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目 錄

單元一:平方根與近似值... 1

課文 A:根號的意義 ... 1

課文 B:根號的值 ... 11

課文 C:平方根的意義 ... 28

單元二:根式的運算... 36

課文 A:根式的乘除 ... 36

課文 B:最簡根式與分母有理化 ... 43

課文 C:根式的加減 ... 55

課文 D:根式的四則運算 ... 67

單元三:畢式定理... 75

課文 A:畢式定理 ... 75

課文 B:平面上兩點間的距離 ... 88

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(3)

1

單元一:平方根與近似值

(一)課文 A:根號的意義

這個全新的單元我們要學根號還有畢氏定理!

什麼是

根號

呢?

我們現在用一個例子來討論一下。

如果有人問你:有一個正方形,它的面積是 1,請問他的邊長是多少?

我們會馬上知道它的邊長是 1,因為 1 × 1 = 1。

又有另一個人問你:有一個大一點的正方形,它的面積是 4,請問他 的邊長是多少?

我們也可以算出它的邊長是 2,因為 2 × 2 = 4。

那你心裡會不會想:在正方形面積從 1 到 4 中間,有沒有一種正方形 它的面積是 2?或是有沒有一種正方形它的面積是 3?

當然有!我們先把它畫出來。

那你會不會好奇,它們的邊長分別會是多少呢?

我們來做一點簡單的觀察,你會發現當正方形面積為 1 時邊長為 1,

(4)

2

當正方形面積為 4 時邊長為 2,面積 2 和面積 3 的正方形夾在面積 1 和面積 4 中間。

所以面積為 2 和 3 的正方形,邊長應該夾在 1 和 2 中間。

我們可以大膽的猜測,邊長是 1 和 2 中間的一半,也就1.5。

而當邊長為1.5時,正方形面積為1.5 × 1.5 = 2.25。

這代表在面積為 2 和面積為 3 的正方形間,還夾有一個正方形,它的 邊長是 1.5,面積是 2.25。

由於面積2.25 的正方形比我們要求的面積 2 的正方形還要大。

所以我們要試試比 1.5 小一點的邊長。

我們來試試邊長 1.4 的正方形吧!

邊長 1.4 的正方形面積,等於1.4 × 1.4 = 1.96 。

所以我們可以發現邊長 1.4 的正方形面積1.96 比 2 來得小!

這代表在面積 2 的正方形前面有一個正方形的面積是 1.96。如下圖,

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3

因此,我們又可以知道面積 2 的正方形,邊長應該夾在 1.4 到 1.5 中 間。

我們繼續來試一下邊長 1.45 。算一下 1.45 × 1.45 = 2.1025,又比面 積是 2 的正方形大一點點。

接著再試邊長 1.41,算一下1.41 × 1.41 = 1.9881,那我就知道面積 為 2 的正方形夾在邊長為 1.41 和 1.45 的中間。

1.41 和 1.45 的中間是什麼數字?

我們猜一下數字1.413,面積等於1.413 × 1.413 = 1.996569,越來越 接近 2 了!

雖然我們可以這樣一直做下去,讓面積越來越接近 2。

但事實上,不管怎麼找,我們其實找不到一個曾經學過的數,它所圍

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4

成的正方形面積會剛好等於 2!

那麼,面積為 2 的正方形邊長究竟是什麼呢?

於是數學家們利用〝 √

〞(唸作根號)這個符號,創造出一種新的 數來解決這個問題。

例如,正方形面積為 2 ,我們就將邊長直接表示為„ √ 2 ‟,唸作

「根號 2 」;

同樣的,正方形面積是 3,那我們就將邊長直接表示為〝 √ 3 〞,

唸做「根號 3 」。

我們將√ 2 和√ 3 這樣的數,稱做「根號數」。

有了這個符號„ √

,表示一個正方形的邊長就輕鬆多了。我們連 算都不用算!只要在前面掛一個 √

就好。

正方形面積為 2 的邊長是 √2 ,正方形面積為 3 的邊長是 √3 。 所以,我們可以將正方形面積和邊長的關係寫出下面的等式:

√正方形面積 = 邊長。

我們都知道正方形面積算法是「邊長2 = 邊長 × 邊長 = 面積」。

因此,如果√2 代表正方形面積為 2 的邊長,那麼 (√2)2 就會是在算

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5

這個正方形面積,也就是 2,我們就可以寫出下面的等式

(√2)2 = √2 × √2 = 2。

從這個等式,我們可以觀察到兩件事,第一、√ 2 的平方會等於 2,

也就是(√ 2 )2 = 2,第二、√2 × √2 = 2。

所以,當我們看到某一個根號數的平方時,就可以直接求出答案,如 (√ 7 )2就可以馬上知道(√ 7 )2 = 7,同樣的道理(√ 11 )2 = 11。

而當兩個相同的根號數相乘時,我們同樣也可以直接求出答案,如

√ 7 × √ 7 = 7,√ 11 × √ 11 = 11。

接著,我們就來做一些題目,練習上面這些觀念。

Ex1.正方形面積為 5 ,則邊長為 ; 正方形邊長為 √7 ,則面積為

解:我們利用〝 √

〞這個符號,來表示一個正方形的邊長。所以 正方形面積為 5 ,則邊長就會是 √ 5 ;

那麼正方形邊長為 √ 7 ,則面積就會是 7。

Ex2.計算下列各式.

(8)

6

(1) (√ 11 )2 = (2) (√ 4.9 )2 = (3) (√ 2

3 )2 = 解:

(1) (√11)2 = √11 × √11 =

11 ,

(2) (√4.9)2 = √4.9 × √4.9 =

4.9 ,

(3) (√2

3)2 = √2

3× √2

3= 2

3

既然我們利用

(根號)來表示一個正方形面積的邊長的話,它就 會有一些限制!

想一下,前面說的„ √正方形面積 = 邊長‟。

我們知道正方形面積與邊長不會有負值,所以根號內的數和根號本身 的值也不可以為負。

例如,因為不會有正方形的面積是 −3,所以在國中階段不會有 √−3 這種數。

而因為也沒有正方形的邊長會是 −3,所以也不會有一個數 a 的根號 值是 −3,也就是不會有√ a = −3。

接下來我們要來談一談,如何比較兩個根號數的大小。如√2 和√ 5 3

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7

當我們要比較 √2 和√53 的大小時,我們可以利用根號的定義來想一下。

√2 表示正方形面積為 2 的邊長,√53 表示正方形面積為 5

3 的邊長。如 下圖,

很明顯的知道面積為 2 的正方形比面積為 5

3 的正方形還要大,所以正 方形面積為 2 的邊長 √2 當然比正方形面積為 53 的邊長 √5

3 還要大。

Ex3.試比較 √99 和 10 的大小。

解:

我們想比較這兩個數值時,直接比較是很困難的,所以我們就借 用以這兩個數為邊長所圍成的面積來比較,也就是將這兩個數分 別平方:(√99)2 = 99、(10)2 = 100。

平方後的值就是以其邊長所圍成的正方形面積,當正方形面積越 大,其邊長自然越大。我們很明顯可以知道 100 > 99 ,因此 10 > √99 。

2 5

√2 3

5

3

(10)

8

重點提問

1. 請問在上面的課文中,「√ 」唸成什麼?請你用自己的話解釋 什麼是「√ 」?

2. 從上面的課文中,我們利用到根號來表示正方形邊長的大小,也 就是√正方形面積 = 邊長,請問這會產生什麼限制?

3. 要如何比較 √7 和 √8 的大小?為什麼可以這樣比較?

