目 錄

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單元一：平方根與近似值... 1

課文 A：根號的意義 ... 1

課文 B：根號的值 ... 11

課文 C：平方根的意義 ... 28

單元二：根式的運算... 36

課文 A：根式的乘除 ... 36

課文 B：最簡根式與分母有理化 ... 43

課文 C：根式的加減 ... 55

課文 D：根式的四則運算 ... 67

單元三：畢式定理... 75

課文 A：畢式定理 ... 75

課文 B：平面上兩點間的距離 ... 88

1

單元一：平方根與近似值

（一）課文 A：根號的意義

這個全新的單元我們要學根號還有畢氏定理！

什麼是

根號

我們現在用一個例子來討論一下。

如果有人問你：有一個正方形，它的面積是 1，請問他的邊長是多少？

我們會馬上知道它的邊長是 1，因為 1 × 1 = 1。

又有另一個人問你：有一個大一點的正方形，它的面積是 4，請問他 的邊長是多少？

我們也可以算出它的邊長是 2，因為 2 × 2 = 4。

那你心裡會不會想：在正方形面積從 1 到 4 中間，有沒有一種正方形 它的面積是 2？或是有沒有一種正方形它的面積是 3？

當然有！我們先把它畫出來。

那你會不會好奇，它們的邊長分別會是多少呢？

我們來做一點簡單的觀察，你會發現當正方形面積為 1 時邊長為 1，

2

當正方形面積為 4 時邊長為 2，面積 2 和面積 3 的正方形夾在面積 1 和面積 4 中間。

所以面積為 2 和 3 的正方形，邊長應該夾在 1 和 2 中間。

我們可以大膽的猜測，邊長是 1 和 2 中間的一半，也就1.5。

而當邊長為1.5時，正方形面積為1.5 × 1.5 = 2.25。

這代表在面積為 2 和面積為 3 的正方形間，還夾有一個正方形，它的 邊長是 1.5，面積是 2.25。

由於面積2.25 的正方形比我們要求的面積 2 的正方形還要大。

所以我們要試試比 1.5 小一點的邊長。

我們來試試邊長 1.4 的正方形吧!

邊長 1.4 的正方形面積，等於1.4 × 1.4 = 1.96 。

所以我們可以發現邊長 1.4 的正方形面積1.96 比 2 來得小！

這代表在面積 2 的正方形前面有一個正方形的面積是 1.96。如下圖，

3

因此，我們又可以知道面積 2 的正方形，邊長應該夾在 1.4 到 1.5 中 間。

我們繼續來試一下邊長 1.45 。算一下 1.45 × 1.45 = 2.1025，又比面 積是 2 的正方形大一點點。

接著再試邊長 1.41，算一下1.41 × 1.41 = 1.9881，那我就知道面積 為 2 的正方形夾在邊長為 1.41 和 1.45 的中間。

1.41 和 1.45 的中間是什麼數字？

我們猜一下數字1.413，面積等於1.413 × 1.413 = 1.996569，越來越 接近 2 了！

雖然我們可以這樣一直做下去，讓面積越來越接近 2。

但事實上，不管怎麼找，我們其實找不到一個曾經學過的數，它所圍

4

成的正方形面積會剛好等於 2！

那麼，面積為 2 的正方形邊長究竟是什麼呢？

於是數學家們利用〝 √

例如，正方形面積為 2 ，我們就將邊長直接表示為„ √ 2 ‟，唸作

「根號 2 」；

同樣的，正方形面積是 3，那我們就將邊長直接表示為〝 √ 3 〞，

唸做「根號 3 」。

我們將√ 2 和√ 3 這樣的數，稱做「根號數」。

有了這個符號„ √

正方形面積為 2 的邊長是 √2 ，正方形面積為 3 的邊長是 √3 。 所以，我們可以將正方形面積和邊長的關係寫出下面的等式：

√正方形面積 = 邊長。

我們都知道正方形面積算法是「邊長² = 邊長 × 邊長 = 面積」。

因此，如果√2 代表正方形面積為 2 的邊長，那麼 (√2)² 就會是在算

5

這個正方形面積，也就是 2，我們就可以寫出下面的等式

(√2)² = √2 × √2 = 2。

從這個等式，我們可以觀察到兩件事，第一、√ 2 的平方會等於 2，

也就是(√ 2 )² = 2，第二、√2 × √2 = 2。

所以，當我們看到某一個根號數的平方時，就可以直接求出答案，如 (√ 7 )²就可以馬上知道(√ 7 )² = 7，同樣的道理(√ 11 )² = 11。

而當兩個相同的根號數相乘時，我們同樣也可以直接求出答案，如

√ 7 × √ 7 = 7，√ 11 × √ 11 = 11。

接著，我們就來做一些題目，練習上面這些觀念。

Ex1.正方形面積為 5 ，則邊長為 ； 正方形邊長為 √7 ，則面積為

解：我們利用〝 √

那麼正方形邊長為 √ 7 ，則面積就會是 7。

Ex2.計算下列各式.

6

(1) (√ 11 )² = (2) (√ 4.9 )² = (3) (√ ²

3 )² = 解：

(1) (√11)² = √11 × √11 =

11 ，

4.9 ，

3)² = √²

3× √²

3= ²

3

既然我們利用

√

想一下，前面說的„ √正方形面積 = 邊長‟。

我們知道正方形面積與邊長不會有負值，所以根號內的數和根號本身 的值也不可以為負。

例如，因為不會有正方形的面積是 −3，所以在國中階段不會有 √−3 這種數。

而因為也沒有正方形的邊長會是 −3，所以也不會有一個數 a 的根號 值是 −3，也就是不會有√ a = −3。

接下來我們要來談一談，如何比較兩個根號數的大小。如√2 和√ ⁵ ₃ 。

7

當我們要比較 √2 和√⁵₃ 的大小時，我們可以利用根號的定義來想一下。

√2 表示正方形面積為 2 的邊長，√⁵₃ 表示正方形面積為 ⁵

3 的邊長。如 下圖，

很明顯的知道面積為 2 的正方形比面積為 ⁵

3 的正方形還要大，所以正 方形面積為 2 的邊長 √2 當然比正方形面積為 ⁵₃ 的邊長 √⁵

3 還要大。

Ex3.試比較 √99 和 10 的大小。

解：

我們想比較這兩個數值時，直接比較是很困難的，所以我們就借 用以這兩個數為邊長所圍成的面積來比較，也就是將這兩個數分 別平方：(√99)² = 99、(10)² = 100。

平方後的值就是以其邊長所圍成的正方形面積，當正方形面積越 大，其邊長自然越大。我們很明顯可以知道 100 > 99 ，因此 10 > √99 。

2 5

√2 3

3

8

重點提問

1. 請問在上面的課文中，「√ 」唸成什麼？請你用自己的話解釋 什麼是「√ 」？

2. 從上面的課文中，我們利用到根號來表示正方形邊長的大小，也 就是√正方形面積 = 邊長，請問這會產生什麼限制？

3. 要如何比較 √7 和 √8 的大小？為什麼可以這樣比較？

9

A.隨堂練習：

1. 以下都是正方形，請填寫它的邊長。

2. 以下都是正方形，請填寫它的面積。

3. 請算出以下的值。

(1) √6 × √6 = (2) √11 × √11 = (3) (√15)² = (4) (√23)² =

？ 面積=12

面積=6 面積=8 ？

？

？ 面積=15

√5 面積= √11 面積=

10

4. 比較下列各小題中，兩數的大小關係：(在空格中填入>、=、<) (1) √8 √11

(2) √25 5 (3) √17 4 (4) √¹¹

4 √3 (5) √0.1 0.1

還是不太懂，請看下面影片(1)

https://www.youtube.com/watch?

v=VVDCF--actE

還是不太懂，請看下面影片(2)

https://www.youtube.com/watch?

v=egPP9W_Hk7w

11

單元一：平方根與近似值

（一）課文 B：根號的值

從課文 A 我們知道根號(√ )可以用來表示正方形的邊長。

所以我們知道正方形面積為 2 的邊長是 √2 ；正方形面積為 3 的邊長 是 √3 ；正方形面積為 4 的邊長是 √4 。

而這個 4 剛好是 2 的平方(2²) ，甚至知道面積為 4 的正方形邊長其實 就是 2 ，所以我們就知道 √4、√2²、2 這三個是相等的，也就是：

√4 = √2 ² = 2

就可以將√4的值算出來。那麼，除了√4以外，還有沒有其他數的根 號數可以算出一個準確的值？

當然有！

例如：√9 = √3² = 3、√16 = √4² = 4、√25 = √5² = 5...

