3-1 迴歸模式理論
本研究的區域為南海海域，其為一個複雜的海域，早期黃大山 (1995)利用 去除-回復法理論，以快速傅立葉轉換及其逆轉換來求得水深。Arabelos and
Tziavos (1998)以 Least Squares Collocation (LSC)預估水深，其中 LSC 為一種迴歸 模式，因為 LSC 協變方矩陣是利用全球引力位模式推導而得，所以在物理大地 上有其特殊的含義。鄭詠升 (2012)利用重力地質密度法求得東海海域水深。此 三種計算水深的演算法，皆須考慮地質密度的影響，若假設平均水深及岩石密度 為單一值(即海水與岩石的質密度差1.64gcm3)，對於要精確求得南海海域海底 地形是有問題的，尤其在水深梯度變化劇烈地方，其推估之水深值精度較差。為 了克服地球物理參數對水深精度的影響，本研究將以數學統計理論為基礎，利用 已知重力異常模型與水深模型作為先驗的知識並找出兩者之間空間的關係。海洋 重力異常與海底地形有著高度相關性(Watts et al., 1976；Smith and Sandwell,
1992)，如何找出海洋重力與海底地形之數學關係為本研究之重點，而迴歸模式 主要為研究變數與另一變數之間的數學關係之理論，本研究藉由迴歸模式理論配 合去除-回復法來求得南海水深，其迴歸模式理論推導如下(Koch, 1999)：
假設γu1為未知向量(水深值)，已知γ的期望值 E(γ)μγ、 的協變方矩陣
)
(
D 。yn1為觀測向量(重力值)，已知y的期望值E(y)μy、y的協變方矩 陣D(y)Σyy。未知向量與觀測向量y的協變方矩陣C(,y)Σγy。
利 用dCTy 估 計bTˆ ， 滿 足 最 小 二 乘 無 偏 估 計 (Best Linear Unbiased Estimator, BLUE)，所以滿足下列兩條件:
) E(
)
E(dCTy bTγ (3-1)
min
)
V(d CTy bTγ (3-2)
其中E與V 分別為期望值與變方運算子。
由式 3-1 可得:
γ T y
Tμ b μ
C
d (3-3)
式 3-2 結合式 3-3 得目標函數φ ：
) (
2
2 T yγ T γγ T y T γ
yy
TΣ C C Σ b b Σ b K C μ d b μ
C
T
φ (3-4)
其中d、C與K為未知
0
由式 3-9 與 3-10 可得:
Σ b Σ
C yy1 yγ (3-11)
由式 3-7 可得:
0 2
2
2
γ T y
Tμ d b μ
K C
φ (3-12)
由式 3-11 與 3-12 可得:
bTμγ bT γy yy1μy
d (3-13)
將式 3-11 與 3-13 代入bTγˆ dCTy可得。
μ ) Σ (y
Σ μ ) γ
(ˆ γ yγ yy1 y (3-14)
由式 3-14 可推廣得到本研究之公式：
其中Δb 為殘餘水深值、res CΔbΔg為殘餘水深-殘餘重力異常協變方矩陣、CΔgΔg為 殘餘重力異常-殘餘重力異常之協變方矩陣、C 為重力異常之誤差矩陣、nn Δg 為res 殘餘重力異常。
3-2 迴歸模式理論計算流程
迴歸模式主要是求得式 3-15 中CΔbΔg為殘餘水深-殘餘重力異常協變方矩 陣、CΔgΔg為殘餘重力異常-殘餘重力異常之協變方矩陣。本文就計算協變方矩陣
分為兩部分探討，第一部分為依據三個不同範圍，其水深變化程度不同，比較三 個實驗區(圖 3-1)各自建立CΔgΔg與CΔbΔg來計算水深模型並於第五章討論。第二部 分討論使用兩種不同水深參考場建立不同的CΔbΔg並計算水深，以實驗區一作為 例子，將其計算結果於第五章進行討論。
圖 3-1 三個實驗區於南海分佈圖，綠色框為實驗區一；
紅色框為實驗區二；黃色框為實驗區三
3-2-1 不同水深範圍擬合協變方矩陣
本研究試圖了解不同水深範圍建立之協變方矩陣對於計算水深模型影響，因 此考量南海海域其地形特性，進而選擇三個不同水深範圍作為實驗區，表 3-1 為 三個實驗區經緯度範圍，從圖 3-1 可得知實驗區一水深範圍約 2000 公尺至 4000 公尺(水深梯度變化大)，實驗區二水深範圍 2000 公尺以下(淺海區)，實驗區三水 深範圍 4000 公尺至 6000 公尺(深海區)。
表 3-1 實驗區經緯度範圍
經度範圍 緯度範圍
實驗區一 111oE112oE 11oN12oN 實驗區二 114oE115oE 15oN16oN 實驗區三 119oE120oE 13oN14oN
計算CΔgΔg方法為實驗區域中，重力異常模型(Case 5)扣除重力異常參考模型
