第二章 傳輸線理論與步階式阻抗相關分析
本章節說明本論文所使用的基礎理論，首先介紹基本傳輸線的特性，以及電 路分析常用的網路矩陣，並介紹 ABCD 矩陣、散射矩陣，用來分析步階式傳輸線 結構、威爾金森功率分配器，接著介紹提出應用步階式阻抗架構設計威爾金森功 率分配器，最後在第三章節與第四章節會提出加入設計產生傳輸零點，藉此改善 截止帶響應。
對於應用步階式傳輸線架構取代原有威爾金森功率分配器的四分之一波長傳 輸線，與搭配傳輸零點的設計，不僅能夠減少縮小電路面積，也可以改善截止帶 響應，使威爾金森功率分配器在電路設計上又擁有更大的彈性與自由度。
2-1 傳輸線之特性
本論文首先介紹傳輸線的理論，通常傳輸線在微波電路上，可由不同的電氣 長度與末端不同的負載，對應到不同的電路模型，論文中所應用的威爾金森功率 分配器，其電路是由兩段四分之一波長的傳輸線所組成，四分之一波長傳輸線很 常被應用在微波電路中，由於具有阻抗轉換器的特性，適合用來設計匹配電路，
藉由負載的不同，呈現不同的電路性質，本論文主要將威爾金森功率分配器的四 分之一波長傳輸線，利用不同的架構設計取代，並且混合電路元件，來設計威爾 金森功率分配器，圖 2.1 為一段任意無損耗波長傳輸線模型圖，定義其特性阻抗 Z1，電氣長度為φ。
Z 1 ф
圖 2.1 一段任意無損耗波長傳輸線模型圖
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Z in
Z L Z o
θ
圖2.2 一段有限長度無損耗傳輸線末端任意負載傳輸線圖
圖 2.2 為一段有限長度無損耗傳輸線末端任意負載傳輸線電路模型，其 Zo為 該傳輸線特性阻抗，其電氣長度為θ，傳輸線的輸入阻抗為Zin，ZL為末端任意負載 阻抗，而電路會因為負載短路及開路而對應到不同電路，而有所不同，圖 2.2 傳輸 線的輸入阻抗公式為
Zin = Z0ZZL+jZ0tan θ
0+jZLtan θ (2-1.1) 當傳輸線末端為短路(S.C. = Short Circuit)狀態時，其電路圖如下圖 2.3 所示，
Z in,s.c.
s.c.
θ
Z 0
圖2.3 一段有限長度無損耗傳輸線末端短路傳輸線圖
此時的負載阻抗ZL = 0Ω，將ZL = 0Ω代入上式 2-1.1，此時輸入阻抗為
Zin,s.c.= jZ0tan θ (2-1.2) 傳輸線末端為開路(O.C. = Open Circuit)狀態時，其電路圖如下圖 2.4 所示，
Z in,o.c.
Z 0 o.c.
