以有限元素法分析三維旋轉傾斜尤拉梁的穩態變形與自由振動

國 立 交 通 大 學

機械工程學系碩士班

碩 士 論 文

以有限元素法分析三維旋轉傾斜尤拉梁的穩態變形

與自由振動

Steady State and Free Vibration Analysis of a Three Dimensional

Rotating Inclined Euler Beam by Finite Element Method

研 究 生：蔡秉宏

指導教授：蕭國模 博士

以有限元素法分析三維旋轉傾斜尤拉梁的穩態變形與自由振動

Steady State and Free Vibration Analysis of a Three Dimensional

Rotating Inclined Euler Beam by Finite Element Method

研 究 生： 蔡秉宏

Student： Ping-Hong Tsai

指導教授： 蕭國模 博士

Advisor： Dr. Kuo-Mo Hsiao

國 立 交 通 大 學

機械工程學系碩士班

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Department of Mechanical Engineering

College of Engineering

National Chiao Tung University

in Partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of

Master of Science

in

Mechanical Engineering

September 2010

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

以有限元素法分析三維旋轉傾斜尤拉梁的穩態變形與

以有限元素法分析三維旋轉傾斜尤拉梁的穩態變形與

以有限元素法分析三維旋轉傾斜尤拉梁的穩態變形與

以有限元素法分析三維旋轉傾斜尤拉梁的穩態變形與

自由振動

自由振動

自由振動

自由振動

Steady State and Free Vibration Analysis of a Three Dimensional

Rotating Inclined Euler Beam by Finite Element Method

研究生：蔡秉宏 指導教授：蕭國模博士

國立交通大學機械工程學系碩士班

摘要

本研究主要利用共旋轉有限元素法結合浮動框架法（floating frame

method）推導旋轉傾斜尤拉梁的運動方程式，探討具任意傾斜角與設定角

之等速旋轉傾斜尤拉梁的穩態變形及以該穩態變形為平衡點的自然振動頻

率。

本文將旋轉梁的運動方程式建立在一個剛接在其轉軸的總體座標上，

本文在梁元素當前的變形位置上建立元素座標，當前的元素座標與總體座

標有相同的速度、加速度、角速度、角加速度。本文利用非線性梁理論的

一致線性化、d’Alembert 原理和虛功原理在當前的元素座標上推導梁元素的

節點變形力、節點慣性力。元素的剛度矩陣是由元素的節點變形力對節點

矩陣(mass matrix)、陀螺矩陣(

gyroscopic matrix

) 是由元素的節點慣性力分

別對節點參數的微分、節點參數對時間之二次微分的微分、節點參數對時

間之一次微分的微分求得。為考慮軸向、扭轉及兩個撓曲變形間的耦合，

元素的節點變形力中保留節點參數和其微分到二次項以及扭轉率的三次

項，因本穩考慮之振動為微小的振動，元素的節點慣性力中僅保留節點參

數和其對時間之微分到一次項。

將系統的非線性運動方程式中對時間的微分項去掉即為系統的穩態平

衡方程式，將系統的運動方程式用泰勒級數在穩態變形的位置展開，取到

一次項，即為旋轉梁微小振動的運動方程式。

本文利用基於牛頓法的增量迭代法求出軸向、扭轉及兩個側向位移的

穩態解。旋轉傾斜梁的頻率方程式為一組代數齊次方程式，該組齊次方程

式為一個二次特徵值問題，其係數形成之矩陣的行列式為零時的根，即為

自然振動頻率，因該組方程式中存在陀螺矩陣，故其自然振動頻率所對應

的振動模態為複變數。本文以二分法來求行列式為零時的根。

本研究以無因次化的數值例題，探討不同梁斷面、設定角、傾斜角、

無因次旋轉速度以及無因次轉軸半徑對旋轉 Euler 梁之穩態變形、自然頻率

及振態的影響。

Steady State and Free Vibration Analysis of a Three Dimensional Rotating

Inclined Euler Beam by Finite Element Method

Student：Ping-Hong Tsai Advisor：Dr. Kuo-Mo Hsiao

Department of Mechanical Engineering

National Chiao Tung University

Abstract

In this paper a co-rotational finite element formulation combined with the

floating frame method is proposed to derive the equations of motion for a

rotating inclined Euler beam at constant angular velocity. The steady state

deformation and natural frequency of the infinitesimal free vibration measured

from the position of the corresponding steady state deformation are investigated

for rotating inclined Euler beams with arbitrary setting angle and inclination

angle.

The equations of motion of the rotating beam are defined in a global

moving coordinates rigidly tied to the hub of the rotating beam. The element

coordinates are constructed at the current configuration of the beam element.

The velocity, acceleration, angular velocity, and angular acceleration of the

current element coordinates are set to be the same as those of the global

coordinates of the rotating beam. The element deformation nodal forces and

inertia nodal forces are systematically derived by consistent linearization of the

fully geometrically non-linear beam theory using the d'Alembert principle and

the virtual work principle in the current element coordinates. The element

stiffness matrix may be obtained by differentiating the element deformation

nodal forces with respect to the element nodal parameters. The element

centripetal stiffness matrix, mass matrix, and gyroscopic matrix may be obtained

by differentiating the element inertia nodal forces with respect to the element

nodal parameters, the second time derivative of the element nodal parameters

and the first time derivative of the element nodal parameters, respectively. In

order to include the nonlinear coupling among the bending, torsional, and

stretching deformations, the terms up to the second order of deformation

parameters and their spatial derivatives, and the third order term of twist rate are

retained in element deformation nodal forces. However, only infinitesimal free

vibration is considered here; thus only the terms up to the first order of

deformation parameters, and their spatial derivatives and time derivatives are

retained in element inertia nodal forces.

