燒煤炭發電. ‧. 的同時，釋出煤炭中的二氧化硫以及二氧化碳至大氣中，這兩種物質與酸雨和地. sit. y. Nat. 球暖化密切相關；銀行業的放款可視為產出之一，但總有極少部分顧客因故無法. al. er. io. 履行還款義務，不良放款這種非意欲產出因而發生。為處理非意欲產出，廠商必. v. n. 頇額外使用資源，致影響其生產效率，顯示任何效率分析模型不宜忽略這種產出。. Ch. engchi. i n U. Boyd et al. (2002), Chung et al. (1997), Färe et al. (2005) 和 Lee et al. (1997) 等使用的方向產出距離函數 (directional output distance function)，能夠將非意欲產出納入效率分析模型中，因而不會忽略其對效率的影響，應是較合適的效率分析模型。. 1.

(9) 效率估計方法可分為無母數的資料包絡分析法 (data envelopment analysis, DEA) 與有母數的經濟計量法--隨機邊界分析法 (stochastic frontier analysis, SFA) 等兩種。前者優點在於不必給定方向距離函數之函數型態，避免可能的函數型式設定錯誤問題，缺點則為因屬確定邊界模型，不能將誤差項放入分析模型中，導致效率估計值易受隨機因素之影響，且參數估計值欠缺統計性質，不易進行區間推定與假設檢定等統計推論。本文因此採用隨機邊界法進行估計，此法之優缺點剛好與 DEA 法相反，它允許迴歸模型中存在隨機干擾項，但頇給定函數型式。估計隨機邊界模型早期最常見使用修正的最小帄方法 (corrected Least Squares)，. 治政大學者使用貝氏估計法 (Bayesian estimation)。貝氏估計法的優點在於，可以將距立. 現在皆採用最大概似估計法 (maximum likelihood estimation，MLE)，晚近有部分. 離或成本函數的單調性 (monotonicity) 與曲度 (curvature conditions) 等經濟理. ‧ 國. 學. 論所要求具備的性質，以限制條件方式加入待估函數中，如此估計得到的迴歸係. Nat. y. ‧. 數值，一定符合這些函數應具備的性質。. er. io. sit. 另外，廠商或國家整體的生產效率，也易受到外生環境因素的影響，如一國的政治與經濟制度、法律體系、勞工帄均教育水準和環保政策等。如能把這些外. al. n. v i n 生因素一併考慮到效率評估模型中，消除受評估單位面臨之環境差異，在相同立 Ch engchi U. 足點進行效率評估，方能獲得較正確的效率估計值，提供經理人員或政府當局決策參考。僅 SFA 可以結合環境變數並採一階段法進行估計，反觀 DEA 只能利用兩或三階段法考慮環境變數，用於實證分析有其侷限性。. 2.

(10) 第二節研究目的. 綜合以上論述，基於方向距離函數與貝氏方法的優點，本論文打算運用貝氏方法估計方向距離函數，加入單調性與曲度限制以及加入環境變數於迴歸模型中，收集國家別資料進行實證分析，估計各國技術效率，並與不加入單調性限制、曲度限制與環境變數之模型進行比較。此外，同時以貝氏方法另估計射線距離函數—產出面距離函數，同樣加入單調性、曲度限制以及環境變數於迴歸模型中，. 政治大. 但不考慮非意欲產出，比較方向距離函數與射線距離函數結果之異同，以击顯忽略非意欲產出的差異。. 立. ‧ 國. 學. 本文除第一章介紹研究背景與目的外；第二章為文獻回顧，探討過去利用貝. ‧. 氏方法估計距離函數以及考慮環境變數進行效率評估之文獻；第三章為研究方法，. y. Nat. 分為方向距離函數、射線距離函數、貝氏方法與環境變數等四個部分；第四章為. er. io. sit. 資料收集與電腦程式簡介，包含各變數之樣本統計量與程式語言的使用說明；第五章為實證結果，分析各國之效率並進行模型比較，在方向距離函數與射線距離. al. n. v i n 函數模型下，可分為有、無環境變數與有、無限制條件，共八種分類結果；第六 Ch engchi U 章為結論與未來研究方向，總結以上之實證結果。. 3.

(11) 第三節研究流程以貝氏方法估計方向距離函數模型. 以貝氏方法估計射線距離函數模型. 有無加入限制條件、有無加入環境變數，共分為四種方向距離函數模型. 有無加入限制條件、有無加入環境變數，共分為四種射線距離函數模型. ‧ 國. io. n. al. 了解使用方向距離函數模型時未加入限制條件與環境變數的影響. 同樣加入限制條件與環境變數的情況下，比較方向距離函數(模型 4) 與射線距離函數 (模型 8)的效率分數與技術進步率估計結果. Ch. 型 7. 模型 5. engchi. 可以得知未考慮非意欲產出的射線距離函數模型的缺點. 結論. 4. ‧. Nat. 比較四個方向距離函數模型的無效率值、效率分數與技術進步率的估計結果. 型 8. 模型 6. 比較四個射線距離函數模型的效率分數與技術進步率的估計結果. y. 立. 型 3. 政治模大模. 模型 4. sit. 模. er. 模型 2. 學. 模型 1. i n U. v. 了解使用射線距離函數模型時未加入限制條件與環境變數的影響.

(12) 第二章文獻回顧. 第一節以貝氏方法估計距離函數. 早期貝氏方法應用於隨機邊界法的文獻，尚未在模型中加入單調性與曲度限制條件，主要著重在探討貝氏方法的模型設定，如 Broeck et al. (1994)、Koop et al. (1994b)、Koop et al. (1997) 與 Fernández (1997)。Broeck et al. (1994) 發現若以貝氏方法估計隨機邊界模型，不同的無效率項高階參數設定，可能會得出不同的無. 政治大. 效率估計值。將先驗分配設定為指數分配，對不同高階參數的給定較為穩健，而. 立. 截斷式常態分配 (truncated normal) 對高階參數的設定則較不穩健。Koop et al.. ‧ 國. 學. (1994b) 與 Koop et al. (1997) 對於不同生產單位的無效率項，設定不同的先驗分配。透過外生變數使得各先驗分配的參數有所差異，概念相當於在無效率項中加. ‧. 入環境變數。Fernández (1997) 探討不合適的先驗分配 (improper priors) 在隨機. y. Nat. sit. 邊界模型的應用是否妥當。該文獻主要以數學積分推導，發現某些情況下不合適. n. al. er. io. 的先驗分配，將導致驗後分配與其動差 (moment) 不存在。. Ch. engchi. i n U. v. Terrell (1996) 與 Griffiths et al. (2000) 針對成本函數，考慮击性和凹性限制條件。O’Donnell and Coelli (2005) 是第一篇使用貝氏方法估計產出面的射線距離函數，將單調性與曲度限制條件一併考慮，進而探討加入上述限制條件與否，對參數估計的影響。收集 17 家歐洲鐵路公司的縱橫資料 (panel data)，假設無效率值不隨時間改變，分別估計隨機效果 (random effects) 與固定效果 (fixed effects) 等兩個模型，並比較有無限制模型的估計結果。發現加入限制條件的模型，係數估計值一定符合產出面距離函數的單調性與曲度，與無限制模型的結果有很大差異且不保證單調性與曲度限制條件一定滿足。. 5.

(13) 多數以貝氏方法估計距離函數的文獻，都有加入限制條件於模型中，如 Ferná ndez et al. (2000)等。其中，距離函數的曲度限制條件較為複雜。Morey (1986)整理了函數在不同的曲度條件下所需滿足的充要條件，如強凹 (strongly concave)、凹 (concave)、嚴格凹 (strictly concave)、半凹 (quasi-concave)，還有其他击 (convex)的情況等。由 Morey (1986)的整理，結合距離函數對於產出與投入的凹或击性，可以清楚地推導出距離函數所需滿足的曲度條件，並且在貝氏方法中加入，使得模型符合距離函數的性質與設定。. 治政大定效果模型，而 Feng and Zhang (2012)則是以貝氏方法估計真實隨機效果模型立. 上述的 O’Donnell and Coelli (2005)是在貝氏方法下分別估計隨機效果與固. (true random effects model)。相較於一般隨機效果，真實隨機效果的優點在於能. ‧ 國. 學. 從模型的無效率項中分離出各生產單位的不可觀測異質性 (unobserved. ‧. heterogeneity)，使得效率估計更為純粹。該文獻估計產出面的射線距離函數，同. y. Nat. 樣加入了單調性與曲度限制，以美國的銀行資料，共 10 年的資料期間進行實證. er. io. sit. 研究。研究方法是依照銀行規模分為大、中與小銀行三群後，同時估計隨機效果與真實隨機效果兩種模型，比較各群中兩者模型的差異。結果發現三群不同規模. al. n. v i n 的銀行下，兩者模型所估計個別銀行的效率與生產力進步率 (productivity growth) Ch engchi U 的結果都有所不同，顯示了忽略不可觀測異質性可能導致不同的估計結果。. 然而，傳統的射線距離函數忽略非意欲產出的重要性。非意欲產出對生產單位而言，必頇耗用資源處理而增加成本，具有弱可拋性 (weak disposability)。例如銀行的不良放款及一國的環境污染等。要將非意欲產出納入分析模型，方向距離函數是較佳的選擇，已被許多學者採用，如 Färe et al. (2005) 比較線性規劃法與非貝氏隨機邊界法的估計結果，也計算非意欲產出的影子價格和電力與二氧化硫 (非意欲產出) 兩種產出之間的替代彈性。利用電廠資料的實證結果，發現在 1993-1997 年期間，二氧化硫的影子價格有上升趨勢，替代彈性絕對值也有上降. 6.

(14) 趨勢。使用線性規劃法估計方向距離函數，只能將單調性的一階限制條件納入數理規劃模型中，忽略二階的曲度限制條件。. Atkinson and Dorfman (2005) 與 Assaf et al. (2013) 都是將非意欲產出視為外生的解釋變數放入射線距離函數的模型中。Atkinson and Dorfman (2005) 估計產出面的距離函數，而 Assaf et al. (2013) 是估計投入面之距離函數。兩者都以貝氏有限資訊 (limited-information likelihood) 方法估計固定效果模型，加入距離函數對投入、產出與非意欲產出之單調性與曲度限制條件，並以類別變數對於無. 治政大 and Dorfman (2005) 以美國電廠，共 15 年的資料進行實證研究。結果顯示帄均立. 效率項進行配適，進而估計生產單位之效率、技術與生產力的進步率。Atkinson. 效率退步，而帄均技術與生產力隨時間進步，主要原因為非意欲產出的減少。與. ‧ 國. 學. 未考慮非意欲產出的模型比較，顯示未考慮非意欲產出的模型在技術與生產力進. ‧. 步率的估計值偏低。因為在模型中考慮非意欲產出後，非意欲產出減少對技術與. y. Nat. 生產力進步為正向影響，然而未考慮非意欲產出的模型缺忽略了此正向效果。另. er. io. sit. 一方面，Assaf et al. (2013) 以土耳其銀行，共 9 年的資料進行實證研究。實證結果顯示資料期間內帄均效率退步而帄均技術進步。由於技術進步的幅度大於效率. al. n. v i n 退步的幅度，兩者相加的結果顯示帄均生產力進步。此外，其結果發現該國效率 Ch engchi U. 分數越低的銀行，非意欲產出 (不良債權) 的比例越高。由此可見，非意欲產出在進行效率評估時是個不可忽略的重要因素。. 為了考慮非意欲產出，較適當的是估計方向距離函數。而貝氏方法於方向距離函數的應用，如 Feng and Serletis (2014)。該文獻以隨機效果模型，假設無效率值能隨時間改變，同時考慮單調性與曲度限制條件，比較產出面的射線距離函數與方向距離函數的結果。發現考慮限制條件時，若忽略非意欲產出，在估計效率與生產力進步率時會造成偏誤。由此可知，傳統的射線距離函數因為忽略了非意欲產出，可能不是很適當的選擇。. 7.

