旋轉梁結構在日常生活中有很多實際上的應用，像是吊扇、渦輪的葉
片、直升機的旋轉翼、風力發電機的葉片、衛星的支臂、飛機的螺旋槳和 機械手臂。振動分析在旋轉梁的設計與分析上扮演著很重要的角色，文獻 上在這方面已經有很多的研究。關於旋轉梁結構的振動分析可從文獻[1,2]有詳細的探討與回顧，
Schilhansl [3]在考慮離心力，但忽略科氏力的情況下，導出了如圖一所示之
等速旋轉梁振動的微分方程式，。Lee 與 Kuo[4]探討了圖一之旋轉 Euler 梁，對其旋轉軸的中心半徑、設定角及轉速對旋轉梁彎矩振動自然頻率的影 響。Yokoyama[5]將旋轉慣量及剪變形、旋轉軸的中心半徑和設定角合併到 有限元素的模式中，探討其對自然頻率的影響。Lee and Lin[6]用線性梁理 論去推導旋轉 Timoshenko 梁之運動方程式，並探討了旋轉速度和質量慣性 矩(mass moment of inertia)的耦合效應、設定角和旋轉速度對彎矩自然頻率 的影響。Eick and Mignolet [7]探討旋轉梁在不同旋轉軸中心半徑與旋轉梁長 度之比值下，其受軸向壓應力挫屈時之臨界轉速。
文獻[3-7]均用線性梁理論推導旋轉梁的運動方程式，且在作其振動分 析時都不考慮科氏力，但均無討論其適當性或影響，在文獻[8]Simo and
Vu-Quoc 提到在分析旋轉結構需要用幾何非線性梁理論(至少取到二次項)
才能適當的計算離心力對彎矩剛度的影響，若用線性梁理論(只取到一次項) 將會產生虛假的彎矩剛度流失，所以文獻[3-7]中推導的旋轉梁之運動方程 式及所求得之振動的自然頻率應是不正確的。文獻[9,10]利用非線性梁理論的一致線性化、虛功原理和 d’Alembert 原
理在旋轉座標上推導旋轉 Timoshenko 梁正確的線性運動方程式，文獻[9,10]在分析時考慮了軸向變形及科氏力。旋轉梁的自然振動是指以其穩態解為
平衡點的微小振動，故須先求出其穩態解，除了設定角為
0
o或90
o外，旋轉 梁之穩態變形是三維的變形，且其自然振動是軸向、側向與扭轉耦合的三 維振動，文獻[9,10]僅分析設定角為0o或90o之旋轉梁，並僅考慮軸向變形及 一個側方向的位移與旋轉的二維振動，文獻[9]提出一套旋轉梁之自然頻率 的級數解法及計算其自然頻率的數值計算程序，並探討科氏力對旋轉梁之 自 然 頻 率 的 影 響 。 文 獻 [10] 以 文 獻 [9] 提 出 的 方 法 及 細 長 比 很 大 的Timoshenko 梁模擬旋轉 Euler 梁，文獻[10]發現在低轉速時，科氏力對細長
比很大的旋轉梁的自然頻率影響不大，但文獻[9,10]中並無高轉速的結果，因在高轉速時，文獻[9,10]的數值方法對細長比很大的旋轉梁無法收斂。
文獻[11]分析如圖一所示之設定角為 0 或
o90 的旋轉 Euler 梁，利用虛
o 功原理與 d’Alembert 原理，配合非線性梁理論的一致線性化，在旋轉座標 上推導旋轉 Euler 梁正確的線性運動方程式，並僅考慮軸向變形及一個側方 向的位移與旋轉的二維振動，文獻[11]將旋轉梁分成數段，每段稱為一個元 素，每個元素用一個級數解來表示其自由振動，文獻[11]發現當細長比很大 時，在高轉速下僅用一個元素無法求得正確的自然頻率，需將旋轉梁分成 兩個以上的元素，才能求得精確的自然頻率，但文獻[11]並未探討其原因。文獻[12]考慮一具軸對稱之三維旋轉 Timoshenko 梁，利用共旋轉有限元素 法(Co-rotational finite element formulation)和虛功原理配合非線性梁理論的 一致線性化，推導梁元素節點慣性力與節點變形力。具雙軸對稱之三維旋 轉 Timoshenko 梁的穩態解包含軸向和扭轉變形，文獻[12]保留軸向和扭轉 變形的穩態解到二次項及扭轉率的三次項，文獻[12]將旋轉 Timoshenko 梁 的運動方程式中的時間函數去掉求得系統穩態平衡式，再用牛頓法的增量 迭代法求得穩態解，文獻[12]用泰勒級數在穩態平衡點將運動方程式一致線 性化，求得旋轉 Timoshenko 梁的振動方程式，文獻[12]探討旋轉速度和設
定角對三維旋轉 Timoshenko 梁之穩態變形及自然頻率的影響。文獻[13]採 用 Euler 梁取代文獻[12]Timoshenko 梁，以有限元素法推導出三維旋轉 Euler 梁運動方程式，其穩態解包含軸向和扭轉變形，探討旋轉速度和設定角對 三維旋轉 Euler 梁之穩態變形及自然頻率的影響。
當傾斜角不為
0o、設定角不為0o或90 時，旋轉梁之軸向、兩個側向位
o 移與扭轉的穩態解都不為零。文獻[14-15]探討如圖二所示之具有設定角與 傾斜角之旋轉梁自由振動。文獻[14-15]僅考慮軸向位移的穩態解對自然頻 率的影響，忽略了兩個側向位移及扭轉影響，故其旋轉梁的自然頻率可能 不準確。當傾斜角不為零、設定角為 0
