估測基礎矩陣

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2.2 估測基礎矩陣

Xavier 和 Joaquim[18]於 2003 年曾提出並且整理過去一些估測基礎矩陣的方 法，在整理的 19 種方法中，又可以分為三大類，分別是線性方法(linear method)(圖 2.2 中 1~4)、疊代法(iterative methods)(圖 2.2 中 5~11)和強健式方法(robust methods)(圖 2.2 中 12~19)，作者將 19 種方法實作後，用現實拍攝的影像進行實 驗，結果顯示，線性方法在對應點準確率高的情況下，實驗結果是誤差小且正確 率高。疊代法可以處理一些有高斯雜訊(gaussian noise)的情況，但是對於錯誤資 料太多的狀況下處理是相當沒有效率的。強健式方法可以同時處理高斯雜訊和存 在錯誤對應點的情況，因此在本研究會選一種強健式估測基礎矩陣的方法當作比 較範例，在第五章實驗結果時會有討論與分析。

圖 2.2：19 種估測方法時間比較，圖像取自[18]

過去有許多學者持續以強健式方法為基礎進行研究，Zhang[19]於 1997 提出 一篇強健式參數估測用於圓錐體近似，由於大部份電腦視覺的問題常常會遇到雜 訊資料干擾影響估測結果，所以 Zhang 模擬圓錐體近似實驗，並且分佈資料點可

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所以 Zhang 使用了參數估測中的最小平方法(least-squares)和最小平方中值法希 望可以過濾掉錯誤資料，我們將在第三章描述其相關技術，並且在第四章以粒子 群最佳化演算法加入解題，因為圓錐體可以在二維平面上繪圖出來，所以我們先 觀察演算法用在解類似問題下是否適合，進而使用在估測基礎矩陣實驗。

圖 2.3：圓錐體近似問題示意圖

鄒慎財[3]提出強健式估測基礎矩陣之研究，利用強健式估測方法，如最小 平方中值法和隨機抽樣(RANdom SAmple Consensus, RANSAC)演算法進行估測，

其中要使用最小平方中值法時，要注意錯誤資料需要佔全部可取樣點數的 50% 法，並且以線性近似(Line Fitting)和估測基礎矩陣為實驗範例，分析錯誤資料佔 全部資料在不同的百分比之下，使用何種強健式方法可以得到最好的解，最後結 合不同的強健式方法，再改善實驗結果，提供未來繼續研究的空間。

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賴岳宏[7][8]提出利用演化式計算做最佳化之研究，引用田口方法(taguchi method)[14]和演化式演算法中的基因演算法(genetic algorithms)[9]估測基礎矩陣，

利用模擬大自然的基因交配，留下最適合適應環境的方式，在隨機取樣的問題中，

可以透過複製、交配和突變來求取最佳解，估測出好的基礎矩陣，在實驗中，雖 然可以找到較佳的基礎矩陣，但是演化速度相當費時，較不符和計算成本。

本研究除了以粒子群最佳化演算法估測基礎矩陣外，也結合強健式方法中的 最小平方中值法內幾個步驟，另外獨立實作最小平方中值法作為比較，我們將在 第五章列出實驗結果，並且討論與分析。

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C rand GbestX X

     

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3.3 最小平方法

在有兩點或是多點的二維座標系中，我們要找到一組(a,b)集合解，在線性近 似問題中(如圖 3.3)，求出一條最逼近、誤差值最小的直線方程式(如式 3.4)，最 小平方法是一個好的解題方法。

y  ax  b

(3.4)

圖 3.3：線性近似問題範例圖

由於每個座標點並不在我們近似的直線上，因此每個點皆可以代入式 3.4，

計算出來一組殘餘誤差值 r(如式 3.5)。為了避免統計誤差時正負值會抵消，所以 採用誤差平方和為最小(min

 r

_i^2)。

i i i

r  ax   b y

(3.5)

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3.4 最小平方中值法

是一種強健式估測方法，由於錯誤資料是無法避免並且常常會佔有一定的比 例，因此當我們使用最小平方中值法時，希望可以有效率的過濾掉錯誤資料。在 計算的過程中，會產生最小平方中值表格，我們將所有的誤差值經過排序後，捨 棄誤差值較大的 50%資料，保留前 50%的值，希望讓平均值以上的資料可以繼 續被留下來應用，進行後續的實驗，如圖 3.4 所示。

圖 3.4：最小平方中值法示意圖

我們採用最小平方中值法，並且應用在計算一組粒子個體的評估值，當我們 估測出一組結果時，可以將原先所有資料代入計算，這時每組資料都會有一組殘 餘誤差值(如 3.3 小節中式 3.5)，接著我們會將誤差值由小到大排序，並且取中位 數，當作我們的評估值，這表示我們相信前面 50%的資料，後續實驗會以這樣的 做法來取評估值。

