射線距離函數模型

為了與方向距離函數比較，參考O’Donnell and Coelli (2005)，本文另估計產 出面射線距離函數，以下簡稱射線距離函數。射線距離函數定義為 O’Donnell and Coelli (2005) 與 Feng and Serletis (2014) 等。我們同樣設定為超越 對數的形式，其優點在於具有相當的伸縮性，且易於滿足(52)式的一階齊次性，

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其中𝒘′為(61)式等號右方所有解釋變數 (包含截距項) 所構成的𝐾𝑇 × 10矩陣。𝜶 則為與其對應之10 × 1參數向量。其餘−ln𝒚, 𝝐, 𝜺都為𝐾𝑇 × 1向量。

2. 限制條件

參考O’Donnell and Coelli (2005) 與 Feng and Serletis (2014)，根據射線產出 距離函數的單調性，其對產出y為非遞減且對投入𝑥₁, 𝑥₂為非遞增，意即

𝜕𝐷(𝑦,𝑥,𝑡)

𝜕𝑦 ≥ 0、^{𝜕𝐷(𝑦,𝑥,𝑡)}

𝜕𝑥₁ ≤ 0 與 ^{𝜕𝐷(𝑦,𝑥,𝑡)}

𝜕𝑥₂ ≤ 0。由(53)式，針對y, 𝑥₁, 𝑥₂取偏導數後代 入(56)-(60)式，可將單調性限制整理為(詳如附錄 3)

𝑓₁ = 𝛼₂+ 𝛼₆𝑙𝑛𝑥₁+ 𝛼₉𝑙𝑛𝑦 + 𝛼₁₂𝑙𝑛𝑥₂+ 𝛼₁₃ ≤ 0 (63) 𝑓₂ = 𝛼₃+ 𝛼₇𝑙𝑛𝑥₂+ 𝛼₁₀𝑙𝑛𝑦 + 𝛼₁₂𝑙𝑛𝑥₁+ 𝛼₁₄𝑡 ≤ 0 (64)

產出距離函數對產出具有击性，若且唯若D(y, x, t)對於y的海森矩陣所有主子 式 (principal minor) 非負；另外，產出距離函數對投入具有準击性，充分條件為 D(y, x, t)對於𝒙的鑲邊海森矩陣 (bordered Hessian matrix) 其所有鑲邊主子式 (bordered principal minors) 為負，推導詳如附錄 4。準击性限制條件可整理為

2𝛼₁₂𝑓₁𝑓₂− (𝛼₆ − 𝑓₁)𝑓₂² − (𝛼₇− 𝑓₂)𝑓₁² < 0 (65)

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參考 Feng and Serletis (2014)，射線距離函數模型的技術進步率定義為

−𝜕𝑙𝑛𝐷(𝑦,𝑥,𝑡)

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第三節 貝氏方法

1. 貝氏方法的介紹

(1) 架構

貝氏方法的架構，是由概似函數 (likelihood function) 乘上各參數的先驗分 配，得到聯合驗後分配 (joint posterior distribution) (以下簡稱為驗後分配)，再根 據驗後分配對各參數進行統計量的計算。其主要的特色在於先驗資訊的加入，使 得參數估計中能帶有一些人為或已知的成分。應用在估計成本或距離函數時，最 主要的優點是可以將單調性與曲度這些不等號限制條件，加諸於目標函數，由此 估計得到的迴歸係數值，保證符合上述不等號限制條件。此外，貝氏方法將無效 率項𝑢_𝑖𝑡視為隨機參數，由於加入先驗資訊 (先驗分配)，使得所有𝑢_𝑖𝑡可進行點估 計與區間估計。相較之下，傳統的 MLE 法則是以條件帄均數 (conditional mean) 估計無效率值。

(2) 貝氏抽樣方法

待估參數的統計量是由驗後分配所決定，然而驗後分配可能是複雜的高維度 分配，不易由積分得到各參數之邊際分配 (marginal distribution)。因此，需要模 擬出複雜的驗後分配，從中重複抽取足夠多數的參數樣本，並以這些樣本估計參 數的統計量。而馬可夫鏈蒙地卡羅法(Markov chain Monte Carlo, MCMC)，即為 模擬高維度的複雜分配而使用的抽樣方法。其中有兩種方法最為常見，即 Gibbs sampling 與 Metropolis-Hasting。

