發現這兩個都是與 √5 有關的同類方根，1
2 個 √5 減掉 25 個 √5 就是有 (1
2−2
5) 個√5，(1
2−2
5) 同時通分母後 (5
10− 4
10) = 1
10 。所 以合併後就是 1
10√5。
63
重點提問
1.請用自己的話解釋什麼是「同類方根」？
2. 連連看，將同類方根連在一起。
√2 √24 √5
2 3√7 √2
√12
‧
‧
‧
‧
‧
‧
‧
‧
‧
‧
3√3 √5 2√6 2√2 1
7√7 3. 請問根式的加法怎麼運算？
請用這個運算規則計算 2√5 + 5√2 − √5 − 3√2 。
4. 「4√8 + √3 − √2 + 2√3 − √5」
64
(1)上面根式當中，請問有幾類同類方根？
(2)計算上面根式，並將結果化為最簡根式。
C.隨堂練習
1.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。
(1) 3√3 + 2√3 (2) 6√6 − √6 (3) √7 + 3√7
65
2.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。
(1) 6√2 + 4√3 + √2 − 2√3 (2) 6√13 + 3√7 − 5 − 6√7 − √13
3.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。
(1) √27 − √24 (2) 2√75 + √108
4.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。
(1) √363 − 2√27 + 4√48 (2) √5 + √45 + √125 + √245
5.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。
66
(1) 2
√3+√3
2 (2) √8
9− √9
8
67
單元二：根式的運算
課文 D：根式的四則運算
接下來我們要來看根式的四則運算，既然是四則運算，當然有加減 跟乘除還有括號都存在。
我們先來看一下分配律的題目！
Ex1.計算 √3(√15 + √21)，並化為最簡根式。
解：
√3(√15 + √21) = √3 × √15 + √3 × √21 =
3√5 + 3√7
說明：這其實是分配律，括號中的 √15 跟 √21 其實共同擁有外面的 √3，我們將 √3 乘進去 √3(√15 + √21) =√3 × √15+
√3 ×
√21
我們可以用「集滿兩個換出去」，15 拆成 3 × 5、21 拆成 3 × 7
√3 × √15 + √3 × √21
所以 √3 × √15 = 3√5、√3 × √21 = 3√7，
答案就是 3√5 + 3√7。
68
Ex2.計算 (3√5 − 2)(4√5 + 3)，並化為最簡根式。
解：
(3√5 − 2)(4√5 + 3) =3√5 × 4√5
+ 3√5 × 3 − 2 × 4√5 − 2 × 3
= 60
+ 9√5 − 8√5 − 6
=54 + √5
說明：這是兩個根式乘以兩個根式，就是利用分配律分別相乘，
(3√5 − 2)(4√5 + 3)
第一個箭頭：3√5 × 4√5，外面乘外面3 × 4 = 12、裡面乘裡面
√5 × √5 = 5，所以第一個就是12 × 5 = 60。
第二個箭頭：3√5 × 3 = 9√5。
第三個箭頭：−2 × 4√5 = −8√5。
第四個箭頭：−2 × 3 = −6。
所以就是 60
+ 9√5 − 8√5 − 6 ，
同類方根可以合併，60 − 6 = 54、9√5 − 8√5 = √5，
因此 54 + √5 就是答案。
69
接下來我們來看一下跟乘法公式有關的題目！
Ex3.計算下列各式，並化為最簡根式。