你有沒有發現這些可以直接算出根號值的數，剛好都是某一個數的平 方，如9 = 3²、16= 4²、25= 5²，像這樣恰好是另一個數的平方的數，

我們稱作「完全平方數」。

只要根號內的數是「完全平方數」，就可以直接算出根號數的值，如

√9 = √3² = 3、√16 = √4² = 4、√25 = √5² = 5。

12

接著，我們利用以下例題來練習上面的觀念。

Ex1.計算下列各數

(1) √81 (2) √441 (3) √784 解題思維：

我們要算出一個根號的值，要試著去看看根號內的數是否為「完 全平方數」。例如 81 我們一下就知道是 9 的平方了。

但是如果那個數比較大，沒辦法直接看出來，那就要先將那個數 做因數分解，再將結果兩兩配對成某個數的平方，例如 441 這個 數字就稍微大了一些，所以我們利用短除法做因數分解，

會發現 441 = 3²× 7² ，有 2 個 3 、2 個 7 ，

所以 441 = (3 × 7)²。接下來就可以直接算出根號的值了！

13

解：

(1) 81 = 9²，所以 √81 = √9² =

9。

(2) √441 = √3²× 7²

= √(3 × 7)²

= 3 × 7 =

21

441 = 3²× 7²

(3) √784 = √4²× 7²

= √(4 × 7)²

= 4 × 7 =

28

784 = 4²× 7²

除了正整數以外，有些分數也可以利用同樣的想法去計算！

14

Ex2.計算下列各數 (1) √⁸¹

121 (2) √¹⁰⁰

441

解題思維：

在計算分數根號的值時，其實是跟整數的道理是一樣的，我們也 是試著將分數處理成某個分數的平方，例如 ⁸¹

121 ，分子分母分別 利用短除法來因式分解，像是 81 = 9²、121 = 11² ，因此

81

121 = ⁹²

11² = (⁹

11)²。接下來就可以直接算出根號的值了！

解：

(1)

81

121 = ⁹²

11² = (⁹

11)²

√⁸¹

121 = ⁹

11

(2)

100

441 = ¹⁰²

3²×7² = ¹⁰²

(3×7)² = (¹⁰

21)²

√¹⁰⁰

441 =¹⁰

21

441 = 3² × 7²

15

當遇到帶分數時，要怎麼處理呢？

Ex3.計算 √1 ⁹

16 = 解題思維：

我們在計算帶分數的根號時，我們必須要先化成假分數，1 ⁹

16 =²⁵

16 ， 然後再處理成某個分數的平方，²⁵

16 = ( ⁵

4)² 。接下來就可以直接算 出根號的值了！

解：

1 9

16 =25 16 =5²

4² = (5 4)²

1 9

16 = 25

16 = (5

4)² =

5

4

16

有些同學會以為，在計算 √1 ⁹

16 時，認為根號內的 1 是1²、9 是3² ， 而 16 是4²。所以就將√1 ⁹

16 誤認為會等於 1³

4 。 如果，√1 ⁹

16 真的等於 1 ³

4 ，那代表1 ³

4 平方後會等於1 ⁹

16。 我們試著來做一下1 ³

4 的平方，看看它會不會真的等於1 ⁹

16。 (13

4)² = (7

4)² = 49

16 = 217 16 你有沒有發現1 ³

4 平方後，並不會等於1 ⁹

16。 換句話說，√1₁₆⁹ 並不等於 1 ³

4 。

所以千萬記得，在計算帶分數的根號值時，必須要先化成假分數

才可以喔！

常見的錯誤...

17

如果是要算小數的根號時，要怎麼做呢？

Ex4.計算下列各數

(1) √0.04 (2) √20.25 解題思維：

在計算小數的根號時，如果這個小數一眼就可以看出是什麼數的 平方的話，就可以直接算出來，例如 0.04 = (0.2)² 。但是有一些 稍微複雜點，就要先化為分數，例如 20.25 = ²⁰²⁵

100 。

在小數化成分數當中有一個小秘訣，就是看這個小數的最小位數，

像 20.25 的最小位數是 5 ，它在百分位，所以分母就是 100 ，而 分子就是 2025 。化為分數後，就可以繼續算下去了！

解：

(1) 0.04 = (0.2)²

√0.04 =

0.2

100 =^52×92

10² = (^5×9

10)²

√20.25 = ^5×9

10 =⁴⁵

10 =

4.5

18

當根號內的數值是某個整數或是分數的平方時，我們可以輕易的把結 果算出來，例如 √4、√64、√⁴

9 、√0.25 等…。

但是像是 √2、√3 這類不是某個整數或是分數的平方的，我們就沒辦 法準確得算出大小，所以我們必須透過一些方法估算出 √2 或 √3 的 近似值，那這些方法包括哪一些呢？

包括十分逼近法、查表法及使用計算機。

方法一：十分逼近法

我們用一個例子來說明十分逼近法是什麼：

EX5.請以十分逼近法計算出 √2 的近似值到小數點後第 2 位。

解題思維：

要算到小數點第二位，我們就要算小數點第三位，然後針對小數 點第三位四捨五入才有辦法算出來。

我們要找出 √2 的近似值，什麼叫作 √2 的近似值，就是我要去 找到一個 𝑎 ，它平方會等於 2。

什麼數平方以後會是 2 呢？讓我們大膽的猜一下。

1² = 1、2² = 4，仔細觀察剛剛這裡的數，這個數的平方是夾在 1~4 之間，所以這個數可推測是夾在 1~2 之間。

19

那 1~2 之間我們把它 10 等分，得到 1.1、1.2、1.3、1.4、1.5 … 一直到 1.9。

我要的是哪一點呢？

假設用 1.3，1.3² = 1.69 還不到 2 ，所以繼續下去；1.4² = 1.96，

很接近 2 了，再繼續下去 1.5² = 2.25 ，超過 2 了。而因為我們知 道 2 在 1.96~2.25 之間，所以平方等於 2 的這個數也會在

1.4~1.5 之間。

那我再繼續把它 10 等分分成 1.41、1.42、1.42、 … 、1.49 。 那我們猜 1.41 好了， 1.41² = 1.9881、1.42² = 2.0164，發現 2 在 這兩數之間，因此平方等於 2 的這個數會在 1.41~1.42 之間。