o或90
o時，旋轉傾斜尤拉梁為二維自然振動。文獻
[16]
用虛功、d'Alembert
原理及幾何非線性梁理論的一致線性化，推導設定角為
0
o或90
o之旋轉Euler
梁的二維運動方程式。當設定角為90
o 時，旋轉傾斜尤拉梁的側向穩態解為零；當設定角為0
o時，旋轉傾斜尤拉 梁之側向穩態變形不為零。文獻[16]
以旋轉梁變形前所受的離心力求其軸向 及側向穩態變形，但旋轉梁所受離心力為與結構變形位置相關的外力(configuration dependent load)
。文獻[16]
在設定角0
o或90
o，有考慮側向位移 的穩態解，但無解出0
o時的自然頻率。文獻
[17]
以共旋轉有限元素法探討設定角為0
o之旋轉傾斜梁的穩態變形及自然振動頻率，考慮梁的軸向位移及單一側向位移和旋轉二維運動，旋 轉梁所受的離心力為與結構變形位置相關的外力
(configuration dependent
load)
，文獻[17]
採用d'Alembert
原理、虛功原理、幾何非線性梁理論的一致線性化，推導出節點慣性力和節點變形力，組合成系統的非線性運動方程 式，將旋轉梁的運動方程式的時間函數去掉求得系統穩態平衡方程式，再 用牛頓法的增量迭代法求出軸向位移及一個側向位移的穩態解，將運動方 程式在穩態平衡位置用泰勒級數展開，取到一次項，求得旋轉傾斜梁的振
動方程式，再求出旋轉梁以穩態解為平衡點的自然振動及對應的振態。
文獻[18] 探討傾斜角為零，有預錐角(Precone)的旋轉梁的自由振動，
僅考慮軸向的穩態變形對自然頻率的影響，忽略了扭轉與側向位移之穩態 解，故此旋轉梁之自然頻率可能不正確。文獻[19]探討傾斜角為零，具有預 扭(Pretwised)和預錐角(Precone)之旋轉梁自由振動，利用非線性梁理論求得 軸向、扭轉與兩個側向位移穩態解，並且去探討柯氏力對具有預扭(Pretwised) 和預錐角(Precone)旋轉梁的振動頻率影響。文獻[20]、[21]在傾斜角與預錐 角(Precone)為零的時候，分析預扭(Pretwised)旋轉梁的自由振動。文獻[22]
探 討 將 預 錐 角 (Precone) 稱 作 錐 形 角 (taper angle) ， 忽 略 傾 斜 角 之 預 扭
(Pretwised)旋轉梁自由振動分析。文獻[20-22]皆僅討論自然頻率與沿著旋轉
樑上預扭角(Pretwised angle)的關係，並沒有考慮穩態解造成的影響。在工程上，一般的旋轉結構體或是葉片(Blade)，往往因為製造上的誤 差或是本身設計上的考量，傾斜角以及設定角並不為
0
o或90
o，具預錐角、預扭角、及設定角不為0o或
90
o的傾斜旋轉梁之穩態變形是三維的變形，其 自然振動是軸向、側向與扭轉耦合的三維振動，但由上面的文獻回顧可發 現，文獻上仍缺乏考慮軸向、側向及扭轉穩態變形之傾斜旋轉梁的三維振 動分析。所以本研究擬探討具有任意設定角與傾斜角的旋轉Euler
梁之穩態 變形及自由振動，但為了簡化問題，本研究並不考慮預錐角以及預扭角。本研究擬採用共旋轉有限元素法求在一剛接在轉軸之旋轉總體座標上
描述旋轉梁的位移、速度及加速度，本文利用文獻
[23]
之三維Euler
梁的變 形機制推導梁元素，在梁元素當前的變形位置建立一個元素座標，該元素 座標原點的速度及加速度與該原點重合且固定在旋轉總體座標之點的剛體 速度與加速度，該元素座標與轉軸有相同的角速度。本文以d'Alembert
原 理、虛功原理、幾何非線性梁理論的一致線性化，推導出元素之節點慣性力、節點變形力、剛度矩陣、向心力剛度矩陣(centripetal stiffness matrix)，
質量矩陣(mass matrix)，陀螺矩陣(gyroscopic matrix)。將系統的非線性運動 方程式中對時間的微分的項去掉即為系統的穩態平衡方程式，將系統運動 方程式用泰勒級數在穩態變形的位置展開，取到一次項，即為旋轉梁微小 振動的運動方程式。在推導過程中保留穩態變形的節點參數和其微分到二 次項以及扭轉率的三次項，而振動部分保留節點參數和其微分到一次項。
本文利用基於牛頓法的增量迭代法求出軸向、扭轉及兩個側向位移的穩態 解。旋轉傾斜梁的振動方程式中存在陀螺矩陣，所以其自然振動頻率對應 的振動模態為複變數，其頻率方程式(frequency equations)為一組代數齊次方 程式，該組齊次方程式為一個二次特徵值問題，其係數形成之矩陣的行列 式值為零時的根，即為自然振動頻率。本文以二分法來求行列式值為零時 的根。本研究擬探討設定角、傾斜角、轉速、轉軸半徑及細長比對旋轉傾 斜梁自然頻率的影響。
第二章 理論推導