√27 化為最簡根式。
5. 將下列各式化為最簡根式：
(1) √6
7 (2) √9
50 (3) √0.9 (4) √5.6
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單元二：根式的運算
課文 C：根式的加減
我們接下來要說的就是根式的加減。
先回憶一下，二元一次式的化簡。
今天如果要化簡 5𝑥 + 3𝑦 + 2𝑥 − 5𝑦 這個二元一次式的話，
因為同類項才可以合併，所以可以先將同類項標記出來：
然後知道含有 𝑥 項的是 5𝑥 和+2𝑥 合併化簡得到 7𝑥，
含有 𝑦 項的是+3𝑦 和 −5y 合併化簡得到−2𝑦。
所以 5𝑥 + 3𝑦 + 2𝑥 − 5𝑦 = 7𝑥 − 2𝑦。
而根式的加減也有類似的規則，
那就是「同類方根能進行合併，非同類方根不能合併」。
什麼是同類方根呢？
𝑎, 𝑏 均為正數，若將 √𝑎 與 √𝑏 化為最簡根式後，根號內的數相同，
我們就稱為它們為同類方根。
舉個例子，√12 與 √27。
先化簡成最簡根式：√12 = √4 × 3 = 2√3，√27 = √9 × 3 = 3√3。
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像這樣子，√12 的最簡根式 2√3 與 √27 的最簡根式 3√3 的根號部 分都是 √3 ，我們就稱 √12 與 √27 是同類方根。
同類方根在根式的加減非常好用，因為我們只要把同類方根進行合 併就好，不是同類方根就沒辦法合併。
我們來看個例題。
Ex1.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。
(1) 5√3 + 2√3 (2) 7√2 − √2 (3) √5 + 5√5 解題思維：
5√3 + 2√3 所代表的是 5 個 √3 加上 2 個 √3 ，那加完之後就 是有 (5 + 2) 個 √3 ，也就是 (5 + 2)√3 = 7√3。
7√2 − √2 所代表的是 7 個 √2 扣掉 1 個 √2 ，那扣完之後就是 有 (7 − 1) 個 √2 ，也就是 (7 − 1)√2 = 6√2。
解：
(1) 5√3 + 2√3 = (5 + 2)√3 =
7√3
(2) 7√2 − √2 = (7 − 1)√2 =6√2
(3) √5 + 5√5 = (1 + 5)√5 =6√5
Ex2.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。
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(1) 5√3 − 2√2 + √3 + 3√2 (2) 2√11 + 2√6 + 2 − 3√11 + √6 解：
(1)
5√3 − 2√2 + √3 + 3√2
=
6√3 + √2
說明：這題有不同類型的同類方根。
一類是與 √3 有關的同類方根。有兩個，分別是 5√3 和 +√3，
兩個合併化簡後會得到 6√3 。
另一類是與 √2 有關的同類方根。也有兩個，分別是 −2√2 和 +3√2，兩個合併化簡後會得到 +√2。
所以 5√3 − 2√2 + √3 + 3√2 合併化簡出來的結果是 6√3 + √2。
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(2)
2√11 + 2√6 + 2 − 3√11 + √6
=
−√11 + 3√6 + 2
說明：我們要先分組： 2√11 + 2√6 + 2 − 3√11 + √6
與 √11 有關的同類方根有兩個，分別是 2√11 和 −3√11，兩個 合併化簡後會得到 −√11。
與 √6 有關的同類方根也有兩個，分別是 +2√6 和 +√6 ，兩個 合併化簡後會得到 +3√6。
另外有一個+2 ，沒有跟它同類的。
所以 2√11 + 2√6 + 2 − 3√11 + √6 合併化簡出來的結果是
−√11 + 3√6 + 2。
省思：
當我們遇到有多組不同類型的同類方根要進行加減時，我們必 須先將同類方根分為同一組，再把同組的同類方根進行合併。
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Ex3.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。
(1) √63 − √75 (2) √48 + 5√12 解題思維：
在遇到還沒化為最簡根式的根式加減計算時，會比較難以看出 同類方根，所以我們會先把各個根號化成最簡根式，再利用「同 類方根進行合併，非同類方根不能合併」去合併化簡。
解：
(1) √63 − √75 =
3√7 − 5√3
說明：√63 與 √75 不是最簡根式，換成最簡根式：√63 = √9 × 7 = 3√7、√75 = √25 × 3 = 5√3，化簡後發現這兩個根式不是同 類方根，所以不能合併，所以 √63 − √75 = 3√7 − 5√3 就已經 是化到最簡了！
(2) √48 + 5√12 = 4√3 + 5√22× 3 = 4√3 + 10√3 =
14√3
說明：√48 與 5√12 不是最簡根式，先換成最簡根式：
√48 = √16 × 3 = 4√3；5√12 = 5√4 × 3 = 5 × 2 × √3 = 10√3，
發現這兩個都是與 √3 有關的同類方根，所以合併後就是 10√3。
Ex4.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。
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(1) √63 − 3√28 + √175 (2) √20 + √80 + √125 + √180 解：
(1) √63 − 3√28 + √175 = 3√7 − 6√7 + 5√7 =
2√7
說明：√63 、 3√28 與 √175 都不是最簡根式，先換成最簡根式：
√63 = √9 × 7 = 3√7、3√28 = 3√4 × 7 = 3 × 2 × √7 = 6√7、
√175 = √25 × 7 = 5√7，
發現這三個都是 √7 有關的同類方根，
√63 − 3√28 + √175 = 3√7 − 6√7 + 5√7 = (3 − 6 + 5)√7 所以合併後就是 2√7。
(2) √20 + √80 + √125 + √180 = 2√5 + 4√5 + 5√5 + 6√5 =
17√5
說明：
√20 、 √80 、 √125 與√180 都不是最簡根式，先換成最簡根 式：
√20 = √4 × 5 = 2√5、√80 = √16 × 5 = 4√5、
√125 = √25 × 5 = 5√5、√180 = √36 × 5 = 6√5，
發現這三個都是 √5 有關的同類方根，
√20 + √80 + √125 + √180 = 2√5 + 4√5 + 5√5 + 6√5
= (2 + 4 + 5 + 6)√5 = 17√5 所以合併後就是 17√5。
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Ex5.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。
(1) 1
√2+√2
2 (2) √5
4− √4
5 解：
(1) 1
√2+√2
2 = 1×√2
√2×√2+√2
2 =√2
2 +√2
2 =