我們可以繼續分成 1.411、1.412、…、1.419 。

那要猜哪一個？比方說猜 1.411²

≒

≒

≒

1.414²

≒

≒

而這兩數中間有 1.4141、1.4142、1.4143、 … 、1.4149，所以又

1 2

1 √2 4

2

20

可以 10 等分繼續算下去。

像這樣子每個段落都給它 10 等分，慢慢地逼近 √2 的值，這種方 法就稱為十分逼近法。

算到最後，我們可以得到 √2 = 1.414 … 一直下去，不過這題目沒 有到這麼多位，只要求到小數第二位，所以算到 1.414 再對第三 位四捨五入就可以了。

解：

第一步：

1² = 1 2² = 4

√2 介於 1 和 2 之間，

√2 = 1.…

第二步：

(1.1)² = 1.21 (1.2)² = 1.44 (1.3)² = 1.69 (1.4)² = 1.96 (1.5)² = 2.25

√2 介於 1.4 和 1.5 之間，

√2 = 1.4…

第三步：

1.41² = 1.9881 1.42² = 2.0164

√2 介於 1.41 和 1.42 之間，

√2 = 1.41…

第四步：

1.411²

≒

≒

≒

≒

≒

√2 介於 1.414 和 1.415 之間，

√2 = 1.414…

經過小數點第三位四捨五入後，√2

≒ 1.41

2

2

2

2

21

方法二：查表法

接下來要介紹求根號數的近似值第二種方法：查表法。

既然叫「查表法」，那麼就會有一張表，這張表叫「乘方開方表」。

𝑁 𝑁² √𝑁 √10𝑁

14 196 3.7416 11.8321 15 225 3.8729 12.2744 16 256 4.0000 12.6491 17 289 4.1231 13.0384 既然叫做「乘方開方表」，表上當然可以看到有乘方也有開方。

例如當 𝑁 = 14 時，𝑁² 也就是 14² 會等於 196 ；

√𝑁 也就是 √14 ， √14 會接近 3.7416 (這個是近似值， 3.7416² 不會 剛剛好等於 14 )；√10𝑁 也就是 √140 會接近 11.8321 。

利用這張表，就可以計算相關數字的根號了！

那我們利用例題來看一下應該要怎麼使用。

22

EX6.利用乘方開方表，查出下列近似值。

(1) 17² (2) √15 (3) √160 (4) √324

𝑁 𝑁² √𝑁 √10𝑁

14 196 3.7416 11.8321 15 225 3.8729 12.2744 16 256 4.0000 12.6491 17 289 4.1231 13.0384 18 324 4.2426 13.4164

(1)17²：查 𝑁 = 17 ，對到 𝑁²，得到 17² =

289。

(2)√15：查 𝑁 = 15 ，對到 √𝑁，得到 √15

≒ 3.8729。

(3)√160：查 𝑁 = 160 ，對到 √10𝑁，得到 √160

≒ 12.6491。

(4)√324：在 𝑁 這欄當中，發現沒有324，但是整張表可以看到 𝑁 = 18 ，對𝑁²，得到 18² = 324，所以可以知道 √324 = √18² =

18。

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方法三：使用計算機

除了十分逼近法和查表法之外，我們還可以使用計算機，雖然通常考 試中不能使用，但是在生活中就是一個很好的幫手喔！

我們在計算機上大部分都可以找到

√

例如計算√3

第一步：輸入數字 3 第二步：按下

√

第三步：就可以得到答案了

√3

≒ 1.7320508075

可以驗證一下，用計算機計算

1.7320508075 × 1.7320508075

發現非常接近 3 ！

24

重點提問

1. 請舉出一個可以準確計算出根號值的數字。這類數字有什麼樣的 特性？

25

B.隨堂練習：

1. 計算下列各數 (1) √100 = (2) √324 = (3) √576 =

2. 計算下列各數 (1) √¹⁶

25 = (2) √²²⁵

784 = (3) √⁴⁴¹

121 =

3. 計算下列各數 (1) √1¹¹

25 = (2) √3¹³

81 = (3) √1₁₄₄²⁵ =

26

4. 計算下列各數 (1) √0.25 = (2) √1.96 = (3) √6.76 =

5. (1) √5 會介於哪兩個正整數之間？

(2) √8 會介於哪兩個正整數之間？

(3) √20 會介於哪兩個正整數之間？

6. 請利用十分逼近法計算出 √14 的近似值到小數點底下第 2 位。

27

7. 利用乘方開方表，查出下列近似值。

𝑁 𝑁² √𝑁 √10𝑁

17 289 4.123 13.038 18 324 4.242 13.416 19 361 4.358 13.784 20 400 4.472 14.142 40 1600 6.324 20.000

(1) 18² (2) √19 = (3) √170 = (4) √361 = (5) √400 =

還是不太懂，請看下面影 片

(十分逼近法)

https://www.youtube.com/

watch?v=g7nrMiqiC3U

還是不太懂，請看下面影 片

(查表法)

https://www.youtube.com /watch?v=PUsmj3pG_cg

還是不太懂，請看下面影 片

(計算機)

https://www.youtube.com/

watch?v=1wkpVssJH0E 還是不太懂，請看下面影

片

https://www.youtube.com/

watch?v=MAnymh61HQc

還是不太懂，請看下面影 片

https://www.youtube.com/

watch?v=gcYNaIoJ5l8

還是不太懂，請看下面影 片

https://www.youtube.com/

watch?v=lr9GJ5U7RFk

28

單元：平方根與近似值

（一）課文 C：平方根的意義

接下來我們來看一下「平方根」的意義。

我們以前學過平方的概念，當𝑏² = 𝑎 時，我們會說 𝑎 是 𝑏 的平方，例 如 3² = 9，我們會說 9 是 3 的平方。

現在我們也可以相反地過來說。也就是，當𝑏² = 𝑎 時，我們除了可以 𝑎 是 𝑏 的平方外，也可以相反地說 𝑏 是𝑎的「平方根」。

比方說，

3² = 9，我們可以說 9 是 3 的平方，也可以相反地說 3 是9的「平方 根」。

所以我們可以這樣來解釋什麼是平方根？某個正數 a 的平方根 m，就 是指 m 平方後會等於 a，也就是m² = a。

因此，我們在判斷一數是否為另一數的平方根時，只要將它平方後確 認是否相等，如果真的相等，它就是另一數的平方根。

例如判斷 15 是否為 225 的平方根，只要算出 15 的平方(即15²)，確 認是 225 後，就可以確定 15 是 225 的平方根。

29

那麼一個正數的平方根只有一個嗎？

我們知道 3 是 9 的平方根，因為3² = 9 。而(−3) 的平方也會等於 9 ， 即(−3)² = 9，所以 (−3) 也會是 9 的平方根。

因此，我們知道一個正數的平方根會有兩個，一個是正數、另一個是 負數。

以 7 的平方根來說，我們要去找到 7 的平方根，就是要找到某一個數 平方後會等於 7。

我們知道 (√7)² = 7 ，所以 √7 是 7 的一個平方根。

那麼 7 的另一個平方根是多少？

因為一個正數的的平方根會有兩個，一個是正數、另一個是負數。

所以 7 的另外一個平方根會是負數，也就是−√7，因為(−√7)² = (−√7) × (−√7) = 7

從上面的討論中，我們可以知道一個正數的平方根都會有兩個，一正 一負，正的就稱為正平方根、負的就稱為負平方根，兩個互為相反數！

接下來我們來做一些例題來練習。

30

Ex1.求下列各數的平方根

(1) 17 (2) 64 (3) ²⁵

81 (4) 1 ⁹

16 (5) −169 解：

(1) 17 不是完全平方數，所以直接就知道正平方根 √17 ，但是 平方根有兩個且互為相反數，所以負平方根就是 −√17 。 (2) 64 是 8 的平方，所以就知道 64 的平方根是 8 和 −8 。 (3) ²⁵