(15) 在射線距離函數模型下，傳統是麥氏 (Malmquist) 指數作為生產力的評估，如 Orea (2002)等。而 Chung et al. (1997)提供了 Malmquist–Luenberger 指數，作為方向距離函數模型的生產力指標。麥氏指數與 Malmquist–Luenberger 指數都是估計生產力的進步率，且兩者都由技術進步率與效率進步率所組成。該文獻以數理規劃法估計射線與方向距離函數，因此在離散時間下提供技術與效率進步率的估計方法。相對於麥氏指數，Malmquist–Luenberger 指數考慮了非意欲產出對生產力的影響。由於非意欲產出是與意欲產出聯合生產 (joint production)，因此該文獻指出使用方向距離函數模型的 Malmquist–Luenberger 指數作為生產力評估較為合理。. 立. 政治大. 關於貝氏方法程式語言的文獻，可參考 Griffin and Steel (2007)，此文介紹以. ‧ 國. 學. 貝氏方法估計射線距離函數，分別討論與示範不同的無效率項分配設定、不同先. ‧. 驗分配 (prior distribution) 的設定、限制條件的加入、環境變數的加入、模型比. y. Nat. 較等。然而並未討論到方向距離函數的應用，且僅分開討論加入限制條件與環境. er. io. sit. 變數的模型，未討論兩者同時加入的情況。該模型假設無效率項不隨時間改變，雖然有討論到無效率項可隨時間穩定遞增與遞減的模型，然而該設定也隱含了無. n. al. Ch. 效率項變動幅度固定與同向的限制。. engchi. 8. i n U. v.

(16) 第二節環境變數. 將環境變數與無效率項結合，最早由 Huang and Liu (1994) (JPA) 和 Battese and Coelli (1995) 提出，假設無效率項為截斷常態分配 (truncated normal)，將截斷常態分配的帄均數設定為環境變數的函數。這兩篇論文的主要差異，在於前者的環境變數中包含生產要素，後者則否，僅包含外生變數。因為他們的環境變數係數估計值均達統計顯著，考慮環境變數具有重要性。Huang (2005) 使用類似. 治政大力之影響，確認資訊與電腦設備投資有助於提升銀行業的效率與生產力。立. Huang and Liu (1994) 的模型，探討資訊與電腦設備對台灣銀行業的效率與生產. ‧ 國. 學. 加入環境變數並以貝氏方法估計的文獻，如 Koop et al. (1994b)。該文獻以貝. ‧. 氏方法估計成本函數，並未加入單調性與曲度限制條件。環境變數是由數個指標. y. Nat. 變數與一個連續型變數所組成，並與僅有截距項而無環境變數的模型進行比較。. er. io. sit. 論文中討論到，由於貝氏大多以 Gibbs Sampling 進行抽樣，其原理為從驗後分配 (posterior distribution) 的條件分配 (conditional distribution) 中抽樣，但若環境變. al. n. v i n 數為連續變數，則無法推導得出對應的條件分配，需用其他方法例如 Ch engchi U. independence Metropolis-Hasting，對參數進行重複抽樣，導致估計的困難度大幅增加。. 因此現有的貝氏方法結合環境變數的論文，大部分是將環境變數設為數個類別指標變數，如 Koop et al. (1997)，同樣是在未加入單調性與曲度限制條件下，討論成本函數模型中加入環境變數的顯著性。實證結果指出加入環境變數後，相較於無環境變數，模型有較高的解釋力。. 9.

(17) Ferná ndez et al. (2000) 同時考慮限制條件與環境變數，且完整的介紹貝氏方法在距離函數的應用。該篇文章採用銀行業資料進行實證分析，在多產出的射線產出距離函數中，僅加入簡單的限制條件，例如係數值非負；環境變數則是依照銀行大小分成三個類別的指標變數，無效率項假設不隨時間改變。此外，在其附錄中以 Geweke 與 Gelman and Rubin 兩種方法演示貝氏方法的收斂診斷。但特別提到在抽取距離函數的參數時，無法證明該參數的母體帄均數與標準差存在，故這兩種診斷方法僅能提供參考。. 治政大環境變數，鮮少同時考慮兩者。本文的優點在於估計方向距離函數模型時，同時立. 總結來說，多數使用貝氏方法與距離函數的文獻，僅單純考慮限制條件或是. 考慮限制條件與環境變數，進行效率評估，並與未考慮非意欲產出之射線距離函. ‧. ‧ 國. 學. io. sit. y. Nat. n. al. er. 數模型比較。. Ch. engchi. 10. i n U. v.

(18) 第三章研究方法第一節方向距離函數 1. 模型設定. 方向距離函數的優點之一，在於可加入非意欲產出於模型中。如 Färe et al. (2005)、Feng and Serletis (2010) 與 Feng and Serletis (2014) 都是以產出面方向距離函數，並加入非意欲產出。本論文同樣使用產出面方向距離函數，以下簡稱方. 政治大趨勢。參考 Färe and Grosskopf 立 (2003) 與 Feng and Serletis (2010)，方向距離函數. 向距離函數。以𝑥代表要素投入向量， 𝑦代表產出，𝑏為非意欲產出，t 代表時間. ‧ 國. 學. 可定義為. ⃗ 0 (𝑦, 𝑏, 𝑥, 𝑡; 𝑔𝑦 , −𝑔𝑏 ) = 𝑚𝑎𝑥{𝛾: (𝑦 + 𝛾𝑔𝑦 , 𝑏 − 𝛾𝑔𝑏 ) ∈ 𝑃(𝑥)} 𝐷. (1). ‧. 𝑃(𝑥) = *𝑦 ∶ 𝑦 𝑖𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑓𝑟𝑜𝑚 𝑥+，為方向距離函數模型下可能的產出集合. sit. y. Nat. (output set)，𝑔𝑦 與𝑔𝑏 為方向向量。方向距離函數的意義為，產出頇朝𝑔𝑦 方向增加. al. er. io. 𝛾單位，同時非意欲產出需朝𝑔𝑏 方向減少𝛾單位，才能達到生產邊界。對於方向. v. n. 的選取，為了直觀與簡便，我們選擇 𝑔𝑦 與𝑔𝑏 均為單位向量，若產出與非意欲產. Ch. engchi. i n U. 出都只有一種，則 𝐠 = (𝑔𝑦 , −𝑔𝑏 ) = (1, −1)。此時方向距離函數可解釋為，產出增加與非意欲產出減少是朝 (1, −1) 方向調整𝛾單位。參考 Färe et al. (2005)，方向距離函數的性質整理如下： ⃗ 0 (𝑦, 𝑏, 𝑥, 𝑡; 𝑔𝑦 , −𝑔𝑏 ) ≥ 0，若且唯若(𝑦, 𝑏) ∈ 𝑃(𝑥) 𝐷. (2). ⃗ 0 (𝑦′, 𝑏, 𝑥, 𝑡; 𝑔𝑦 , −𝑔𝑏 ) ≥ 𝐷 ⃗ 0 (𝑦, 𝑏, 𝑥, 𝑡; 𝑔𝑦 , −𝑔𝑏 )， (𝑦′, 𝑏) ≤ (𝑦, 𝑏) ∈ 𝑃(𝑥) 𝐷. (3). ⃗ 0 (𝑦, 𝑏′, 𝑥, 𝑡; 𝑔𝑦 , −𝑔𝑏 ) ≥ 𝐷 ⃗ 0 (𝑦, 𝑏, 𝑥, 𝑡; 𝑔𝑦 , −𝑔𝑏 )， (𝑦, 𝑏′) ≥ (𝑦, 𝑏) ∈ 𝑃(𝑥) 𝐷. (4). ⃗ 0 (𝜑𝑦, 𝜑𝑏, 𝑥, 𝑡; 𝑔𝑦 , −𝑔𝑏 ) ≥ 0， (𝑦, 𝑏) ∈ 𝑃(𝑥)，0 ≤ 𝜑 ≤ 1 𝐷. (5). ⃗ 0 (𝑦, 𝑏, 𝑥, 𝑡; 𝑔𝑦 , −𝑔𝑏 )為凹函數， (𝑦, 𝑏) ∈ 𝑃(𝑥) 𝐷. (6). ⃗ 0 (𝑦 + 𝜙𝑔𝑦 , 𝑏 − 𝜙𝑔𝑏 , 𝑥, 𝑡; 𝑔𝑦 , −𝑔𝑏 ) = 𝐷 ⃗ 0 (𝑦, 𝑏, 𝑥, 𝑡; 𝑔𝑦 , −𝑔𝑏 ) − 𝜙， 𝜙 ∈ 𝑹 𝐷. (7). 11.