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Hartley 的書中曾提過八點演算法(式 3.9)，即表示有八組對應點座標時，即 可以計算出一組基礎矩陣，在第一章時我們曾介紹極限幾何關係(圖 1.1)，接著

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要估測出基礎矩陣，需要求解 3.11 聯立方程式，只要有八組對應點，就可 以有一組答案，但我們主要問題在於估測出來的基礎矩陣要是好的。倘若基礎矩 陣解出來不好，在後續找密集對應點的過程中會產生錯誤，我們該如何使用粒子 群最佳化演算法幫助初始隨機取樣後的結果呢，將在第四章時會說明。

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第四章

以粒子群最佳化演算法估測基礎矩陣

本章第一小節介紹兩個基礎實驗，分別是粒子群最佳化演算法應用於二維平面和 圓錐近似兩個實驗，透過模擬的實驗，我們可以更清楚演算法的流程和運作，第 二小節是估測基礎矩陣的研究方法與流程，會詳細說明每個步驟和設計的想法，

實驗結果將在第五章。

4.1 模擬基礎實驗

4.1.1 平面中粒子群最佳化

本實驗將在平面中模擬粒子群最佳化演算法，由於三維以上的空間我們很難 想像，因此我們用一個最簡單的例子，如圖 4.1，是一個二維平面找尋最佳解的 問題，我們將最佳解的目標假定在平面裡其中一個座標點位置，並且在限制位置 大小的範圍隨機分佈粒子個體，最終我們希望初始分散的所有粒子個體，可以逼 近至我們假定的最佳解目標，以及達到停止條件制訂的門檻值，實驗流程可以參 考圖 3.1。

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圖 4.1：二維平面問題示意圖

初始化

同 3.1 小節，在本實驗我們將維度設為二維，因為這是在平面中模擬的實驗，

位置向量的範圍即是二維的範圍，速度向量範圍會依據可移動的位置向量範圍做 調整。

計算評估值

同 3.1 小節，在平面實驗中，我們制訂了一個公式用來計算評估值 f，如 式 4.1。在這個模擬實驗我們假定最佳解是知道的，目的是為了觀察粒子個體 的移動。



^{i x}



²



^{i y}



²

f  X  Goal  Y  Goal

(4.1)

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比較過去經驗、更新

和 3.1 小節皆相同。

疊代速度、檢查速度向量、疊代位置、檢查位置向量

因為在平面中搜尋範圍是有限制的，我們必須控制粒子個體的移動範圍、速 度向量，舉例來說，假設是 1000x1000 的搜尋空間，粒子個體在疊代步驟計算後，

位置向量很有可能超過我們預設的搜尋空間，因此我們這邊多了一個判斷的步驟 來確保粒子特體會存在範圍內。

其中速度向量在二維實驗中若有調整時，可再細分為兩種，速度向量正規化 和速度向量未正規化，表 1 是速度向量正規化演算法，第五章列出實驗結果實我 們會比較兩種做法的實驗結果，以及適合使用的時機。

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影像上特徵點在第二張影像上的對應點，由這個對應點，和極線計算距離誤差，

同理，將第二張影像上的特徵點，經由同樣的方法，也可以在第一張相片上畫出 極線，由對應在第一張影像上的點進行計算距離誤差，若是同一組對應點時，可 以取平均值當作最後的一組誤差，當我們統計的點數越多時，越可以清楚知道我 們估測基礎矩陣的好壞。圖 4.3 是計算誤差的示意圖，計算公式如式 4.6。

2 2

( , ) ax by c d m L

a b

 

 

(4.6)

m 為對應點的座標，L 為 m 在另外一張相片畫出的極線方程式

ax by    c 0

， 公式帶入後求出的 d 值即為誤差值。

圖 4.4：計算基礎矩陣誤差示意圖

‧

fitness 值的制訂如式子 4.1，每次實驗我們會列出初始分佈和結束時的數據表格，

並列出每經過 100 次疊代後粒子移動後的圖形。

‧

值為 0.657727。其餘粒子我們也將記錄初始 fitness 值，實驗停止條件為所有粒 子的 fitness 值皆要小於 0.1，實驗即停止，同時我們也記錄了初始 Gbest 和實驗

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粒子 18 392.376 0.93267 粒子 19 495.773 0.172525 粒子 20 844.203 0.894932 Gbest 103.793 0.172525

平均值 555.49 0.631088

標準差 226.697 0.211664

疊代次數 526

在圖 5.1(a)中，是實驗初始 20 個粒子的分佈圖，我們採取了影像處理的座標 模式，將 X 座標置於圖的上方，Y 座標維持在圖的左方，可以看出，初始的隨 機分佈在圖中相當分散。