θ
圖2.4 一段有限長度無損耗傳輸線末端開路傳輸線圖
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穿透係數，因此可寫成
S11 =ba1
1|
a2=0 S12= ba2
1|
a1=0
S21 =ba1
2|
a2=0 S22= ba2
2|
a1=0
(2-2.5)
當中S11 =ba1
1|
a2=0,為從埠一端入射波與反射波的穿透係數，但條件是除了埠一端之 外的埠端必須匹配整個系統，其餘的 S 參數以此類推。
以上 2-1~2-2 節相關資料參考文獻為[17、18]。
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2-3 利用步階式阻抗傳輸線應用電感元件設計任意一段有限長度之傳 輸線
一般傳統的威爾金森功率分配器，因為是由兩段四分之一波長組成，在電路 的實作上往往佔據了大部分的面積，而在過去的文獻上，也有著許多相關的研究，
因此功率分配器經常被應用在前端微波電路做為功率結合或分配，這類的電路通 常搭配傳輸線與電路元件來實現。
為了能夠有效地縮短威爾金森功率分配器中的四分之一波長傳輸線，可利用 步階阻抗傳輸線應用電感元件架構設計，如下圖 2.8(a)為一段任意長度傳輸線的等 效電路模型，而圖 2.8(b)架構為一段步階式阻抗串聯電感元件結構傳輸線等效電路，
由於步階式阻抗傳輸線特性和傳統的四分之一波長阻抗相比，步階式阻抗傳輸線 可以有效的縮短傳輸線的電氣長度，而串聯的電感元件可由電路元件來實現，因 此可以縮短原本電感所等效的高阻抗傳輸線，大幅縮短電路面積，達到縮小化的 目的。
Z 1 ф
(a) (b)
jX Z 2 L
θ θ
Z 2
圖 2.8 一段任意長度傳輸線之等效電路模型圖 (a)無損耗傳輸線(b)步階式阻抗中間串聯電感結構傳輸線
上圖 2.8(a)為一段任意長度的無損耗傳輸線等效電路模型，定義其電氣長度為 φ、特性阻抗為 Z1，而文獻[18]所介紹常用雙埠網路的 ABCD 矩陣中，可得知一段 任意長度的 ABCD 矩陣可表示為
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Z 1 ф
(a)
Z 2 θ
Z L θ L
Z 2 θ
(b)
圖2.9 一段任意長度傳輸線之等效電路圖
(a) 無損耗傳輸線(b)步階式阻抗中間串聯電感結構傳輸線
由上圖2.9(b)，步階式阻抗中間串聯電感結構的傳輸線，其相關電抗參數由2-3.4 b 式推得，如下式
jX = j2πfoL = jZLtanθ (2-3.5) 因此可藉由 2-3.5 式推導出製成電路上，在中心頻率為 fo上所對應的電感值、
傳輸線阻抗與電氣長度，在本論文中所應用的電感性架構是由此延伸的，在後面 章節會逐一介紹。
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第三章 設計利用步階式阻抗傳輸線及混合電感元件之威爾金森功率 分配器
一般來說功率分配器應用範圍十分廣泛，因為電路設計容易，又可以將功率 分配輸出，所以常被應用在微波電路上，而威爾金森功率分配器的架構是由兩段 四分之一波長傳輸線及一個隔離電阻所組成，各埠端均有良好匹配設計，所以輸 出端有著高隔離度響應且具有等功率分配的特性。
然而傳統威爾金森功率分配器在架構上，是由兩段四分之一波長阻抗傳輸線 組成，因此佔據整體電路大半面積，為了改善電路面積的問題，本章節提出使用 步階式阻抗傳輸線架構取代傳統功率分配器的四分之一波長阻抗傳輸線，因為步 階式阻抗傳輸線較傳統四分之一波長阻抗傳輸線的電氣長度短，可以縮短電路面 積，並且額外加入傳輸零點的設計，改善截止帶響應，最後在步階式阻抗傳輸線 中加入電感元件的設計，雖然需外加電感元件，但可節省原本電感所等效的高阻 抗線，縮短整體電路的面積。
本章節首先分析威爾金森功率分配器設計理論，藉由上章節 2-3 所提到的步階 式阻抗傳輸線架構，因此本論文提出了利用電容性步階式阻抗傳輸線架構，搭配 設計傳輸零點的π型架構，並且在電路架構中加入電感元件，藉由外加電感元件，
使電路面積更加縮短，最後，藉由實作電路結果來驗證其想法。
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Z 2Z 0 V 1 e λ/4
R/2 Z 0 V 2 e
Vo
Port1 O.C. Port2
O.C.
圖 3.3 傳統威爾金森功率分配器偶模態輸入等效電路圖
偶模態分析:
由圖 3.3 傳統威爾金森功率分配器的偶模態輸入等效電路圖來看，將電路對稱 面開路，此時若從埠二端看進去的話，該傳輸線就像一個四分之一波長阻抗的轉 換器，而 R/2 由於一段是開路，所以可忽略，因此可利用四分之一波長阻抗的轉 換器公式為
2Zo = ZZ2
O (3-1.1) 由上式得知，當Z = √2Zo，就可讓該系統達到阻抗匹配。
Z
2Z 0 V 1 o λ/4 V 2 o Z 0
Port1 Port2 R/2
Vo
S.C.