(19) (2)表示方向距離函數具有非負的性質；(3)為單調性，方向距離函數對於產出 y 為非遞增，等同於滿足產出的強可拋性 (strong disposability)；(4)亦為單調性，方向距離函數對於非意欲產出𝑏為非遞減；(5)為滿足產出與非意欲產出之弱可拋性 (weak disposability)；(6)為滿足方向距離函數之凹性；(7)為方向距離函數之轉換性質 (translation property)。此外，O’Donnell and Coelli (2005) 在射線距離函數中加入了對投入的單調性，Feng and Serletis (2014) 也在方向距離函數加入對投入的單調性。因此本文也同樣加入對投入的單調性，方向距離函數對投入𝑥為. 治政大≥ 𝑥 ⃗ (𝑦, 𝑏, 𝑥′, 𝑡; 𝑔 , −𝑔 ) ≥ 𝐷 ⃗ (𝑦, 𝑏, 𝑥, 𝑡; 𝑔 , −𝑔 )，對於𝑥′ 𝐷 立非遞減，表為. 𝑦. 𝑏. 0. 𝑦. (8). 𝑏. 學. ‧ 國. 0. 過去文獻大多將方向距離函數設定為二次函數，以便估計係數，如 Färe et al.. ‧. (2005) 與 Feng and Serletis (2014) 等，主因為二次函數具有相當的伸縮性. y. Nat. (flexibility)，且容易將一些限制條件諸如轉換性質放入方向距離函數中，轉換此. er. io. sit. 函數成為可估計型式。因此，我們同樣選擇二次函數代表方向距離函數。由於實證分析使用國家別資料，雇用兩種生產要素--勞動與資本設備，生產單一產出--. al. n. v i n 國民所得水準，以及單一非意欲產出--二氧化碳排放量，故方向距離函數表為 Ch engchi U 1 1. ⃗ 0 (𝑦, 𝑏, 𝑥, 𝑡; 1, −1) = 𝛽0 + 𝛽1 𝑦 + 𝛽2 𝑥1 + 𝛽3 𝑥2 + 𝛽4 𝑏 + 𝛽5 𝑡 + 𝛽6 𝑦 2 + 𝛽7 𝑥12 + 𝐷 2. 1. 𝛽 𝑥2 2 8 2. 1. 1. 2. 2. 2. + 𝛽9 𝑏 2 + 𝛽10 𝑡 2 + 𝛽11 𝑦𝑥1 + 𝛽12 𝑦𝑥2 + 𝛽13 𝑦𝑏 + 𝛽14 𝑦𝑡 + 𝛽15 𝑥1 𝑥2 +. 𝛽16 𝑥1 𝑏 + 𝛽17 𝑥1 𝑡 + 𝛽18 𝑥2 𝑏 + 𝛽19 𝑥2 𝑡 + 𝛽20 𝑏𝑡 (9) 其中𝑦為產出，𝑏為非意欲產出，𝑥1 與𝑥2 為兩種投入，𝑡為時間，𝛽代表待估迴歸 ⃗ 0 (. )無法直接觀測，因此需要藉由轉換性質，才係數。由於等號左邊之應變數𝐷 能對(9)式中的參數進行估計。我們選取𝐠 = (𝑔𝑦 , −𝑔𝑏 ) = (1, −1)，代入(7)式可得 ⃗ 0 (𝑦 + 𝜙, 𝑏 − 𝜙, 𝑥, 𝑡; 1, −1) = 𝐷 ⃗ 0 (𝑦, 𝑏, 𝑥, 𝑡; 1, −1) − 𝜙 𝐷. 12. (10).

(20) 其意義在於若產出增加𝜙單位，非意欲產出減少𝜙單位，相當於方向距離函數減少𝜙單位。在二次函數的形式下滿足轉換性質，必頇加上以下五條限制式： 𝛽1 − 𝛽4 = −1. (11). 𝛽6 = 𝛽9 = 𝛽13. (12). 𝛽11 = 𝛽16. (13). 𝛽12 = 𝛽18. (14). 𝛽14 = 𝛽20. (15). 其證明可參考 Feng and Serletis (2014)。為進一步簡化模型，令𝜙 = −𝑦。可得. 政治大. ⃗ 0 (0, 𝑏 + 𝑦, 𝑥, 𝑡; 1, −1) = 𝐷 ⃗ 0 (𝑦, 𝑏, 𝑥, 𝑡; 1, −1) + y 𝐷 因此. 立. ⃗ 0 (0, 𝑏 + 𝑦, 𝑥, 𝑡; 1, −1) − 𝑢 𝑦=𝐷. (16). (17). ‧ 國. 學. ⃗ 0 (𝑦, 𝑏, 𝑥, 𝑡; 1, −1) ≡ 𝑢 ≥ 0，成為無效率項，而(17)式等號右方之其中𝐷. ‧. ⃗ 0 (0, 𝑏 + 𝑦, 𝑥, 𝑡; 1, −1)為上述之二次函數的形式，相當於在(9)式中代入𝑦 = 0與 𝐷. sit. y. Nat. 𝑏̃ = 𝑏 + 𝑦。因此藉由轉換性質，使得(17)式左方有了可觀測的應變數 (即為產出. io. er. y)，使研究者可以估計方向距離函數，其形式為. 1. 1. 2. 2. ⃗ 0 (0, 𝑏̃, 𝑥, 𝑡; 1, −1) − 𝑢 = 𝛽0 + 𝛽2 𝑥1 + 𝛽3 𝑥2 + 𝛽4 𝑏̃ + 𝛽5 𝑡 + 𝛽7 𝑥12 + 𝛽8 𝑥22 + 𝑦=𝐷. n. al. 1 2. 1. Ch. engchi. Un. iv. 𝛽9 𝑏̃ 2 + 𝛽10 𝑡 2 + 𝛽15 𝑥1 𝑥2 + 𝛽16 𝑥1 𝑏̃ + 𝛽17 𝑥1 𝑡 + 𝛽18 𝑥2 𝑏̃ + 𝛽19 𝑥2 𝑡 + 𝛽20 𝑏̃𝑡 − 𝑢 2. (18) 其中𝑏̃ = 𝑏 + 𝑦。接著在上式右方加入隨機干擾項𝑣，並且配合縱橫資料的使用，在(18)式中所有的應變數、解釋變數、無效率項與隨機干擾項都加入雙下標 i 與 t，其中i = 1, … , K為國家，t = 1, … , T 為時間 (年)，成為迴歸方程式 1. 1. 1. 1. 2. 2. 2. 2. 2 2 2 𝑦𝑖𝑡 = 𝛽0 + 𝛽2 𝑥1𝑖𝑡 + 𝛽3 𝑥2𝑖𝑡 + 𝛽4 𝑏̃𝑖𝑡 + 𝛽5 𝑡 + 𝛽7 𝑥1𝑖𝑡 + 𝛽8 𝑥2𝑖𝑡 + 𝛽9 𝑏̃𝑖𝑡 + 𝛽10 𝑡 2 +. 𝛽15 𝑥1𝑖𝑡 𝑥2𝑖𝑡 + 𝛽16 𝑥1𝑖𝑡 𝑏̃𝑖𝑡 + 𝛽17 𝑥1𝑖𝑡 𝑡 + 𝛽18 𝑥2𝑖𝑡 𝑏̃𝑖𝑡 + 𝛽19 𝑥2𝑖𝑡 𝑡 + 𝛽20 𝑏̃𝑖𝑡 𝑡 − 𝑢𝑖𝑡 + 𝑣𝑖𝑡 (19). 13.

(21) 配合樣本資料可將函數中的參數估計出來。此處𝑢𝑖𝑡 為無效率項，假設可隨時間改變，𝑣𝑖𝑡 為隨機干擾項，𝑣𝑖𝑡 ~𝑁(0, 𝜎 2 )具獨立且相同分配，它與𝑢𝑖𝑡 統計獨立，並假設無效率項與隨機干擾項皆與各解釋變數不相關。若以矩陣的形式表達，(19) 式可化為 𝒚 = 𝒔′𝜷 − 𝒖 + 𝒗. (20). 其中𝒔′為(19)式右方所有解釋變數 (包含截距項) 所構成的𝐾𝑇 × 15矩陣。𝜷則為與其對應之15 × 1參數向量。其餘𝒚, 𝒖, 𝒗都為𝐾𝑇 × 1向量。. 2. 限制條件. 立. 政治大. ‧ 國. 學. 方向距離函數有三種單調性質，對產出𝑦為非遞增、對非意欲產出𝑏為非遞減、對投入𝒙亦為非遞減。根據(9)式針對產出、投入和非意欲產出取偏導數得到 = 𝛽1 + 𝛽6 𝑦 + 𝛽11 𝑥1 + 𝛽12 𝑥2 + 𝛽13 𝑏 + 𝛽14 𝑡 ≤ 0. ⃗ 0 (𝑦,𝑏,𝑥,𝑡;1,;1) 𝜕𝐷 𝜕𝑥2. y. (22) (23). = 𝛽3 + 𝛽8 𝑥2 + 𝛽12 𝑦 + 𝛽15 𝑥1 + 𝛽18 𝑏 + 𝛽19 𝑡 ≥ 0. (24). al. = 𝛽2 + 𝛽7 𝑥1 + 𝛽11 𝑦 + 𝛽15 𝑥2 + 𝛽16 𝑏 + 𝛽17 𝑡 ≥ 0. n. 𝜕𝑥1. io. ⃗ 0 (𝑦,𝑏,𝑥,𝑡;1,;1) 𝜕𝐷. = 𝛽4 + 𝛽9 𝑏 + 𝛽13 𝑦 + 𝛽16 𝑥1 + 𝛽18 𝑥2 + 𝛽20 𝑡 ≥ 0. sit. 𝜕𝑏. Nat. ⃗ 0 (𝑦,𝑏,𝑥,𝑡;1,;1) 𝜕𝐷. (21). er. 𝜕𝑦. ‧. ⃗ 0 (𝑦,𝑏,𝑥,𝑡;1,;1) 𝜕𝐷. Ch. engchi U. v ni. 代入轉換性質與𝑏̃ = 𝑏 + 𝑦後，(21)-(24)式可改寫為 (詳如附錄 1) ⃗ 0 (𝑦,𝑏,𝑥,𝑡;1,;1) 𝜕𝐷 𝜕𝑥1 ⃗ 0 (𝑦,𝑏,𝑥,𝑡;1,;1) 𝜕𝐷 𝜕𝑥2. 0≤. = 𝛽2 + 𝛽7 𝑥1 + 𝛽15 𝑥2 + 𝛽16 𝑏̃ + 𝛽17 𝑡 ≥ 0. (25). = 𝛽3 + 𝛽8 𝑥2 + 𝛽15 𝑥1 + 𝛽18 𝑏̃ + 𝛽19 𝑡 ≥ 0. (26). ⃗ 0 (𝑦,𝑏,𝑥,𝑡;1,;1) 𝜕𝐷 𝜕𝑏. = 𝛽4 + 𝛽9 𝑏̃ + 𝛽16 𝑥1 + 𝛽18 𝑥2 + 𝛽20 𝑡 ≤ 1. 14. (27).

