個案分析

本節中將探討具不同無因次轉軸半徑r 、傾斜角

α

^、設定角

β

^{之三維旋轉傾}

斜

Eluer

梁在不同斷面、不同無因次轉速

k

之下的穩態解、無因次振動頻率

K

及

振態。

首先考慮無因次轉速

k = 0

、橢圓斷面

a b = 5

及

10

、梁的長度與斷面高度

比

L

_T

a = 20

及

50

的自然頻率。橢圓斷面

a b = 5

，

L

_T

a = 20

時，X₁^G-X₂^G平 面的細長比

n

_y

= 200

、X₁^G-X₃^G平面的細長比

n

_z

= 40

；L_T a=50時，

n

_y

= 500

、

= 100

n

z 。橢圓斷面

a b = 10

時，

L

_T

a = 20

，

n

_y

= 400

、

n

_z

= 40

；

L

_T

a = 50

時，

n

_y

= 1000

、

n

_z

= 100

。由表八可發現，相同的細長比對應相同的自然頻率。

4.2.1

橢圓斷面

表九至表二十四與表二十五至表四十分別為橢圓斷面a b=5、

a b = 10

， 總長與斷面比分別為

L

_T

a = 20

、

L

_T

a = 50

在不同設定角、不同傾斜角、不 同轉速下的穩態解及振動頻率。如前所述，當無因次轉軸半徑r

= 0

時，在梁 未變形時慣性力僅有軸向和扭轉分量且與α 無關，所以 r

= 0

時，本節中僅 考慮

α = ⁰

^o，其結果列於表九、表十、表十七、表十八、表二十五、表二十六 以及表三十三、表三十四，由表中可以發現設定角對自然頻率的影響隨著轉速的 長度的增加而增加，而且只對低頻的自然頻率影響較大，對較高頻時影響不大，

其中

BI

和

DI

的自然頻率隨著設定角增加而上升，

CI

的自然頻率隨著設定角增 加而下降，還有穩態解中僅有軸向位移和扭轉角。當無因次轉軸半徑r

=

1，

α = ⁰

^o時，在梁未變形時慣性力亦僅有軸向和扭轉分量，其結果列於表十 一、表十二、表十九、表二十、表二十七、表二十八以及三十五、表三十六，由 表中亦可以發現其結果的趨勢與r

= 0

時相似，但其振動頻率較大，且不同種振 態的頻率間會在較低的轉速時發生彼此互換次序的情況。

從表十三至表十六、表二十一至表二十四、表二十九至表三十二以及表三十

七至表四十可發現傾斜角

α ≠ 0

^，設定角

β ≠ ⁰

^o或

⁹⁰

^o時，穩態解中有軸向位移、

兩個側向位移和扭轉角，設定角

β = 0

^o或

⁹⁰

^o時，穩態解中僅有一個軸向與一個 側向的變形。表中自然頻率對應的振態含有各種變形的分量，其種類須由其振態 圖及轉速

-

頻率曲線決定。

表四十中可以發現橢圓斷面 a b = 10

，L_T a=50，

r = 1

之梁在當設定角

90

o

β =

^、傾斜角

α = ⁴⁵

^o，

k = ^{0 . 01}

時，無法找到第一個自然振動頻率，由 圖八可以發現在

β = 90

^o時，

^k

^在

^{0 . 075}

附近，第一個自然頻率的值急速下 降，其原因可以說明如下，由圖九轉速與切線剛度的行列式值

det K

_T關係 圖可以發現，當轉速

k

約為

0 . 008

時，其切線剛度之行列式值由正變負，其 原因為傾斜旋轉梁在受到轉速約為

0 . 008

時，所受的側向慣性力負荷，已經 到達了撓曲－扭轉挫屈的臨界負荷，在

k = 0 . 01

時，旋轉梁已經挫屈，故沒 有第一個自然振動頻率。

圖十至圖十二為在不同轉速之下，不同橢圓斷面旋轉梁的穩態位移分佈圖，

圖十中因

r = 0

、

α = 0

^o，所以無側向變形，圖十一、圖十二中因

r = 1

、

α = 30

^o， 所以有各方向的變形，由圖中可以發現在旋轉梁的根部附近扭轉率有最大值，然 後急劇的變小，並趨近於零。

圖十三至圖十八為各種斷面在不同轉速下的自然頻率曲線圖，其中之

XI ( X

= A, B, C, D ; I=1, 2, 3,…)