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Gibbs sampling 的概念是，由驗後分配中推導各參數的條件分配後，對各參 數的條件分配進行抽樣。而各參數抽取後的樣本帄均數，將會收斂至驗後分配中 該參數的母體帄均值。此方法的關鍵在於需要推導出各參數的條件分配，因此驗 後分配的型態很重要。由於驗後分配是由概似函數與先驗分配相乘，因此可透過 先驗分配妥當的設定，間接地讓條件分配有著易於數學推導的型態。

相較於 Gibbs sampling，Metropolis-Hasting 法不需要知道條件分配的型態，

僅需能夠計算出某兩組參數樣本下，驗後分配的機率密度比值即可。其精神在於 每次的抽樣，是根據前一次的參數樣本進行跳躍。設給定的參數向量為𝛚_𝒕，接 著以𝛚_𝒕為中心，從某固定的提議分配 (proposal distribution) 中隨機抽樣，通常 是選擇多維度常態分配 (multivariate normal distribution)，從中抽出下一組參數樣 本𝛚_𝒕:𝟏。令𝑗(𝝎)為某參數樣本下所計算的驗後分配機率密度函數，而

𝑞(𝝎_𝒕:𝟏|𝝎_𝒕)為從𝛚_𝒕跳躍至𝛚_𝒕:𝟏之多維度常態分配機率密度。跳躍成功的機率稱 為接受率(acceptance rate)，以 r 表示，則𝑟 = 𝑚𝑖𝑛 *1,^{𝑗(𝝎𝒕+𝟏)𝑞(𝝎𝒕|𝝎𝒕+𝟏)}

𝑗(𝝎_𝒕)𝑞(𝝎_𝒕+𝟏|𝝎_𝒕) +。若成功跳 躍，則下個樣本即為𝛚_𝒕:𝟏，反之則停留在同樣的樣本𝛚_𝒕。以此規則不斷抽取參 數樣本，各參數的樣本帄均數會收斂至驗後分配的母體帄均。此方法的優點在於 不需要推導出條件分配，因此使用上較沒有限制，也能適用到更複雜的分配，譬 如考慮限制條件的情況。相對的，此法的缺點在於抽取的參數樣本依賴於上一組 的參數樣本，參數樣本間容易有較高的自我相關 (autocorrelation) 問題，導致模 型收斂速度較慢³。

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可參考 Patrick Breheny 所提供的教學資料，

http://web.as.uky.edu/statistics/users/pbreheny/701/S13/notes/2-28.pdf

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(3) 貝氏區間估計

貝氏方法下的區間估計是透過可信區間 (credible interval) 的建立。在傳統 統計學中的信賴區間屬於隨機區間，假設母體參數為固定且未知。然而貝氏方法 的可信區間相反，為加入先驗資訊下建構出來的固定區間，但母體參數為隨機變 數。因此兩者的解釋方式不同，可信區間解釋為母體參數位於此區間的機率。然 而，不管是傳統的信賴區間或是可信區間，意義上都是為了對參數進行區間估 計。

貝氏假設母體參數為隨機變數，因此我們可以用蒙地卡羅法所抽出的參數樣 本取得樣本帄均數與標準差，計算出 95%的可信區間。最常用來決定區間上下分 位數的方法有兩種，同尾 (equal-tail) 與最高驗後密度 (highest posterior density, HPD)。同尾可信區間意即 95%機率下，上下尾各為 2.5%之面積。由於面積對稱 因此較為簡易，也較常被使用；最高密度可信區間是找出能使區間寬度極小化的 上下分位數，其特色為上下分位數所計算的機率密度相等，意即這區間所包含的 可能值都有著最高的驗後機率密度。然而在非對稱驗後機率密度的情況下，其上 下尾的面積不同，實際使用時計算上下分位數較複雜。由於前者簡便與直觀，後 續的實證分析，本文採用之。

(4) 貝氏模型診斷

參考 Flegal(2008)⁴，根據馬可夫鏈中央極限定理，若𝑔̅_𝑛為樣本帄均數，𝐸_𝜋𝑔為 母體參數之期望值，則

√𝑛(𝑔̅_𝑛 − 𝐸_𝜋𝑔)→ 𝑁(0, 𝜎^𝑑 _𝑔²) (80)