The steady state equilibrium equations may be obtained by dropping the terms

of the time derivatives in the equation of motion. The governing equations for

linear vibration may be obtained by the first order power series expansion of the

equation of motion at the position of the corresponding steady state deformation.

The frequency equation for free vibration of rotating inclined beam is a

quadratic eigenvalue problem.

An incremental-iterative method based on the Newton-Raphson method is

employed for the solution of nonlinear steady state equilibrium equations. The

natural frequencies are determined by solving the quadratic eigenvalue problem

using the bisection method.

Numerical examples are studied to investigate the steady state deformations

and the natural frequencies of rotating inclined Euler beams with different cross

sections, inclined angles, setting angles, angular velocities, radiuses of the hub,

and slenderness ratios.

誌謝

衷心感謝指導教授 蕭國模博士在這兩年期間的指導與教誨，使本論文得

以順利完成，蕭老師在研究上嚴謹的態度以及對我日常生活上的正確作息督

促，使我受益良多，在此致上最高的敬意及謝意。也感謝蔡佳霖老師及尹慶中

老師撥冗擔任口試委員並對本論文所提出的指正與建議，使本論文能夠更臻完

善。

感謝蔡明旭、周裕淳學長們在研究上的協助與照顧，以及生活上的互

相照應。感謝同學林運融過人的能力、自信及拳擊上的優異表現和對高價

咖啡的品味,林寬政作人處世的沉著穩重及每天打棒球的毅力，都是非常值

得我效法和學習的榜樣。最後再感謝學弟盧致群、黃楚璋、翁林甫在學業

以及各方面的砥礪與成長。

感謝父母親、外婆以及所有關心我的親人、朋友對我的支持與鼓勵，僅以

此成果與榮耀，獻給所有關心我的人。

目錄

中文摘要……….… I

英文摘要……….… II

誌謝………. V

目錄……….…….... VI

表目錄………..……… VIII

圖目錄……….…… XV

第一章 緒論..……….………..…….. 1

第二章 理論推導..………..….. 6

2.1 問題描述………. 6

2.2 基本假設……….………..….. 6

2.3 座標系統描述……….………..…………..….... 6

2.4 旋轉向量………...………...………... 8

2.5 Euler 梁的變形描述...……….………….….... 9

2.6 Euler 梁的應變、速度、加速度………..………..…... 14

2.7 元素節點內力之推導……….………….………...….. 21

2.8 元素剛度矩陣及慣性矩陣之推導……….………..…... 27

2.9 系統的運動方程式..………...…… 33

2.10 無因次化………...…..……… 35

第三章 數值方法及程序………...……..………... 42

3.1 穩態解………...………..……... 43

3.2 振動分析………...…….…...….. 45

第四章 數值例題………..……….……... 49

4.1 收斂分析………..…..……….…. 50

4.2 個案分析………...……….…..…… 51

第五章 結論與展望………..……….…… 57

參考文獻 ……….…….. 59

附表………..…….….. 63

附圖……….……….………..……….. 119

附錄 A………... 170

附錄 B………... 174

附錄 C………... 179

表目錄

表一 不同橢圓斷面的收斂分析

(

k

=

0

.

1

、

α

=

0

、

β

=

45

、

r

=

1

)

………..…. 63

表二 不同橢圓斷面的收斂分析

(

k

=

0

.

03

、

α

=

5

、

β

=

45

、

r

=

1

)

……….…… 64

表三 不同橢圓斷面的收斂分析

(

k

=

0

.

01

、

α

=

30

、

β

=

45

、

r

=

1

)

………..…. 65

表四 不同橢圓斷面的收斂分析

(

k

=

0

.

01

、

α

=

45

、

β

=

45

、

r

=

1

)

……….. 66

表五 不同橢圓斷面的收斂分析

(

k

=

0

.

01

、

α

=

60

、

β

=

45

、

r

=

1

)

……….……. 67

表六 不同 I 型斷面的收斂分析

(

、

α

=

45

、

β

=

45

、

r

=

1

)

……….……. 68

表七 不同十字斷面的收斂分析

(

、

α

=

45

、

β

=

45

、

r

=

1

)

……….……. 69

表八 旋轉傾斜梁在不同橢圓斷面的振動頻率

(轉速

k

=

0

)

……….…...… 70

表九 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(橢圓斷面

，

L

a

=

20

，

r

=

0

，

α

=

0

)

………...….. 71

表十 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(橢圓斷面

，

L

a

=

20

，

r

=

0

，

α

=

0

)

………. 72

表十一 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(橢圓斷面

，

L

a

=

20

，

r

=

1

，

α

=

0

)

………..…. 73

表十二 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(橢圓斷面

，

L

a

=

20

，

r

=

1

，

α

=

0

)

……...…………. 74

表十三 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(橢圓斷面

，

L

a

=

20

，

r

=

1

，

α

=

30

)

………….…. 75

表十四 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(橢圓斷面

，

L

a

=

20

，

r

=

1

，

α

=

30

)