(1) (3 − 2√7)2 (2) (2√5 + 3√2)2 (3) (√5 + 1)(√5 − 1)
解：
(1)
(3 − 2√7)2 = 32− 2 × 3 × 2√7 + (2√7)2
= 9 − 12√7 + 28 =
37 − 12√7
說明：這一小題其實就是利用差的平方公式：(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2− 2𝑎𝑏 + 𝑏2
把 (3 − 2√7)2 括號內的 3 當成 𝑎，2√7 當成 b 。 所以 (3 − 2√7)2 = 32− 2 × 3 × 2√7 + (2√7)2
( 𝑎 − 𝑏 )2 = 𝑎2− 2𝑎𝑏 + 𝑏2
= 9 − 12√7 + 28 = 37 − 12√7
70
(2)
(2√5 + 3√2)2 = (2√5)2+ 2 × 2√5 × 3√2 + (3√2)2
= 20 + 12√10 + 18 =
38 + 12√10
說明：這一小題其實就是利用和的平方公式：(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
把 (2√5 + 3√2)2 括號內的 2√5 當成 𝑎，3√2 當成 b 。 所以 (2√5 + 3√2)2 = (2√5)2+ 2 × 2√5 × 3√2 + (3√2)2
( 𝑎 + 𝑏 )2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
= 20 + 12√10 + 18 = 38 + 12√10
(3)
(√5 + 1)(√5 − 1) = √52− 12 = 5 − 1 =
4
說明：這一小題其實就是利用平方差公式：(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2 √5 當成 𝑎，1 當成 b 。
所以 (√5 + 1)(√5 − 1) = √52− 12
( 𝑎 + 𝑏 )( 𝑎 − 𝑏 ) = 𝑎2 − 𝑏2
= 5 − 1 = 4
71
看完一些根式的四則運算後，我們來看個奇怪分數： 2
√5:1。 請問一下這個奇怪的分數： 2
√5:1 是不是一個最簡根式？
當然不是啊！看它的分母：√5 + 1 ，含有根式，而且實際上它還可 以繼續化簡，化簡到分母不含有根式。
文本 B 當中有提到，當分母為一個 √𝑎 時，再乘一個 √𝑎 就會使得
「√𝑎 × √𝑎 = 𝑎」，分母的根式就會消除。
如果我們 2
√5:1 分子分母同乘以 √5 ，會發現 (√5 + 1) × √5 = 5 +
√5，分母一樣會有根式。
那該怎麼辦呢？
我們就利用平方差公式：(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2− 𝑏2 來解決這個問題。
分母是 (√5 + 1) ，就把它當成是 (𝑎 + 𝑏) ，那還需要乘以一個 (𝑎 − 𝑏) 來湊成平方差公式，也就是還需要乘以 (√5 − 1)。
(√5 + 1)(√5 − 1) = (√5)2− 12 = 5 − 1 = 4 ，這樣分母就成功消 除根式了。
分母乘以 (√5 − 1)，要維持分數的相等，當然分子也要乘以(√5 − 1)。
所以 2
√5:1 = 2(√5;1)
(√5:1)(√5;1) = = (√5;1)
2 ， (√5;1)
2 就是 2
√5:1 的最簡根式。
我們來看一題練習題。
Ex4.將下列根式化為最簡根式
72
(1) 7
√13;√6 (2) 2
√21:5 解：
(1) 7
√13;√6= 7(√13:√6)
(√13;√6)(√13:√6) = 7(√13:√6)
√132;√62 = 7 ( 13 6)
7
=√13 +
√6
說明：
分母是 (√13 − √6) ，要利用平方差公式將分母有理化，所以 將它分子分母同乘以 (√13 + √6)。