(a)

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經過 100 次疊代計算後，可以看出 20 個粒子已經漸漸收斂至我們假定的最 佳座標點，但是因為尚未達到實驗停止條件，因此實驗繼續進行，在 200 次疊代 計算後，其實粒子群變動的幅度已經不明顯，都收斂在最佳座標點附近，直到最 後實驗停止條件達成後，我們將實驗停止，並且列出最後結果。

(b)

(c)

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(d)

(e)

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(f)

(g)

圖 5.1：速度未正規化第一次實驗 (a)初始分佈 (b)疊代 100 次後 (c)疊代 200 次 後 (d)疊代 300 次後 (e)疊代 400 次後 (f)疊代 500 次後 (g) 實驗停止

‧

Gbest 149.632 0.106686 平均值 507.419 0.608242 標準差 193.873 0.269995

疊代次數 345

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(a)

(b)

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(c)

(d)

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粒子 14 648.885 0.276665 粒子 15 342.906 0.575668 粒子 16 317.728 0.928936 粒子 17 849.757 0.600338 粒子 18 828.211 0.687454 粒子 19 642.811 0.854468 粒子 20 644.612 0.321167 Gbest 164.403 0.035626 平均值 510.881 0.684448 標準差 191.859 0.261441

疊代次數 430

(a)

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(b)

(c)

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(d)

(e)

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(f)

圖 5.3：速度未正規化第三次實驗 (a)初始分佈 (b)疊代 100 次後 (c)疊代 200 次 後 (d)疊代 300 次後 (e)疊代 400 次後 (f)實驗停止

平均疊代次數：433.67

5.1.2 速度經過正規化

在速度經過正規化的實驗中，我們同樣列出三次實驗結果，實驗數據放在表 6、7、8，初始化採取隨機分佈 20 組粒子，以表 6 為例，粒子 1 初始 fitness 值 經過計算為 103.793，經過 526 次疊代計算後，停止的 fitness 值為 442.915。其 餘粒子我們也將記錄初始 fitness 值，實驗停止條件為所有粒子的 fitness 值皆要 小於 0.1，實驗即停止，同時我們也記錄了初始 Gbest 和實驗停止後的 Gbest，受 限於篇幅，我們無法列出所有座標點的詳細(x,y)座標，但可由圖 5.4~圖 5.6 看出 實驗進行的過程，可以看出，平均花費的疊代次數減少。

‧

Gbest 27.3446 0.266683 平均值 503.867 0.646745 標準差 239.743 0.224104

疊代次數 172

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(a)

(b)

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粒子 16 678.823 0.097698 粒子 17 512.375 0.811489 粒子 18 241.005 0.927598 粒子 19 519.15 0.4073 粒子 20 233.833 0.907129

Gbest 58.9923 0.097698 平均值 484.576 0.567664 標準差 205.052 0.267629

疊代次數 180

(a)

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(b)

(c)

圖 5.5：速度正規化第二次實驗 (a)初始分佈 (b)疊代 100 次後 (c)實驗停止

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Gbest 192.907 0.203654 平均值 560.994 0.634178 標準差 196.626 0.209261

疊代次數 247

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(a)

(b)

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(c)

(d)

圖 5.6：速度正規化第三次實驗 (a)初始分佈 (b)疊代 100 次後 (c)疊代 200 次後 (d) 實驗停止

平均疊代次數：199.67

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(a)

(b)

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convergence Particle Gbest



  

(5.1)

其中 Particlei表示第幾個粒子個體，N 表示第幾個點編號，c 表示我們計算 出的收斂值，接著我們將收斂值 convergence 值調整後，有以下的幾次實驗。

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convergence 值<12.25

(a)

(b)

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(c)

圖 5.8：convergence 值<12.25 為停止條件(a)第一次(b)第二次(c)第三次 實驗結果

convergence 值<9.8

(a)

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(b)

(c)

圖 5.9：convergence 值<9.8 為停止條件(a)第一次(b)第二次(c)第三次 實驗結果

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convergence 值<7.35

\

(a)

(b)

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(c)

圖 5.10：convergence 值<7.35 為停止條件(a)第一次(b)第二次(c)第三次 實驗結果

convergence 值<6.12

(a)

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(b)

圖 5.11：convergence 值<6.12 為停止條件(a)第一次(b)第二次 實驗結果

圖 5.11：convergence 值<6.12 為停止條件(a)第一次(b)第二次 實驗結果

在文檔中 粒子群最佳化演算法於估測基礎矩陣之應用 - 政大學術集成 (頁 18-0)