(11)

9

A.隨堂練習:

1. 以下都是正方形,請填寫它的邊長。

2. 以下都是正方形,請填寫它的面積。

3. 請算出以下的值。

(1) √6 × √6 = (2) √11 × √11 = (3) (√15)2 = (4) (√23)2 =

面積=12

面積=6 面積=8

面積=15

√5 面積= √11 面積=

(12)

10

4. 比較下列各小題中,兩數的大小關係:(在空格中填入>、=、<) (1) √8 √11

(2) √25 5 (3) √17 4 (4) √11

4 √3 (5) √0.1 0.1

還是不太懂,請看下面影片(1)

https://www.youtube.com/watch?

v=VVDCF--actE

還是不太懂,請看下面影片(2)

https://www.youtube.com/watch?

v=egPP9W_Hk7w

(13)

11

單元一:平方根與近似值

(一)課文 B:根號的值

從課文 A 我們知道根號(√ )可以用來表示正方形的邊長。

所以我們知道正方形面積為 2 的邊長是 √2 ;正方形面積為 3 的邊長 是 √3 ;正方形面積為 4 的邊長是 √4 。

而這個 4 剛好是 2 的平方(22) ,甚至知道面積為 4 的正方形邊長其實 就是 2 ,所以我們就知道 √4、√22、2 這三個是相等的,也就是:

√4 = √2 2 = 2

就可以將√4的值算出來。那麼,除了√4以外,還有沒有其他數的根 號數可以算出一個準確的值?

當然有!

例如:√9 = √32 = 3、√16 = √42 = 4、√25 = √52 = 5...

你有沒有發現這些可以直接算出根號值的數,剛好都是某一個數的平 方,如9 = 32、16= 42、25= 52,像這樣恰好是另一個數的平方的數,

我們稱作「完全平方數」。

只要根號內的數是「完全平方數」,就可以直接算出根號數的值,如

√9 = √32 = 3、√16 = √42 = 4、√25 = √52 = 5。

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12

接著,我們利用以下例題來練習上面的觀念。

Ex1.計算下列各數

(1) √81 (2) √441 (3) √784 解題思維:

我們要算出一個根號的值,要試著去看看根號內的數是否為「完 全平方數」。例如 81 我們一下就知道是 9 的平方了。

但是如果那個數比較大,沒辦法直接看出來,那就要先將那個數 做因數分解,再將結果兩兩配對成某個數的平方,例如 441 這個 數字就稍微大了一些,所以我們利用短除法做因數分解,

會發現 441 = 32× 72 ,有 2 個 3 、2 個 7 ,

所以 441 = (3 × 7)2。接下來就可以直接算出根號的值了!

(15)

13

解:

(1) 81 = 92,所以 √81 = √92 =

9。

(2) √441 = √32× 72

= √(3 × 7)2

= 3 × 7 =

21

441 = 32× 72

(3) √784 = √42× 72

= √(4 × 7)2

= 4 × 7 =

28

784 = 42× 72

除了正整數以外,有些分數也可以利用同樣的想法去計算!

(16)

14

Ex2.計算下列各數 (1) √81

121 (2) √100

441

解題思維:

在計算分數根號的值時,其實是跟整數的道理是一樣的,我們也 是試著將分數處理成某個分數的平方,例如 81

121 ,分子分母分別 利用短除法來因式分解,像是 81 = 92、121 = 112 ,因此

81

121 = 92

112 = (9

11)2。接下來就可以直接算出根號的值了!

解:

(1)

81

121 = 92

112 = (9

11)2

81

121 = 9

11

(2)

100

441 = 102

32×72 = 102

(3×7)2 = (10

21)2

100

441 =10

21

441 = 32 × 72

(17)

15

當遇到帶分數時,要怎麼處理呢?

Ex3.計算 √1 9

16 = 解題思維:

我們在計算帶分數的根號時,我們必須要先化成假分數,1 9

16 =25

16 , 然後再處理成某個分數的平方,25

16 = ( 5

4)2 。接下來就可以直接算 出根號的值了!

解:

1 9

16 =25 16 =52

42 = (5 4)2

1 9

16 = 25

16 = (5

4)2 =

5

4

(18)

16

有些同學會以為,在計算 √1 9

16 時,認為根號內的 1 是12、9 是32 , 而 16 是42。所以就將√1 9

16 誤認為會等於 13

4 。 如果,√1 9

16 真的等於 1 3

4 ,那代表1 3

4 平方後會等於1 9

16。 我們試著來做一下1 3

4 的平方,看看它會不會真的等於1 9

16。 (13

4)2 = (7

4)2 = 49

16 = 217 16 你有沒有發現1 3

4 平方後,並不會等於1 9

16。 換句話說,√1169 並不等於 1 3

4 。

所以千萬記得,在計算帶分數的根號值時,必須要先化成假分數

才可以喔!

常見的錯誤...

(19)

17

如果是要算小數的根號時,要怎麼做呢?

Ex4.計算下列各數

(1) √0.04 (2) √20.25 解題思維:

在計算小數的根號時,如果這個小數一眼就可以看出是什麼數的 平方的話,就可以直接算出來,例如 0.04 = (0.2)2 。但是有一些 稍微複雜點,就要先化為分數,例如 20.25 = 2025

100 。

在小數化成分數當中有一個小秘訣,就是看這個小數的最小位數,

像 20.25 的最小位數是 5 ,它在百分位,所以分母就是 100 ,而 分子就是 2025 。化為分數後,就可以繼續算下去了!

解:

(1) 0.04 = (0.2)2

√0.04 =

0.2

(2) 20.25 = 2025

100 =52×92

102 = (5×9

10)2

√20.25 = 5×9

10 =45

10 =

4.5

(20)

18

當根號內的數值是某個整數或是分數的平方時,我們可以輕易的把結 果算出來,例如 √4、√64、√4

9 、√0.25 等…。

但是像是 √2、√3 這類不是某個整數或是分數的平方的,我們就沒辦 法準確得算出大小,所以我們必須透過一些方法估算出 √2 或 √3 的 近似值,那這些方法包括哪一些呢?

包括十分逼近法、查表法及使用計算機。

方法一:十分逼近法

我們用一個例子來說明十分逼近法是什麼:

EX5.請以十分逼近法計算出 √2 的近似值到小數點後第 2 位。

解題思維:

要算到小數點第二位,我們就要算小數點第三位,然後針對小數 點第三位四捨五入才有辦法算出來。

我們要找出 √2 的近似值,什麼叫作 √2 的近似值,就是我要去 找到一個 𝑎 ,它平方會等於 2。

什麼數平方以後會是 2 呢?讓我們大膽的猜一下。

12 = 1、22 = 4,仔細觀察剛剛這裡的數,這個數的平方是夾在 1~4 之間,所以這個數可推測是夾在 1~2 之間。

(21)

19

那 1~2 之間我們把它 10 等分,得到 1.1、1.2、1.3、1.4、1.5 … 一直到 1.9。

我要的是哪一點呢?