……….…….. 76

表十五 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(橢圓斷面

，

L

a

=

20

，

r

=

1

，

α

=

45

)

…………..…. 77

表十六 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(橢圓斷面

，

L

a

=

20

，

r

=

1

，

α

=

45

)

………..……. 78

表十七 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(橢圓斷面

，

，

r

=

0

，

α

=

0

)

……..…..….…. 79

表十八 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(橢圓斷面

，

，

r

=

0

，

α

=

0

)

…………....…. 80

表十九 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(橢圓斷面

，

，

r

=

1

，

α

=

0

)

……….……... 81

表二十 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(橢圓斷面

，

L

a

=

50

，

r

=

1

，

α

=

0

)

……….…...…. 82

表二十一 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(橢圓斷面

，

L

a

=

50

，

r

=

1

，

α

=

30

)

……..…..…. 83

表二十二 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(橢圓斷面

a

b

=

5

，

L

a

=

50

，

r

=

1

，

α

=

30

)

………..…. 84

表二十三 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(橢圓斷面

，

L

a

=

50

，

r

=

1

，

α

=

45

)

………....…. 85

表二十四 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(橢圓斷面

，

L

a

=

50

，

r

=

1

，

α

=

45

)

……….….. 86

表二十五 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(橢圓斷面

a

b

=

10

，

L

a

=

20

，

r

=

0

，

α

=

0

)

……….... 87

表二十六 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(橢圓斷面

a

b

=

10

，

L

a

=

20

，

r

=

0

，

α

=

0

)

……….... 88

表二十七 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(橢圓斷面

a

b

=

10

，

L

a

=

20

，

r

=

1

，

α

=

0

)

…….……. 89

表二十八 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(橢圓斷面

，

L

a

=

20

，

r

=

1

，

α

=

0

)

………. 90

表二十九 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(橢圓斷面

a

b

=

10

，

L

a

=

20

，

r

=

1

，

α

=

30

)

…………. 91

表三十 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(橢圓斷面

a

b

=

10

，

L

a

=

20

，

r

=

1

，

α

=

30

)

………. 92

表三十一 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(

橢圓斷面

a

b

=

10

，

L

a

=

20

，

r

=

1

，

α

=

45

)……….…. 93

表三十二 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(橢圓斷面

a

b

=

10

，

L

a

=

20

，

r

=

1

，

α

=

45

)

……….… 94

表三十三 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(橢圓斷面

a

b

=

10

，

L

a

=

50

，

r

=

0

，

α

=

0

)

………..…. 95

表三十四 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(橢圓斷面

a

b

=

10

，

L

a

=

50

，

r

=

0

，

α

=

0

)

……..……. 96

表三十五 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(橢圓斷面

a

b

=

10

，

L

a

=

50

，

r

=

1

，

α

=

0

)

……..……. 97

表三十六 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(橢圓斷面

a

b

=

10

，

L

a

=

50

，

r

=

1

，

α

=

0

)

……..……. 98

表三十七 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(橢圓斷面

a

b

=

10

，

L

a

=

50

，

r

=

1

，

α

=

30

)

……..…... 99

表三十八 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(橢圓斷面

a

b

=

10

，

L

a

=

50

，

r

=

1

，

α

=

30

)

………...…. 100

表三十九 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(橢圓斷面

a

b

=

10

，

L

a

=

50

，

r

=

1

，

α

=

45

)

………….…. 101

表四十 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(橢圓斷面

a

b

=

10

，

L

a

=

50

，

r

=

1

，

α

=

45

)

………….…... 102

表四十一 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(I 型斷面

W

10

×

30

L

d

=

25

，

r

=

0

，

α

=

0

)

……... 103

表四十二 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(I 型斷面

L

d

=

25

，

r

=

0

，

α

=

0

)

….……... 104

表四十三 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(I 型斷面

L

d

=

25

，

r

=

1

，

α

=

0

)

….……... 105

表四十四 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(I 型斷面

L

d

=

25

，

，

α

=

0

)

….……... 106

表四十五 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(I 型斷面

W

10

×

30

L

d

=

25

，

r

=

1

，

α

=

30

)

……... 107

表四十六 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(I 型斷面

W

10

×

30

L

d

=

25

，

r

=

1

，

α

=

30

)

….….... 108

表四十七 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(I 型斷面

W

10

×

30

L

d

=

25

，

r

=

1

，

α

=

45

)

……... 109

表四十八 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(I 型斷面

W

10

×

30

L

d

=

25

，

r

=

1

，

α

=

45

)

……... 110

表四十九 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(十字斷面

d

×

b

×

t

=

14

×

7

×

0

.

35

，

L

d

=

20

，

r

=

0

，

α

=

0

)

……….………..…… 111

表五十 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(十字斷面

d

×

b

×

t

=

14

×

7

×

0

.

35

，

L

d

=

20

，

r

=

0

，

α

=

0

)

……….………..……… 112

表五十一 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(十字斷面

d

×

b

×

t

=

14

×

7

×

0

.

35

，

L

d

=

20

，

r

=

1

，

α

=

0

)

……….………..…… 113

表五十二 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(十字斷面

d

×

b

×

t

=

14

×

7

×

0

.

35

，

L

d

=

20

，

r

=

1

，

α

=

0

)

……….………..…… 114

表五十三 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(十字斷面

d

×

b

×

t

=

14

×

7

×

0

.