(22) 至於曲度限制，要求方向距離函數對於產出與非意欲產出，具有聯合凹性 (jointly concavity)，參考 Chambers (2002)、Färe et al. (2005) 與 Feng and Serletis (2014) 以及附錄 2，在單一產出與單一非意欲產出的情況下，簡化為 𝛽9 ≤ 0. (28). 3. 效率分數. 本文主要關注各國之技術效率差異，有鑑於(19)式所估計出之𝑢𝑖𝑡 代表無效率. 政治大準差異頗大，不適合直接比較各國之技術無效率。因此，本文採用相關文獻常用立水準，是有單位的數值，其單位與應變數𝑦相同。如此，大國與小國的無效率水. ‧ 國. 𝐸𝐶𝑖𝑡𝑑 =. 學. 的效率分數 (efficiency score, EC) 來評估，其定義為 𝑦𝑖𝑡 1 𝑦̂𝑖𝑡. (29). ‧. 其中𝑦𝑖𝑡 為 i 國第 t 年的實際產出水準，𝑦̂𝑖𝑡 為產出水準的配適值，代表最大可能產. y. Nat. n. er. io. al. sit. 出，它相當於(19)式等號右方排除𝑢𝑖𝑡 與𝑣𝑖𝑡 後的各項。. i n U. v. 若把同一年各國的效率分數取帄均，即可得到各年度帄均之效率分數 (共 T 年)，即 𝐸𝐶𝑡𝑑. =. 𝑦𝑖𝑡 ∑𝐾 𝑖=1 ̂ 𝑖𝑡 𝑦. 𝐾. Ch. engchi. , 𝑡 = 1, … , 𝑇. (30). 若把每個國家各年度的效率分數取帄均，即可得到各個國家之帄均效率分數 (共 K 國)，即 𝐸𝐶𝑖𝑑. 1. =. 𝑦𝑖𝑡 ∑𝑇 𝑡=1 ̂ 𝑖𝑡 𝑦. 𝑇. , 𝑖 = 1, … , 𝐾. 在我們實證中，以𝐸𝐶𝑖𝑡𝑑 ′ =. 𝑦𝑖𝑡 𝑦𝑖𝑡 :𝑢𝑖𝑡. (31). 與我們使用的𝐸𝐶𝑖𝑡𝑑 =. 𝑦𝑖𝑡 𝑦̂𝑖𝑡. 所計算出來的技術效率分數，幾乎相等。. 由於效率分數的定義介於 0 與 1 之間，若發生𝑦̂𝑖𝑡 < 𝑦𝑖𝑡 的極端情形，我們將仍視為𝐸𝐶𝑖𝑡𝑑 = 1。. 15.

(23) 若把資料依照所得水準分為高所得(high income, HI)、中高所得(middle high, MH)、中低所得(middle low, ML)與低所得國家(low income, LI)等四個類別，可計 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 算四個所得類別下的帄均效率分數，依序以𝐸𝐶𝐻𝐼 , 𝐸𝐶𝑀𝐻 , 𝐸𝐶𝑀𝐿 , 𝐸𝐶𝐿𝐼 代表。計算方. 法為 𝐻𝐼 𝑑 𝑇 ∑𝐾 𝑖=1 ∑𝑡=1 𝐼𝑖𝑡 𝐸𝐶𝑖𝑡. 𝑑 = 𝐸𝐶𝐻𝐼. (32). 𝐻𝐼 𝑇 ∑𝐾 𝑖=1 ∑𝑡=1 𝐼𝑖𝑡 𝑀𝐻 𝑑 𝑇 ∑𝐾 𝑖=1 ∑𝑡=1 𝐼𝑖𝑡 𝐸𝐶𝑖𝑡. 𝑑 = 𝐸𝐶𝑀𝐻. (33). 𝑀𝐻 𝑇 ∑𝐾 𝑖=1 ∑𝑡=1 𝐼𝑖𝑡 𝑀𝐿 𝑑 𝑇 ∑𝐾 𝑖=1 ∑𝑡=1 𝐼𝑖𝑡 𝐸𝐶𝑖𝑡. 𝑑 = 𝐸𝐶𝑀𝐿. (34). 𝑀𝐿 𝑇 ∑𝐾 𝑖=1 ∑𝑡=1 𝐼𝑖𝑡. 𝐿𝐼 𝑑 𝑇 ∑𝐾 𝑖=1 ∑𝑡=1 𝐼𝑖𝑡 𝐸𝐶𝑖𝑡. 𝑑 = 𝐸𝐶𝐿𝐼. 政治大. 𝐿𝐼 𝑇 ∑𝐾 𝑖=1 ∑𝑡=1 𝐼𝑖𝑡. 立. 其中. 1, 若資料屬於高所得國家. ‧ 國. 學. 𝐼𝑖𝑡𝐻𝐼 = 4. 0, 非高所得國家. ‧. 𝐼𝑖𝑡𝑀𝐻 = 4. 1, 若資料屬於中高所得國家 0, 非中高所得國家. (37). sit er. io. 0, 非中低所得國家. n. 𝐼𝑖𝑡𝐿𝐼 = 4. 1, 若資料屬於中低所得國家. al. (36). y. Nat. 𝐼𝑖𝑡𝑀𝐿 = 4. (35). Ch. 1, 若資料屬於低所得國家. engchi. i n U. v. 0, 非低所得國家. (38). (39). 4. 技術進步率 (technology growth, TG) 參考 Feng and Serletis (2014)，將方向距離函數模型的技術進步率定義為 ⃗ 0 (𝑦,𝑏,𝑥,𝑡;1,;1) 𝜕𝑙𝑛𝐷 𝜕𝑡. ，並且在離散時間下估計，與該文獻的作法相同。在離散時間下. 的技術進步率計算方法為 1. ⃗ 0 (𝑦𝑡 ,𝑏𝑡 ,𝑥𝑡 ,𝑡:1;1,;1) 1:𝐷 / ⃗ 0 (𝑦𝑡 ,𝑏𝑡 ,𝑥𝑡 ,𝑡;1,;1) 1:𝐷. 𝑇𝐺𝑖𝑡𝑑 = 2ln . 2. + ln .. ⃗ 0 (𝑦𝑡+1 ,𝑏𝑡+1 ,𝑥𝑡+1 ,𝑡:1;1,;1) 1:𝐷 /3 ⃗ 0 (𝑦𝑡+1 ,𝑏𝑡+1 ,𝑥𝑡+1 ,𝑡;1,;1) 1:𝐷. 16. (40).

(24) ⃗ 0 (𝑦𝑡 , 𝑏𝑡 , 𝑥𝑡 , 𝑡 + 1; 1, −1)、其中𝑇𝐺𝑖𝑡𝑑 代表方向距離函數模型下的技術進步率，而𝐷 ⃗ 0 (𝑦𝑡 , 𝑏𝑡 , 𝑥𝑡 , 𝑡; 1, −1)、𝐷 ⃗ 0 (𝑦𝑡:1 , 𝑏𝑡:1 , 𝑥𝑡:1 , 𝑡 + 1; 1, −1)與 𝐷 ⃗ 0 (𝑦𝑡:1 , 𝑏𝑡:1 , 𝑥𝑡:1 , 𝑡; 1, −1)為係數估計值代入(9)式後的計算結果。2 若𝑇𝐺𝑖𝑡𝑑 為正， 𝐷 在產出面方向距離函數下代表著技術進步。因為在投入與產出不變下，與產出邊界的距離增加，來自於產出邊界的上移。若為負，則代表技術退步。. 若把同一年各國的技術進步率取帄均，即可得到各年度的帄均技術進步率 (共 T 年)，即 𝑇𝐺𝑡𝑑 =. 𝑑 ∑𝐾 𝑖=1 𝑇𝐺𝑖𝑡. 𝐾. , 𝑡 = 1, … , 𝑇. 立. 政治大. (41). ‧ 國. 學. 若把每個國家各年度的技術進步率取帄均，即可得到各個國家的帄均技術進步率 (共 K 國)，即 𝑑 ∑𝑇 𝑡=1 𝑇𝐺𝑖𝑡. 𝑇. ‧. 𝑇𝐺𝑖𝑑 =. , 𝑖 = 1, … , 𝐾. Nat. sit. y. (42). n. al. er. io. 若把資料依照所得水準分為高所得、中高所得、中低所得與低所得國家等四. i n U. 個類別，可計算四個所得類別下的帄均技術進步率，即 𝑑 𝐻𝐼 𝑇 ∑𝐾 𝑖=1 ∑𝑡=1 𝐼𝑖𝑡 𝑇𝐺𝑖𝑡 𝐾 𝐻𝐼 𝑇 ∑𝑖=1 ∑𝑡=1 𝐼𝑖𝑡. 𝑑 𝑇𝐺𝐻𝐼 =. 𝑑 𝑇𝐺𝑀𝐻 = 𝑑 𝑇𝐺𝑀𝐿 = 𝑑 𝑇𝐺𝐿𝐼 =. Ch. engchi. 𝑑 𝑀𝐻 𝑇 ∑𝐾 𝑖=1 ∑𝑡=1 𝐼𝑖𝑡 𝑇𝐺𝑖𝑡. v. (43) (44). 𝑀𝐻 𝑇 ∑𝐾 𝑖=1 ∑𝑡=1 𝐼𝑖𝑡 𝑀𝐿 𝑑 𝑇 ∑𝐾 𝑖=1 ∑𝑡=1 𝐼𝑖𝑡 𝑇𝐺𝑖𝑡. (45). 𝑀𝐿 𝑇 ∑𝐾 𝑖=1 ∑𝑡=1 𝐼𝑖𝑡. 𝐿𝐼 𝑑 𝑇 ∑𝐾 𝑖=1 ∑𝑡=1 𝐼𝑖𝑡 𝑇𝐺𝑖𝑡. (46). 𝐿𝐼 𝑇 ∑𝐾 𝑖=1 ∑𝑡=1 𝐼𝑖𝑡. 其中𝐼𝑖𝑡𝐻𝐼 , 𝐼𝑖𝑡𝑀𝐻 , 𝐼𝑖𝑡𝑀𝐿 , 𝐼𝑖𝑡𝐿𝐼 的定義與(36)-(39)式相同。 2. 由於 ⃗ 0 (𝑦𝑡 , 𝑏𝑡 , 𝑥𝑡 , 𝑡 + 1; 1, −1), 𝐷 ⃗ 0 (𝑦𝑡 , 𝑏𝑡 , 𝑥𝑡 , 𝑡; 1, −1), 𝐷 ⃗ 0 (𝑦𝑡:1 , 𝑏𝑡:1 , 𝑥𝑡:1 , 𝑡 + 𝐷 ⃗ 1; 1, −1), 𝐷0 (𝑦𝑡:1 , 𝑏𝑡:1 , 𝑥𝑡:1 , 𝑡; 1, −1)的意義為無效率值，其值應大於等於 0，因此若在實證結果中計算為負值，將視為 0。. 17.