81 的正平方根是√²⁵

81 = √⁵²

9² =⁵

9，但是平方根有兩個且互為相 反數，所以負平方根就是 −⁵

9 。 (4)要求 1 ⁹

16 的正平方根 √1 ⁹

16 = √²⁵

16 = √⁵²

4² =⁵

4 ，但是平方根有 兩個且互為相反數，所以負平方根就是 −⁵₄ 。

(5)不會有一個數的平方會是負的，所以不存在。

31

Ex2.回答下列問題

(1)若 𝑎 的正平方根為 √31 ，則 𝑎 = ，又 𝑎 的負平方根為何？

(2)若 𝑏 的負平方根為 −3 ，則 𝑏 = ，又 𝑏 的正平方根為何？

解：

(1) 𝑎 的正平方根為 √31，代表 √31 的平方為 𝑎 ，所以 𝑎 = (√31)² =

31 ，而 𝑎 的負平方根為 −31 。

𝑏 = (−3 )² =

9 ，而 𝑏 的正平方根為 3 。

Ex3.已知 −7 是 2𝑘 + 3 的負平方根，則 𝑘 = 解題思維：

−7 是 2𝑘 + 3 的負平方根，所代表的意思是 2𝑘 + 3 是−7 的平方，

2𝑘 + 3 = (−7)² ，所以 2𝑘 + 3 = 49 ，就可以解出 𝑘 了。

解：

2𝑘 + 3 = (−7)²

⇒ 2𝑘 + 3 = 49

⇒ 2𝑘 = 46

⇒ 𝑘 =

23

32

Ex4.回答下列問題

(1)若 𝑚² = 225 ，則 𝑚 = 。

(2)若 𝑛² = 51 ，且 𝑛 < 0，則 𝑛 = 。 解：

(1) 𝑚² = 225 ，指的意思是 𝑚 是 225 的平方根。 225 是 15 的平 方，所以 𝑚 為 15 或 −15 。

(2) 𝑛² = 51 ，且 𝑛 < 0，指的意思是 𝑛 是 51 的負平方根，所以 𝑛 為 −√51 。

33

重點提問

1. 依據課文的解釋，請你說明一下什麼是「平方根」？

並舉一個例子來解釋。

34

C.隨堂練習：

1. 求下列各數的平方根 (1) 100

(2) 324

(3) ²⁵

144

(4) 1 ²¹

100

(5) 1.96

2. 回答下列問題

(1)若 𝑎 的正平方根為 8 ，則 𝑎 = ，又 𝑎 的負平方根為何？

(2)若 𝑏 的負平方根為 −√24 ，則 𝑏 = ，又 𝑏 的正平方根為 何？

35

3. 已知 6 是 3𝑚 + 3 的正平方根，則 𝑚 =

4. 已知−9 是 2𝑛 − 1 的負平方根，則 𝑛 =

5. 回答下列問題

(1)若 𝑥² = 576 ，則 𝑥 = 。

(2)若 𝑦² = 68 ，且 𝑦 > 0，則 𝑦 = 。

還是不太懂，請看下面影片(1)

https://www.youtube.com/watc h?v=xuN_L-nF3p0

還是不太懂，請看下面影片(2)