35

，

L

d

=

20

，

r

=

1

，

α

=

30

)

……….………..…… 115

表五十四 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(十字斷面

d

×

b

×

t

=

14

×

7

×

0

.

35

，

L

d

=

20

，

r

=

1

，

α

=

30

)

……….………..…… 116

表五十五 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(十字斷面

d

×

b

×

t

=

14

×

7

×

0

.

35

，

L

d

=

20

，

r

=

1

，

α

=

45

)

……….………..…… 117

表五十六 旋轉傾斜梁不同設定角不同轉速的振動頻率

(十字斷面

d

×

b

×

t

=

14

×

7

×

0

.

35

，

，

r

=

1

，

α

=

45

)

……….………..…… 118

圖目錄

圖一 無傾斜角的旋轉梁結構

………..….……. 119

圖二 具傾斜角的旋轉梁結構

………..……...…. 120

圖三 旋轉傾斜梁的上視圖

………..……… 120

圖四 旋轉傾斜梁的側視圖

……….……….…… 121

圖五 旋轉向量圖

………..…… 121

圖六 梁之位移以及座標系統關係圖

………..…… 122

圖七

梁的斷面圖

……….…. 123.

圖八

轉速–

(B1

、

B2)

自然頻率圖

(

橢圓斷面

a

b

=

10

，

L

a

=

50

，

r

=

1

，

α

=

45

，

N

=

50

)

……….………..…..………… 124

圖九

轉速–

det

K

圖

(

橢圓斷面

a

b

=

10

，

L

a

=

50

，

r

=

1

，

α

=

45

、

β

=

90

，

N

=

50

)

……….………..……..………… 124

圖十 位移分佈圖

(橢圓斷面

a

/

b

=

5

，

L

/

a

=

50

，

r

=

0

，

β

=

45

°

，

α

=

0

，

N

=

20

)

……….………....….… 125

圖十一 位移分佈圖

(橢圓斷面

a

b

=

10

，

L

a

=

20

，

r

=

1

，

β

=

45

，

α

=

30

，

N

=

35

*

)

……….………...….… 126

圖十二 位移分佈圖

(橢圓斷面

a

b

=

10

，

L

a

=

50

，

r

=

1

，

β

=

45

，

α

=

30

，

N

=

35

*

)

……….………..…… 127

圖十三 轉速–自然頻率圖

(橢圓斷面

a

b

=

5

，

L

a

=

50

，

r

=

0

，

α

=

0

，

N

=

20

)

……….………..……..… 128

圖十四 轉速–自然頻率圖

(橢圓斷面

a

b

=

5

，

L

a

=

50

，

r

=

1

，

α

=

0

，

N

=

35

*

)

……….………..……..… 129

圖十五 轉速–自然頻率圖

(橢圓斷面

a

b

=

5

，

L

a

=

50

，

r

=

1

，

α

=

30

，

N

=

35

*

)

……….………..…..… 130

圖十六 轉速–自然頻率圖

(橢圓斷面

a

b

=

10

，

L

a

=

20

，

r

=

1

，

α

=

30

，

N

=

35

*

)

……….……… 131

圖十七 轉速–自然頻率圖

(橢圓斷面

a

b

=

10

，

L

a

=

50

，

r

=

1

，

α

=

30

，

N

=

35

*

)

……….………...…… 132

圖十八 轉速–自然頻率圖

(橢圓斷面

a

b

=

10

，

L

a

=

50

，

r

=

1

，

α

=

45

，

N

=

50

)

……….………..………..……… 133

圖十九 傾斜旋轉梁不同設定角不同轉速下的第一、第二振動模態

(橢圓斷面

a

b

=

10

，

r

=

1

，

L

a

=

20

，

α

=

30

，

β

=

0

，

N

=

35

*

)

……….………..…… 134

圖二十 傾斜旋轉梁不同設定角不同轉速下的第三、第四振動模態

(橢圓斷面

a

b

=

10

，

r

=

1

，

L

a

=

20

，

α

=

30

，

β

=

0

，

N

=

35

*

)

……….………..…… 135

圖二十一 傾斜旋轉梁不同設定角不同轉速下的第五、第六振動模態

(橢圓斷面

a

b

=

10

，

r

=

1

，

L

a

=

20

，

α

=

30

，

β

=

0

，

N

=

35

*

……….………..… 136

圖二十二 傾斜旋轉梁不同設定角不同轉速下的第一、第二振動模態

(橢圓斷面

a

b

=

10

，

r

=

1

，

L

a

=

20

，

α

=

30

，

β

=

45

，

N

=

35

*

……….………..……… 137

圖二十三 傾斜旋轉梁不同設定角不同轉速下的第三、第四振動模態

(橢圓斷面

a

b

=

10

，

r

=

1

，

L

a

=

20

，

α

=

30

，

β

=

45

，

N

=

35

*

……….……….………… 138

圖二十四 傾斜旋轉梁不同設定角不同轉速下的第五、第六振動模態

(橢圓斷面

a

b

=

10

，

r

=

1

，

L

a

=

20

，

α

=

30

，

β

=

45

，

N

=

35

*

..………….……… 139

圖二十五 傾斜旋轉梁不同設定角不同轉速下的第一、第二振動模態

(橢圓斷面

a

b

=

10

，

r

=

1

，

L

a

=

20

，

α

=

30

，

β

=

90

，

N

=

35

*

…..………….……… 140

圖二十六 傾斜旋轉梁不同設定角不同轉速下的第三、第四振動模態

(橢圓斷面

a

b

=

10

，

r

=

1

，

L

a

=

20

，

α

=

30

，

β

=

90

，

N

=

35

*

....………….………..…… 141

圖二十七 傾斜旋轉梁不同設定角不同轉速下的第五、第六振動模態

(橢圓斷面

a

b

=

10

，

r

=

1

，

L

a

=

20

，

α

=

30

，

β

=

90

，

N

=

35

*

)