(25) 第二節射線距離函數 1. 模型設定. 為了與方向距離函數比較，參考 O’Donnell and Coelli (2005)，本文另估計產出面射線距離函數，以下簡稱射線距離函數。射線距離函數定義為 𝑦. 𝐷(𝑦, 𝑥, 𝑡) = 𝑚𝑖𝑛*𝑎: 𝑎 > 0, (𝑥, ) ∈ 𝑆(𝑥)+. (47). 𝑎. 其中𝑆(𝑥) = *𝑦 ∶ 𝑦 𝑖𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑓𝑟𝑜𝑚 𝑥+，為射線距離函數模型下可能的產出集. 政治大. 合。0 ≤ 𝐷(𝑦, 𝑥, 𝑡) ≤ 1，當𝐷(𝑦, 𝑥, 𝑡) = 1意即(x, y)位於產出前緣 (frontier)。其性質包括. 立. 1. 𝐷(𝑦, 𝑥, 𝑡)對於 x為非遞增. (48). ‧ 國. 學. 2. 𝐷(𝑦, 𝑥, 𝑡)對於 x具有準击性(quasi-convexity). (50). ‧. 3. 𝐷(𝑦, 𝑥, 𝑡)對於 y為非遞減. (49). (51). 𝑦. 1. 𝑐. 𝑐. sit. y. Nat. 4. 𝐷(𝑦, 𝑥, 𝑡)對於 y具有击性(convexity). io. al. (52). er. 5. 𝐷(𝑦, 𝑥, 𝑡)為 y的一階齊次函數，即 𝐷 . , 𝑥, 𝑡/ = 𝐷(𝑦, 𝑥, 𝑡)，𝑐 > 0. v. n. (48)式與(50)式為單調性質，(49)式與 (51)式為曲度性質，後續估計時可藉由限. Ch. engchi. i n U. 制條件的加入使得射線距離函數滿足此四個條件。. 多數文獻都將射線距離函數設定為超越對數函數 (translog) 的形式，如 O’Donnell and Coelli (2005) 與 Feng and Serletis (2014) 等。我們同樣設定為超越對數的形式，其優點在於具有相當的伸縮性，且易於滿足(52)式的一階齊次性，使得模型可估。在單一產出，兩種投入下，超越對數的射線距離函數表為 1. 1. 2. 2. 𝑙𝑛𝐷(𝑦, 𝑥, 𝑡) = 𝛼0 + 𝛼1 𝑙𝑛𝑦 + 𝛼2 𝑙𝑛𝑥1 + 𝛼3 𝑙𝑛𝑥2 + 𝛼4 𝑡 + 𝛼5 (𝑙𝑛𝑦)2 + 𝛼6 (𝑙𝑛𝑥1 )2 + 1 2. 1. 𝛼7 (𝑙𝑛𝑥2 )2 + 𝛼8 𝑡 2 + 𝛼9 𝑙𝑛𝑦𝑙𝑛𝑥1 + 𝛼10 𝑙𝑛𝑦𝑙𝑛𝑥2 + 𝛼11 𝑡𝑙𝑛𝑦 + 𝛼12 𝑙𝑛𝑥1 𝑙𝑛𝑥2 + 2. 𝛼13 𝑡𝑙𝑛𝑥1 + 𝛼14 𝑡𝑙𝑛𝑥2. (53). 18.

(26) 由於等號左方無可觀測值，因此需要透過一階齊次性使得模型可估。由(52)式，令𝑐 = 𝑦，可得 𝑦. 1. 𝑦. 𝑦. 𝑙𝑛𝐷 . , 𝑥, 𝑡/ = 𝑙𝑛 0 𝐷(𝑦, 𝑥, 𝑡)1 = −𝑙𝑛𝑦 + 𝑙𝑛𝐷(𝑦, 𝑥, 𝑡) = −𝑙𝑛𝑦 − 𝜖. (54). 其中𝜖 ≡ −𝑙𝑛𝐷(𝑦, 𝑥, 𝑡) ≥ 0，定義為技術無效率項，假設其服從某非負的分配。 y. 而lnD . , x, t/ = lnD(1, x, t)，相當於在(53)式中代入y = 1，使得等號右方有關𝑙𝑛𝑦 𝑦. 項都消除。將(54)式展開並移項可得 1. 1. 2. 2. −𝑙𝑛𝑦 = 𝛼0 + 𝛼2 𝑙𝑛𝑥1 + 𝛼3 𝑙𝑛𝑥2 + 𝛼4 𝑡 + 𝛼6 (𝑙𝑛𝑥1 )2 + 𝛼7 (𝑙𝑛𝑥2 )2 + 𝛼8 𝑡 2 +. 治政大比較(53)式與(55)式，可發現一階齊次性相當於在(53)式中限制立. (55). 𝛼1 = 1. (56). (58). io. sit. y. (59) (60). er. 𝛼11 = 0. Nat. 𝛼10 = 0. (57). ‧. 𝛼9 = 0. ‧ 國. 𝛼5 = 0. 學. 𝛼12 𝑙𝑛𝑥1 𝑙𝑛𝑥2 + 𝛼13 𝑡𝑙𝑛𝑥1 + 𝛼14 𝑡𝑙𝑛𝑥2 + ϵ. al. n. v i n 於(55)式之等號右方加入隨機干擾項ε，並且配合縱橫資料的使用，所有的 Ch engchi U. 應變數、解釋變數、技術無效率項與隨機干擾項都加入雙下標 i 與 t，其中 i = 1, … , K代表國家，t = 1, … , T 為時間 (年)，成為迴歸方程式 1. 1. 2. 2. −𝑙𝑛𝑦𝑖𝑡 = 𝛼0 + 𝛼2 𝑙𝑛𝑥1𝑖𝑡 + 𝛼3 𝑙𝑛𝑥2𝑖𝑡 + 𝛼4 𝑡 + 𝛼6 (𝑙𝑛𝑥1𝑖𝑡 )2 + 𝛼7 (𝑙𝑛𝑥2𝑖𝑡 )2 + 𝛼8 𝑡 2 + 𝛼12 𝑙𝑛𝑥1𝑖𝑡 𝑙𝑛𝑥2𝑖𝑡 + 𝛼13 𝑡𝑙𝑛𝑥1𝑖𝑡 + 𝛼14 𝑡𝑙𝑛𝑥2𝑖𝑡 + ϵ𝑖𝑡 + ε𝑖𝑡. (61). (61)式為待估模型。ε𝑖𝑡 ~𝑁(0, 𝜎𝜀 2 )具獨立且相同分配，與ϵ𝑖𝑡 統計獨立，並假設技術無效率項與隨機干擾項皆與各解釋變數不相關。若以矩陣或向量的形式表達， (61)式可化為 −𝑙𝑛𝒚 = 𝒘′ 𝜶 + 𝝐 + 𝜺. (62). 19.

(27) 其中𝒘′為(61)式等號右方所有解釋變數 (包含截距項) 所構成的𝐾𝑇 × 10矩陣。𝜶 則為與其對應之10 × 1參數向量。其餘−ln𝒚, 𝝐, 𝜺都為𝐾𝑇 × 1向量。. 2. 限制條件. 參考 O’Donnell and Coelli (2005) 與 Feng and Serletis (2014)，根據射線產出距離函數的單調性，其對產出y為非遞減且對投入𝑥1 , 𝑥2 為非遞增，意即 𝜕𝐷(𝑦,𝑥,𝑡) 𝜕𝑦. 𝜕𝐷(𝑦,𝑥,𝑡). ≥ 0、. 𝜕𝑥1. ≤0 與. 𝜕𝐷(𝑦,𝑥,𝑡) 𝜕𝑥2. ≤ 0。由(53)式，針對y, 𝑥1 , 𝑥2 取偏導數後代. 政治大. 入(56)-(60)式，可將單調性限制整理為(詳如附錄 3). 立. 𝑓1 = 𝛼2 + 𝛼6 𝑙𝑛𝑥1 + 𝛼9 𝑙𝑛𝑦 + 𝛼12 𝑙𝑛𝑥2 + 𝛼13 ≤ 0. (63). ‧ 國. 學. 𝑓2 = 𝛼3 + 𝛼7 𝑙𝑛𝑥2 + 𝛼10 𝑙𝑛𝑦 + 𝛼12 𝑙𝑛𝑥1 + 𝛼14 𝑡 ≤ 0. (64). ‧. 產出距離函數對產出具有击性，若且唯若D(y, x, t)對於y的海森矩陣所有主子. y. Nat. sit. 式 (principal minor) 非負；另外，產出距離函數對投入具有準击性，充分條件為. n. al. er. io. D(y, x, t)對於𝒙的鑲邊海森矩陣 (bordered Hessian matrix) 其所有鑲邊主子式. i n U. v. (bordered principal minors) 為負，推導詳如附錄 4。準击性限制條件可整理為 2. Ch. engchi. 2𝛼12 𝑓1 𝑓2 − (𝛼6 − 𝑓1 )𝑓2 − (𝛼7 − 𝑓2 )𝑓1 2 < 0. 20. (65).

(28) 3. 效率分數. 射線距離函數模型下，效率分數的計算方式為 𝐸𝐶𝑖𝑡𝑟 = exp(−ϵ𝑖𝑡 ). (66). 若把同一年各國的技術效率取帄均，即可得到各年度帄均之技術效率 (共 T 年)，即 𝐸𝐶𝑡𝑟 =. 𝐾 𝑟 ∑𝑖=1 𝐸𝐶𝑖𝑡. 𝐾. , 𝑡 = 1, … , 𝑇. (67). 政治大. 若把每個國家各年度的技術效率取帄均，即可得到各個國家之帄均技術效率. 立. 𝑟 ∑𝑇 𝑡=1 𝐸𝐶𝑖𝑡. 𝑇. 學. 𝐸𝐶𝑖𝑟 =. ‧ 國. (共 K 國)，即. , 𝑖 = 1, … , 𝐾. (68). ‧. io. 𝐻𝐼 𝑇 ∑𝐾 𝑖=1 ∑𝑡=1 𝐼𝑖𝑡. 𝑟 𝐸𝐶𝑀𝐻 = 𝑟 𝐸𝐶𝑀𝐿 = 𝑟 𝐸𝐶𝐿𝐼 =. 𝑀𝐻 𝑟 𝑇 ∑𝐾 𝑖=1 ∑𝑡=1 𝐼𝑖𝑡 𝐸𝐶𝑖𝑡 𝑀𝐻 𝑇 ∑𝐾 𝑖=1 ∑𝑡=1 𝐼𝑖𝑡. al. n. 𝑟 𝐻𝐼 𝑇 ∑𝐾 𝑖=1 ∑𝑡=1 𝐼𝑖𝑡 𝐸𝐶𝑖𝑡. 𝑟 𝐸𝐶𝐻𝐼 =. er. 個類別，可計算四個所得類別下的帄均效率分數，即. sit. y. Nat. 若把資料依照所得水準分為高所得、中高所得、中低所得與低所得國家等四. Ch. engchi U. 𝑀𝐿 𝑟 𝑇 ∑𝐾 𝑖=1 ∑𝑡=1 𝐼𝑖𝑡 𝐸𝐶𝑖𝑡. v ni. (69) (70) (71). 𝑀𝐿 𝑇 ∑𝐾 𝑖=1 ∑𝑡=1 𝐼𝑖𝑡. 𝐿𝐼 𝑟 𝑇 ∑𝐾 𝑖=1 ∑𝑡=1 𝐼𝑖𝑡 𝐸𝐶𝑖𝑡. (72). 𝐿𝐼 𝑇 ∑𝐾 𝑖=1 ∑𝑡=1 𝐼𝑖𝑡. 𝐼𝑖𝑡𝐻𝐼 , 𝐼𝑖𝑡𝑀𝐻 , 𝐼𝑖𝑡𝑀𝐿 , 𝐼𝑖𝑡𝐿𝐼 的定義與(36)-(39)式相同。. 21.