分母 (√13 − √6) × (√13 + √6) = √132 − √62 = 13 − 6 = 7；
分子就是 7 × (√13 + √6)。
發現分子分母可以同時約掉 7 ， 7 ( 13 6)
7
= √13 + √6 。(2) 2
5:√21 = 2(5;√21)
(5:√21)(5;√21) =2(5;√21)
52;√212 = =5;√21
2
說明：
分母是 (5 + √21) ，要利用平方差公式將分母有理化，所以將 它分子分母同乘以 (5 − √21)。
分母 (5 + √21) × (5 − √21) = 52 − √212 = 25 − 21 = 4；
分子就是 2 × (5 − √21)。
發現分子分母可以同時約 2， =5;√212 。
73
重點提問
1. 請問如何化簡一個分母為 √𝑎 − √𝑏 的根式呢？
請利用這個方法將 1
√7;√6 化為最簡根式。
D.隨堂練習
1.計算 √10(√15 + √6)，並化為最簡根式。
2.計算 (2√7 + 3)(√7 − 4)，並化為最簡根式。
3.計算下列各式，並化為最簡根式。
(1) (5 + 3√2)2 (2) (5√2 − 2√3)2 (3) (4 + 3√7)(4 − 3√7)
74
4.將下列根式化為最簡根式 (1) 11
√15;√4 (2) 9
√18:6
75
單元三：畢式定理 課文 A：畢式定理
我們國小學過，一個三角形當中如果有一個角是直角，那麼我們就 稱那個三角形是直角三角形。這單元當中，直角三角形很重要！
如右圖，在直角三角形當中，
直角的兩個旁邊，我們都稱為「股」；
不是直角的旁邊，是直角的對面，我們稱它為「斜邊」。
而在中國著名的古代數學著作《九章算術》中，直角兩旁較短的邊 為「勾」、較長的邊為「股」；直角的對面，稱為「弦」。
那這兩股與斜邊之間有什麼關係呢？
我們從下面的圖來試著觀察看看！
在圖中，有 4 個直角三角形跟 1 個正方形甲，合成一個大正方形。
而且這 4 個三角形其實都是一樣的。
所以 正方形甲的面積 = 大正方形 − 四個直角三角形面積
= − 四個
𝑐2 = (𝑎 + 𝑏)2 − 4 ×𝑎𝑏
2
76
= 𝑎2+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏
= 𝑎2+ 𝑏2
從上面的說明，我們就可以知道：𝑐2 = 𝑎2+ 𝑏2， 而 𝑎, 𝑏, 𝑐 其實就是直角三角形的三邊長，
𝑐 就是這個直角三角形的斜邊，𝑎, 𝑏 就是這個直角三角形的兩股，
所以 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 代表的就是
「直角三角形中，斜邊平方等於兩股平方和」，
這種關係我們就稱作畢氏定理或勾股定理。
我們來練習一下題目！
Ex1.已知下列各直角三角形的兩股長，求斜邊長。
(1) (2) 解：
(1) 假設斜邊為 𝑥 ，根據畢氏定理「斜邊平方等於兩股平方和」，
𝑥2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 𝑥 = ±√169 = ±13
因為斜邊長 > 0，所以斜邊長= 13。
(2) 假設斜邊為 𝑦 ，根據畢氏定理「斜邊平方等於兩股平方和」，
77
𝑦2 = 72+ 242 = 49 + 576 = 625 𝑦 = ±√625 = ±25
因為斜邊長 > 0，所以斜邊長= 25。
上面這題是我們知道兩股長，利用畢氏定理求斜邊長。
接下來我們知道斜邊及其中一股長，要利用畢氏定理求另一股長。
Ex2.已知下列各直角三角形的斜邊及一股長，求另一股長度為何？
(1) (2)
解：
(1)設要求的股長為 𝑥 ，根據畢氏定理「斜邊平方等於兩股平方和」，