指的是該曲線的自然頻率對應的振態在轉速

k = 0

時為 第

I

個

X

類的振態，而

β = 0 ,

^o

45

^o

, 90

^o之

^XI

^曲線在

k = ⁰

時有共同的起點。由圖 中可以得知，當轉速

k = 0

時，各組的振動是互相獨立的，但是當轉速增加時，耦 合的現象會越來越明顯。傾斜角

α = 0

^o時，從圖十三與圖十四可以發現出

I ≥ 2

時，

BI

的頻率隨轉速增加而明顯的增加，

CI

的頻率增加較少，扭轉振動

DI

的頻 率則隨轉速變動不大，且

B

I、

DI

的頻率會隨著設定角

β

^{增加而增加，}

^CI

^的頻 率會隨著設定角

β

增加而下降。因為各類頻率增加的速度不同，所以產生了不同 類振動頻率的大小關係隨轉速增加而改變的情形。如圖十三所示，可以判斷設定 角為

45

^o時

B3

頻率的值在

k

等於

0.05

和

0.06

之間超越了

C2

頻率的值，另外隨 著長度增加，側向振動較扭轉振動的自然頻率隨轉速增加的速度快。在圓柱半徑

= 1

r

的情況下，轉速所造成頻率變化會隨之增加，彼此振動耦合會在較低的轉速

下產生；在圖十七，細長比較高的情況下，頻率 C2 會先急速增加後再緩慢的下 降，其原因是可能是因為扭轉方向的頻率 D1 所造成的耦合現象所致。從圖十七 與十八的比較中可知，在隨著傾斜角