https://www.youtube.com/watch

?v=10dh6PpomdA

36

單元二：根式的運算 課文 A：根式的乘除

在這個單元中，我們要學根式的運算！

什麼是根式呢？

根式就是指含有根號的數或式子，像是 √5、√2 × √5、√12 ÷ √2 、

√27 − √12…等都叫根式。

回想一下，我們在國一學代數式時，有一些簡記的方式，而在根式 當中，也可以利用這些簡記規則去簡記一些根式。

例如：

2 × 𝑥 簡記成 2𝑥；2 × √3 就可以簡記成 2√3。

(−1) × 𝑥 簡記成 −𝑥；(−1) × √7 就可以簡記成 −√7。

4

5× 𝑥 簡記成 ⁴

5𝑥 或是 ^4𝑥

5；⁴

5× √3 簡記成 ⁴₅√3 或是 ^4√3

5 。

接下來，我們要看根式的乘法運算。

√3 × √7 這個式子會等於什麼？

我們先將它平方後變成整數，再開根號還原回來比較看看！

(√3 × √7)² = (√3 × √7) × (√3 × √7) = √3×√7×

√3

= (√3×

√3) × (√7

有兩個 √3 、兩個 √7！

我們換位置乘一下！

37

我們將 √3 × √7 平方後，發現 (√3 × √7)² = 3 × 7；

再將 (√3 × √7)² 開根號還原回去 √3 × √7 ，而等號右邊 3 × 7 開根 號就會是 √3 × 7。

所以就會得到 √3 × √7 = √3 × 7。

從上面的這個例子，我們可以得到一個結論：

若 𝑎、𝑏 均大於等於 0，則 √𝑎 × √𝑏 = √𝑎 × 𝑏

我們來試試看其他題：

Ex1.計算下列各根式的乘積：

(1) √7 × √13 (2) √6 × √⁵

2 (3) √⁹

10× √⁵

2

解：

(1) √7 × √13 = √7 × 13 =

√91

2=

6 ³ 5

 2

√15

10× √⁵

2 =

⁹

10 ₂

 5

2

4 注意！√⁹

4 還可以繼續化簡，√⁹

4= √(³

2)² = ³

2

38

Ex2.計算下列各根式的乘積：

(1) 2√7 × 5√3 (2) ^√7

5 × 8√5 (3) ²₅√11 ׳₄√3 解題思維：

這題根式乘積的計算已經跟上題有些不一樣了，每個根號前面 多了一個數。

我們來想一下，從前面根式的簡記可以知道：2√7 = 2 × √7 ； 5√3 = 5 × √3。

所以我們計算 2√7 × 5√3 時，

2√7 × 5√3 = 2 × √7 × 5 × √3 = 2 × 5 × √7 × √3

= (2 × 5) × (√7 × √3) = 10 × √21 = 10√21 仔細看這個計算的過程，其實會發現這個根式乘積的計算就是

“根號外面乘根號外面，根號裡面乘根號裡面”，例如在計算 2√7×5√3 時，根號外面乘根號外面就是 2×5，根號裡面乘 根號裡面就是 7×

3，所以 2√7

7

3

解：

(1) 2√7×5√3= (2×5)√7×

3

10√21

5 其實就是 ¹

5√7，根號外面就是 ¹₅ ，根號裡面就是 7。

√7

5 × 8√5 = ¹₅√7×8√5= (¹

5×8) √7×

5

5

√35

39

(3) ²

5√11׳

4√3= = ³

10

√33

看完根式的乘法運算後，來看一下根式的除法運算。

我們如果要計算√11 ÷ √2 這個式子呢？

回憶一下，我們之前有學過除法與分數的關係，例如 ³

4 可以想像成 有兩種唸法，一種是由下往上唸，唸成「4 分之 3」；而另一種就是 由上往下唸，唸成「3 除以 4」。

這個用來除法運算換成分數或分數換成除法運算都非常好用，所以 √11 ÷ √2 其實就是 ^√11

√2。 這個分數會等於什麼？

我們先將它平方後變成整數，再開根號還原回來比較看看！

(^√11

√2)² = ^√11

√2 ×^√11

√2 = ^√11×√11

√2×√2 = ^(√11)2

(√2)² = ¹¹

2 我們將 ^√11

√2 平方後，發現 (^√11

√2)² = ¹¹

2； 再將 (^√11

√2)² 開根號還原回去 ^√11

√2 ，而等號右邊 ¹¹

2 開根號就會是 √¹¹

2。 所以就會得到 ^√11

√2 = √¹¹

2 。 而 ¹¹

2 其實就是 11 ÷ 2 ，所以 √11 ÷ √2 = ^√11

√2 = √¹¹

2 = √11 ÷ 2

40

所以我們得到一個結論：

若 𝑎 ≥ 0、𝑏 > 0 ，則 √𝑎 ÷ √𝑏 = ^√𝑎

√𝑏 = √^𝑎_𝑏 = √𝑎 ÷ 𝑏

我們來試試看其他題：

Ex3.計算下列各式：

(1) √48 ÷ √12 (2) √⁴

3÷ √²

9 (3) √12 ÷ √⁴

5

解：

(1) √48 ÷ √12 = √48 ÷ 12 = √4 =

2

=

√6

3÷ √²

9 = √⁴

3÷²

9 =

=

√15

5= √12 ÷⁴

5=

√4還可以化簡為 2 ！

41

重點提問

1. 請問根式的乘法怎麼運算？

請用這個運算規則計算 5√6 × 3√5。

2. 請問根式的除法怎麼運算？

請用這個運算規則計算 √³⁶

7 ÷ √7。

42

A.隨堂練習

1.計算下列各根式的乘積：

(1) √6 × √35 (2) √14 × √³

7 (3) √⁶

5× √¹⁰

3

2.計算下列各根式的乘積：

(1) 3√5 × 2√2 (2) ^√2₃ × 9√3 (3) ³₂√5 ×⁴₉√7

3.計算下列各式：

(1) √98 ÷ √2 (2) √⁷

15÷ √⁷

30 (3) √18 ÷ √⁶

5

還是不太懂，

請看下面影片(1)

https://www.youtube.com/

watch?v=vbbYeHt0BLk

還是不太懂，

請看下面影片(2)

https://www.youtube.com/

watch?v=kR5DsEqRqgo

43

單元二：根式的運算

課文 B：最簡根式與分母有理化

在根式的運算中，我們常常會希望式子可以盡量的簡單清楚而且有 一致性，所以我們就會借用最簡根式來做化簡處理。

什麼是最簡根式呢？就是指根式已經化簡到無法再化簡的根式！

像是 √8 是可以繼續化簡的：

√8

=

=

2√2 已經無法再化簡了，所以我們就稱 2√2 是 √8 的最簡根式。

又像是 √12：

√12 = √2²× 3 = √2² × √3 = 2 × √3 = 2√3 ，

2√3 已經無法再化簡了，所以我們就稱 2√3 是 √12 的最簡根式。

我們來練習看看！

8 可以拆成 2²× 2

根式的乘法運算：√𝑎 × √𝑏 = √𝑎 × 𝑏；

這個等式反過來看，即√𝑎 × 𝑏 = √𝑎 × √𝑏

44

Ex1.將下列各式化為最簡根式：

(1) √72 (2) √80 (3) √360 解題思維：

我們在化簡根式的時候，只要是完全平方數就可以再往外提出 去，目標就是要提到不能再提為止。所以我們在對根號內的數 因數分解時，可以盡量用完全平方數去分解。

解：

√72 = √4 × 9 × 2 = √4 × √9 × √2 = 2 × 3 × √2

= 6√2

而第(2)小題

√80 = √4 × 4 × 5 = √4 × 4 × √5 = 4 × √5 =

4√5

(3) √360 = √36 × 10 =

6√10

剛好兩個 4 ！

45

Ex2. 將下列各式化為最簡根式：

(1) √2²× 3³× 5 (2) √2⁴× 3⁵ (3) √2⁴× 5⁴ 解題思維：

跟上一題一樣，我們在化簡根式的時候，只要是完全平方數就 可以再往外提出去，這一個過程我們可以利用「集滿兩個換出 去」這個口訣記。

這個口訣是什麼意思呢？

像是 √2²× 3³× 5 = √2²× 3² × 3 × 5 = √2²× √3²× √3 × 5

= 2 × 3 × √15 = 6√15 我們利用這個口訣，可以這樣想：

√2²× 3³× 5 = 2×

3

5

再例如 √2⁴× 3⁵ ：

√2⁴× 3⁵ = 2²×

3

原本裡面 2 個 2，

換出去外面變成 1 個 2

46

47

解：

(1) √2²× 3³× 5 = 2 × 3 × √15 =

6√15

36√3

100

Ex3.計算下列各式，並將結果化為最簡根式：

(1) √6 × √8 × √12 (2) √10 × √14 × √98 解：

(1) √6 × √8 × √12 = √6 × 8 × 12 = √6 × (4 × 2) × (2 × 6)

= √6 × 4 × 4 × 6 = 6 × 4 =

24

說明：

√6 × √8 × √12 根據根式的乘法運算就是 √6 × 8 × 12 ， 而我們要化簡這個根式並不需要乘出來後再分解，我們只要朝 著「集滿兩個換出去」去進行分解就可以了。

√6 × 8 × 12

從分解當中可以發現有 2 個 6 ，其他 4 × 2 × 2 可以湊成 2 個 4，

「集滿兩個換出去」，所以換出去變成 1 個 6 、1 個 4，也就是 6 × 4 = 24。

48

想一想有沒有其他分法呢？

(2) √10 × √14 × √98 = √10 × 14 × 98

= √(5 × 2) × (2 × 7) × (7 × 14) = 2 × 7 × √5 × 14 =

14√70

說明：

√10 × √14 × √98 根據根式的乘法運算就是 √10 × 14 × 98 ， 而我們要化簡這個根式並不需要乘出來後再分解，我們只要朝 著「集滿兩個換出去」去進行分解就可以了。

√10 × 14 × 98

從分解當中可以發現有 2 個 2、2 個 7，可以集滿兩個換出去，

而其他 5 × 14 = 70 不能拆成一對一對。

所以換出去根號外面變成 1 個 2 、1 個 7，70 留在根號裡面不能 換出去，也就是2 × 7 × √5 × 14 = 14√70。

除了上面那種「根號內仍有可以提出到根號外的因數」的根式可以 繼續化簡以外，還有兩大類可以繼續化簡：

(一) 分母有根式，例如：²

√3、^√3

√50 等…。

(二) 根號內仍有小數或分數，例如：√²

3、√0.2 等…。

這兩類在化簡的時候，我們的目標是想將分母的根式消去，讓它成

49

為有理數，這個過程我們稱為分母有理化。

最簡單的方法就是，我們可以利用「 √𝑎 × √𝑎 = 𝑎」將分母有理化。

舉例來說，²

√3 的分母是 √3 ，那我們知道 √3 × √3 = 3，所以我們分 母再乘一個 √3 就可以將分母的根式消掉了。但是不能只單單乘以 分母，我們要維持分數的相等，因此分子分母應該要同時都乘以 √3 。 所以 ²

