第四章 結果與討論
4.1.2 以逆熱傳方法分析 12 吋矽晶圓在快速熱製程中的熱均勻性
用上面所描述的數值分析方法於典型的12吋(厚度為775µm)矽圓片。周圍溫度為
T =27a oC(300K)，均勻入射熱通量為q( tr, )=20W/cm2下模擬，論證初始溫度T =270 oC(300K)，
經過20秒後到達穩定狀況1097oC(1370K)。假設在過程中構成強度模式，且晶片本身沒有再 重複吸收[37、46]。此溫度期間，晶片的中心溫度與溫昇率利用有限差分法來計算，如圖
4-6(a)和圖4-6(b)所示。因為沒有熱損失，也沒有任何最初的補償強度被需要，因此所有的 吸收能量被用來增加晶片的溫度。但是晶圓的吸收率和放射率隨溫度而變化，初始時，溫 度由800到1700K時其值為0.3至0.68 (參見圖2-2)，於400oC附近，在溫度範圍為600到800K，
吸收率和放射率急劇的增加；使得晶圓在這個溫度時，在能量吸收方面更有效。這樣，在 這個溫昇期間對溫度的提升更為迅速。因為吸收的能量增加所以溫度增加，熱損失也增加 了，且為補償一部分吸收能的消耗，溫昇率逐漸減少了。在穩定狀態期間，所有吸收能消 耗彌補熱損失 [37]。
一般地，在快速熱製程期間晶片中心位置的溫度被監控。在製程中當我們希望的均勻 溫度軌跡，可以採用數值計算的晶圓中心溫度的曲線，如圖4-6所示。因為我們使用精確的 計算有限差分法來產生溫度軌跡，可推測溫度的測量將包含誤差。隨機測量的誤差[60]：
ωσ θ
+= n
Y1n 1 (4-2) 在這裡下標 1 是在這個晶片中心的空間座標柵格數，而上標
n
是代表時間座標的柵格數。θ
1n是精確的計算溫度，Y1n是測量的溫度，σ 是測量錯誤的標準誤差而和ω 是隨機數目。ω 的 值是使用這個 IMSL 次程式 DRNNOR 計算並且選擇涵蓋的範圍為–2.576<ω <2.576，這表 示往測量的溫度有 99%的信心。當為σ =0.001 和σ =0.005 的情況時，本研究中，其各自類
比了量測溫度為
θ
1n± 0.7728oC 和θ
1n± 3.864oC。我們設置
n n p n p n
n
Y Y Y Y
Y
2=
3= L = =
+1=
1 (4-3) 如同在快速熱製程期間熱均勻性的需要，因為我們使用逆熱傳方法去描述上述我們已知的 溫度分佈θ
in並且評估在晶片上的入射熱通量ϕ
in的曲線。在決定熱均勻性的入射熱通量曲線 之後，晶片的徑向溫度分佈，再次使用這節所描述的有限差分法計算，以比較理想均勻的溫度分佈和逆向方法的結果。藉由逆向方法計算在晶片中心的溫度軌跡及溫昇率，量測誤 差σ =0.0 意謂精準，而σ =0.001 和σ =0.005 分別顯示在圖 4-6。從這些圖我們可以看出產 生於量測之誤差的評估誤差合理。測量誤差越大其評估的結果精確度越小。當σ =0.0 時，
透過這樣的逆向熱傳方法其估計的結果有很好的精確度。
圖4-7顯示，應用逆向方式，在量測誤差σ =0.0，計算入射熱通量曲線的三維圖。發現
只有晶片邊緣的附近需要熱補償。這個與Perkins等人的報告結果相似[46]。在過程中，當晶 片溫度增加時，邊緣加熱補償隨之增加，因為晶片的邊緣，藉由溫度四次方的關係和放射
率，增加了熱損失。當到達穩定狀態，邊緣的加熱補償也為常數。圖4-8顯示，藉由逆向方 法計算，量測誤差分別為σ =0.0、σ =0.001和σ =0.005之入射熱通量曲線，僅在σ =0.0時有
邊緣加熱補償，如圖4-8(a)。然而，在過程中，量測誤差會影響這個給定的溫度軌跡，在圖 4-8(b)和4-8(c)中其σ =0.001和σ =0.005，在RTP系統中必須以量測誤差動態地控制入射熱通
量曲線以保持熱均勻性。如果沒有一個比晶片更冷的邊緣，應用均勻的熱通量曲線於一個 晶片的頂部或者底部的表面，就可以達到熱均勻性。由於這個較冷的邊緣，為了晶圓的熱
均勻性，需附加能量於此邊緣，如圖4-8顯示。
圖4-9(a)顯示，應用逆向方式，量測誤差σ =0.0，計算晶片在過程中溫度分佈的三維圖。
圖4-9(b)顯示，應用逆向方式，量測誤差σ =0.0，計算晶片中心在過程中之熱非均勻性的溫
度差異。初始時，熱在這個晶片的邊緣產生的變形很小。當晶片的溫度增加，這個邊緣附 近的熱非均勻性隨時間而增加。但是，藉由入射熱通量的控制，可減少這個熱非均勻性，
並使晶片在較高的穩定溫度1097oC時，回到原始的熱均勻性。在圖4-6和圖4-2中比較均勻熱 通量的例子，我們看到從25oC到 0.132oC最大的熱變形減少。圖4-10(a)-(c)顯示量測誤差分
別為σ =0.0、 σ =0.001和 σ =0.005其晶片上的位置和晶片中心之間的溫度差異。在圖 4-10(a)σ =0.0中，能夠看出在這個晶片的邊緣，首先產生溫度差異，並且在20秒的時間(靠
近穩定狀態)，這個晶片，回到原來的熱均勻性被證實了。在圖4-10(b)和圖4-10(c)中，所有 表面均產生熱非均勻性而不是從邊緣。然而，最大的溫度差異發生在這個晶片的邊緣。圖
4-11顯示，在過程中，晶片上的位置和晶片中心之間的溫度差異。從這些圖我們可以發現 熱非均勻性隨著增加測量誤差而增加，雖然量測誤差確實到達了3.864oC(在例子σ =0.005 中)，但是藉由逆向方法計算，控制晶片上的入射熱通量，晶片上的均勻性可保持在0.3oC 下。在快速熱製程期間藉由目前的方法，產生動態入射熱通量的結果顯示，能有效地達到 熱均勻性。
藉由熱均勻性的逆向方法，計算研究4吋(厚度為600µm)、6吋(厚度為675µm)和8吋(厚 度為725µm)矽晶片的動態入射熱通量。圖4-12顯示量測誤差分別為σ =0.0、σ =0.001、
σ =0.003和σ =0.0005，對於這些晶片從晶片中心的最大溫度差異之絕對值。當量測誤差為 σ =0.0005時分別在4吋、6吋、8吋和12吋矽晶片的最大溫度差異為0.618、0.776、 0.981和
0.326oC。最大的溫度差異0.981oC在8吋矽晶片發生，而12吋矽晶片有最小的溫度差異。在 量測誤差的瞬間時期，晶片中心的最大溫度差異保持在1oC以下。如圖4-12顯示，當σ =0.0 時，在我們的研究中4吋、6吋、8吋和12吋矽晶片的最大溫度差異分別為0.184、0.385、0.655
和0.132oC。