假設用 1.3,1.32 = 1.69 還不到 2 ,所以繼續下去;1.42 = 1.96,

很接近 2 了,再繼續下去 1.52 = 2.25 ,超過 2 了。而因為我們知 道 2 在 1.96~2.25 之間,所以平方等於 2 的這個數也會在

1.4~1.5 之間。

那我再繼續把它 10 等分分成 1.41、1.42、1.42、 … 、1.49 。 那我們猜 1.41 好了, 1.412 = 1.9881、1.422 = 2.0164,發現 2 在 這兩數之間,因此平方等於 2 的這個數會在 1.41~1.42 之間。

我們可以繼續分成 1.411、1.412、…、1.419 。

那要猜哪一個?比方說猜 1.4112

1.990921 還不到 2,所以繼續 1.4122

1.9937 也還不到 2,1.4132

1.9965 也不到 2,

1.4142

1.9993 很接近了,1.4152

2.0022 超過 2 了,所以知 道此數在 1.414 和 1.415 中間。

而這兩數中間有 1.4141、1.4142、1.4143、 … 、1.4149,所以又

1 2

1 √2 4

2

(22)

20

可以 10 等分繼續算下去。

像這樣子每個段落都給它 10 等分,慢慢地逼近 √2 的值,這種方 法就稱為十分逼近法。

算到最後,我們可以得到 √2 = 1.414 … 一直下去,不過這題目沒 有到這麼多位,只要求到小數第二位,所以算到 1.414 再對第三 位四捨五入就可以了。

解:

第一步:

12 = 1 22 = 4

√2 介於 1 和 2 之間,

√2 = 1.…

第二步:

(1.1)2 = 1.21 (1.2)2 = 1.44 (1.3)2 = 1.69 (1.4)2 = 1.96 (1.5)2 = 2.25

√2 介於 1.4 和 1.5 之間,

√2 = 1.4…

第三步:

1.412 = 1.9881 1.422 = 2.0164

√2 介於 1.41 和 1.42 之間,

√2 = 1.41…

第四步:

1.4112

1.990921 1.4122

1.9937 1.4132

1.9965 1.4142

1.9993 1.4152

2.0022

√2 介於 1.414 和 1.415 之間,

√2 = 1.414…

經過小數點第三位四捨五入後,√2

≒ 1.41

2

2

2

2

(23)

21

方法二:查表法

接下來要介紹求根號數的近似值第二種方法:查表法。

既然叫「查表法」,那麼就會有一張表,這張表叫「乘方開方表」。

𝑁 𝑁2 √𝑁 √10𝑁

14 196 3.7416 11.8321 15 225 3.8729 12.2744 16 256 4.0000 12.6491 17 289 4.1231 13.0384 既然叫做「乘方開方表」,表上當然可以看到有乘方也有開方。

例如當 𝑁 = 14 時,𝑁2 也就是 142 會等於 196 ;

√𝑁 也就是 √14 , √14 會接近 3.7416 (這個是近似值, 3.74162 不會 剛剛好等於 14 );√10𝑁 也就是 √140 會接近 11.8321 。

利用這張表,就可以計算相關數字的根號了!

那我們利用例題來看一下應該要怎麼使用。

(24)

22

EX6.利用乘方開方表,查出下列近似值。

(1) 172 (2) √15 (3) √160 (4) √324

𝑁 𝑁2 √𝑁 √10𝑁

14 196 3.7416 11.8321 15 225 3.8729 12.2744 16 256 4.0000 12.6491 17 289 4.1231 13.0384 18 324 4.2426 13.4164

(1)172:查 𝑁 = 17 ,對到 𝑁2,得到 172 =

289。

(2)√15:查 𝑁 = 15 ,對到 √𝑁,得到 √15

≒ 3.8729。

(3)√160:查 𝑁 = 160 ,對到 √10𝑁,得到 √160

≒ 12.6491。

(4)√324:在 𝑁 這欄當中,發現沒有324,但是整張表可以看到 𝑁 = 18 ,對𝑁2,得到 182 = 324,所以可以知道 √324 = √182 =

18。

(25)

23

方法三:使用計算機

除了十分逼近法和查表法之外,我們還可以使用計算機,雖然通常考 試中不能使用,但是在生活中就是一個很好的幫手喔!

我們在計算機上大部分都可以找到

鍵,我們就是利用這個鍵 來計算根號的近似值。

例如計算√3

第一步:輸入數字 3 第二步:按下

第三步:就可以得到答案了

√3

≒ 1.7320508075

可以驗證一下,用計算機計算

1.7320508075 × 1.7320508075

發現非常接近 3 !

(26)

24

重點提問

1. 請舉出一個可以準確計算出根號值的數字。這類數字有什麼樣的 特性?

(27)

25

B.隨堂練習:

1. 計算下列各數 (1) √100 = (2) √324 = (3) √576 =

2. 計算下列各數 (1) √16

25 = (2) √225

784 = (3) √441

121 =

3. 計算下列各數 (1) √111

25 = (2) √313

81 = (3) √114425 =

(28)

26

4. 計算下列各數 (1) √0.25 = (2) √1.96 = (3) √6.76 =

5. (1) √5 會介於哪兩個正整數之間?

(2) √8 會介於哪兩個正整數之間?

(3) √20 會介於哪兩個正整數之間?

6. 請利用十分逼近法計算出 √14 的近似值到小數點底下第 2 位。

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27

7. 利用乘方開方表,查出下列近似值。

𝑁 𝑁2 √𝑁 √10𝑁

17 289 4.123 13.038 18 324 4.242 13.416 19 361 4.358 13.784 20 400 4.472 14.142 40 1600 6.324 20.000

(1) 182 (2) √19 = (3) √170 = (4) √361 = (5) √400 =

還是不太懂,請看下面影

(十分逼近法)

https://www.youtube.com/

watch?v=g7nrMiqiC3U

還是不太懂,請看下面影

(查表法)

https://www.youtube.com /watch?v=PUsmj3pG_cg

還是不太懂,請看下面影

(計算機)

https://www.youtube.com/

watch?v=1wkpVssJH0E 還是不太懂,請看下面影

https://www.youtube.com/

watch?v=MAnymh61HQc

還是不太懂,請看下面影

https://www.youtube.com/

watch?v=gcYNaIoJ5l8

還是不太懂,請看下面影

https://www.youtube.com/

watch?v=lr9GJ5U7RFk

(30)

28

單元:平方根與近似值

(一)課文 C:平方根的意義

接下來我們來看一下「平方根」的意義。

我們以前學過平方的概念,當𝑏2 = 𝑎 時,我們會說 𝑎 是 𝑏 的平方,例 如 32 = 9,我們會說 9 是 3 的平方。

現在我們也可以相反地過來說。也就是,當𝑏2 = 𝑎 時,我們除了可以 𝑎 是 𝑏 的平方外,也可以相反地說 𝑏 是𝑎的「平方根」。

比方說,

32 = 9,我們可以說 9 是 3 的平方,也可以相反地說 3 是9的「平方 根」。

所以我們可以這樣來解釋什麼是平方根?某個正數 a 的平方根 m,就 是指 m 平方後會等於 a,也就是m2 = a。

因此,我們在判斷一數是否為另一數的平方根時,只要將它平方後確 認是否相等,如果真的相等,它就是另一數的平方根。

例如判斷 15 是否為 225 的平方根,只要算出 15 的平方(即152),確 認是 225 後,就可以確定 15 是 225 的平方根。

(31)

29

那麼一個正數的平方根只有一個嗎?

我們知道 3 是 9 的平方根,因為32 = 9 。而(−3) 的平方也會等於 9 , 即(−3)2 = 9,所以 (−3) 也會是 9 的平方根。

因此,我們知道一個正數的平方根會有兩個,一個是正數、另一個是 負數。

以 7 的平方根來說,我們要去找到 7 的平方根,就是要找到某一個數 平方後會等於 7。

我們知道 (√7)2 = 7 ,所以 √7 是 7 的一個平方根。

那麼 7 的另一個平方根是多少?

因為一個正數的的平方根會有兩個,一個是正數、另一個是負數。

所以 7 的另外一個平方根會是負數,也就是−√7,因為(−√7)2 = (−√7) × (−√7) = 7

從上面的討論中,我們可以知道一個正數的平方根都會有兩個,一正 一負,正的就稱為正平方根、負的就稱為負平方根,兩個互為相反數!