√3= ^2×√3

√3×√3= ^2√3

3 。那麼 ^2√3

3 就是 ²

√3 的最簡根式了！

來看一題範例吧！

Ex4. 將 ^√3

√50 化為最簡根式。

解題思維：

√3

√50的分母是 √50 ，那我們知道 √50 × √50 = 50，所以分子分 母應該要同時都乘以 √50 。

√3

√50 = ^√3×√50

√50×√50 =^√150

50

= ^{5 6}

50₁₀ = ^√6

10 除了這樣算以外，

我們知道分母是 √50 = √5²× 2 ，所以其實只要再乘 √2 就可 以將分母有理化了！

√3

√50 = ^√3×√2

√5²×2×√2= ^√6

5×2 =^√6

10 會發現答案一樣！

50

解：^√3

√50 = ^√3×√2

√5²×2×√2= ^√6

5×2 =^√6

10

如果根號內仍有分數怎麼辦呢？

Ex5. 將下列各式化為最簡根式：

(1) √²

3 (2) √⁵

18

解題思維：

其實就是利用分母有理化的方式去進行化簡。

像是 √²

3 可以化成 ^√2

√3 ，然後要消除分母的根式就是分子分母同 乘以 √3 ，就可以繼續算下去了！

解：(1) √²

3= ^√2

√3= ^√2×√3

√3×√3= ^√6

3

(2) √⁵

18 = ^√5

√18 = ^√5×√2

√3²×2×√2 =^√10

6

如果根號內仍有小數怎麼辦呢？

Ex6. 將下列各式化為最簡根式：

(1) √0.2 (2) √3.2 解題思維：

我們只要將小數化成分數，就可以繼續算下去了！

解：(1) √0.2 = √²

10 = ^√2×√10

√10×√10 = ^√20

10

== ^√5

5

51

(2) √3.2 = = √¹⁶

5 = ^√16

√5 = ^4×√5

√5×√5= ^4√5

5

52

重點提問

1. 從上面的課文中，大致上有三類的根式仍然還不是最簡根式，請 問是哪三類？

2. √108 是不是最簡根式？為什麼？

如果不是的話，請用上面課文中化簡的技巧將它化為最簡根式。

3. √⁷

12 是不是最簡根式？為什麼？

如果不是的話，請用上面課文中化簡的技巧將它化為最簡根式。

53

4. ³

√11 是不是最簡根式？為什麼？

如果不是的話，請用上面課文中化簡的技巧將它化為最簡根式。

B.隨堂練習

1.將下列各式化為最簡根式：

(1) √108 (2) √128 (3) √450

2. 將下列各式化為最簡根式：

(1) √2³× 3²× 5² (2) √2⁶× 5³ (3) √3³× 7⁷

54

3.計算下列各式，並將結果化為最簡根式：

(1) √10 × √20 × √8 (2) √18 × √12 × √44

4. 將 ^√8

√27 化為最簡根式。

5. 將下列各式化為最簡根式：

(1) √⁶

7 (2) √⁹

50 (3) √0.9 (4) √5.6

55

單元二：根式的運算

課文 C：根式的加減

我們接下來要說的就是根式的加減。

先回憶一下，二元一次式的化簡。

今天如果要化簡 5𝑥 + 3𝑦 + 2𝑥 − 5𝑦 這個二元一次式的話，

因為同類項才可以合併，所以可以先將同類項標記出來：

然後知道含有 𝑥 項的是 5𝑥 和+2𝑥 合併化簡得到 7𝑥，

含有 𝑦 項的是+3𝑦 和 −5y 合併化簡得到−2𝑦。

所以 5𝑥 + 3𝑦 + 2𝑥 − 5𝑦 = 7𝑥 − 2𝑦。

而根式的加減也有類似的規則，

那就是「同類方根能進行合併，非同類方根不能合併」。

什麼是同類方根呢？

𝑎, 𝑏 均為正數，若將 √𝑎 與 √𝑏 化為最簡根式後，根號內的數相同，

我們就稱為它們為同類方根。

舉個例子，√12 與 √27。

先化簡成最簡根式：√12 = √4 × 3 = 2√3，√27 = √9 × 3 = 3√3。

56

像這樣子，√12 的最簡根式 2√3 與 √27 的最簡根式 3√3 的根號部 分都是 √3 ，我們就稱 √12 與 √27 是同類方根。

同類方根在根式的加減非常好用，因為我們只要把同類方根進行合 併就好，不是同類方根就沒辦法合併。

我們來看個例題。

Ex1.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。

(1) 5√3 + 2√3 (2) 7√2 − √2 (3) √5 + 5√5 解題思維：

5√3 + 2√3 所代表的是 5 個 √3 加上 2 個 √3 ，那加完之後就 是有 (5 + 2) 個 √3 ，也就是 (5 + 2)√3 = 7√3。

7√2 − √2 所代表的是 7 個 √2 扣掉 1 個 √2 ，那扣完之後就是 有 (7 − 1) 個 √2 ，也就是 (7 − 1)√2 = 6√2。

解：

(1) 5√3 + 2√3 = (5 + 2)√3 =

7√3

6√2

6√5

Ex2.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。

57

(1) 5√3 − 2√2 + √3 + 3√2 (2) 2√11 + 2√6 + 2 − 3√11 + √6 解：

(1)

5√3 − 2√2 + √3 + 3√2

=

6√3 + √2

這題有不同類型的同類方根。

一類是與 √3 有關的同類方根。有兩個，分別是 5√3 和 +√3，

兩個合併化簡後會得到 6√3 。

另一類是與 √2 有關的同類方根。也有兩個，分別是 −2√2 和 +3√2，兩個合併化簡後會得到 +√2。

所以 5√3 − 2√2 + √3 + 3√2 合併化簡出來的結果是 6√3 + √2。

58

(2)

2√11 + 2√6 + 2 − 3√11 + √6

=

−√11 + 3√6 + 2

我們要先分組： 2√11 + 2√6 + 2 − 3√11 + √6

與 √11 有關的同類方根有兩個，分別是 2√11 和 −3√11，兩個 合併化簡後會得到 −√11。

與 √6 有關的同類方根也有兩個，分別是 +2√6 和 +√6 ，兩個 合併化簡後會得到 +3√6。

另外有一個+2 ，沒有跟它同類的。

所以 2√11 + 2√6 + 2 − 3√11 + √6 合併化簡出來的結果是

−√11 + 3√6 + 2。

省思：

當我們遇到有多組不同類型的同類方根要進行加減時，我們必 須先將同類方根分為同一組，再把同組的同類方根進行合併。

59

Ex3.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。

(1) √63 − √75 (2) √48 + 5√12 解題思維：

在遇到還沒化為最簡根式的根式加減計算時，會比較難以看出 同類方根，所以我們會先把各個根號化成最簡根式，再利用「同 類方根進行合併，非同類方根不能合併」去合併化簡。

解：

(1) √63 − √75 =

3√7 − 5√3

√63 與 √75 不是最簡根式，換成最簡根式：√63 = √9 × 7 = 3√7、√75 = √25 × 3 = 5√3，化簡後發現這兩個根式不是同 類方根，所以不能合併，所以 √63 − √75 = 3√7 − 5√3 就已經 是化到最簡了！