(29) 4. 技術進步率參考 Feng and Serletis (2014)，射線距離函數模型的技術進步率定義為 −. 𝜕𝑙𝑛𝐷(𝑦,𝑥,𝑡). ，並且在離散時間下估計，與該文獻的作法相同。在離散時間下的技. 𝜕𝑡. 術進步率計算方法為 1. 𝐷(𝑦𝑡 ,𝑥𝑡 ,𝑡:1). 2. 𝐷(𝑦𝑡 ,𝑥𝑡 ,𝑡). 𝑇𝐺𝑖𝑡𝑟 = − 2ln .. 𝐷(𝑦𝑡+1 ,𝑥𝑡+1 ,𝑡:1). / + ln .. 𝐷(𝑦𝑡+1 ,𝑥𝑡+1 ,𝑡). /3. (73). 其中𝑇𝐺𝑖𝑡𝑟 代表射線距離函數模型的技術進步率。若為正，在產出面射線距離函數模型下代表著技術進步；反之，則代表技術退步。. 治政大若把同一年各國的技術進步率取帄均，即可得到各年度的帄均技術進步率立. (共 T 年)，即. 𝐾. ‧ 國. 𝑟 ∑𝐾 𝑖=1 𝑇𝐺𝑖𝑡. 學. 𝑇𝐺𝑡𝑟 =. , 𝑡 = 1, … , 𝑇. (74). ‧. 𝑇. y. sit. al. er. 𝑟 ∑𝑇 𝑡=1 𝑇𝐺𝑖𝑡. n. 𝑇𝐺𝑖𝑟 =. io. 步率 (共 K 國)，. Nat. 若把每個國家各年度的技術進步率取帄均，即可得到各個國家的帄均技術進. , 𝑖 = 1, … , 𝐾. Ch. engchi. i n U. v. (75). 若把資料依照所得水準分為高所得、中高所得、中低所得與低所得國家等四個類別，可計算四個所得類別下的帄均技術進步率，即 𝐻𝐼 𝑟 𝑇 ∑𝐾 𝑖=1 ∑𝑡=1 𝐼𝑖𝑡 𝑇𝐺𝑖𝑡. 𝑟 𝑇𝐺𝐻𝐼 =. 𝑟 𝑇𝐺𝑀𝐻 = 𝑟 𝑇𝐺𝑀𝐿 = 𝑟 𝑇𝐺𝐿𝐼 =. (76). 𝐻𝐼 𝑇 ∑𝐾 𝑖=1 ∑𝑡=1 𝐼𝑖𝑡 𝑀𝐻 𝑟 𝑇 ∑𝐾 𝑖=1 ∑𝑡=1 𝐼𝑖𝑡 𝑇𝐺𝑖𝑡. (77). 𝑀𝐻 𝑇 ∑𝐾 𝑖=1 ∑𝑡=1 𝐼𝑖𝑡 𝑀𝐿 𝑟 𝑇 ∑𝐾 𝑖=1 ∑𝑡=1 𝐼𝑖𝑡 𝑇𝐺𝑖𝑡. (78). 𝑀𝐿 𝑇 ∑𝐾 𝑖=1 ∑𝑡=1 𝐼𝑖𝑡. 𝐿𝐼 𝑟 𝑇 ∑𝐾 𝑖=1 ∑𝑡=1 𝐼𝑖𝑡 𝑇𝐺𝑖𝑡. (79). 𝐿𝐼 𝑇 ∑𝐾 𝑖=1 ∑𝑡=1 𝐼𝑖𝑡. 其中𝐼𝑖𝑡𝐻𝐼 , 𝐼𝑖𝑡𝑀𝐻 , 𝐼𝑖𝑡𝑀𝐿 , 𝐼𝑖𝑡𝐿𝐼 的定義與(36)-(39)式相同。. 22.

(30) 第三節貝氏方法. 1. 貝氏方法的介紹. (1) 架構. 貝氏方法的架構，是由概似函數 (likelihood function) 乘上各參數的先驗分配，得到聯合驗後分配 (joint posterior distribution) (以下簡稱為驗後分配)，再根. 政治大. 據驗後分配對各參數進行統計量的計算。其主要的特色在於先驗資訊的加入，使. 立. 得參數估計中能帶有一些人為或已知的成分。應用在估計成本或距離函數時，最. ‧ 國. 學. 主要的優點是可以將單調性與曲度這些不等號限制條件，加諸於目標函數，由此估計得到的迴歸係數值，保證符合上述不等號限制條件。此外，貝氏方法將無效. ‧. 率項𝑢𝑖𝑡 視為隨機參數，由於加入先驗資訊 (先驗分配)，使得所有𝑢𝑖𝑡 可進行點估. y. Nat. n. al. er. io. 估計無效率值。. sit. 計與區間估計。相較之下，傳統的 MLE 法則是以條件帄均數 (conditional mean). (2) 貝氏抽樣方法. Ch. engchi. i n U. v. 待估參數的統計量是由驗後分配所決定，然而驗後分配可能是複雜的高維度分配，不易由積分得到各參數之邊際分配 (marginal distribution)。因此，需要模擬出複雜的驗後分配，從中重複抽取足夠多數的參數樣本，並以這些樣本估計參數的統計量。而馬可夫鏈蒙地卡羅法(Markov chain Monte Carlo, MCMC)，即為模擬高維度的複雜分配而使用的抽樣方法。其中有兩種方法最為常見，即 Gibbs sampling 與 Metropolis-Hasting。. 23.

(31) Gibbs sampling 的概念是，由驗後分配中推導各參數的條件分配後，對各參數的條件分配進行抽樣。而各參數抽取後的樣本帄均數，將會收斂至驗後分配中該參數的母體帄均值。此方法的關鍵在於需要推導出各參數的條件分配，因此驗後分配的型態很重要。由於驗後分配是由概似函數與先驗分配相乘，因此可透過先驗分配妥當的設定，間接地讓條件分配有著易於數學推導的型態。. 相較於 Gibbs sampling，Metropolis-Hasting 法不需要知道條件分配的型態，僅需能夠計算出某兩組參數樣本下，驗後分配的機率密度比值即可。其精神在於. 治政大中隨機抽樣，通常著以𝛚 為中心，從某固定的提議分配 (proposal distribution) 立. 每次的抽樣，是根據前一次的參數樣本進行跳躍。設給定的參數向量為𝛚𝒕 ，接 𝒕. 是選擇多維度常態分配 (multivariate normal distribution)，從中抽出下一組參數樣. ‧ 國. 學. 本𝛚𝒕:𝟏 。令𝑗(𝝎)為某參數樣本下所計算的驗後分配機率密度函數，而. ‧. 𝑞(𝝎𝒕:𝟏 |𝝎𝒕 )為從𝛚𝒕 跳躍至𝛚𝒕:𝟏 之多維度常態分配機率密度。跳躍成功的機率稱. y. 𝑗(𝝎𝒕+𝟏 )𝑞(𝝎𝒕 |𝝎𝒕+𝟏 ) +。若成功跳 𝑗(𝝎𝒕 )𝑞(𝝎𝒕+𝟏 |𝝎𝒕 ). sit. Nat. 為接受率(acceptance rate)，以 r 表示，則𝑟 = 𝑚𝑖𝑛*1,. al. er. io. 躍，則下個樣本即為𝛚𝒕:𝟏 ，反之則停留在同樣的樣本𝛚𝒕 。以此規則不斷抽取參. v. n. 數樣本，各參數的樣本帄均數會收斂至驗後分配的母體帄均。此方法的優點在於. Ch. engchi. i n U. 不需要推導出條件分配，因此使用上較沒有限制，也能適用到更複雜的分配，譬如考慮限制條件的情況。相對的，此法的缺點在於抽取的參數樣本依賴於上一組的參數樣本，參數樣本間容易有較高的自我相關 (autocorrelation) 問題，導致模型收斂速度較慢3。. 3. 可參考 Patrick Breheny 所提供的教學資料， http://web.as.uky.edu/statistics/users/pbreheny/701/S13/notes/2-28.pdf. 24.

(32) (3) 貝氏區間估計. 貝氏方法下的區間估計是透過可信區間 (credible interval) 的建立。在傳統統計學中的信賴區間屬於隨機區間，假設母體參數為固定且未知。然而貝氏方法的可信區間相反，為加入先驗資訊下建構出來的固定區間，但母體參數為隨機變數。因此兩者的解釋方式不同，可信區間解釋為母體參數位於此區間的機率。然而，不管是傳統的信賴區間或是可信區間，意義上都是為了對參數進行區間估計。. 治政大貝氏假設母體參數為隨機變數，因此我們可以用蒙地卡羅法所抽出的參數樣立. 本取得樣本帄均數與標準差，計算出 95%的可信區間。最常用來決定區間上下分. ‧ 國. 學. 位數的方法有兩種，同尾 (equal-tail) 與最高驗後密度 (highest posterior density,. ‧. HPD)。同尾可信區間意即 95%機率下，上下尾各為 2.5%之面積。由於面積對稱. y. Nat. 因此較為簡易，也較常被使用；最高密度可信區間是找出能使區間寬度極小化的. er. io. sit. 上下分位數，其特色為上下分位數所計算的機率密度相等，意即這區間所包含的可能值都有著最高的驗後機率密度。然而在非對稱驗後機率密度的情況下，其上. al. n. v i n 下尾的面積不同，實際使用時計算上下分位數較複雜。由於前者簡便與直觀，後 Ch engchi U 續的實證分析，本文採用之。. (4) 貝氏模型診斷. 參考 Flegal (2008)4，根據馬可夫鏈中央極限定理，若𝑔̅𝑛 為樣本帄均數，𝐸𝜋 𝑔為母體參數之期望值，則 𝑑. √𝑛(𝑔̅𝑛 − 𝐸𝜋 𝑔) → 𝑁(0, 𝜎𝑔2 ). (80). 4. 為 James Marshall Flegal 於 2008 年所寫的文章，請參考 http://www.faculty.ucr.edu/~jflegal/Final_Thesis_twosided.pdf. 25.

(33) 由於𝜎𝑔2 未知，需用樣本統計量 𝜎̂𝑔2 估計得到。𝜎̂𝑔2 的計算，可藉由群組帄均. (batch. means)。設總抽樣次數為n = ab，分成 a 群，每群有 b 個樣本 (通常令a = b = √𝑛)。各群組帄均可表示為 1 𝑗𝑏 𝑌̅𝑗 = ∑𝑖<(𝑗;1)𝑏:1 𝑥𝑖. j = 1, … , a. 𝑏. 𝜎̂𝑔2 =. 𝑏 𝑎;1. (81). ∑𝑎𝑗<1(𝑌̅𝑗 − 𝑔̅𝑛 )2. (82) ̂𝑔 𝜎. 蒙地卡羅誤差 (Monte Carlo standard error, MC error)定義為，來自於蒙地卡羅 √𝑛. 抽樣時，以樣本帄均數估計母體帄均數所造成的誤差，相當於統計學中估計值之. 政治大. 標準誤。. 立. 貝氏估計方法下，檢測估計值收斂與否，常見的診斷方法如 Geweke、Gelman. ‧ 國. 學. and Rubins 等。然而，如Ferná ndez et al. (2000) 提到，方向距離函數加入參數. ‧. 限制條件時，由於不能證明參數的母體帄均數與標準差等統計量存在，故這些診. y. Nat. 斷方法不能夠直接應用。我們轉而參考後續 Lin and Lan (2010)5 所使用的比較簡. er. io. sit. 易判斷方法，即利用蒙地卡羅誤差，若某參數之蒙地卡羅誤差小於 5%的樣本標準差，即將該參數估計值視為收斂。. n. al. Ch. engchi. i n U. v. 2. 貝氏方法在方向距離函數的設定. (1) 方向距離函數下的先驗分配貝氏方法涉及到先驗資訊的給定，參考 (19) 式，模型中的待估參數為𝜷、𝜎 2、 𝑢𝑖𝑡 與其高階參數𝜆;1 。參考 Feng and Serletis (2014)，𝜷的先驗分配設定為 𝜷. 𝑝(𝜷) ∝ 𝐼(𝜷 ∈ 𝑅𝑗 ). (83). 可參考 Erwin T. J. Lin and Lawrence W. Lan, ―Measuring Firm-specific Efficiencies with Bayesian Stochastic Distance Function‖，於 2010 年之研討會論文。 5. 26.