接下來我們來做一些例題來練習。

(32)

30

Ex1.求下列各數的平方根

(1) 17 (2) 64 (3) 25

81 (4) 1 9

16 (5) −169 解:

(1) 17 不是完全平方數,所以直接就知道正平方根 √17 ,但是 平方根有兩個且互為相反數,所以負平方根就是 −√17 。 (2) 64 是 8 的平方,所以就知道 64 的平方根是 8 和 −8 。 (3) 25

81 的正平方根是√25

81 = √52

92 =5

9,但是平方根有兩個且互為相 反數,所以負平方根就是 −5

9 。 (4)要求 1 9

16 的正平方根 √1 9

16 = √25

16 = √52

42 =5

4 ,但是平方根有 兩個且互為相反數,所以負平方根就是 −54

(5)不會有一個數的平方會是負的,所以不存在。

(33)

31

Ex2.回答下列問題

(1)若 𝑎 的正平方根為 √31 ,則 𝑎 = ,又 𝑎 的負平方根為何?

(2)若 𝑏 的負平方根為 −3 ,則 𝑏 = ,又 𝑏 的正平方根為何?

解:

(1) 𝑎 的正平方根為 √31,代表 √31 的平方為 𝑎 ,所以 𝑎 = (√31)2 =

31 ,而 𝑎 的負平方根為 −31 。

(2) 𝑏 的負平方根為 −3 ,代表 −3 的平方為 𝑏 ,所以

𝑏 = (−3 )2 =

9 ,而 𝑏 的正平方根為 3 。

Ex3.已知 −7 是 2𝑘 + 3 的負平方根,則 𝑘 = 解題思維:

−7 是 2𝑘 + 3 的負平方根,所代表的意思是 2𝑘 + 3 是−7 的平方,

2𝑘 + 3 = (−7)2 ,所以 2𝑘 + 3 = 49 ,就可以解出 𝑘 了。

解:

2𝑘 + 3 = (−7)2

⇒ 2𝑘 + 3 = 49

⇒ 2𝑘 = 46

⇒ 𝑘 =

23

(34)

32

Ex4.回答下列問題

(1)若 𝑚2 = 225 ,則 𝑚 = 。

(2)若 𝑛2 = 51 ,且 𝑛 < 0,則 𝑛 = 。 解:

(1) 𝑚2 = 225 ,指的意思是 𝑚 是 225 的平方根。 225 是 15 的平 方,所以 𝑚 為 15 或 −15 。

(2) 𝑛2 = 51 ,且 𝑛 < 0,指的意思是 𝑛 是 51 的負平方根,所以 𝑛 為 −√51 。

(35)

33

重點提問

1. 依據課文的解釋,請你說明一下什麼是「平方根」?

並舉一個例子來解釋。

(36)

34

C.隨堂練習:

1. 求下列各數的平方根 (1) 100

(2) 324

(3) 25

144

(4) 1 21

100

(5) 1.96

2. 回答下列問題

(1)若 𝑎 的正平方根為 8 ,則 𝑎 = ,又 𝑎 的負平方根為何?

(2)若 𝑏 的負平方根為 −√24 ,則 𝑏 = ,又 𝑏 的正平方根為 何?

(37)

35

3. 已知 6 是 3𝑚 + 3 的正平方根,則 𝑚 =

4. 已知−9 是 2𝑛 − 1 的負平方根,則 𝑛 =

5. 回答下列問題

(1)若 𝑥2 = 576 ,則 𝑥 = 。

(2)若 𝑦2 = 68 ,且 𝑦 > 0,則 𝑦 = 。

還是不太懂,請看下面影片(1)

https://www.youtube.com/watc h?v=xuN_L-nF3p0

還是不太懂,請看下面影片(2)

https://www.youtube.com/watch

?v=10dh6PpomdA

(38)

36

單元二:根式的運算 課文 A:根式的乘除

在這個單元中,我們要學根式的運算!

什麼是根式呢?

根式就是指含有根號的數或式子,像是 √5、√2 × √5、√12 ÷ √2 、

√27 − √12…等都叫根式。

回想一下,我們在國一學代數式時,有一些簡記的方式,而在根式 當中,也可以利用這些簡記規則去簡記一些根式。

例如:

2 × 𝑥 簡記成 2𝑥;2 × √3 就可以簡記成 2√3。

(−1) × 𝑥 簡記成 −𝑥;(−1) × √7 就可以簡記成 −√7。

4

5× 𝑥 簡記成 4

5𝑥 或是 4𝑥

5;4

5× √3 簡記成 45√3 或是 4√3

5 。

接下來,我們要看根式的乘法運算。

√3 × √7 這個式子會等於什麼?

我們先將它平方後變成整數,再開根號還原回來比較看看!

(√3 × √7)2 = (√3 × √7) × (√3 × √7) = √3×√7×

√3

×√7

= (√3×

√3) × (√7

×√7) = (√3)2× (√7)2 = 3 × 7

有兩個 √3 、兩個 √7!

我們換位置乘一下!

(39)

37

我們將 √3 × √7 平方後,發現 (√3 × √7)2 = 3 × 7;

再將 (√3 × √7)2 開根號還原回去 √3 × √7 ,而等號右邊 3 × 7 開根 號就會是 √3 × 7。

所以就會得到 √3 × √7 = √3 × 7。

從上面的這個例子,我們可以得到一個結論:

若 𝑎、𝑏 均大於等於 0,則 √𝑎 × √𝑏 = √𝑎 × 𝑏

我們來試試看其他題:

Ex1.計算下列各根式的乘積:

(1) √7 × √13 (2) √6 × √5

2 (3) √9

10× √5

2

解:

(1) √7 × √13 = √7 × 13 =

√91

(2) √6 × √5

2=

6 3 5

 2

=

√15

(3) √9

10× √5

2 =

9

10 2

 5

2

= √9

4 注意!√9

4 還可以繼續化簡,√9

4= √(3

2)2 = 3

2

(40)

38

Ex2.計算下列各根式的乘積:

(1) 2√7 × 5√3 (2) √7

5 × 8√5 (3) 25√11 ×34√3 解題思維:

這題根式乘積的計算已經跟上題有些不一樣了,每個根號前面 多了一個數。

我們來想一下,從前面根式的簡記可以知道:2√7 = 2 × √7 ; 5√3 = 5 × √3。

所以我們計算 2√7 × 5√3 時,

2√7 × 5√3 = 2 × √7 × 5 × √3 = 2 × 5 × √7 × √3

= (2 × 5) × (√7 × √3) = 10 × √21 = 10√21 仔細看這個計算的過程,其實會發現這個根式乘積的計算就是

“根號外面乘根號外面,根號裡面乘根號裡面”,例如在計算 2√7×5√3 時,根號外面乘根號外面就是 2×5,根號裡面乘 根號裡面就是 7×

3,所以 2√7

×5√3= (2×5)√

7

×

3

= 10√21。

解:

(1) 2√7×5√3= (2×5)√7×

3

=

10√21

(2) √7

5 其實就是 1

5√7,根號外面就是 15 ,根號裡面就是 7。

√7

5 × 8√5 = 15√7×8√5= (1

5×8) √7×

5

=8

5

√35

(41)

39

(3) 2

5√11×3

4√3= = 3

10

√33

看完根式的乘法運算後,來看一下根式的除法運算。

我們如果要計算√11 ÷ √2 這個式子呢?

回憶一下,我們之前有學過除法與分數的關係,例如 3

4 可以想像成 有兩種唸法,一種是由下往上唸,唸成「4 分之 3」;而另一種就是 由上往下唸,唸成「3 除以 4」。

這個用來除法運算換成分數或分數換成除法運算都非常好用,所以 √11 ÷ √2 其實就是 √11

√2。 這個分數會等於什麼?