𝑥2+ 32 = 52⇒ 𝑥2+ 9 = 25 ⇒ 𝑥2 = 25 − 9 = 16 𝑥 = ±√16 = ±4 ，股長必為正的，所以另一股為 4 。
(2) 設要求的股長為 𝑦 ，根據畢氏定理「斜邊平方等於兩股平方和」，
𝑦2+ 82 = 172⇒ 𝑦2+ 64 = 289 ⇒ 𝑦2 = 289 − 64 = 225 𝑥 = ±√225 = ±15 ，股長必為正的，所以另一股為 15 。
78
Ex3.求出下列各矩形的對角線長。
(1) (2)
解題思維：
我們如果有直角三角形，就可以利用畢式定理了，
所以我們要想辦法做出直角三角形。
因為矩形四個是直角，所以將對角線畫起來，
連起來後就有直角三角形了！
這個直角三角形裡，
剛好矩形的長跟寬就是直角三角形的兩股，
對角線就是直角三角形的斜邊。
接下來就可以利用畢式定理「斜邊平方等於兩股平方和」，求 出矩形的對角線長了！
解：
(1) 將對角線令為 𝑥 ，
根據畢氏定理可以列式：𝑥2 = 82+ 132 𝑥2 = 82+ 132 = 64 + 169 = 233，
𝑥 = ±√233 (因為對角線長是長度，所以負不合)
79
所以對角線長= √233。
(2) 將對角線令為 𝑦 ，
根據畢氏定理可以列式：𝑦2 = 62 + 42 𝑦2 = 62 + 42 = 36 + 16 = 52，
𝑦 = ±√52 = ±√4 × 13 = ±2√13(對角線長是長度，故負不合) 所以對角線長= 2√13。
好，再來我們看一些畢氏定理的應用！
Ex4.如圖直角三角形邊長為 5、12、13，
求斜邊上的高。
解題思維：
我們先看一下要求的東西，斜邊上的高是哪一個咧？
這是直角三角形，直角在 ∠C，
所以斜邊在 13 這段（也就是𝐴𝐵̅̅̅̅），
所以斜邊上的高指的就是 𝐶𝐷̅̅̅̅ 。 那這要怎麼求呢？
我們來想，一個三角形的面積有幾種算法。
先隨便畫一個三角形，讓這個三角形的三邊長為 𝑎、𝑏、𝑐。
我們可以先用 𝑎 當底，三角形的面積是 底×高
2 ，
80
高就是藍色這段，先叫做 ℎ𝑎 ，代表這是以 𝑎 為底的高，
所以面積的第一種算法為 𝑎×ℎ2 𝑎 。
第二種算法我們以 𝑏 當底，這樣的高就是橘色這段，
我們叫做 ℎ𝑏，所以面積的第二種算法為 𝑏×ℎ2𝑏。
那我可不可以以 𝑐 當底？當然也可以，它的高是誰？
就是下圖綠色的那段，我們叫做 ℎ𝑐，
因為它是以 𝑐 為底的高，這樣面積就是 𝑐×ℎ2 𝑐。
這樣三角形的面積就有三種算法啦！但是我們算的是同一個三角形，
因此不管我用哪種算法，算出來的面積都要一樣！
𝑎 × ℎ
𝑎2
=𝑏 × ℎ
𝑏2
=𝑐 × ℎ
𝑐2
接著我們就可以用這個方式找出斜邊上的高。
在這個直角三角形裡面，它的面積算法有兩種：
第一種，我可以用 𝐴𝐶̅̅̅̅當底，因為 ∠C 是直角，所以 𝐵𝐶̅̅̅̅̅ 就是他的高，
這樣第一個三角形面積算法就是 𝐴𝐶̅̅̅̅×𝐵𝐶̅̅̅̅
2 。
第二種，我也可以用斜邊 𝐴𝐵 ̅̅̅̅̅ 當底，這時候的高就是 𝐶𝐷̅̅̅̅ ，而面積
81
就是 ̅̅̅̅×𝐶𝐷𝐴𝐵2̅̅̅̅ 。
那這兩個算的是同一個三角形的面積，所以會一樣。
然後就可以解出斜邊上的高 𝐶𝐷̅̅̅̅ 了！
解：
從圖中我們可以知道三角形面積= 5×122 設斜邊上的高為 𝐶𝐷̅̅̅̅ ，則三角形面積=13×𝐶𝐷̅̅̅̅
2 ，
5 × 12
2
=13 × 𝐶𝐷̅̅̅̅2 兩邊都有 2 ，所以把 2 約掉，
5 × 12
2
= 13 × 𝐶𝐷̅̅̅̅2 要求 𝐶𝐷̅̅̅̅ ，所以把 13 移過去，
𝐶𝐷̅̅̅̅ = 5 × 12
13 =
60 13
省思：
當然你可以把這個公式化，
如果有一個直角三角形，兩股分別為 𝑎、𝑏，斜邊為 𝑐。
那斜邊上的高 ℎ 就會等於 𝑎×𝑏
𝑐 。 為什麼？因為 𝑎×𝑏
2 = 𝑐×ℎ
2 ，所以 ℎ = 𝑎×𝑏
𝑐 ，也就是兩股乘起來除以斜 邊。
82
Ex5.