....………….………..… 142

圖二十八 位移分佈圖

( I 型斷面

W

10

×

30

L

d

=

25

，

r

=

1

，

β

=

45

，

α

=

5

，

N

=

50

)

……….……….…….…… 143

圖二十九 位移分佈圖

( I 型斷面

W

10

×

30

L

d

=

25

，

r

=

1

，

β

=

45

，

α

=

30

，

N

=

50

)

……….………...….…… 144

圖三十 轉速–自然頻率圖

( I 型斷面

W

10

×

30

L

d

=

25

，

r

=

0

，

α

=

0

，

N

=

50

)

……….………..…..………… 145

圖三十一 轉速–自然頻率圖

( I 型斷面

W

10

×

30

L

d

=

25

，

r

=

1

，

α

=

5

，

N

=

50

)

……….………..…..………… 146

圖三十二 傾斜旋轉梁不同設定角不同轉速下的第一、第二振動模態

(I 型斷面

W

10

×

30

，

r

=

1

L

d

=

25

，

α

=

5

，

β

=

0

，

N

=

50

)

..………….………..… 147

圖三十三 傾斜旋轉梁不同設定角不同轉速下的第三、第四振動模態

(I 型斷面

W

10

×

30

，

r

=

1

L

d

=

25

，

α

=

5

，

β

=

0

，

N

=

50

)

...………….………..…… 148

圖三十四 傾斜旋轉梁不同設定角不同轉速下的第五、第六振動模態

(I 型斷面

W

10

×

30

，

r

=

1

L

d

=

25

，

α

=

5

，

β

=

0

，

N

=

50

)

....………….………...… 149

圖三十五 傾斜旋轉梁不同設定角不同轉速下的第一、第二振動模態

(I 型斷面

W

10

×

30

，

r

=

1

L

d

=

25

，

α

=

5

，

β

=

45

，

N

=

50

)

………….……….……… 150

圖三十六 傾斜旋轉梁不同設定角不同轉速下的第三、第四振動模態

(I 型斷面

W

10

×

30

，

r

=

1

L

d

=

25

，

α

=

5

，

β

=

45

，

N

=

50

)

………….………..…..…… 151

圖三十七 傾斜旋轉梁不同設定角不同轉速下的第五、第六振動模態

(I 型斷面

W

10

×

30

，

r

=

1

L

d

=

25

，

α

=

5

，

β

=

45

，

N

=

50

)

………….………..…...…… 152

圖三十八 傾斜旋轉梁不同設定角不同轉速下的第一、第二振動模態

(I 型斷面

W

10

×

30

，

r

=

1

L

d

=

25

，

α

=

5

，

β

=

90

，

N

=

50

)

………….………..……...… 153

圖三十九 傾斜旋轉梁不同設定角不同轉速下的第三、第四振動模態

(I 型斷面

W

10

×

30

，

r

=

1

L

d

=

25

，

α

=

5

，

β

=

0

，

N

=

50

)

………….………..……..… 154

圖四十 傾斜旋轉梁不同設定角不同轉速下的第五、第六振動模態

(I 型斷面

W

10

×

30

，

r

=

1

，

，

α

=

5

，

β

=

0

，

N

=

50

)

....………….………..……..… 155

圖四十一 位移分佈圖

(十字斷面

，

，

r

=

1

，

β

=

45

，

_，

₎

……….………...….…… 156

圖四十二 位移分佈圖

(十字斷面

，

，

r

=

1

，

β

=

45

，

α

=

30

，

)

…….………….………...….…… 157

圖四十三 轉速–自然頻率圖

(十字斷面

，

，

，

，

)

……….………....……… 158

圖四十四 轉速–自然頻率圖

(十字斷面

，

，

，

，

)

……….………..…..………… 159

圖四十五 轉速–自然頻率圖

(十字斷面

，

，

，

，

)

……….………..………..…… 160

圖四十六 傾斜旋轉梁不同設定角不同轉速下的第一、第二振動模態

d

×

b

×

t

=

14

×

7

×

0

.

35

r

=

0

，

α

=

0

β

=

0

N

=

50

)

....………….………..……..… 161

圖四十七 傾斜旋轉梁不同設定角不同轉速下的第三、第四振動模態

d

×

b

×

t

=

14

×

7

×

0

.

35

r

=

0

α

=

0

β

=

0

N

=

50

)

....………….………..……..… 162

圖四十八 傾斜旋轉梁不同設定角不同轉速下的第五、第六振動模態

d

×

b

×

t

=

14

×

7

×

0

.

35

r

=

0

α

=

0

β

=

0

N

=

50

)

....………….………..……...… 163

圖四十九 傾斜旋轉梁不同設定角不同轉速下的第一、第二振動模態

d

×

b

×

t

=

14

×

7

×

0

.