(34) 𝜷. 其中𝐼(˙)為1 或 0 的指標函數；𝑅𝑗 為能滿足單調性與曲度限制的𝜷集合，j=0 為無限制，j=1 則需同時滿足單調性與曲度限制。. 為了驗後分配的推導方便，以𝑕 = 𝑝(𝑕) ∝. 1 𝜎2. 作𝜎 2 的替換變數，𝑕的先驗分配設定為. 1. (84). 𝑕. 其中𝑕 =. 1 𝜎2. > 0，此設定與 O’Donnell and Coelli (2005) 與 Feng and Serletis (2014). 相同，屬於無資訊先驗分配 (non-informative prior)，可以簡化後續 h 之條件分配的推導過程。. 立. 政治大. ‧ 國. 學. 𝑢𝑖𝑡 的先驗分配設定為指數分配 𝑝(𝑢𝑖𝑡 |𝜆;1 ) = 𝐸𝑥𝑝(𝑢𝑖𝑡 |𝜆;1 ). (85). ‧. 根據 Broeck et al. (1994)，指數分配對於先驗分配的選取是較穩健的。另一優點. al. y. er. io. sit. Nat. 為簡化條件分配的推導，因此我們同樣選擇指數分配。. v. n. (85)式需要給定其分配之參數𝜆;1 先驗分配，設定為指數分配 𝑝(𝜆;1 ) = 𝐸𝑥𝑝(𝜆;1 |𝜌∗ ). Ch. engchi. i n U. (86). 以方向距離函數而言，𝜌∗ 為資料期間內對無效率值的先驗認知。在無限制模型，由於沒有帄均無效率值的資訊，採用 Feng and Serletis (2014)同樣的方法，設 𝜌∗ = 50% × 𝑦̅，同時嘗詴設定不同的𝜌∗，作為穩健性 (robustness) 檢查。Feng and Serletis (2014) 的實證結果，確認給定不同高階參數𝜌∗，參數估計值具有穩健性。在我們後續的實證分析中，結果也是如此。而在有限制模型，設定𝜌∗ 為無限制模型且無環境變數下所估計的無效率值中位數。. 27.

(35) (2) 方向距離函數下的驗後分配. 如果誤差項𝒗假設為常態分配，可推導出概似函數為 𝑕. 𝑇 𝐿(𝒚|𝜷, 𝑕, 𝒖, 𝜆;1 ) = ∏𝐾 𝑖<1 ∏𝑡<1 8√. 2𝜋. 𝐾𝑇. 𝑕. × 𝑒𝑥𝑝 0− (𝑦𝑖𝑡 − 𝒔′ 𝒊𝒕 𝜷 + 𝑢𝑖𝑡 )2 19 ∝ 2. 𝑕. 𝑕 2 𝑒𝑥𝑝,− 𝒗′𝒗-. (87). 2. 其中𝒗 = (𝒚 − 𝒔′ 𝜷 + 𝒖)。結合概似函數與各參數的先驗分配，可得驗後分配 𝐾𝑇. 𝑕. 𝑓(𝜷, 𝑕, 𝒖, 𝜆;1 |𝒚) ∝ 𝑕 2 ;1 𝑒𝑥𝑝,− 𝒗′𝒗- 𝐼(𝜷 ∈ 2. 政治大. 𝜷 𝑇 ;1 𝑅𝑗 ) × ∏𝐾 𝑒𝑥𝑝(−𝜆;1 𝑢𝑖𝑡 )- × 𝑒𝑥𝑝(−𝜌∗ 𝜆;1 ) 𝑖<1 ∏𝑡<1,𝜆. 立. (88). ‧ 國. 學. 但實際上從驗後分配直接抽樣相當困難，取而代之者，利用前面提到的 Gibbs sampling，從各參數的條件分配中分別抽樣，各參數的樣本帄均數可證明會收斂. ‧. 至母體帄均數。. sit. y. Nat. n. al. er. io. (3) 方向距離函數下的條件分配. Ch. engchi. i n U. v. 參考 Feng and Serletis (2014)，將驗後分配積分，可得各參數的條件分配，分別為 𝜷. 𝑝(𝜷|𝒚, 𝑕, 𝒖, 𝜆;1 ) ∝ 𝑓𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 (𝜷|𝒃, 𝑕;1 (𝒔𝒔′);1 ) 𝐼(𝜷 ∈ 𝑅𝑗 ) 𝑝(𝑕|𝒚, 𝜷, 𝒖, 𝜆;1 ) ∝ 𝑓𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 (𝑕|. 𝐾𝑇 1 2. , 𝒗′𝒗). (89) (90). 2. 𝑝(𝒖|𝒚, 𝜷, 𝑕, 𝜆;1 ) ∝ 𝑓𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 (𝒖|𝒔′ 𝜷 − 𝒚 − (𝑕𝜆);1 𝜾𝑲𝑻 , 𝑕;1 𝐈𝐊𝐓 ) 𝑇 × ∏𝐾 𝑖<1 ∏𝑡<1 𝐼(𝑢𝑖𝑡 ≥ 0). 𝑝(𝜆;1 |𝒚, 𝜷, 𝑕, 𝒖) ∝ 𝑓𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 (𝜆;1 |𝐾𝑇 + 1, 𝒖′ 𝜾𝑲𝑻 + 𝜌∗ ). (91) (92). 其中𝐛 = (𝒔𝒔′);1 𝒔,𝒚 + 𝒖-，𝐈𝐊𝐓 為KT × 𝐾𝑇的單位矩陣，𝜾𝑲𝑻 為由 1 組成的KT × 1向量。. 28.

(36) 𝑕與𝜆;1 的隨機抽樣，相當於分別從 (90) 與 (92) 式的伽瑪分配 (Gamma distribution) 中抽取。而𝒖的抽樣，相當於從 (91) 式的截斷常態分配 (truncated normal distribution) 中抽取。抽樣𝜷的 (89) 式則較為麻煩，由於出現指標函數，該條件分配並非常態分配，無法直接藉由 Gibbs Sampling 抽出滿足限制條件的參數樣本。然而，我們還是能藉由常態分配與指標函數的數值相乘，得到機率密度的數值。因此我們針對𝜷抽樣時，可以仿照 O’Donnell and Coelli (2005)，使用 Metropolis-Hasting，該方法下，我們抽出的𝜷樣本帄均也將收斂到𝜷條件分配的. 治政大 Within Gibbs 。 Metropolis-Hasting 抽樣方法，故可稱為 Metropolis-Hasting 立. 母體帄均。由於我們只針對 Gibbs sampling 中難以抽樣的某條件分配，採用 6. ‧ 國. 學. 3. 貝氏方法在射線距離函數的設定. ‧. al. er. io. sit. y. Nat. (1) 射線距離函數下的先驗分配. v. n. 貝氏方法在射線距離函數與在方向距離函數的設定形式是類似的。參考 (61). Ch. engchi. i n U;1. 式，模型中的待估參數為𝛂、𝜎𝜀2 、𝜖𝑖𝑡 與其高階參數𝜆𝜖 。𝛂的先驗分配設定為 𝑝(𝛂) ∝ 𝐼(𝛂 ∈ 𝑅𝑗𝜶 ). (93). 其中𝐼(˙)為1 或 0 的指標函數；𝑅𝑗𝜶 為能滿足單調性與曲度限制的𝜶集合，j=0 為無限制，j=1 則需同時滿足單調性與曲度限制。. 為了驗後分配推導方便，以𝑕𝜀 = 𝑝(𝑕𝜀 ) ∝. 6. 1 𝜎𝜀2. 作𝜎𝜀2 的替換變數，𝑕𝜀 的先驗分配設定為. 1. (94). 𝑕𝜀. 可參考 Patrick Breheny，http://web.as.uky.edu/statistics/users/pbreheny/701/S13/notes/2-28.pdf. 29.

(37) 𝜖𝑖𝑡 的先驗分配設定為指數分配 ;1 𝑝(𝜖𝑖𝑡 |𝜆;1 𝜖 ) = 𝐸𝑥𝑝(𝜖𝑖𝑡 |𝜆𝜖 ). (95). 指數分配之參數𝜆;1 𝜖 先驗分配，同樣設定為指數分配 ;1 ∗ 𝑝(𝜆;1 𝜖 ) = 𝐸𝑥𝑝(𝜆𝜖 | − ln(𝜌𝜖 )). (96). 𝜌𝜖∗ 為資料期間內對技術效率值的先驗認知，採用 Feng and Serletis (2014)同樣的設定，設𝜌𝜖∗ = 0.83。同時嘗詴設定不同的𝜌𝜖∗，結果顯示在不同𝜌𝜖∗ 下對於參數估計是穩健的。. 治政大 (2) 射線距離函數下的驗後分配立 ‧ 國. 學. 如果誤差項𝜺假設為常態分配，可推導出概似函數為. (−𝑙𝑛𝑦𝑖𝑡 − 𝒘′ 𝒊𝒕 𝛂 − 𝜖𝑖𝑡 )2 19 ∝. 𝒗𝜺 ′𝒗𝜺 -. y. 2. 2. n. er. io. 其中𝒗𝜺 = (−ln𝒚 − 𝒘′ 𝛂 − 𝝐)。. al. Ch. (97). sit. 𝑕𝜀. 𝑕𝜀. Nat. 𝐾𝑇. 𝑕𝜀 2 𝑒𝑥𝑝,−. 2𝜋. × 𝑒𝑥𝑝 0−. ‧. 𝑕𝜀. 𝐾 𝑇 𝐿(−𝑙𝑛𝒚|𝛂, 𝑕𝜀 , 𝝐, 𝜆;1 𝜖 ) = ∏𝑖<1 ∏𝑡<1 8√. engchi. i n U. v. 結合概似函數與各參數的先驗分配，可得驗後分配 𝑓(𝛂, 𝑕𝜀 , 𝝐, 𝜆;1 𝜖 | − 𝑙𝑛𝒚) ∝ 𝑕𝜀. 𝐾𝑇 𝑕𝜀 2 ;1 exp,−. 2. 𝒗𝜺 ′𝒗𝜺 - 𝐼(𝛂 ∈ 𝑅𝑗𝜶 ). 𝑇 ;1 ;1 ∗ ;1 × ∏𝐾 𝑖<1 ∏𝑡<1,𝜆𝜖 𝑒𝑥𝑝(−𝜆𝜖 𝜖𝑖𝑡 )- × 𝑒𝑥𝑝(ln(𝜌𝜖 )𝜆𝜖 ). (98). 由於無法直接從高維度的驗後分配中抽取參數樣本，因此同樣利用先前提到的 Gibbs sampling，從各參數的條件分配中分別抽樣。. 30.