α

的增加，頻率 C2 隨著轉速的變化更為劇 烈，且在設定角

β = 90

^o，頻率

^BI

^{會有明顯的下降。頻率}

^B2

^與頻率

^C1

^{在圖十六、}

圖十七以及圖十八中，也會發生了彼此交叉的情況，其原因為

C1

隨著轉速而下 降所造成。

圖十九至圖二十七則為對應於圖十六情況下的自然頻率對應的模態圖，設 定角

β = 0

^o時，

^X

₂^{G軸方向的振態}

^B

^{會產生軸向方向的分量}

^AI

^，

^X

₃^{G軸方向的振} 態

CI

則有扭轉方向的分量

DI

；

β = 45

^o時，任何方向的振態裡面皆有所有方向的 分量，其中扭轉分量

DI

造成的影響最為明顯，軸向振態

AI

與

X

₂^G軸的振態

BI

、

X

₃G軸的振態

CI

彼此之間的影響反而不明顯；

β = 90

^o，

^X

₂^G軸方向的振態 BI 會 產生扭轉方向的分量

DI

，而

X

₃^G軸的振態

CI

與扭轉的振態

DI

上其他方向的分量 並不明顯，而且振態與轉速

k = 0

時的振態相近。

4.2.2 I

型斷面

表四十一至表四十八為

I

型斷面

W 10 × 30

，總長與斷面比為

L

_T

d

_nom

= 25

在不同設定角、不同傾斜角、不同轉速下的穩態解及振動頻率。在傾斜角

0

o

α =

的情況之下，從表四十一至表四十四可以發現其結果的趨勢與橢圓斷面 相似，而當

r = 1

時，表四十三、四十四可以發現其振動頻率較大，且會在較低的 轉速之下產生不同振態的頻率之間彼此互換的情況。

表四十五至表四十八為

r = 1

、傾斜角

α = 30

^o、

α = ⁴⁵

^{o的情形，表中可以發} 現，當設定角

β = 0

^o、

⁹⁰

^o時，穩態解僅有一個軸向與一個側向的變形；

β = 30

^o、

45

o時，穩態解中有軸向位移、兩個側向位移以及扭轉角。表中自然頻率對應的 振態種類亦必須由其振態圖及轉速

-

頻率曲線決定。

圖二十八、二十九為在不同轉速之下，

I

型斷面

W 10 × 30

，總長與斷面

比為

L

_T

d

_nom

= 25

，

r = 1

，設定角

β = 45

^{o，傾斜角分別為}

α = ⁵

^o、

α = ³⁰

^o之 穩態位移分佈圖，從圖的比較中得知，隨著

α

的增加，扭轉率有很大的變化，

在根部附近之最大值會明顯的上升，

X

₂^G、

X

₃^G方向上的側向位移亦會隨著

α

^的 增加而增加且在細長比較大之方向更為明顯。

圖三十為 I 型斷面

W 10 × 30

，總長與斷面比為

L

_T

d

_nom

= 25

，

r = 0

，傾 斜角

α ₌ 0

^o之轉速–自然頻率圖，其中曲線上自然頻率 XI ( X = A, B, C, D ; I=1,

2, 3,…)對應的振態在不同轉速 k

時的變化趨勢與橢圓斷面(圖十三至圖十八)相

同，從圖上發現當

β = 0

^{o之 B3、C2 以及}

β = ⁹⁰

^o之 B1、C1 與 B3、C2 皆產生 了彼此頻率交叉的情況；頻率 C1 與 D1 則是有了交錯的情況且隨著設定角

β

^增 加而逐漸不明顯，其原因為 C1 之振態 D1 分量因

β

^{增加而減小且當}

β = ⁹⁰

^o時並 無 D1 分量。圖三十一為傾斜角

α = 5

^o的情況，從圖中可以發現彼此振態對應的 頻率之間隨著設定角

β

的改變所造成的影響不大，且並無發生頻率之間交錯或是 交叉的行為。

圖三十二至圖四十則為對應於圖三十一情況下的自然頻率對應的模態圖，設 定角

β ₌ 0

^o時，扭轉方向的分量 DI 產生會在

X

₃^G方向的振態 CI，

X

₂^G方向的振 態 BI 則會出現軸向方向的分量 A；

β = 45

^o時，任何方向的振態裡面皆有所有方 向的分量，其中扭轉分量 DI 造成的影響最為明顯，而軸向振態 AI 與兩個側向方 向的振態 BI、CI 彼此之間的影響反而不明顯。

4.2.3 十字斷面

表四十九至五十六為十字斷面 d × b × t = 14 × 7 × 0 . 35

，

L

_T

d = 20

在不同設 定角、不同傾斜角、不同轉速下的穩態解及振動頻率。其結果可以發現其趨 勢與橢圓斷面和 I 型斷面相似。而在傾斜角

α = 0

^o時，頻率 B3 與 C2 會產生頻率 位置互換的情況，且隨著設定角

β

增加而在較高的轉速產生，當

β = 90

^o時並無 位置互換的行為。

圖四十一、四十二為在不同轉速之下，十字斷面

d × b × t = 14 × 7 × 0 . 35

、

= 20 d

L

_T ，

r = 1

，設定角

β = 45

^{o，傾斜角分別為}

α = ⁵

^o、

α = ³⁰

^{o之穩態位} 移分佈圖，隨著

α

的增加，扭轉率在根部附近之最大值會明顯的上升，再急速 下降以後趨近於零，

X

₂^G、

X

₃^G方向上的側向位移亦會隨著

α

^{的增加而增加且在} 細長比較大之方向更為明顯。

圖四十三、四十四為十字斷面 d _× b _× t ₌ 14 _× 7 _× 0 . 35

，

L

_T

d ₌ 20

、傾斜角

0

o

α =

^分別在

r = ⁰

、

r = 1

之轉速－自然頻率圖，其中曲線上自然頻率 XI ( X =

A, B, C, D ; I=1, 2, 3,…)對應的振態在不同轉速 k

時的變化趨勢與橢圓斷面(圖十 三至圖十八)和 I 型斷面(圖三十至圖三十一)相同，圖四十三可以發現，當

0

o

β =

^、

45 時，B3、C2 以及

^o

β = 90

^o時，B1、C1 皆有頻率彼此交叉；

β = 0

^o時，

C1 與 D1 頻率之間產生了交錯的情況。由圖四十四可以發現轉軸半徑 r = 1

之結

果的趨勢與

r ₌ 0

時相似，但其振動頻率較大，且不同種振態的頻率間會在較低 的轉速時發生彼此互換次序(交叉或是交錯)的情況。當傾斜角

α = 5

^{o時，從圖四} 十五中可以發現彼此振態對應的頻率之間隨著設定角

β

^{的改變所造成的影響不} 大，但在 B3、C2 有頻率彼此交叉的情況。

圖四十六至五十四為對應於圖四十三情況下的自然頻率對應的模態圖，因轉 軸半徑

r = 0

、傾斜角

α = 0

^o，故不會產生側向位移，設定角

β = 0

^o與

β = ⁹⁰

^o時 之模態情形與橢圓斷面、I 型斷面相同；

β ₌ 45

^o，各組的振態裡面皆有所有方向 的分量，且 BI、CI 與 DI 的振態之間有明顯的耦合現象。

第五章 結論與展望

在文檔中 以有限元素法分析三維旋轉傾斜尤拉梁的穩態變形與自由振動 (頁 74-80)