4

為 James Marshall Flegal 於 2008 年所寫的文章，請參考

http://www.faculty.ucr.edu/~jflegal/Final_Thesis_twosided.pdf

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由於𝜎_𝑔²未知，需用樣本統計量 𝜎̂_𝑔²估計得到。𝜎̂_𝑔²的計算，可藉由群組帄均 (batch means)。設總抽樣次數為n = ab，分成 a 群，每群有 b 個樣本 (通常令a = b = √𝑛)。

各群組帄均可表示為 𝑌̅_𝑗 =¹

𝑏∑^𝑗𝑏𝑖<(𝑗;1)𝑏:1𝑥_𝑖 j = 1, … , a (81) 𝜎̂_𝑔² = ^𝑏

𝑎;1∑^𝑎_𝑗<1(𝑌̅_𝑗− 𝑔̅_𝑛)² (82) 蒙地卡羅誤差 (Monte Carlo standard error, MC error)定義為^𝜎̂𝑔

√𝑛，來自於蒙地卡羅 抽樣時，以樣本帄均數估計母體帄均數所造成的誤差，相當於統計學中估計值之 標準誤。

貝氏估計方法下，檢測估計值收斂與否，常見的診斷方法如 Geweke、Gelman and Rubins 等。然而，如Fernández et al. (2000) 提到，方向距離函數加入參數 限制條件時，由於不能證明參數的母體帄均數與標準差等統計量存在，故這些診 斷方法不能夠直接應用。我們轉而參考後續 Lin and Lan (2010)⁵ 所使用的比較簡 易判斷方法，即利用蒙地卡羅誤差，若某參數之蒙地卡羅誤差小於 5%的樣本標 準差，即將該參數估計值視為收斂。

2. 貝氏方法在方向距離函數的設定

(1) 方向距離函數下的先驗分配

貝氏方法涉及到先驗資訊的給定，參考 (19) 式，模型中的待估參數為𝜷、𝜎²、 𝑢_𝑖𝑡與其高階參數𝜆^;1。參考 Feng and Serletis (2014)，𝜷的先驗分配設定為

𝑝(𝜷) ∝ 𝐼(𝜷 ∈ 𝑅_𝑗^𝜷) (83)

5

可參考 Erwin T. J. Lin and Lawrence W. Lan, ―Measuring Firm-specific Efficiencies with Bayesian

Stochastic Distance Function‖，於 2010 年之研討會論文。

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其中𝐼(˙)為1 或 0 的指標函數；𝑅_𝑗^𝜷為能滿足單調性與曲度限制的𝜷集合，j=0 為無 限制，j=1 則需同時滿足單調性與曲度限制。

為了驗後分配的推導方便，以𝑕 = ¹

𝜎²作𝜎²的替換變數，𝑕的先驗分配設定為 𝑝(𝑕) ∝ ¹

𝑕 (84) 其中𝑕 = ¹

𝜎²> 0，此設定與 O’Donnell and Coelli (2005) 與 Feng and Serletis (2014) 相同，屬於無資訊先驗分配 (non-informative prior)，可以簡化後續 h 之條件分配 的推導過程。

𝑢_𝑖𝑡的先驗分配設定為指數分配

𝑝(𝑢_𝑖𝑡|𝜆^;1) = 𝐸𝑥𝑝(𝑢_𝑖𝑡|𝜆^;1) (85) 根據 Broeck et al. (1994)，指數分配對於先驗分配的選取是較穩健的。另一優點 為簡化條件分配的推導，因此我們同樣選擇指數分配。

(85)式需要給定其分配之參數𝜆^;1先驗分配，設定為指數分配

𝑝(𝜆^;1) = 𝐸𝑥𝑝(𝜆^;1|𝜌^∗) (86) 以方向距離函數而言，𝜌^∗為資料期間內對無效率值的先驗認知。在無限制模型，

由於沒有帄均無效率值的資訊，採用 Feng and Serletis (2014)同樣的方法，設 𝜌^∗ = 50% × 𝑦̅，同時嘗詴設定不同的𝜌^∗，作為穩健性 (robustness) 檢查。Feng and Serletis (2014) 的實證結果，確認給定不同高階參數𝜌^∗，參數估計值具有穩健性。