如圖，放著一把 5 公尺的長梯於牆上，
梯腳離牆角 1.4 公尺，求：
(1)梯頂離地面多少公尺？
(2)若欲將梯頂降低 80 公分，則梯腳須向後移動多少公分？
解：
(1)
首先，我們先看紅色這把梯子。
梯腳離牆角 1.4 公尺，梯子長 5 公尺，
要求梯頂距離地面的高度，也就是下圖中棕色這段的長度，
這裡就形成一個直角三角形。
這個紅色直角三角形，斜邊是 5，其中一股長 1.4，
就可以假設要求的為 ℎ。
ℎ2 = 52− 1.42 = 25 − 1.96 = 23.04 ℎ = ±√23.04。那 23.04 怎麼開根號呢？
先把 23.04 化成分數，再來上面開上面，下面開下面：
83
√23.04 = 2304
100 = √2304 10 接著 2304 利用短除法算一下：
2304 = 42× 122 4 2304
4 576 12 144 12
知道 2304 開出來是 48，因為有兩個 4，和兩個 12。
所以
√23.04 = 2304
100 = √2304 10 =48
10 = 4.8 因此 ℎ = ±4.8，那因為是高度，所以負不合。
所以梯頂離地面 4.8 公尺。
(2)
如果要將梯頂降低 80 公分，也就是 0.8 公尺。
原本高度 4.8 公尺，降低了 0.8 公尺，變成 4 公尺。
再想想看樓梯的長度會不會隨著它降低而改變？
看圖，樓梯掉落（藍色變紅色）長度依然不變，還是維持 5 。 所以這裡形成新的直角三角形。
看綠色直角三角形，斜邊 5，一股長為 4，就可以假設所求為 𝑎 。
84
𝑎2 = 52− 42 = 25 − 16 = 9 𝑎 = ±√9 = ±3（負不合）
但題目是問梯腳後移多少？
原本梯腳離牆角為 1.4，但後來的梯腳離牆角為 3，所以要後移多少？
當然就是 3 − 1.4 = 1.6，所以後移 1.6 公尺。
85
重點提問
1. 請問什麼是「畢氏定理」？
請根據上面的課文用自己的話解釋這個定理。
2. 根據上面的課文，一個直角三角形斜邊上的高如何計算？
請利用這個方法計算直角三角形邊長為 7、24、25 斜邊上的 高。
A.隨堂練習
1.已知下列各直角三角形的兩股長，求斜邊長。
(1) (2)
86
2.已知下列各直角三角形的斜邊及一股長，求另一股長度為何？
(1) (2)
3.求出下列各矩形的對角線長。
(1) (2)
4.如圖直角三角形邊長為 3、4、5，求斜邊上的高。
5.平安拿一鋁梯在離牆 6 公尺處斜放在牆邊，此時梯頂剛好離地面 6 公尺(如圖所示)，求：
87
(1)鋁梯有多長？
(2)今移動此鋁梯使它在離牆 2 公尺處斜放，則梯頂離地面多少公 尺？
88
單元三：畢式定理
課文 B：平面上兩點間的距離
接下來我們來看平面上兩點間的距離。
首先，先來看兩點在同一水平上。
兩點在同一水平上會發生什麼事情呢？
舉個例子，如右圖，有兩點 A(1,2)、B(4,2)，
這兩點是水平的，而它們之間的距離就是藍色的那段，
那要怎麼算呢？數一下，會發現距離就是 3 。
但當數字很大的時候就很難用數的就可以數的出來了！
所以我們分析一下，距離 3 還可以怎麼算出來？
A、B 兩點的 y 坐標都是 2 ；
而 A 的 𝑥 坐標是 1 ，B 的 𝑥 坐標是 4。
會發現在同一水平上的這兩點距離其實就是它們 𝒙 坐標的差，
所以其實就是 4 − 1 = 3。
Ex1.如右圖，坐標平面上有 P(5,2)、Q(−3,2) 兩點，
求 P、Q 兩點之間的距離 𝑃𝑄̅̅̅̅ = ？
解：P、Q 的 y 坐標都相同，P、Q 在同一水平上，
所以它們的距離會是它們 𝑥 坐標的差 5 − (−3) = 5 + 3 =
8。
89
再來我們來看一下在同一鉛垂線上的兩點間距離。
舉個例子，如右圖，有兩點 B(4,2)、C(4,6)，
這兩點是鉛直的，而它們間的距離就是粉紅色的那段，
那要怎麼算呢？
我們來看一下 B、C 兩點的 𝑥 坐標都是 4 ； 而 B 的 𝑦 坐標是 2 ，C 的 𝑦 坐標是 6。
會發現在同一水平上的這兩點距離其實就是它們 𝒚 坐標的差，
所以其實就是 6 − 2 = 4。
Ex2.如圖，坐標平面上有 P(1,2)、Q(1, −3) 兩點，
求 P、Q 兩點之間的距離 𝑃𝑄̅̅̅̅ = ？
解：P、Q 的 𝑥 坐標都相同，P、Q 在同一鉛直上，
所以它們的距離會是它們 𝑦 坐標的差 2 − (−3) = 2 + 3 =
5。
最後一種就是不在同一水平也不是在同一鉛垂線上的兩點距離。
舉個例子，如右圖，有兩點 A(1,2)、C(4,6)，
A、C 兩點的 𝑥 坐標不相同，而且 𝑦 坐標不相同，
所以不在同一水平上也不在同一鉛垂線上。
那該怎麼求出它們的距離呢？