(2) √48 + 5√12 = 4√3 + 5√2²× 3 = 4√3 + 10√3 =

14√3

√48 與 5√12 不是最簡根式，先換成最簡根式：

√48 = √16 × 3 = 4√3；5√12 = 5√4 × 3 = 5 × 2 × √3 = 10√3，

發現這兩個都是與 √3 有關的同類方根，所以合併後就是 10√3。

Ex4.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。

60

(1) √63 − 3√28 + √175 (2) √20 + √80 + √125 + √180 解：

(1) √63 − 3√28 + √175 = 3√7 − 6√7 + 5√7 =

2√7

√63 、 3√28 與 √175 都不是最簡根式，先換成最簡根式：

√63 = √9 × 7 = 3√7、3√28 = 3√4 × 7 = 3 × 2 × √7 = 6√7、

√175 = √25 × 7 = 5√7，

發現這三個都是 √7 有關的同類方根，

√63 − 3√28 + √175 = 3√7 − 6√7 + 5√7 = (3 − 6 + 5)√7 所以合併後就是 2√7。

(2) √20 + √80 + √125 + √180 = 2√5 + 4√5 + 5√5 + 6√5 =

17√5

說明：

√20 、 √80 、 √125 與√180 都不是最簡根式，先換成最簡根 式：

√20 = √4 × 5 = 2√5、√80 = √16 × 5 = 4√5、

√125 = √25 × 5 = 5√5、√180 = √36 × 5 = 6√5，

發現這三個都是 √5 有關的同類方根，

√20 + √80 + √125 + √180 = 2√5 + 4√5 + 5√5 + 6√5

= (2 + 4 + 5 + 6)√5 = 17√5 所以合併後就是 17√5。

61

Ex5.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。

(1) ¹

√2+^√2

2 (2) √⁵

4− √⁴

5 解：

(1) ¹

√2+^√2

2 = ^1×√2

√2×√2+^√2

2 =^√2

2 +^√2

2 =

√2

1

√2 分母有根號，所以不是最簡根式，先換成最簡根式：

1

√2 分子分母同乘√2，¹

√2=^√2

2。 而 ^√2₂ 其實等於 ¹

2√2 ，也就是所謂的 ¹₂ 個 √2。

發現這兩個都是與 √2 有關的同類方根，¹

2 個 √2 加上 ¹₂ 個 √2 就是有 1 個√2，所以合併化簡後就是 √2。

(2) √⁵

4− √⁴

5 =^√5

√4−^√4

√5= ^√5

2 −^2√5

5 = (¹

2−²

5) √5 = ¹

10

√5

說明：

√⁵

4 與 √⁴

5 根號裡面有分數，所以不是最簡根式，先換成最簡根 式：

√⁵

4 其實就是分子開根號分母開根號 ^√5

√4 ，分母 √4 就直接是 2 ， 所以 √⁵₄ = ^√5

2 就是最簡根式了！

√⁴

5 其實就是分子開根號分母開根號 ^√4

√5 ，分子 √4 就直接是 2 ， 所以 √⁴

5 = ²

√5 ，分母還有根式，所以不是最簡根式，還要再化

62

簡。

分子分母同乘 √5 ，所以 ^2×√5

√5×√5 = ^2√5

5 結果就是最簡根式了。

而 ^√5₂ 等於 ¹

2√5 ，也就是所謂的 ¹₂ 個 √5；^2√5₅ 等於 ²₅√5 ，也就是 所謂的 ²

5 個 √5。

發現這兩個都是與 √5 有關的同類方根，¹

2 個 √5 減掉 ²₅ 個 √5 就是有 (¹

2−²

5) 個√5，(¹

2−²

5) 同時通分母後 (⁵

10− ⁴

10) = ¹

10 。所 以合併後就是 ¹

10√5。

63

重點提問

1.請用自己的話解釋什麼是「同類方根」？

2. 連連看，將同類方根連在一起。

√2 √24 ^√5

2 3√7 ^√2

√12

‧

‧

‧

‧

‧

‧

‧

‧

‧

‧

√3 √5 2√6 2√2 ¹

7√7 3. 請問根式的加法怎麼運算？

請用這個運算規則計算 2√5 + 5√2 − √5 − 3√2 。

4. 「4√8 + √3 − √2 + 2√3 − √5」

64

(1)上面根式當中，請問有幾類同類方根？

(2)計算上面根式，並將結果化為最簡根式。

C.隨堂練習

1.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。

(1) 3√3 + 2√3 (2) 6√6 − √6 (3) √7 + 3√7

65

2.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。

(1) 6√2 + 4√3 + √2 − 2√3 (2) 6√13 + 3√7 − 5 − 6√7 − √13

3.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。

(1) √27 − √24 (2) 2√75 + √108

4.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。

(1) √363 − 2√27 + 4√48 (2) √5 + √45 + √125 + √245

5.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。

66

(1) ²

√3+^√3

2 (2) √⁸

9− √⁹

8

67

單元二：根式的運算

課文 D：根式的四則運算

接下來我們要來看根式的四則運算，既然是四則運算，當然有加減 跟乘除還有括號都存在。

我們先來看一下分配律的題目！

Ex1.計算 √3(√15 + √21)，並化為最簡根式。

解：

√3(√15 + √21) = √3 × √15 + √3 × √21 =

3√5 + 3√7

這其實是分配律，括號中的 √15 跟 √21 其實共同擁有外面的 √3，我們將 √3 乘進去 √3(√15 + √21) =√3 × √15+

√3 ×

√21

我們可以用「集滿兩個換出去」，15 拆成 3 × 5、21 拆成 3 × 7

√3 × √15 + √3 × √21

所以 √3 × √15 = 3√5、√3 × √21 = 3√7，

答案就是 3√5 + 3√7。

68

Ex2.計算 (3√5 − 2)(4√5 + 3)，並化為最簡根式。

解：

(3√5 − 2)(4√5 + 3) =3√5 × 4√5

+ 3√5 × 3 − 2 × 4√5 − 2 × 3

= 60

+ 9√5 − 8√5 − 6

54 + √5

這是兩個根式乘以兩個根式，就是利用分配律分別相乘，

(3√5 − 2)(4√5 + 3)

第一個箭頭：3√5 × 4√5，外面乘外面3 × 4 = 12、裡面乘裡面

√5 × √5 = 5，所以第一個就是12 × 5 = 60。

第二個箭頭：3√5 × 3 = 9√5。

第三個箭頭：−2 × 4√5 = −8√5。

第四個箭頭：−2 × 3 = −6。

所以就是 60

+ 9√5 − 8√5 − 6 ，

同類方根可以合併，60 − 6 = 54、9√5 − 8√5 = √5，

因此 54 + √5 就是答案。

69

接下來我們來看一下跟乘法公式有關的題目！

Ex3.計算下列各式，並化為最簡根式。

(1) (3 − 2√7)² (2) (2√5 + 3√2)² (3) (√5 + 1)(√5 − 1)

解：

(1)

(3 − 2√7)² = 3²− 2 × 3 × 2√7 + (2√7)²

= 9 − 12√7 + 28 =

37 − 12√7

這一小題其實就是利用差的平方公式：(𝑎 − 𝑏)² = 𝑎²− 2𝑎𝑏 + 𝑏²

把 (3 − 2√7)² 括號內的 3 當成 𝑎，2√7 當成 b 。 所以 (3 − 2√7)² = 3²− 2 × 3 × 2√7 + (2√7)²

( 𝑎 − 𝑏 )² = 𝑎²− 2𝑎𝑏 + 𝑏²

= 9 − 12√7 + 28 = 37 − 12√7

70

(2)

(2√5 + 3√2)² = (2√5)²+ 2 × 2√5 × 3√2 + (3√2)²

= 20 + 12√10 + 18 =

38 + 12√10

這一小題其實就是利用和的平方公式：(𝑎 + 𝑏)² = 𝑎²+ 2𝑎𝑏 + 𝑏²

把 (2√5 + 3√2)² 括號內的 2√5 當成 𝑎，3√2 當成 b 。 所以 (2√5 + 3√2)² = (2√5)²+ 2 × 2√5 × 3√2 + (3√2)²

( 𝑎 + 𝑏 )² = 𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏²

(3)

(√5 + 1)(√5 − 1) = √5²− 1² = 5 − 1 =

4

這一小題其實就是利用平方差公式：(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎² − 𝑏² √5 當成 𝑎，1 當成 b 。