在我們後續的實證分析中，結果也是如此。而在有限制模型，設定𝜌^∗為無限制模 型且無環境變數下所估計的無效率值中位數。

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參考 Feng and Serletis (2014)，將驗後分配積分，可得各參數的條件分配，

分別為

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𝑕與𝜆^;1的隨機抽樣，相當於分別從 (90) 與 (92) 式的伽瑪分配 (Gamma distribution) 中抽取。而𝒖的抽樣，相當於從 (91) 式的截斷常態分配 (truncated normal distribution) 中抽取。抽樣𝜷的 (89) 式則較為麻煩，由於出現指標函數，

該條件分配並非常態分配，無法直接藉由 Gibbs Sampling 抽出滿足限制條件的參 數樣本。然而，我們還是能藉由常態分配與指標函數的數值相乘，得到機率密度 的數值。因此我們針對𝜷抽樣時，可以仿照 O’Donnell and Coelli (2005)，使用 Metropolis-Hasting，該方法下，我們抽出的𝜷樣本帄均也將收斂到𝜷條件分配的 母體帄均。由於我們只針對 Gibbs sampling 中難以抽樣的某條件分配，採用 Metropolis-Hasting 抽樣方法，故可稱為 Metropolis-Hasting Within Gibbs⁶。

3. 貝氏方法在射線距離函數的設定

(1) 射線距離函數下的先驗分配

貝氏方法在射線距離函數與在方向距離函數的設定形式是類似的。參考 (61) 式，模型中的待估參數為𝛂、𝜎_𝜀²、𝜖_𝑖𝑡與其高階參數𝜆_𝜖^;1。𝛂的先驗分配設定為 𝑝(𝛂) ∝ 𝐼(𝛂 ∈ 𝑅_𝑗^𝜶) (93) 其中𝐼(˙)為1 或 0 的指標函數；𝑅_𝑗^𝜶為能滿足單調性與曲度限制的𝜶集合，j=0 為無 限制，j=1 則需同時滿足單調性與曲度限制。

為了驗後分配推導方便，以𝑕_𝜀 = ¹

𝜎_𝜀²作𝜎_𝜀²的替換變數，𝑕_𝜀的先驗分配設定為 𝑝(𝑕_𝜀) ∝ ¹

𝑕_𝜀 (94)

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可參考 Patrick Breheny，http://web.as.uky.edu/statistics/users/pbreheny/701/S13/notes/2-28.pdf

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𝜖_𝑖𝑡的先驗分配設定為指數分配

𝑝(𝜖_𝑖𝑡|𝜆_𝜖^;1) = 𝐸𝑥𝑝(𝜖_𝑖𝑡|𝜆^;1_𝜖 ) (95)

指數分配之參數𝜆_𝜖^;1先驗分配，同樣設定為指數分配

𝑝(𝜆_𝜖^;1) = 𝐸𝑥𝑝(𝜆_𝜖^;1| − ln (𝜌_𝜖^∗)) (96) 𝜌_𝜖^∗為資料期間內對技術效率值的先驗認知，採用 Feng and Serletis (2014)同樣的設 定，設𝜌_𝜖^∗ = 0.83。同時嘗詴設定不同的𝜌_𝜖^∗，結果顯示在不同𝜌_𝜖^∗下對於參數估計是 穩健的。

(2) 射線距離函數下的驗後分配

如果誤差項𝜺假設為常態分配，可推導出概似函數為 𝐿(−𝑙𝑛𝒚|𝛂, 𝑕_𝜀, 𝝐, 𝜆_𝜖^;1) = ∏ ∏ 8√^𝑕𝜀

2𝜋× 𝑒𝑥𝑝 0−^𝑕𝜀

2 (−𝑙𝑛𝑦_𝑖𝑡− 𝒘^′_𝒊𝒕𝛂 − 𝜖_𝑖𝑡)²19

𝑇𝑡<1

𝐾𝑖<1 ∝

𝑕_𝜀^𝐾𝑇2 𝑒𝑥𝑝 ,−^𝑕𝜀

2 𝒗_𝜺′𝒗_𝜺- (97) 其中𝒗_𝜺= (−ln𝒚 − 𝒘^′𝛂 − 𝝐)。

結合概似函數與各參數的先驗分配，可得驗後分配 𝑓(𝛂, 𝑕_𝜀, 𝝐, 𝜆_𝜖^;1| − 𝑙𝑛𝒚) ∝ 𝑕_𝜀^{𝐾𝑇2 ;1}exp ,−𝑕_𝜀

2 𝒗_𝜺′𝒗_𝜺- 𝐼(𝛂 ∈ 𝑅_𝑗^𝜶)

