第一章 緒論
1.5 論文章節架構
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粒子群最佳化演算化是由 J.Kennedy 和 R.Eberhart 於 1995 年提出一套演化 式計算的演算法，此方法是一種基於個體、群體、群集並且結合人工智慧以解決
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區域性最佳解(Local best solution，或稱 Personal best，簡稱 Pbest)，全部粒子群 體會有全域性最佳解(Global best solution，或稱 Global best，簡稱 Gbest)，上述 這些數值會不斷經過數學式子計算，不斷尋找到粒子個體中區域最佳解、群體中 全域性最佳解，且根據這兩個過去經驗以求得最佳解，我們將在第三章時介紹整 個演算法流程，並說明上述幾個參數是如何推演。
過去國內外有許多學者研究粒子群最佳化演算法，並且有各種不同的應用，
尹邦嚴等人[1]提出粒子族群最佳化的視覺化及開發工具，利用程式語言將演算 法可以視覺化的展示，讓使用者可以清楚了解粒子群最佳化的演化過程，並且可 以顯示在圖片上，如圖 2.1 所示。
圖 2.1：演算法經過三次演化後的路徑圖，圖像取自[1]
蔡元介等人[5]提出建立一個以 PSO 求解多點最佳路徑的行動地理資訊系統，
藉由網路服務(web services)技術，透過呼叫遠端伺服器的演算法來進行複雜的地 圖路徑計算，以求得最佳路徑；蔡賢量[6]等人提出基於粒子族群最佳化之不完 全資料處理，應用在知識發掘(knowledge discovery)的研究，透過演算法處理不 完全資料的問題，並且延伸至後續應用在中文文字處理[2]。
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2.2 估測基礎矩陣
Xavier 和 Joaquim[18]於 2003 年曾提出並且整理過去一些估測基礎矩陣的方 法，在整理的 19 種方法中，又可以分為三大類，分別是線性方法(linear method)(圖 2.2 中 1~4)、疊代法(iterative methods)(圖 2.2 中 5~11)和強健式方法(robust methods)(圖 2.2 中 12~19)，作者將 19 種方法實作後，用現實拍攝的影像進行實 驗，結果顯示，線性方法在對應點準確率高的情況下，實驗結果是誤差小且正確 率高。疊代法可以處理一些有高斯雜訊(gaussian noise)的情況，但是對於錯誤資 料太多的狀況下處理是相當沒有效率的。強健式方法可以同時處理高斯雜訊和存 在錯誤對應點的情況，因此在本研究會選一種強健式估測基礎矩陣的方法當作比 較範例，在第五章實驗結果時會有討論與分析。
圖 2.2：19 種估測方法時間比較，圖像取自[18]
過去有許多學者持續以強健式方法為基礎進行研究，Zhang[19]於 1997 提出 一篇強健式參數估測用於圓錐體近似，由於大部份電腦視覺的問題常常會遇到雜 訊資料干擾影響估測結果，所以 Zhang 模擬圓錐體近似實驗，並且分佈資料點可
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所以 Zhang 使用了參數估測中的最小平方法(least-squares)和最小平方中值法希 望可以過濾掉錯誤資料，我們將在第三章描述其相關技術，並且在第四章以粒子 群最佳化演算法加入解題，因為圓錐體可以在二維平面上繪圖出來，所以我們先 觀察演算法用在解類似問題下是否適合，進而使用在估測基礎矩陣實驗。
圖 2.3：圓錐體近似問題示意圖
鄒慎財[3]提出強健式估測基礎矩陣之研究，利用強健式估測方法，如最小 平方中值法和隨機抽樣(RANdom SAmple Consensus, RANSAC)演算法進行估測，
其中要使用最小平方中值法時，要注意錯誤資料需要佔全部可取樣點數的 50% 法，並且以線性近似(Line Fitting)和估測基礎矩陣為實驗範例，分析錯誤資料佔 全部資料在不同的百分比之下，使用何種強健式方法可以得到最好的解，最後結 合不同的強健式方法，再改善實驗結果，提供未來繼續研究的空間。