所以 (√5 + 1)(√5 − 1) = √5²− 1²

( 𝑎 + 𝑏 )( 𝑎 − 𝑏 ) = 𝑎² − 𝑏²

= 5 − 1 = 4

71

看完一些根式的四則運算後，我們來看個奇怪分數： ²

√5:1。 請問一下這個奇怪的分數： ²

√5:1 是不是一個最簡根式？

當然不是啊！看它的分母：√5 + 1 ，含有根式，而且實際上它還可 以繼續化簡，化簡到分母不含有根式。

文本 B 當中有提到，當分母為一個 √𝑎 時，再乘一個 √𝑎 就會使得

「√𝑎 × √𝑎 = 𝑎」，分母的根式就會消除。

如果我們 ²

√5:1 分子分母同乘以 √5 ，會發現 (√5 + 1) × √5 = 5 +

√5，分母一樣會有根式。

那該怎麼辦呢？

我們就利用平方差公式：(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎²− 𝑏² 來解決這個問題。

分母是 (√5 + 1) ，就把它當成是 (𝑎 + 𝑏) ，那還需要乘以一個 (𝑎 − 𝑏) 來湊成平方差公式，也就是還需要乘以 (√5 − 1)。

(√5 + 1)(√5 − 1) = (√5)²− 1² = 5 − 1 = 4 ，這樣分母就成功消 除根式了。

分母乘以 (√5 − 1)，要維持分數的相等，當然分子也要乘以(√5 − 1)。

所以 ²

√5:1 = ^2(√5;1)

(√5:1)(√5;1) = = ^(√5;1)

2 ， ^(√5;1)

2 就是 ²

√5:1 的最簡根式。

我們來看一題練習題。

Ex4.將下列根式化為最簡根式

72

(1) ⁷

√13;√6 (2) ²

√21:5 解：

(1) ⁷

√13;√6= ^{7(√13:√6)}

(√13;√6)(√13:√6) = ^{7(√13:√6)}

√13²;√6² = ^{7 ( 13 6)}

7



√13 +

√6

說明：

分母是 (√13 − √6) ，要利用平方差公式將分母有理化，所以 將它分子分母同乘以 (√13 + √6)。

分母 (√13 − √6) × (√13 + √6) = √13² − √6² = 13 − 6 = 7；

分子就是 7 × (√13 + √6)。

發現分子分母可以同時約掉 7 ， ^{7 ( 13 6)}

7



(2) ²

5:√21 = ^2(5;√21)

(5:√21)(5;√21) =^2(5;√21)

5²;√21² = =^5;√21

2

說明：

分母是 (5 + √21) ，要利用平方差公式將分母有理化，所以將 它分子分母同乘以 (5 − √21)。

分母 (5 + √21) × (5 − √21) = 5² − √21² = 25 − 21 = 4；

分子就是 2 × (5 − √21)。

發現分子分母可以同時約 2， =^5;√21₂ 。

73

重點提問

1. 請問如何化簡一個分母為 √𝑎 − √𝑏 的根式呢？

請利用這個方法將 ¹

√7;√6 化為最簡根式。

D.隨堂練習

1.計算 √10(√15 + √6)，並化為最簡根式。

2.計算 (2√7 + 3)(√7 − 4)，並化為最簡根式。

3.計算下列各式，並化為最簡根式。

(1) (5 + 3√2)² (2) (5√2 − 2√3)² (3) (4 + 3√7)(4 − 3√7)

74

4.將下列根式化為最簡根式 (1) ¹¹

√15;√4 (2) ⁹

√18:6

75

單元三：畢式定理 課文 A：畢式定理

我們國小學過，一個三角形當中如果有一個角是直角，那麼我們就 稱那個三角形是直角三角形。這單元當中，直角三角形很重要！

如右圖，在直角三角形當中，

直角的兩個旁邊，我們都稱為「股」；

不是直角的旁邊，是直角的對面，我們稱它為「斜邊」。

而在中國著名的古代數學著作《九章算術》中，直角兩旁較短的邊 為「勾」、較長的邊為「股」；直角的對面，稱為「弦」。

那這兩股與斜邊之間有什麼關係呢？

我們從下面的圖來試著觀察看看！

在圖中，有 4 個直角三角形跟 1 個正方形甲，合成一個大正方形。

而且這 4 個三角形其實都是一樣的。

所以 正方形甲的面積 = 大正方形 − 四個直角三角形面積

= − 四個

𝑐² = (𝑎 + 𝑏)² − 4 ×^𝑎𝑏

2

76

= 𝑎²+ 2𝑎𝑏 + 𝑏² − 2𝑎𝑏

= 𝑎²+ 𝑏²

從上面的說明，我們就可以知道：𝑐² = 𝑎²+ 𝑏²， 而 𝑎, 𝑏, 𝑐 其實就是直角三角形的三邊長，

𝑐 就是這個直角三角形的斜邊，𝑎, 𝑏 就是這個直角三角形的兩股，

所以 𝑐² = 𝑎² + 𝑏² 代表的就是

「直角三角形中，斜邊平方等於兩股平方和」，

這種關係我們就稱作畢氏定理或勾股定理。

我們來練習一下題目！

Ex1.已知下列各直角三角形的兩股長，求斜邊長。

(1) (2) 解：

(1) 假設斜邊為 𝑥 ，根據畢氏定理「斜邊平方等於兩股平方和」，

𝑥² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 𝑥 = ±√169 = ±13

因為斜邊長 > 0，所以斜邊長= 13。

(2) 假設斜邊為 𝑦 ，根據畢氏定理「斜邊平方等於兩股平方和」，

77

𝑦² = 7²+ 24² = 49 + 576 = 625 𝑦 = ±√625 = ±25

因為斜邊長 > 0，所以斜邊長= 25。

上面這題是我們知道兩股長，利用畢氏定理求斜邊長。

接下來我們知道斜邊及其中一股長，要利用畢氏定理求另一股長。

Ex2.已知下列各直角三角形的斜邊及一股長，求另一股長度為何？

(1) (2)

解：

(1)設要求的股長為 𝑥 ，根據畢氏定理「斜邊平方等於兩股平方和」，

𝑥²+ 3² = 5²⇒ 𝑥²+ 9 = 25 ⇒ 𝑥² = 25 − 9 = 16 𝑥 = ±√16 = ±4 ，股長必為正的，所以另一股為 4 。

(2) 設要求的股長為 𝑦 ，根據畢氏定理「斜邊平方等於兩股平方和」，

𝑦²+ 8² = 17²⇒ 𝑦²+ 64 = 289 ⇒ 𝑦² = 289 − 64 = 225 𝑥 = ±√225 = ±15 ，股長必為正的，所以另一股為 15 。

78

Ex3.求出下列各矩形的對角線長。

(1) (2)

解題思維：

我們如果有直角三角形，就可以利用畢式定理了，

所以我們要想辦法做出直角三角形。

因為矩形四個是直角，所以將對角線畫起來，

連起來後就有直角三角形了！

這個直角三角形裡，

剛好矩形的長跟寬就是直角三角形的兩股，

對角線就是直角三角形的斜邊。

接下來就可以利用畢式定理「斜邊平方等於兩股平方和」，求 出矩形的對角線長了！

解：

(1) 將對角線令為 𝑥 ，

根據畢氏定理可以列式：𝑥² = 8²+ 13² 𝑥² = 8²+ 13² = 64 + 169 = 233，

𝑥 = ±√233 (因為對角線長是長度，所以負不合)