× ∏^𝐾_𝑖<1∏^𝑇_𝑡<1,𝜆^;1_𝜖 𝑒𝑥𝑝(−𝜆_𝜖^;1𝜖_𝑖𝑡)-× 𝑒𝑥𝑝 (ln (𝜌_𝜖^∗)𝜆_𝜖^;1) (98) 由於無法直接從高維度的驗後分配中抽取參數樣本，因此同樣利用先前提到的 Gibbs sampling，從各參數的條件分配中分別抽樣。

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(3) 射線距離函數下的條件分配

各參數的條件分配分別為

𝑝(𝛂| − 𝑙𝑛𝒚, 𝑕_𝜀, 𝝐, 𝜆_𝜖^;1) ∝ 𝑓_{𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙}(𝛂|𝒃_𝛂, 𝑕_𝜀^;1(𝒘𝒘′)^;1) 𝐼(𝛂 ∈ 𝑅_𝑗^𝜶) (99) 𝑝(𝑕_𝜀| − 𝑙𝑛𝒚, 𝛂, 𝝐, 𝜆_𝜖^;1) ∝ 𝑓_{𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎}(𝑕_𝜀|^𝐾𝑇

2 ,¹

2𝒗_𝜺′𝒗_𝜺) (100) 𝑝(𝝐| − 𝑙𝑛𝒚, 𝛂, 𝑕_𝜀, 𝜆_𝜖^;1) ∝ 𝑓_{𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙}(𝝐| − 𝑙𝑛𝒚 − 𝒘^′𝛂 − (𝑕_𝜀𝜆_𝜀)^;1𝜾_𝑲𝑻, 𝑕_𝜀^;1𝐈_𝐊𝐓)

× ∏^𝐾_𝑖<1∏^𝑇_𝑡<1𝐼(𝜖_𝑖𝑡 ≥ 0) (101) 𝑝(𝜆_𝜖^;1| − 𝑙𝑛𝒚, 𝛂, 𝑕_𝜀, 𝝐) ∝ 𝑓_{𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎}(𝜆_𝜖^;1|𝐾𝑇 + 1, 𝝐^′𝜾_𝑲𝑻− ln (𝜌^∗)) (102) 其中𝒃_𝛂 = (𝒘𝒘′)^;1𝒘,−𝑙𝑛𝒚 − 𝝐-，𝐈_𝐊𝐓為KT × 𝐾𝑇的單位矩陣，𝜾_𝑲𝑻為由 1 組成的 KT × 1向量。

𝑕_𝜀與𝜆_𝜖^;1為從伽瑪分配中抽樣，而𝝐是從截斷常態分配中抽樣。𝛂的抽樣較麻 煩，由於指標函數的存在，使得該條件分配並非常態分配，無法直接藉由 Gibbs sampling 抽出滿足限制條件的參數樣本。因此仿照在方向距離函數模型下的做法，

如同(89)式使用 Metropolis-Hasting。

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第四節 環境變數

1. 環境變數模型

在先前方向距離函數的模型設定中，假設𝑢_𝑖𝑡~𝐸𝑥𝑝(𝜆^;1)，對於所有𝑢_𝑖𝑡的都 給定相同的先驗分配參數𝜆^;1。然而，先驗分配參數的設定也會影響後續的參數

在先前方向距離函數的模型設定中，假設𝑢_𝑖𝑡~𝐸𝑥𝑝(𝜆^;1)，對於所有𝑢_𝑖𝑡的都 給定相同的先驗分配參數𝜆^;1。然而，先驗分配參數的設定也會影響後續的參數

在文檔中 運用貝氏方法估計方向距離函數─考慮環境變數、單調性與曲度限制下之效率分析 - 政大學術集成 (頁 25-89)