35

r

=

0

α

=

0

β

=

45

N

=

50

)

....………….………..……..… 164

圖五十 傾斜旋轉梁不同設定角不同轉速下的第三、第四振動模態

d

×

b

×

t

=

14

×

7

×

0

.

35

r

=

0

α

=

0

β

=

45

N

=

50

)

....………….………..…..…… 165

圖五十一 傾斜旋轉梁不同設定角不同轉速下的第五、第六振動模態

d

×

b

×

t

=

14

×

7

×

0

.

35

r

=

0

α

=

0

β

=

45

N

=

50

)

....………….………..…..…… 166

圖五十二 傾斜旋轉梁不同設定角不同轉速下的第一、第二振動模態

d

×

b

×

t

=

14

×

7

×

0

.

35

r

=

0

α

=

0

β

=

90

N

=

50

)

....………….………..……..… 167

圖五十三 傾斜旋轉梁不同設定角不同轉速下的第三、第四振動模態

d

×

b

×

t

=

14

×

7

×

0

.

35

r

=

0

α

=

0

β

=

90

N

=

50

)

....………….………..…..…… 168

圖五十四 傾斜旋轉梁不同設定角不同轉速下的第五、第六振動模態

d

×

b

×

t

=

14

×

7

×

0

.

35

r

=

0

α

=

0

β

=

90

N

=

50

)

....…………..……… 169

第一章 緒論

旋轉梁結構在日常生活中有很多實際上的應用，像是吊扇、渦輪的葉

片、直升機的旋轉翼、風力發電機的葉片、衛星的支臂、飛機的螺旋槳和

機械手臂。振動分析在旋轉梁的設計與分析上扮演著很重要的角色，文獻

上在這方面已經有很多的研究。

關於旋轉梁結構的振動分析可從文獻[1,2]有詳細的探討與回顧，

Schilhansl [3]在考慮離心力，但忽略科氏力的情況下，導出了如圖一所示之

等速旋轉梁振動的微分方程式，。Lee 與 Kuo[4]探討了圖一之旋轉 Euler 梁，

對其旋轉軸的中心半徑、設定角及轉速對旋轉梁彎矩振動自然頻率的影

響。Yokoyama[5]將旋轉慣量及剪變形、旋轉軸的中心半徑和設定角合併到

有限元素的模式中，探討其對自然頻率的影響。Lee and Lin[6]用線性梁理

論去推導旋轉 Timoshenko 梁之運動方程式，並探討了旋轉速度和質量慣性

矩(mass moment of inertia)的耦合效應、設定角和旋轉速度對彎矩自然頻率

的影響。Eick and Mignolet [7]探討旋轉梁在不同旋轉軸中心半徑與旋轉梁長

度之比值下，其受軸向壓應力挫屈時之臨界轉速。

文獻[3-7]均用線性梁理論推導旋轉梁的運動方程式，且在作其振動分

析時都不考慮科氏力，但均無討論其適當性或影響，在文獻[8]Simo and

Vu-Quoc 提到在分析旋轉結構需要用幾何非線性梁理論(至少取到二次項)

才能適當的計算離心力對彎矩剛度的影響，若用線性梁理論(只取到一次項)

將會產生虛假的彎矩剛度流失，所以文獻[3-7]中推導的旋轉梁之運動方程

式及所求得之振動的自然頻率應是不正確的。

文獻[9,10]利用非線性梁理論的一致線性化、虛功原理和 d’Alembert 原

理在旋轉座標上推導旋轉 Timoshenko 梁正確的線性運動方程式，文獻[9,10]