我們先將它平方後變成整數,再開根號還原回來比較看看!

(√11

√2)2 = √11

√2 ×√11

√2 = √11×√11

√2×√2 = (√11)2

(√2)2 = 11

2 我們將 √11

√2 平方後,發現 (√11

√2)2 = 11

2; 再將 (√11

√2)2 開根號還原回去 √11

√2 ,而等號右邊 11

2 開根號就會是 √11

2。 所以就會得到 √11

√2 = √11

2 。 而 11

2 其實就是 11 ÷ 2 ,所以 √11 ÷ √2 = √11

√2 = √11

2 = √11 ÷ 2

(42)

40

所以我們得到一個結論:

若 𝑎 ≥ 0、𝑏 > 0 ,則 √𝑎 ÷ √𝑏 = √𝑎

√𝑏 = √𝑎𝑏 = √𝑎 ÷ 𝑏

我們來試試看其他題:

Ex3.計算下列各式:

(1) √48 ÷ √12 (2) √4

3÷ √2

9 (3) √12 ÷ √4

5

解:

(1) √48 ÷ √12 = √48 ÷ 12 = √4 =

2

=

√6

(2) √4

3÷ √2

9 = √4

2

9 =

=

√15

(3) √12 ÷ √4

5= √12 ÷4

5=

√4還可以化簡為 2 !

(43)

41

重點提問

1. 請問根式的乘法怎麼運算?

請用這個運算規則計算 5√6 × 3√5。

2. 請問根式的除法怎麼運算?

請用這個運算規則計算 √36

7 ÷ √7。

(44)

42

A.隨堂練習

1.計算下列各根式的乘積:

(1) √6 × √35 (2) √14 × √3

7 (3) √6

5× √10

3

2.計算下列各根式的乘積:

(1) 3√5 × 2√2 (2) √23 × 9√3 (3) 32√5 ×49√7

3.計算下列各式:

(1) √98 ÷ √2 (2) √7

15÷ √7

30 (3) √18 ÷ √6

5

還是不太懂,

請看下面影片(1)

https://www.youtube.com/

watch?v=vbbYeHt0BLk

還是不太懂,

請看下面影片(2)

https://www.youtube.com/

watch?v=kR5DsEqRqgo

(45)

43

單元二:根式的運算

課文 B:最簡根式與分母有理化

在根式的運算中,我們常常會希望式子可以盡量的簡單清楚而且有 一致性,所以我們就會借用最簡根式來做化簡處理。

什麼是最簡根式呢?就是指根式已經化簡到無法再化簡的根式!

像是 √8 是可以繼續化簡的:

√8

=

√22× 2

=

√22× √2 = 2 × √2 = 2√2

2√2 已經無法再化簡了,所以我們就稱 2√2 是 √8 的最簡根式。

又像是 √12:

√12 = √22× 3 = √22 × √3 = 2 × √3 = 2√3 ,

2√3 已經無法再化簡了,所以我們就稱 2√3 是 √12 的最簡根式。

我們來練習看看!

8 可以拆成 22× 2

根式的乘法運算:√𝑎 × √𝑏 = √𝑎 × 𝑏;

這個等式反過來看,即√𝑎 × 𝑏 = √𝑎 × √𝑏

(46)

44

Ex1.將下列各式化為最簡根式:

(1) √72 (2) √80 (3) √360 解題思維:

我們在化簡根式的時候,只要是完全平方數就可以再往外提出 去,目標就是要提到不能再提為止。所以我們在對根號內的數 因數分解時,可以盡量用完全平方數去分解。

解:

√72 = √4 × 9 × 2 = √4 × √9 × √2 = 2 × 3 × √2

= 6√2

而第(2)小題

√80 = √4 × 4 × 5 = √4 × 4 × √5 = 4 × √5 =

4√5

(3) √360 = √36 × 10 =

6√10

剛好兩個 4 !

(47)

45

Ex2. 將下列各式化為最簡根式:

(1) √22× 33× 5 (2) √24× 35 (3) √24× 54 解題思維:

跟上一題一樣,我們在化簡根式的時候,只要是完全平方數就 可以再往外提出去,這一個過程我們可以利用「集滿兩個換出 去」這個口訣記。

這個口訣是什麼意思呢?

像是 √22× 33× 5 = √22× 32 × 3 × 5 = √22× √32× √3 × 5

= 2 × 3 × √15 = 6√15 我們利用這個口訣,可以這樣想:

√22× 33× 5 = 2×

3

× √3×

5

= 6√15

再例如 √24× 35

√24× 35 = 22×

3

2× √3= 4 × 9 × √3 = 36√3 根號裡面有 2 個 2、3 個 3、1 個 5

原本裡面 2 個 2,

換出去外面變成 1 個 2

(48)

46

(49)

47

解:

(1) √22× 33× 5 = 2 × 3 × √15 =

6√15

(2) √24× 35 = 22× 32× √3 =

36√3

(3) √24× 54 = 22× 52 =

100

Ex3.計算下列各式,並將結果化為最簡根式:

(1) √6 × √8 × √12 (2) √10 × √14 × √98 解:

(1) √6 × √8 × √12 = √6 × 8 × 12 = √6 × (4 × 2) × (2 × 6)

= √6 × 4 × 4 × 6 = 6 × 4 =

24

說明:

√6 × √8 × √12 根據根式的乘法運算就是 √6 × 8 × 12 , 而我們要化簡這個根式並不需要乘出來後再分解,我們只要朝 著「集滿兩個換出去」去進行分解就可以了。

√6 × 8 × 12

從分解當中可以發現有 2 個 6 ,其他 4 × 2 × 2 可以湊成 2 個 4,

「集滿兩個換出去」,所以換出去變成 1 個 6 、1 個 4,也就是 6 × 4 = 24。

(50)

48

想一想有沒有其他分法呢?

(2) √10 × √14 × √98 = √10 × 14 × 98

= √(5 × 2) × (2 × 7) × (7 × 14) = 2 × 7 × √5 × 14 =

14√70

說明:

√10 × √14 × √98 根據根式的乘法運算就是 √10 × 14 × 98 , 而我們要化簡這個根式並不需要乘出來後再分解,我們只要朝 著「集滿兩個換出去」去進行分解就可以了。

√10 × 14 × 98

從分解當中可以發現有 2 個 2、2 個 7,可以集滿兩個換出去,

而其他 5 × 14 = 70 不能拆成一對一對。

所以換出去根號外面變成 1 個 2 、1 個 7,70 留在根號裡面不能 換出去,也就是2 × 7 × √5 × 14 = 14√70。

除了上面那種「根號內仍有可以提出到根號外的因數」的根式可以 繼續化簡以外,還有兩大類可以繼續化簡:

(一) 分母有根式,例如:2

√3、√3

√50 等…。

(二) 根號內仍有小數或分數,例如:√2

3、√0.2 等…。

這兩類在化簡的時候,我們的目標是想將分母的根式消去,讓它成

(51)

49

為有理數,這個過程我們稱為分母有理化。

最簡單的方法就是,我們可以利用「 √𝑎 × √𝑎 = 𝑎」將分母有理化。

舉例來說,2

√3 的分母是 √3 ,那我們知道 √3 × √3 = 3,所以我們分 母再乘一個 √3 就可以將分母的根式消掉了。但是不能只單單乘以 分母,我們要維持分數的相等,因此分子分母應該要同時都乘以 √3 。 所以 2

√3= √3

√3×√3= 2√3

3 。那麼 2√3

3 就是 2

√3 的最簡根式了!

來看一題範例吧!