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賴岳宏[7][8]提出利用演化式計算做最佳化之研究，引用田口方法(taguchi method)[14]和演化式演算法中的基因演算法(genetic algorithms)[9]估測基礎矩陣，
利用模擬大自然的基因交配，留下最適合適應環境的方式，在隨機取樣的問題中，
可以透過複製、交配和突變來求取最佳解，估測出好的基礎矩陣，在實驗中，雖 然可以找到較佳的基礎矩陣，但是演化速度相當費時，較不符和計算成本。
本研究除了以粒子群最佳化演算法估測基礎矩陣外，也結合強健式方法中的 最小平方中值法內幾個步驟，另外獨立實作最小平方中值法作為比較，我們將在 第五章列出實驗結果，並且討論與分析。
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C rand GbestX X
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3.3 最小平方法
在有兩點或是多點的二維座標系中，我們要找到一組(a,b)集合解，在線性近 似問題中(如圖 3.3)，求出一條最逼近、誤差值最小的直線方程式(如式 3.4)，最 小平方法是一個好的解題方法。
y ax b
(3.4)圖 3.3：線性近似問題範例圖
由於每個座標點並不在我們近似的直線上，因此每個點皆可以代入式 3.4，
計算出來一組殘餘誤差值 r(如式 3.5)。為了避免統計誤差時正負值會抵消，所以 採用誤差平方和為最小(min
r
i2)。i i i
r ax b y
(3.5)‧
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3.4 最小平方中值法
是一種強健式估測方法，由於錯誤資料是無法避免並且常常會佔有一定的比 例，因此當我們使用最小平方中值法時，希望可以有效率的過濾掉錯誤資料。在 計算的過程中，會產生最小平方中值表格，我們將所有的誤差值經過排序後，捨 棄誤差值較大的 50%資料，保留前 50%的值，希望讓平均值以上的資料可以繼 續被留下來應用，進行後續的實驗，如圖 3.4 所示。
圖 3.4：最小平方中值法示意圖
我們採用最小平方中值法，並且應用在計算一組粒子個體的評估值，當我們 估測出一組結果時，可以將原先所有資料代入計算，這時每組資料都會有一組殘 餘誤差值(如 3.3 小節中式 3.5)，接著我們會將誤差值由小到大排序，並且取中位 數，當作我們的評估值，這表示我們相信前面 50%的資料，後續實驗會以這樣的 做法來取評估值。
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Hartley 的書中曾提過八點演算法(式 3.9)，即表示有八組對應點座標時，即 可以計算出一組基礎矩陣，在第一章時我們曾介紹極限幾何關係(圖 1.1)，接著
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要估測出基礎矩陣，需要求解 3.11 聯立方程式，只要有八組對應點，就可 以有一組答案，但我們主要問題在於估測出來的基礎矩陣要是好的。倘若基礎矩 陣解出來不好，在後續找密集對應點的過程中會產生錯誤，我們該如何使用粒子 群最佳化演算法幫助初始隨機取樣後的結果呢，將在第四章時會說明。
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第四章
以粒子群最佳化演算法估測基礎矩陣
本章第一小節介紹兩個基礎實驗，分別是粒子群最佳化演算法應用於二維平面和 圓錐近似兩個實驗，透過模擬的實驗，我們可以更清楚演算法的流程和運作，第 二小節是估測基礎矩陣的研究方法與流程，會詳細說明每個步驟和設計的想法，
實驗結果將在第五章。
4.1 模擬基礎實驗
4.1.1 平面中粒子群最佳化
本實驗將在平面中模擬粒子群最佳化演算法，由於三維以上的空間我們很難 想像，因此我們用一個最簡單的例子，如圖 4.1，是一個二維平面找尋最佳解的 問題，我們將最佳解的目標假定在平面裡其中一個座標點位置，並且在限制位置 大小的範圍隨機分佈粒子個體，最終我們希望初始分散的所有粒子個體，可以逼 近至我們假定的最佳解目標，以及達到停止條件制訂的門檻值，實驗流程可以參 考圖 3.1。
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圖 4.1：二維平面問題示意圖