在分析時考慮了軸向變形及科氏力。旋轉梁的自然振動是指以其穩態解為

平衡點的微小振動，故須先求出其穩態解，除了設定角為

0

或

90

外，旋轉

梁之穩態變形是三維的變形，且其自然振動是軸向、側向與扭轉耦合的三

維振動，文獻[9,10]僅分析設定角為

_或

_{之旋轉梁，並僅考慮軸向變形及}

一個側方向的位移與旋轉的二維振動，文獻[9]提出一套旋轉梁之自然頻率

的級數解法及計算其自然頻率的數值計算程序，並探討科氏力對旋轉梁之

自 然 頻 率 的 影 響 。 文 獻 [10] 以 文 獻 [9] 提 出 的 方 法 及 細 長 比 很 大 的

Timoshenko 梁模擬旋轉 Euler 梁，文獻[10]發現在低轉速時，科氏力對細長

比很大的旋轉梁的自然頻率影響不大，但文獻[9,10]中並無高轉速的結果，

因在高轉速時，文獻[9,10]的數值方法對細長比很大的旋轉梁無法收斂。

文獻[11]分析如圖一所示之設定角為

0 或

90 的旋轉 Euler 梁，利用虛

功原理與 d’Alembert 原理，配合非線性梁理論的一致線性化，在旋轉座標

上推導旋轉 Euler 梁正確的線性運動方程式，並僅考慮軸向變形及一個側方

向的位移與旋轉的二維振動，文獻[11]將旋轉梁分成數段，每段稱為一個元

素，每個元素用一個級數解來表示其自由振動，文獻[11]發現當細長比很大

時，在高轉速下僅用一個元素無法求得正確的自然頻率，需將旋轉梁分成

兩個以上的元素，才能求得精確的自然頻率，但文獻[11]並未探討其原因。

文獻[12]考慮一具軸對稱之三維旋轉 Timoshenko 梁，利用共旋轉有限元素

法(Co-rotational finite element formulation)和虛功原理配合非線性梁理論的

一致線性化，推導梁元素節點慣性力與節點變形力。具雙軸對稱之三維旋

轉 Timoshenko 梁的穩態解包含軸向和扭轉變形，文獻[12]保留軸向和扭轉

變形的穩態解到二次項及扭轉率的三次項，文獻[12]將旋轉 Timoshenko 梁

的運動方程式中的時間函數去掉求得系統穩態平衡式，再用牛頓法的增量

迭代法求得穩態解，文獻[12]用泰勒級數在穩態平衡點將運動方程式一致線

性化，求得旋轉 Timoshenko 梁的振動方程式，文獻[12]探討旋轉速度和設

定角對三維旋轉 Timoshenko 梁之穩態變形及自然頻率的影響。文獻[13]採

用 Euler 梁取代文獻[12]Timoshenko 梁，以有限元素法推導出三維旋轉 Euler

梁運動方程式，其穩態解包含軸向和扭轉變形，探討旋轉速度和設定角對

三維旋轉 Euler 梁之穩態變形及自然頻率的影響。

當傾斜角不為

、設定角不為

或

90 時，旋轉梁之軸向、兩個側向位

移與扭轉的穩態解都不為零。文獻[14-15]探討如圖二所示之具有設定角與

傾斜角之旋轉梁自由振動。文獻[14-15]僅考慮軸向位移的穩態解對自然頻

率的影響，忽略了兩個側向位移及扭轉影響，故其旋轉梁的自然頻率可能

不準確。

當傾斜角不為零、設定角為

0

或

90

時，旋轉傾斜尤拉梁為二維自然振

動。文獻

[16]

用虛功、

d'Alembert

原理及幾何非線性梁理論的一致線性化，

推導設定角為

0

或

90

之旋轉

Euler

梁的二維運動方程式。當設定角為

90

時，旋轉傾斜尤拉梁的側向穩態解為零；當設定角為

0

時，旋轉傾斜尤拉

梁之側向穩態變形不為零。文獻

[16]

以旋轉梁變形前所受的離心力求其軸向

及側向穩態變形，但旋轉梁所受離心力為與結構變形位置相關的外力

(configuration dependent load)

。文獻

[16]

在設定角

0

或

90

，有考慮側向位移

的穩態解，但無解出

0

時的自然頻率。

文獻

[17]

以共旋轉有限元素法探討設定角為

0

之旋轉傾斜梁的穩態變

形及自然振動頻率

考慮梁的軸向位移及單一側向位移和旋轉二維運動，旋

轉梁所受的離心力為與結構變形位置相關的外力

(configuration dependent

load)

，文獻

[17]

採用

d'Alembert

原理、虛功原理、幾何非線性梁理論的一致

線性化，推導出節點慣性力和節點變形力，組合成系統的非線性運動方程

式，將旋轉梁的運動方程式的時間函數去掉求得系統穩態平衡方程式，再

用牛頓法的增量迭代法求出軸向位移及一個側向位移的穩態解，將運動方

程式在穩態平衡位置用泰勒級數展開，取到一次項，求得旋轉傾斜梁的振

動方程式，再求出旋轉梁以穩態解為平衡點的自然振動及對應的振態。

文獻[18] 探討傾斜角為零，有預錐角(Precone)的旋轉梁的自由振動，

僅考慮軸向的穩態變形對自然頻率的影響，忽略了扭轉與側向位移之穩態

解，故此旋轉梁之自然頻率可能不正確。文獻[19]探討傾斜角為零，具有預

扭(Pretwised)和預錐角(Precone)之旋轉梁自由振動，利用非線性梁理論求得

軸向、扭轉與兩個側向位移穩態解，並且去探討柯氏力對具有預扭(Pretwised)

和預錐角(Precone)旋轉梁的振動頻率影響。文獻[20]、[21]在傾斜角與預錐

角(Precone)為零的時候，分析預扭(Pretwised)旋轉梁的自由振動。文獻[22]

探 討 將 預 錐 角 (Precone) 稱 作 錐 形 角 (taper angle) ， 忽 略 傾 斜 角 之 預 扭

(Pretwised)旋轉梁自由振動分析。文獻[20-22]皆僅討論自然頻率與沿著旋轉

樑上預扭角(Pretwised angle)的關係，並沒有考慮穩態解造成的影響。

在工程上，一般的旋轉結構體或是葉片(Blade)，往往因為製造上的誤

差或是本身設計上的考量，傾斜角以及設定角並不為

₀

_或

₉₀

_{，具預錐角、}

預扭角、及設定角不為

_或

₉₀

_{的傾斜旋轉梁之穩態變形是三維的變形，其}

自然振動是軸向、側向與扭轉耦合的三維振動，但由上面的文獻回顧可發

現，文獻上仍缺乏考慮軸向、側向及扭轉穩態變形之傾斜旋轉梁的三維振

動分析。所以本研究擬探討具有任意設定角與傾斜角的旋轉

Euler

梁之穩態

變形及自由振動，但為了簡化問題，本研究並不考慮預錐角以及預扭角。

本研究擬採用共旋轉有限元素法求在一剛接在轉軸之旋轉總體座標上

描述旋轉梁的位移、速度及加速度，本文利用文獻

[23]