Ex4. 將 √3

√50 化為最簡根式。

解題思維:

√3

√50的分母是 √50 ,那我們知道 √50 × √50 = 50,所以分子分 母應該要同時都乘以 √50 。

√3

√50 = √3×√50

√50×√50 =√150

50

= 5 6

5010 = √6

10 除了這樣算以外,

我們知道分母是 √50 = √52× 2 ,所以其實只要再乘 √2 就可 以將分母有理化了!

√3

√50 = √3×√2

√52×2×√2= √6

5×2 =√6

10 會發現答案一樣!

(52)

50

解:√3

√50 = √3×√2

√52×2×√2= √6

5×2 =√6

10

如果根號內仍有分數怎麼辦呢?

Ex5. 將下列各式化為最簡根式:

(1) √2

3 (2) √5

18

解題思維:

其實就是利用分母有理化的方式去進行化簡。

像是 √2

3 可以化成 √2

√3 ,然後要消除分母的根式就是分子分母同 乘以 √3 ,就可以繼續算下去了!

解:(1) √2

3= √2

√3= √2×√3

√3×√3= √6

3

(2) √5

18 = √5

√18 = √5×√2

√32×2×√2 =√10

6

如果根號內仍有小數怎麼辦呢?

Ex6. 將下列各式化為最簡根式:

(1) √0.2 (2) √3.2 解題思維:

我們只要將小數化成分數,就可以繼續算下去了!

解:(1) √0.2 = √2

10 = √2×√10

√10×√10 = √20

10

== √5

5

(53)

51

(2) √3.2 = = √16

5 = √16

√5 = 4×√5

√5×√5= 4√5

5

(54)

52

重點提問

1. 從上面的課文中,大致上有三類的根式仍然還不是最簡根式,請 問是哪三類?

2. √108 是不是最簡根式?為什麼?

如果不是的話,請用上面課文中化簡的技巧將它化為最簡根式。

3. √7

12 是不是最簡根式?為什麼?

如果不是的話,請用上面課文中化簡的技巧將它化為最簡根式。

(55)

53

4. 3

√11 是不是最簡根式?為什麼?

如果不是的話,請用上面課文中化簡的技巧將它化為最簡根式。

B.隨堂練習

1.將下列各式化為最簡根式:

(1) √108 (2) √128 (3) √450

2. 將下列各式化為最簡根式:

(1) √23× 32× 52 (2) √26× 53 (3) √33× 77

(56)

54

3.計算下列各式,並將結果化為最簡根式:

(1) √10 × √20 × √8 (2) √18 × √12 × √44

4. 將 √8

√27 化為最簡根式。

5. 將下列各式化為最簡根式:

(1) √6

7 (2) √9

50 (3) √0.9 (4) √5.6

(57)

55

單元二:根式的運算

課文 C:根式的加減

我們接下來要說的就是根式的加減。

先回憶一下,二元一次式的化簡。

今天如果要化簡 5𝑥 + 3𝑦 + 2𝑥 − 5𝑦 這個二元一次式的話,

因為同類項才可以合併,所以可以先將同類項標記出來:

然後知道含有 𝑥 項的是 5𝑥 和+2𝑥 合併化簡得到 7𝑥,

含有 𝑦 項的是+3𝑦 和 −5y 合併化簡得到−2𝑦。

所以 5𝑥 + 3𝑦 + 2𝑥 − 5𝑦 = 7𝑥 − 2𝑦。

而根式的加減也有類似的規則,

那就是「同類方根能進行合併,非同類方根不能合併」。

什麼是同類方根呢?

𝑎, 𝑏 均為正數,若將 √𝑎 與 √𝑏 化為最簡根式後,根號內的數相同,

我們就稱為它們為同類方根。

舉個例子,√12 與 √27。

先化簡成最簡根式:√12 = √4 × 3 = 2√3,√27 = √9 × 3 = 3√3。

(58)

56

像這樣子,√12 的最簡根式 2√3 與 √27 的最簡根式 3√3 的根號部 分都是 √3 ,我們就稱 √12 與 √27 是同類方根。

同類方根在根式的加減非常好用,因為我們只要把同類方根進行合 併就好,不是同類方根就沒辦法合併。

我們來看個例題。

Ex1.計算下列各式,並將結果化為最簡根式。

(1) 5√3 + 2√3 (2) 7√2 − √2 (3) √5 + 5√5 解題思維:

5√3 + 2√3 所代表的是 5 個 √3 加上 2 個 √3 ,那加完之後就 是有 (5 + 2) 個 √3 ,也就是 (5 + 2)√3 = 7√3。

7√2 − √2 所代表的是 7 個 √2 扣掉 1 個 √2 ,那扣完之後就是 有 (7 − 1) 個 √2 ,也就是 (7 − 1)√2 = 6√2。

解:

(1) 5√3 + 2√3 = (5 + 2)√3 =

7√3

(2) 7√2 − √2 = (7 − 1)√2 =

6√2

(3) √5 + 5√5 = (1 + 5)√5 =

6√5

Ex2.計算下列各式,並將結果化為最簡根式。

(59)

57

(1) 5√3 − 2√2 + √3 + 3√2 (2) 2√11 + 2√6 + 2 − 3√11 + √6 解:

(1)

5√3 − 2√2 + √3 + 3√2

=

6√3 + √2

說明:

這題有不同類型的同類方根。

一類是與 √3 有關的同類方根。有兩個,分別是 5√3 和 +√3,

兩個合併化簡後會得到 6√3 。

另一類是與 √2 有關的同類方根。也有兩個,分別是 −2√2 和 +3√2,兩個合併化簡後會得到 +√2。

所以 5√3 − 2√2 + √3 + 3√2 合併化簡出來的結果是 6√3 + √2。

(60)

58

(2)

2√11 + 2√6 + 2 − 3√11 + √6

=

−√11 + 3√6 + 2

說明:

我們要先分組: 2√11 + 2√6 + 2 − 3√11 + √6

與 √11 有關的同類方根有兩個,分別是 2√11 和 −3√11,兩個 合併化簡後會得到 −√11。

與 √6 有關的同類方根也有兩個,分別是 +2√6 和 +√6 ,兩個 合併化簡後會得到 +3√6。

另外有一個+2 ,沒有跟它同類的。

所以 2√11 + 2√6 + 2 − 3√11 + √6 合併化簡出來的結果是

−√11 + 3√6 + 2。

省思:

當我們遇到有多組不同類型的同類方根要進行加減時,我們必 須先將同類方根分為同一組,再把同組的同類方根進行合併。

(61)

59

Ex3.計算下列各式,並將結果化為最簡根式。

(1) √63 − √75 (2) √48 + 5√12 解題思維:

在遇到還沒化為最簡根式的根式加減計算時,會比較難以看出 同類方根,所以我們會先把各個根號化成最簡根式,再利用「同 類方根進行合併,非同類方根不能合併」去合併化簡。

解:

(1) √63 − √75 =

3√7 − 5√3

說明:

√63 與 √75 不是最簡根式,換成最簡根式:√63 = √9 × 7 = 3√7、√75 = √25 × 3 = 5√3,化簡後發現這兩個根式不是同 類方根,所以不能合併,所以 √63 − √75 = 3√7 − 5√3 就已經 是化到最簡了!