初始化
同 3.1 小節，在本實驗我們將維度設為二維，因為這是在平面中模擬的實驗，
位置向量的範圍即是二維的範圍，速度向量範圍會依據可移動的位置向量範圍做 調整。
計算評估值
同 3.1 小節，在平面實驗中，我們制訂了一個公式用來計算評估值 f，如 式 4.1。在這個模擬實驗我們假定最佳解是知道的，目的是為了觀察粒子個體 的移動。
i x
2
i y
2f X Goal Y Goal
(4.1)‧ 國
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比較過去經驗、更新
和 3.1 小節皆相同。
疊代速度、檢查速度向量、疊代位置、檢查位置向量
因為在平面中搜尋範圍是有限制的，我們必須控制粒子個體的移動範圍、速 度向量，舉例來說，假設是 1000x1000 的搜尋空間，粒子個體在疊代步驟計算後，
位置向量很有可能超過我們預設的搜尋空間，因此我們這邊多了一個判斷的步驟 來確保粒子特體會存在範圍內。
其中速度向量在二維實驗中若有調整時，可再細分為兩種，速度向量正規化 和速度向量未正規化，表 1 是速度向量正規化演算法，第五章列出實驗結果實我 們會比較兩種做法的實驗結果，以及適合使用的時機。
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影像上特徵點在第二張影像上的對應點，由這個對應點，和極線計算距離誤差，
同理，將第二張影像上的特徵點，經由同樣的方法，也可以在第一張相片上畫出 極線，由對應在第一張影像上的點進行計算距離誤差，若是同一組對應點時，可 以取平均值當作最後的一組誤差，當我們統計的點數越多時，越可以清楚知道我 們估測基礎矩陣的好壞。圖 4.3 是計算誤差的示意圖，計算公式如式 4.6。
2 2
( , ) ax by c d m L
a b
(4.6)m 為對應點的座標，L 為 m 在另外一張相片畫出的極線方程式
ax by c 0
， 公式帶入後求出的 d 值即為誤差值。圖 4.4：計算基礎矩陣誤差示意圖
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fitness 值的制訂如式子 4.1，每次實驗我們會列出初始分佈和結束時的數據表格，
並列出每經過 100 次疊代後粒子移動後的圖形。
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值為 0.657727。其餘粒子我們也將記錄初始 fitness 值，實驗停止條件為所有粒 子的 fitness 值皆要小於 0.1，實驗即停止，同時我們也記錄了初始 Gbest 和實驗‧ 國
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粒子 18 392.376 0.93267 粒子 19 495.773 0.172525 粒子 20 844.203 0.894932 Gbest 103.793 0.172525
平均值 555.49 0.631088
標準差 226.697 0.211664
疊代次數 526
在圖 5.1(a)中，是實驗初始 20 個粒子的分佈圖，我們採取了影像處理的座標 模式，將 X 座標置於圖的上方，Y 座標維持在圖的左方，可以看出，初始的隨 機分佈在圖中相當分散。
(a)
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經過 100 次疊代計算後，可以看出 20 個粒子已經漸漸收斂至我們假定的最 佳座標點，但是因為尚未達到實驗停止條件，因此實驗繼續進行，在 200 次疊代 計算後，其實粒子群變動的幅度已經不明顯，都收斂在最佳座標點附近，直到最 後實驗停止條件達成後，我們將實驗停止，並且列出最後結果。
(b)
(c)
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(d)
(e)
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(f)
(g)
圖 5.1：速度未正規化第一次實驗 (a)初始分佈 (b)疊代 100 次後 (c)疊代 200 次 後 (d)疊代 300 次後 (e)疊代 400 次後 (f)疊代 500 次後 (g) 實驗停止