之三維

Euler

梁的變

形機制推導梁元素，在梁元素當前的變形位置建立一個元素座標，該元素

座標原點的速度及加速度與該原點重合且固定在旋轉總體座標之點的剛體

速度與加速度，該元素座標與轉軸有相同的角速度。本文以

d'Alembert

原

理、虛功原理、幾何非線性梁理論的一致線性化，推導出元素之節點慣性

力、節點變形力、剛度矩陣、向心力剛度矩陣(

centripetal stiffness matrix)，

質量矩陣(mass matrix)，陀螺矩陣(

gyroscopic matrix

)。將系統的非線性運動

方程式中對時間的微分的項去掉即為系統的穩態平衡方程式，將系統運動

方程式用泰勒級數在穩態變形的位置展開，取到一次項，即為旋轉梁微小

振動的運動方程式。在推導過程中保留穩態變形的節點參數和其微分到二

次項以及扭轉率的三次項，而振動部分保留節點參數和其微分到一次項。

本文利用基於牛頓法的增量迭代法求出軸向、扭轉及兩個側向位移的穩態

解。旋轉傾斜梁的振動方程式中存在陀螺矩陣，所以其自然振動頻率對應

的振動模態為複變數，其頻率方程式(frequency equations)為一組代數齊次方

程式，該組齊次方程式為一個二次特徵值問題，其係數形成之矩陣的行列

式值為零時的根，即為自然振動頻率。本文以二分法來求行列式值為零時

的根。本研究擬探討設定角、傾斜角、轉速、轉軸半徑及細長比對旋轉傾

斜梁自然頻率的影響。

第二章 理論推導

2.1 問題描述

如圖二所示，本文考慮一長度為

L

具均勻斷面且雙軸對稱之尤拉梁，

其支承端以設定角(setting angle)

β

與傾斜角(inclination angle)

α

剛接在一半

徑為

R

剛性圓柱上，該圓柱以等角速率

Ω

繞其軸心旋轉。本文中所有梁的

位移、變形和振動指的是在一個以等角速率

Ω

繞圓柱中心軸旋轉的旋轉座

標上描述的位移、變形和振動。本文中考慮梁的軸向、扭轉位移、兩個側

向位移及旋轉。設定角不為

0

或

90

且傾斜角不為

0

時，等角速率的旋轉梁

存在一包含軸向位移、扭轉，兩個側向位移的穩態變形。本文中所有的振

動都是指以該穩態變形為平衡點的振動。本文中考慮的振動是線性振動，

所以由振動造成的位移、速度和加速度都視為是一微小量

(infinitesimal

quantity)

。

2.2

基本假設

本文對梁元素的推導，做如下的假設：

(1)

梁為細長的等斷面、雙對稱梁，且

Euler-Bernoulli

假說成立。

(2)

梁元素的形心軸之單位長度伸長量

(unit extension)

為均勻的伸長。

(3)

梁元素的變形與應變皆為小變形與小應變。

(4)

梁元素斷面的翹曲為梁元素的軸向扭轉率與該梁的聖維南

(Saint

Venant)

翹曲函數的乘積。

2.3

座標系統描述

本研究是使用共旋轉有限元素法

(co-rotational finite element

的運動，本文中使用三個座標系統：

(1) 總體座標系統

X

,(

＝1,2,3）

總體座標系統是以等角速率

Ω

繞圓柱中心軸旋轉，如圖三與圖四所

示，總體座標系統的原點是取在旋轉梁斷面的形心軸與旋轉圓柱的交點

(即O點)上，其

X

軸和梁變形前的斷面形心軸一致，其

X

和

X

軸是取

旋轉梁變形前的斷面主軸方向，將圓柱的轉軸方向繞

X

軸逆時鐘方向轉

角即為和

X

軸的方向。本文中旋轉梁的節點座標、節點位移、節點速

度、角速度、節點加速度、角加速度及整個系統的運動方程式均在此座

標系統中定義。

(2) 梁斷面座標系統

x

,(

＝1,2,3）

該座標系統的原點是剛接在梁斷面的形心上，其

x

軸取在未翹曲斷

面的法線方向，

x

、

x

軸取在未翹曲斷面的主軸方向。

(3) 元素座標系統

x

, (

＝1,2,3）

元素座標系統是建立在每個元素當前的位置上，且以一個等角速率

Ω

繞圓柱中心軸旋轉，如圖六所示，元素座標系統的原點是定義在元素

節點 1(即 o 點)上，令 o 點當前的總體座標為(

X

,

Y

,

0

)，

x

軸的方向為

梁元素兩節點連線的方向，

x

與

x

軸在元素變形前與斷面的主軸方向一

致，而元素變形後的

x

與

x

軸，可以由該元素未翹曲的兩端斷面的方位

來決定

[23]

，本文是分別將位於節點

1

、

2

後的斷面繞一個與該斷面之法

線及與

x

軸垂直的旋轉軸旋轉一角度使斷面之法線方向與

x

軸方向一致

(

此時不考慮斷面之翹曲變形，否則斷面的法線方向將無法定義

)

，然後再

以兩斷面的主軸方向的角平分線作為

x

軸與

x

軸的方向。本文中梁元素

的位移、變形、速度、加速度及運動方程式，均在此座標系統定義。

本文中以符號

{ }

代表行矩陣。總體座標系統

X

=

{

X

,

X

,

X

}與