(2) √48 + 5√12 = 4√3 + 5√22× 3 = 4√3 + 10√3 =

14√3

說明:

√48 與 5√12 不是最簡根式,先換成最簡根式:

√48 = √16 × 3 = 4√3;5√12 = 5√4 × 3 = 5 × 2 × √3 = 10√3,

發現這兩個都是與 √3 有關的同類方根,所以合併後就是 10√3。

Ex4.計算下列各式,並將結果化為最簡根式。

(62)

60

(1) √63 − 3√28 + √175 (2) √20 + √80 + √125 + √180 解:

(1) √63 − 3√28 + √175 = 3√7 − 6√7 + 5√7 =

2√7

說明:

√63 、 3√28 與 √175 都不是最簡根式,先換成最簡根式:

√63 = √9 × 7 = 3√7、3√28 = 3√4 × 7 = 3 × 2 × √7 = 6√7、

√175 = √25 × 7 = 5√7,

發現這三個都是 √7 有關的同類方根,

√63 − 3√28 + √175 = 3√7 − 6√7 + 5√7 = (3 − 6 + 5)√7 所以合併後就是 2√7。

(2) √20 + √80 + √125 + √180 = 2√5 + 4√5 + 5√5 + 6√5 =

17√5

說明:

√20 、 √80 、 √125 與√180 都不是最簡根式,先換成最簡根 式:

√20 = √4 × 5 = 2√5、√80 = √16 × 5 = 4√5、

√125 = √25 × 5 = 5√5、√180 = √36 × 5 = 6√5,

發現這三個都是 √5 有關的同類方根,

√20 + √80 + √125 + √180 = 2√5 + 4√5 + 5√5 + 6√5

= (2 + 4 + 5 + 6)√5 = 17√5 所以合併後就是 17√5。

(63)

61

Ex5.計算下列各式,並將結果化為最簡根式。

(1) 1

√2+√2

2 (2) √5

4− √4

5 解:

(1) 1

√2+√2

2 = 1×√2

√2×√2+√2

2 =√2

2 +√2

2 =

√2

說明:

1

√2 分母有根號,所以不是最簡根式,先換成最簡根式:

1

√2 分子分母同乘√2,1

√2=√2

2。 而 √22 其實等於 1

2√2 ,也就是所謂的 12 個 √2。

發現這兩個都是與 √2 有關的同類方根,1

2 個 √2 加上 12 個 √2 就是有 1 個√2,所以合併化簡後就是 √2。

(2) √5

4− √4

5 =√5

√4−√4

√5= √5

2 −2√5

5 = (1

2−2

5) √5 = 1

10

√5

說明:

5

4 與 √4

5 根號裡面有分數,所以不是最簡根式,先換成最簡根 式:

5

4 其實就是分子開根號分母開根號 √5

√4 ,分母 √4 就直接是 2 , 所以 √54 = √5

2 就是最簡根式了!

4

5 其實就是分子開根號分母開根號 √4

√5 ,分子 √4 就直接是 2 , 所以 √4

5 = 2

√5 ,分母還有根式,所以不是最簡根式,還要再化

(64)

62

簡。

分子分母同乘 √5 ,所以 2×√5

√5×√5 = 2√5

5 結果就是最簡根式了。

√52 等於 1

2√5 ,也就是所謂的 12 個 √5;2√55 等於 25√5 ,也就是 所謂的 2

5 個 √5。

發現這兩個都是與 √5 有關的同類方根,1

2 個 √5 減掉 25 個 √5 就是有 (1

2−2

5) 個√5,(1

2−2

5) 同時通分母後 (5

10− 4

10) = 1

10 。所 以合併後就是 1

10√5。

(65)

63

重點提問

1.請用自己的話解釋什麼是「同類方根」?

2. 連連看,將同類方根連在一起。

√2 √24 √5

2 3√7 √2

√12

3

√3 √5 2√6 2√2 1

7√7 3. 請問根式的加法怎麼運算?

請用這個運算規則計算 2√5 + 5√2 − √5 − 3√2 。

4. 「4√8 + √3 − √2 + 2√3 − √5」

(66)

64

(1)上面根式當中,請問有幾類同類方根?

(2)計算上面根式,並將結果化為最簡根式。

C.隨堂練習

1.計算下列各式,並將結果化為最簡根式。

(1) 3√3 + 2√3 (2) 6√6 − √6 (3) √7 + 3√7

(67)

65

2.計算下列各式,並將結果化為最簡根式。

(1) 6√2 + 4√3 + √2 − 2√3 (2) 6√13 + 3√7 − 5 − 6√7 − √13

3.計算下列各式,並將結果化為最簡根式。

(1) √27 − √24 (2) 2√75 + √108

4.計算下列各式,並將結果化為最簡根式。

(1) √363 − 2√27 + 4√48 (2) √5 + √45 + √125 + √245

5.計算下列各式,並將結果化為最簡根式。

(68)

66

(1) 2

√3+√3

2 (2) √8

9− √9

8

(69)

67

單元二:根式的運算

課文 D:根式的四則運算

接下來我們要來看根式的四則運算,既然是四則運算,當然有加減 跟乘除還有括號都存在。

我們先來看一下分配律的題目!

Ex1.計算 √3(√15 + √21),並化為最簡根式。

解:

√3(√15 + √21) = √3 × √15 + √3 × √21 =

3√5 + 3√7

說明:

這其實是分配律,括號中的 √15 跟 √21 其實共同擁有外面的 √3,我們將 √3 乘進去 √3(√15 + √21) =√3 × √15+

√3 ×

√21

我們可以用「集滿兩個換出去」,15 拆成 3 × 5、21 拆成 3 × 7

√3 × √15 + √3 × √21

所以 √3 × √15 = 3√5、√3 × √21 = 3√7,

答案就是 3√5 + 3√7。

(70)

68

Ex2.計算 (3√5 − 2)(4√5 + 3),並化為最簡根式。

解:

(3√5 − 2)(4√5 + 3) =3√5 × 4√5

+ 3√5 × 3 − 2 × 4√5 − 2 × 3

= 60

+ 9√5 − 8√5 − 6

=

54 + √5

說明:

這是兩個根式乘以兩個根式,就是利用分配律分別相乘,

(3√5 − 2)(4√5 + 3)

第一個箭頭:3√5 × 4√5,外面乘外面3 × 4 = 12、裡面乘裡面

√5 × √5 = 5,所以第一個就是12 × 5 = 60。

第二個箭頭:3√5 × 3 = 9√5。

第三個箭頭:−2 × 4√5 = −8√5。

第四個箭頭:−2 × 3 = −6。

所以就是 60

+ 9√5 − 8√5 − 6 ,

同類方根可以合併,60 − 6 = 54、9√5 − 8√5 = √5,

因此 54 + √5 就是答案。

(71)

69

接下來我們來看一下跟乘法公式有關的題目!

Ex3.計算下列各式,並化為最簡根式。

(1) (3 − 2√7)2 (2) (2√5 + 3√2)2 (3) (√5 + 1)(√5 − 1)

解:

(1)

(3 − 2√7)2 = 32− 2 × 3 × 2√7 + (2√7)2

= 9 − 12√7 + 28 =

37 − 12√7

說明:

這一小題其實就是利用差的平方公式:(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2− 2𝑎𝑏 + 𝑏2

把 (3 − 2√7)2 括號內的 3 當成 𝑎,2√7 當成 b 。 所以 (3 − 2√7)2 = 32− 2 × 3 × 2√7 + (2√7)2

( 𝑎 − 𝑏 )2 = 𝑎2− 2𝑎𝑏 + 𝑏2

= 9 − 12√7 + 28 = 37 − 12√7

(72)

70

(2)

(2√5 + 3√2)2 = (2√5)2+ 2 × 2√5 × 3√2 + (3√2)2

= 20 + 12√10 + 18 =

38 + 12√10

說明:

這一小題其實就是利用和的平方公式:(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2

把 (2√5 + 3√2)2 括號內的 2√5 當成 𝑎,3√2 當成 b 。 所以 (2√5 + 3√2)2 = (2√5)2+ 2 × 2√5 × 3√2 + (3√2)2

( 𝑎 + 𝑏 )2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

= 20 + 12√10 + 18 = 38 + 12√10

(3)

(√5 + 1)(√5 − 1) = √52− 12 = 5 − 1 =

4

說明:

這一小題其實就是利用平方差公式:(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2 √5 當成 𝑎,1 當成 b 。

所以 (√5 + 1)(√5 − 1) = √52− 12

( 𝑎 + 𝑏 )( 𝑎 − 𝑏 ) = 𝑎2 − 𝑏2

= 5 − 1 = 4

(73)

71

看完一些根式的四則運算後,我們來看個奇怪分數: 2

√5:1。 請問一下這個奇怪的分數: 2

√5:1 是不是一個最簡根式?