EGM2008(球諧展開至 720 階)作為實驗區中殘餘重力異常模型，殘餘重力異常模 型為規則網格，計算每個網格點之間的球面距離()、殘餘重力與殘餘重力之乘 積(gresgres)，將球面距離分為 20 等分，當球面距離0o，計算殘餘重力與 殘餘重力之乘積(gresgres)平均值、當球面距離0o 0.05o時，計算殘餘重 力與殘餘重力之乘積(gresgres)平均值，以此計算至以此計算至0.9o 時，
殘餘重力與殘餘重力之乘積平均值。因為高斯函數為正定函數，因此利用高斯函 數擬合，高斯函數如式 3-16。
計算CΔbΔg之方法為實驗區中，重力異常模型(Case 5)扣除 EGM2008(球諧展 開至 720 階)之殘餘重力異常、水深模型以 Sandwell V16.1 水深模型為例，將水 深模型 Sandwell V16.1 扣除 Sandwell V16.1(高斯濾波半徑 30 公里)之殘餘水深模 型。計算每個網格點之球面距離()、殘餘重力與殘餘水深的乘積(gresbres)， 同Cgg之計算方式，將球面距離()分為 20 份，計算每一等份之殘餘重力與殘
餘水深的乘積(gresbres)平均，並利用高斯函數擬合。表 3-2 為三個實驗區以
EGM2008(球諧展開至 720 階)為重力參考場與 Sandwell V16.1(高斯濾波半徑 30 公里)為水深參考場經高斯函數擬合之係數。圖 3-2(a)~(f)分別為三個實驗區以高 斯函數擬合CΔgΔg、CΔbΔg圖，其中 X 軸為球面距離()，Y 軸分別為殘餘重力-殘餘重力的乘積平均與殘餘重力-殘餘水深的乘積平均。
2 0
0)
(
) 0
( c
b x
e a x f
(3-16)
其中a 、0 b 、0 c 為係數。 0
表 3-2 三個實驗區經高斯函數擬合後之係數
協變方矩陣 a0* b (度) 0 c (度) 0 實驗區一 CΔgΔg 66.48 -0.01442 0.0869
CΔbΔg 483.4 -0.01535 0.07027 實驗區二 CΔgΔg 290.9 0.004805 0.07981
CΔbΔg 2085 0.006479 0.07063 實驗區三 CΔgΔg 153.5 -0.002483 0.08671
CΔbΔg 952.4 -0.007101 0.08123
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
圖 3-2(a) 球面距離與殘餘重力-殘餘重力之乘積關係圖(實驗區一)；(b) 球面距離 與殘餘重力及殘餘水深之乘積關係圖(實驗區一)；(c) 球面距離與殘餘重力-殘餘 重力之乘積關係圖(實驗區二)；(d) 球面距離與殘餘重力及殘餘水深之乘積關係 圖(實驗區二)；(e) 球面距離與殘餘重力-殘餘重力之乘積關係圖(實驗區三)；(f)
得到CΔgΔg、CΔbΔg後，可以求得研究區殘餘水深Δb ，利用 3-17 式計算研究區res 之水深模型
ref res b Δb
b (3-17)
其中b為研究區水深，Δb 為研究區殘餘水深，res bref為研究區參考水深。參考水 深為 Sandwell V16.1 水深模型經高斯濾波後模型(濾波半徑 30 公里)。
3-2-2 不同水深參考場擬合殘餘水深-殘餘重力協變方矩陣
本小節選擇實驗區一進行不同水深參考場的 比較， 使用重力參考場為 EGM2008(球諧展開至 720 階)，水深參考場分別為以 GGM 計算之水深模型(高斯 濾波半徑 30 公里)與 Sandwell V16.1(高斯濾波半徑 30 公里)。計算CΔgΔg、CΔbΔg方 法與上述相同，表 3-3 為不同水深參考場以高斯函數擬合CΔgΔg、CΔbΔg之係數。
圖 3-3(a)、(b)分別為不同水深參考場以高斯函數擬合CΔbΔg圖，其中 X 軸為球面 距離()，Y 軸殘餘重力-殘餘水深的乘積平均。圖 3-4(a)~(c)分別為研究區殘餘 重力異常Δg 、研究區殘餘水深res Δb 。 res
表 3-3 實驗區一經高斯函數擬合後之係數
參考場 a0* b (度) 0 c (度) 0
CΔgΔg EGM2008 (球諧展開至 720 階)
66.48 -0.01442 0.0869
CΔbΔg GGM
(高斯濾波半徑 30 公里)
676 -0.04445 0.08399
CΔbΔg Sandwell V16.1 (高斯濾波半徑 30 公里)
483.4 -0.01535 0.07027
* 擬合Cgg時a 單位為0 mgal ；擬合2 Cbg時a 單位為0 mmgal
(a) (b)
圖 3-3(a) 球面距離與殘餘重力及殘餘水深之乘積關係圖(水深參考場為 GGM 法 計算之水深模型)；(b) 球面距離與殘餘重力及殘餘水深之乘積關係圖(水深參考
(a) (b)
(c)
圖 3-4(a) 研究區殘餘重力異常圖；(b) 研究區殘餘水深圖 (水深參考場為 GGM 法計算之水深模型)；(c) 研究區殘餘水深圖
(水深參考場為 Sandwell V16.1 水深模型)