第三章 研究方法
3.2 修正動態維度搜尋法的原因與方法
因本研究主要應用 DDS 進行地下水模式之參數檢定，其中檢定 之主要對象為「淨補注量」，因此以下首先說明本研究之目標函數以及 地下水系統之設定，接著說明修正DDS 之原因以及方法。
本研究在地下水模式參數檢定問題之設定上的目標函數式與限 制式，說明如下：其中目標函數式為觀測水位與模擬水位之系統均方 根誤差(RMSE)，求解最小值(Minimum)問題，而待定參數則為各觀測 站之淨補注量。
目標函數式=RMSE=Min[1
𝑁∑𝑁𝑛=1((𝐻𝑛𝑜𝑏𝑠 − 𝐻𝑛𝑠𝑖𝑚(𝑄𝑠𝑖𝑚)))2]1/2
本研究在參數分區上，以觀測井為基礎，建立徐昇式分區，各分 區均有一口觀測井，分區內之淨補注量均為相同數值。式中𝐻𝑛𝑜𝑏𝑠為第 n 個參數分區內之觀測井之觀測水位，𝐻𝑛𝑠𝑖𝑚則為第n 個參數分區內之 觀測井位置處之模擬水位。N 為參數分區之總數；此目標函數式主要 目的為使各分區之檢定誤差最小，其中檢定誤差為一個參數分區的模 擬水位與觀測水位之絕對差值，如式(3-6)所示。
𝑒𝑛=abs(𝐻𝑛𝑠𝑖𝑚- 𝐻𝑛𝑜𝑏𝑠) (3-6)
而限制式的部分則是因應動態維度搜尋法上的需求，針對待定參 數也就是地下水模式中的淨補注量，以使用者自行設定待定參數上下 限的方式給定，其中最關鍵的是深層含水層假設沒有補注量，所以令 淨補注量均大於 0。
3.2.1 修正 DDS 之主要原因
DDS 的演算步驟如圖 3.2 所示，其中的第二步驟為「候選解選取」， 此步驟對於同一次迭代內的每個待定參數，其被選取的機率均為相等，
因為其選取待定參數進行更新的標準，主要以式(3-2)中的 P(i)作為基 準，系統在選取一個待定參數前，會隨機產生一變數，若此隨機變數 小於 P(i)，則選取此待定變數進行更新，因為每個待定變數選取與否 皆由隨機變數決定，因此每個待定變數被選取之機率皆相等。如此對 於檢定前期雖然影響不大，但到了檢定的中後期時，因為選取的個數 逐漸減少，且不一定保證選取檢定誤差較大之參數分區，故無法有效 降低目標函數值，導致其檢定後期之檢定效率大打折扣。
3.2.2 DDS 之修正方法
本研究修正 DDS 的方法主要包含待定參數之選取與待定參數修 正方向兩大部分，修正後之演算法本研究稱為修正型 DDS (Modified Dynamically Dimensioned Search，MDDS)。
(1)待定參數選取
本研究為了改善前述問題，增加檢定誤差較大之分區被選取之機 會，因此將 DDS 演算法進行修正，說明如下:
首先定義兩個參數，一是𝑒𝑛，二是𝑤𝑛。令𝑒𝑛為某一次迭代後各分 區的檢定水位絕對值誤差，也就是各分區的觀測水位與模擬水位的差 值取絕對值。再來是𝑤𝑛定義(如式3-7 所示)，𝑤𝑛是第n 個參數是否被 選取的機率門檻值，各分區皆為不同。目的是為了檢定水位誤差的較 大的分區有比較大的機率被選取；最後本研究將經過本小節修正後的 演算法，以「MDDS_W」代稱，其中 W(weighted)是權重的意義。
𝑤𝑛 = [(𝑒1+ 𝑒2+ ⋯ 𝑒𝑛)/ ∑ 𝑒𝑛] × 𝑁𝑃 (3-7)
P 是表示 3-2 式中原始演算法的機率門檻值為判斷該參數是否被更新 的依據。N 是表示所有待定參數的總數。
(2)待定參數修正方向
在 DDS 的演算步驟中(如圖 3-2)，第三步驟為「更新待定參數」， 主要式(3-3)進行待定參數更新，式中 N(0,1)為標準常態分布之亂數，
因此其修正方向亦為隨機。而本研究定義待定參數之修正量值與方向，
量值仍以式(3-3)決定，而修正方向則以分區之觀測水位與模擬水位進 行判斷，當某分區的檢定誤差為正時，亦即模擬水位高於觀測水位，
代表該分區蓄水量太多，所以其淨補注量的應減少，故其修正方向應 為負值，以使觀測水位趨近模擬水位，反之，則檢定誤差為負，亦即 模擬水位低於觀測水位，代表該分區蓄水量較少，故其淨補注量的應 增加，其修正方向應為正值。而該部分修正的以「MDDS_D」代稱，
其中D(direction)即是方向的意義。
3.2.3 兩階段檢定流程建立
動態維度搜尋法是利用隨著迭代次數的增加，逐漸減少選取參數 更新的個數，但檢定過程中的鄰近擾動參數保持不變，亦即其維持相 同的步伐進行解的搜尋，因此到了 DDS 之迭代後期，其目標函數之 改善幅度有限，因此其檢定結果仍有改善空間
本研究嘗試應用 MDDS 與 DDS 以兩階段進行參數檢定，在第一 階段以較大之鄰近擾動參數進行參數檢定，此部份則參考 DDS 之原 始設定，將其值設定為 0.2，以期在較少迭代次數內搜尋到不錯的解，
接著再以第一階段所求得各待定參數之解作為第二階段之初始解，並 以一較小之鄰近擾動參數進行求解，以精鍊(refine)各參數之求解結果，
此部份本研究則設定其值為0.01。兩階段檢定流程如圖 3-3 所示，此 部分以「MDDS_P」表示之，P(Parts)則是表示分部分的意義。最後所 有關於動態維度搜尋法的修正型態整理於表 3-1。附註說明，本研究 觀察 MDDS 檢定過程中目標函數值之改善速率，於此第一階段的最 大迭代次數設定為 100 至 500，而第二階段設定為第一階段的 9 倍(詳 見4.2 節的圖 4.2-4)。
圖 3-3 MDDS_P 之修正機制
表3-1 動態維度演算法所有修正型態之整理 不同修正之型態 修正說明
1.DDS 未修正 2.MDDS_W
(MDDS_Weighted) 僅修正檢定時選取待定參數的標準 3.MDDS_D
(MDDS_Direction) 僅修正待定參數更新的修正方向 4.MDDS
結合上述第 2 與 3 項之修正 5.MDDW_P
(MDDS_Parts) 以第4 項為基礎，分階段檢定之