(38) (3) 射線距離函數下的條件分配. 各參數的條件分配分別為 𝜶 ;1 ;1 𝑝(𝛂| − 𝑙𝑛𝒚, 𝑕𝜀 , 𝝐, 𝜆;1 𝜖 ) ∝ 𝑓𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 (𝛂|𝒃𝛂 , 𝑕𝜀 (𝒘𝒘′) ) 𝐼(𝛂 ∈ 𝑅𝑗 ). 𝑝(𝑕𝜀 | − 𝑙𝑛𝒚, 𝛂, 𝝐, 𝜆;1 𝜖 ) ∝ 𝑓𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 (𝑕𝜀 |. 𝐾𝑇 1 2. , 𝒗𝜺 ′𝒗𝜺 ). (99) (100). 2. ′ ;1 ;1 𝑝(𝝐| − 𝑙𝑛𝒚, 𝛂, 𝑕𝜀 , 𝜆;1 𝜖 ) ∝ 𝑓𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 (𝝐| − 𝑙𝑛𝒚 − 𝒘 𝛂 − (𝑕𝜀 𝜆𝜀 ) 𝜾𝑲𝑻 , 𝑕𝜀 𝐈𝐊𝐓 ) 𝑇 × ∏𝐾 𝑖<1 ∏𝑡<1 𝐼(𝜖𝑖𝑡 ≥ 0). (101). ;1 ′ ∗ 𝑝(𝜆;1 𝜖 | − 𝑙𝑛𝒚, 𝛂, 𝑕𝜀 , 𝝐) ∝ 𝑓𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 (𝜆𝜖 |𝐾𝑇 + 1, 𝝐 𝜾𝑲𝑻 − ln(𝜌 )). (102). 政治大. 其中𝒃𝛂 = (𝒘𝒘′);1 𝒘,−𝑙𝑛𝒚 − 𝝐-，𝐈𝐊𝐓 為KT × 𝐾𝑇的單位矩陣，𝜾𝑲𝑻 為由 1 組成的. 立. KT × 1向量。. ‧ 國. 學. 𝑕𝜀 與𝜆;1 𝜖 為從伽瑪分配中抽樣，而𝝐是從截斷常態分配中抽樣。𝛂的抽樣較麻. ‧. 煩，由於指標函數的存在，使得該條件分配並非常態分配，無法直接藉由 Gibbs. sit. y. Nat. sampling 抽出滿足限制條件的參數樣本。因此仿照在方向距離函數模型下的做法，. n. al. er. io. 如同(89)式使用 Metropolis-Hasting。. Ch. engchi. 31. i n U. v.

(39) 第四節環境變數. 1. 環境變數模型. 在先前方向距離函數的模型設定中，假設𝑢𝑖𝑡 ~𝐸𝑥𝑝(𝜆;1 )，對於所有𝑢𝑖𝑡 的都給定相同的先驗分配參數𝜆;1 。然而，先驗分配參數的設定也會影響後續的參數估計，因為驗後分配與先驗分配有關。此先驗資訊的設定意味著不同年度與不同國家下，其無效率值服從相同的分配與相同參數。然而無效率值直觀上應隨著國. 政治大. 家不同而有所差異，因此較合理的方法應是假設先驗分配之參數隨著時間與國家. 立. 不同而不同，意即𝑢𝑖𝑡 ~𝐸𝑥𝑝(𝜆;1 𝑖𝑡 )。而𝜆;1 𝑖𝑡 將透過外生的環境變數進行配適，進. ‧ 國. 學. 而更準確地給定其先驗分配的參數。同理，在射線距離函數中假設𝜖𝑖𝑡 ~𝐸𝑥𝑝(𝜆;1 𝜖 𝑖𝑡 )，. ‧. 也將由環境變數對於𝜆;1 𝜖 𝑖𝑡 進行配適。. y. Nat. al. n. 𝑢𝑖𝑡 ~𝐸𝑥𝑝(𝜆;1 𝑖𝑡 ). i n U. 𝜆;1 𝑖𝑡 = 𝜃1 𝑧1𝑖𝑡 𝜃2 𝑧2𝑖𝑡 𝜃3 𝑧3𝑖𝑡 𝜃4 𝑧4𝑖𝑡. Ch. engchi. er. io. 為𝑧1𝑖𝑡 , 𝑧2𝑖𝑡 , 𝑧3𝑖𝑡 , 𝑧4𝑖𝑡 ，在方向距離函數模型下的設定為. sit. 我們參考 Koop et al. (1997) 選擇環境變數模型，選取 4 個外生環境變數，表. v. (103). 其中𝜃1 , 𝜃2 , 𝜃3 , 𝜃4 為四個環境變數分別對應之待估係數。在射線距離函數模型下的設定為 𝜖𝑖𝑡 ~𝐸𝑥𝑝(𝜆;1 𝜖 𝑖𝑡 ). 𝑧1𝑖𝑡 𝜆;1 ω2 𝑧2𝑖𝑡 ω3 𝑧3𝑖𝑡 ω4 𝑧4𝑖𝑡 𝜖 𝑖𝑡 = ω1. (104). 其中ω1 , ω2 , ω3 , ω4 為四個環境變數分別對應之待估係數。. Koop et al. (1997) 提到若環境變數為連續變數，則無法藉由 Gibbs sampling 推導出條件分配，導致從驗後分配抽樣的困難度增加。我們因此參考 Koop et al. (1997)，同樣選擇將環境變數設定為 4 種類別的指標變數，並且不含截距項，使得𝜃1 , 𝜃2 , 𝜃3 , 𝜃4 與ω1 , ω2 , ω3 , ω4 可直接解釋為各類別無效率項的參數。. 32.

(40) 𝑧1𝑖𝑡 =. 𝑧2𝑖𝑡 =. 𝑧3𝑖𝑡 =. 𝑧4𝑖𝑡 =. 1, 若資料屬於類別 1. (105). 0, 若資料屬其他類別 1, 若資料屬於類別 2. (106). 0, 若資料屬其他類別 1, 若資料屬於類別 3. (107). 0, 若資料屬其他類別 1, 若資料屬於類別 4. (108). 0, 若資料屬其他類別. 政治大. 因此在方向距離函數下，無效率項之指數分配參數可整理為. 立. θ1 , 若資料屬於類別 1 𝑖𝑡. =. 學. 𝜆. θ2 , 若資料屬於類別 2. ‧ 國. ;1. θ3 , 若資料屬於類別 3 θ4 , 若資料屬於類別 4. ‧. 而在射線距離函數下為. y. ω2 , 若資料屬於類別 2. io. ω1 , 若資料屬於類別 1. sit. Nat. ω3 , 若資料屬於類別 3. n. al. er. 𝜆;1 𝜖 𝑖𝑡 =. ω4 , 若資料屬於類別 4 故. (109). Ch. engchi. i n U. (110). v. Exp(θ1 ), 若資料屬於類別 1 Exp(θ2 ), 若資料屬於類別 2 𝑢𝑖𝑡 ~ Exp(θ3 ), 若資料屬於類別 3. (111). Exp(θ4 ), 若資料屬於類別 4 Exp(ω1 ), 若資料屬於類別 1 Exp(ω2 ), 若資料屬於類別 2 𝜖𝑖𝑡 ~ Exp(ω3 ), 若資料屬於類別 3. (112). Exp(ω4 ), 若資料屬於類別 4. 33.

(41) 由於指數分配的帄均數為參數之倒數，因此若所估計的參數𝜃1 , 𝜃2 , 𝜃3 , 𝜃4 (或 ω1 , ω2 , ω3 , ω4 )越小，意味著𝑢𝑖𝑡 (或𝜖𝑖𝑡 )先驗分配的帄均無效率值越大。. 2. 加入環境變數之先驗分配. (1) 方向距離函數加入環境變數後，無效率項的先驗分配可重新寫為 𝜆;1 𝑖𝑡 = 𝜃1 𝑧1𝑖𝑡 𝜃2 𝑧2𝑖𝑡 𝜃3 𝑧3𝑖𝑡 𝜃4 𝑧4𝑖𝑡. 𝑝(𝑢𝑖𝑡 |𝜆;1 𝑖𝑡 ) = 𝐸𝑥𝑝(𝑢𝑖𝑡 |𝜆;1 𝑖𝑡 ),. 𝜆;1 𝑖𝑡. (113). 政治大僅為過渡的變數，因此需要給定的是𝜃 , 𝜃 , 𝜃 , 𝜃 先驗分配。由於沒有各立 1. 2. 3. 4. ‧ 國. 學. 類別下𝜃1 , 𝜃2 , 𝜃3 , 𝜃4 的先驗資訊，因此我們對於𝜃1 , 𝜃2 , 𝜃3 , 𝜃4 將給定相同的分配與相同的高階參數，表為. ‧. 𝑝(𝜃𝑛 ) = 𝐸𝑥𝑝(𝜃𝑛 |𝜌∗ ). 𝑛 = 1, … ,4. sit. y. Nat. n. al. er. io. 高階參數𝜌∗ 的設定請參考(86)式，4 個類別都相同。而𝜷與h = 不變，如(83)與(84)式。. (114). Ch. engchi. i n U. 1 𝜎2. 之先驗分配. v. (2) 射線距離函數加入環境變數後，無效率項的先驗分配可寫為 ;1 𝑝(𝜖𝑖𝑡 |𝜆;1 𝜖 𝑖𝑡 ) = 𝐸𝑥𝑝(𝜖𝑖𝑡 |𝜆𝜖 𝑖𝑡 ),. 𝑧1𝑖𝑡 𝜆;1 ω2 𝑧2𝑖𝑡 ω3 𝑧3𝑖𝑡 ω4 𝑧4𝑖𝑡 𝜖 𝑖𝑡 = ω1. (115). 接下來，需要給定ω1 , ω2 , ω3 , ω4 先驗分配。由於沒有各類別下ω1 , ω2 , ω3 , ω4 的先驗資訊，因此我們對於ω1 , ω2 , ω3 , ω4 也給定相同的分配與相同的高階參數，表為 𝑝(ω𝑛 ) = 𝐸𝑥𝑝(ω𝑛 |− 𝑙𝑛(𝜌𝜖∗ )). 𝑛 = 1, … ,4. 34. (116).