當然不是啊!看它的分母:√5 + 1 ,含有根式,而且實際上它還可 以繼續化簡,化簡到分母不含有根式。

文本 B 當中有提到,當分母為一個 √𝑎 時,再乘一個 √𝑎 就會使得

「√𝑎 × √𝑎 = 𝑎」,分母的根式就會消除。

如果我們 2

√5:1 分子分母同乘以 √5 ,會發現 (√5 + 1) × √5 = 5 +

√5,分母一樣會有根式。

那該怎麼辦呢?

我們就利用平方差公式:(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2− 𝑏2 來解決這個問題。

分母是 (√5 + 1) ,就把它當成是 (𝑎 + 𝑏) ,那還需要乘以一個 (𝑎 − 𝑏) 來湊成平方差公式,也就是還需要乘以 (√5 − 1)。

(√5 + 1)(√5 − 1) = (√5)2− 12 = 5 − 1 = 4 ,這樣分母就成功消 除根式了。

分母乘以 (√5 − 1),要維持分數的相等,當然分子也要乘以(√5 − 1)。

所以 2

√5:1 = 2(√5;1)

(√5:1)(√5;1) = = (√5;1)

2 , (√5;1)

2 就是 2

√5:1 的最簡根式。

我們來看一題練習題。

Ex4.將下列根式化為最簡根式

(74)

72

(1) 7

√13;√6 (2) 2

√21:5 解:

(1) 7

√13;√6= 7(√13:√6)

(√13;√6)(√13:√6) = 7(√13:√6)

√132;√62 = 7 ( 13 6)

7

=

√13 +

√6

說明:

分母是 (√13 − √6) ,要利用平方差公式將分母有理化,所以 將它分子分母同乘以 (√13 + √6)。

分母 (√13 − √6) × (√13 + √6) = √132 − √62 = 13 − 6 = 7;

分子就是 7 × (√13 + √6)。

發現分子分母可以同時約掉 7 , 7 ( 13 6)

7

= √13 + √6 。

(2) 2

5:√21 = 2(5;√21)

(5:√21)(5;√21) =2(5;√21)

52;√212 = =5;√21

2

說明:

分母是 (5 + √21) ,要利用平方差公式將分母有理化,所以將 它分子分母同乘以 (5 − √21)。

分母 (5 + √21) × (5 − √21) = 52 − √212 = 25 − 21 = 4;

分子就是 2 × (5 − √21)。

發現分子分母可以同時約 2, =5;√212

(75)

73

重點提問

1. 請問如何化簡一個分母為 √𝑎 − √𝑏 的根式呢?

請利用這個方法將 1

√7;√6 化為最簡根式。

D.隨堂練習

1.計算 √10(√15 + √6),並化為最簡根式。

2.計算 (2√7 + 3)(√7 − 4),並化為最簡根式。

3.計算下列各式,並化為最簡根式。

(1) (5 + 3√2)2 (2) (5√2 − 2√3)2 (3) (4 + 3√7)(4 − 3√7)

(76)

74

4.將下列根式化為最簡根式 (1) 11

√15;√4 (2) 9

√18:6

(77)

75

單元三:畢式定理 課文 A:畢式定理

我們國小學過,一個三角形當中如果有一個角是直角,那麼我們就 稱那個三角形是直角三角形。這單元當中,直角三角形很重要!

如右圖,在直角三角形當中,

直角的兩個旁邊,我們都稱為「股」;

不是直角的旁邊,是直角的對面,我們稱它為「斜邊」。

而在中國著名的古代數學著作《九章算術》中,直角兩旁較短的邊 為「勾」、較長的邊為「股」;直角的對面,稱為「弦」。

那這兩股與斜邊之間有什麼關係呢?

我們從下面的圖來試著觀察看看!

在圖中,有 4 個直角三角形跟 1 個正方形甲,合成一個大正方形。

而且這 4 個三角形其實都是一樣的。

所以 正方形甲的面積 = 大正方形 − 四個直角三角形面積

= − 四個

𝑐2 = (𝑎 + 𝑏)2 − 4 ×𝑎𝑏

2

(78)

76

= 𝑎2+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏

= 𝑎2+ 𝑏2

從上面的說明,我們就可以知道:𝑐2 = 𝑎2+ 𝑏2, 而 𝑎, 𝑏, 𝑐 其實就是直角三角形的三邊長,

𝑐 就是這個直角三角形的斜邊,𝑎, 𝑏 就是這個直角三角形的兩股,

所以 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 代表的就是

「直角三角形中,斜邊平方等於兩股平方和」,

這種關係我們就稱作畢氏定理或勾股定理。

我們來練習一下題目!

Ex1.已知下列各直角三角形的兩股長,求斜邊長。

(1) (2) 解:

(1) 假設斜邊為 𝑥 ,根據畢氏定理「斜邊平方等於兩股平方和」,

𝑥2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 𝑥 = ±√169 = ±13

因為斜邊長 > 0,所以斜邊長= 13。

(2) 假設斜邊為 𝑦 ,根據畢氏定理「斜邊平方等於兩股平方和」,

(79)

77

𝑦2 = 72+ 242 = 49 + 576 = 625 𝑦 = ±√625 = ±25

因為斜邊長 > 0,所以斜邊長= 25。

上面這題是我們知道兩股長,利用畢氏定理求斜邊長。

接下來我們知道斜邊及其中一股長,要利用畢氏定理求另一股長。

Ex2.已知下列各直角三角形的斜邊及一股長,求另一股長度為何?

(1) (2)

解:

(1)設要求的股長為 𝑥 ,根據畢氏定理「斜邊平方等於兩股平方和」,

𝑥2+ 32 = 52⇒ 𝑥2+ 9 = 25 ⇒ 𝑥2 = 25 − 9 = 16 𝑥 = ±√16 = ±4 ,股長必為正的,所以另一股為 4 。

(2) 設要求的股長為 𝑦 ,根據畢氏定理「斜邊平方等於兩股平方和」,

𝑦2+ 82 = 172⇒ 𝑦2+ 64 = 289 ⇒ 𝑦2 = 289 − 64 = 225 𝑥 = ±√225 = ±15 ,股長必為正的,所以另一股為 15 。

(80)

78

Ex3.求出下列各矩形的對角線長。

(1) (2)

解題思維:

我們如果有直角三角形,就可以利用畢式定理了,

所以我們要想辦法做出直角三角形。

因為矩形四個是直角,所以將對角線畫起來,

連起來後就有直角三角形了!

這個直角三角形裡,

剛好矩形的長跟寬就是直角三角形的兩股,

對角線就是直角三角形的斜邊。

接下來就可以利用畢式定理「斜邊平方等於兩股平方和」,求 出矩形的對角線長了!

解:

(1) 將對角線令為 𝑥 ,

根據畢氏定理可以列式:𝑥2 = 82+ 132 𝑥2 = 82+ 132 = 64 + 169 = 233,

𝑥 = ±√233 (因為對角線長是長度,所以負不合)

Figure

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References

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