S.C.
圖 3.4 傳統威爾金森功率分配器奇模態輸入等效電路圖 奇模態分析:
由圖 3.4 傳統威爾金森功率分配器的奇模態輸入等效電路圖來看，埠一端為短 路，經過四分之一波長後為開路，所以從埠二端往左看過去是開路，因此當 R = 2Zo 時會達到阻抗匹配。
因此可以從奇偶模分析的結果得知威爾金森功率分配器的架構參數，其架構 中兩段四分之一波長傳輸線的阻抗為Z = √2Zo，而隔離電組 R = 2Zo。
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3-2 設計利用電容性負載步階式阻抗傳輸線取代四分之一波長傳輸線 之威爾金森功率分配器
本章節由 2-3 節架構中，將兩旁傳輸線設計利用電容性的開路截線，將中間電 感元件用高阻抗傳輸線取代，藉此設計產生傳輸零點的步階式阻抗傳輸線的π型架 構取代傳統威爾金森功率分配器中的四分之一波長傳輸線，使其縮短電路面積，
改善截止帶響應，並提出將四分之一波長傳輸線分成兩段和三段π型架構傳輸線架 構做取代，利用第二章節所提出的 ABCD 矩陣轉換相關公式，實現於電路上做驗 證，而實驗所使用的電路板材是 FR4 板，中心頻率在 1GHz，其板材的介電常數(εr) 為 4.4，正切損失(loss tangent)為 0.02，厚度為 1.6mm。
3-2.1 設計利用一段𝛑型架構傳輸線取代四分之一波長傳輸線之威爾金
森功率分配器
本節將介紹利用π型架構設計取代威爾金森功率分配器中的四分之一波長傳 輸線，如下圖 3.5 電路模型架構為所示，
(b) (a)
Z 1
ф θ
jB jB
Z
2圖 3.5 一段任意長度之傳輸線等效電路模型圖(a)無損耗傳輸線(b) π型架構傳輸線
圖 3.5(a)為一段任意長度的無損耗傳輸線等效電路模型，並定義其電氣長度為 φ、
特性阻抗為 Z1，而由 2-3.1 式可得知一段任意長度的 ABCD 矩陣可表示為
[A BC D]
1 = [ cos θ jZ0sin θ jY0sin θ cos θ ] = [
cos φ jZ1sin φ jZ1
1sin φ cos φ ] (3-2.1)
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圖 3.5(b)為所提出的π型架構傳輸線的電路模型，定義電氣長度為 θ，特性阻抗為
Z2，電納為 jB，其電路 ABCD 矩陣為
[A BC D]
2 = [1 0 jB 1] [
cos θ jZ2sin θ jZ1
2sin θ cos θ ] [1 0
jB 1] (3-2.2)
再將上式 3.3 整理後，可得到 ABCD 矩陣為
[ cosθ − BZ2sinθ jZ2sinθ jB cosθ +jz1
2sin θ − jB2Z2sin θ + jBcosθ −BZ2sinθ + cosθ] (3-2.3) 經由推導後得知圖 3.5 (a)、(b)各別兩段電路的 ABCD 矩陣，為了使π型架構傳輸線 取代一段任意長度傳輸線使其等效並阻抗匹配，令其兩 ABCD 矩陣相等，因此可 以得到相關式子為 3-2.4 a、3-2.4 b、3-2.4 c、3-2.4 d
[A BC D]
1 = [A BC D]
2 (3-2.4 a) Z2sinθ = Z1sinφ (3-2.4 b) cos φ = cos θ − BZ2sin θ (3-2.4 c)
2Bcosθ +Z1
2sinθ − B2Z2sinθ =Z1
2sinφ (3-2.4 d) 由上述的公式推導可以得知電路所設計的相關參數，系統特性阻抗為 50Ω，而威 爾金森功率分配器的四分之一波長傳輸線其阻抗 Z1 = 70.7Ω，該電氣長度φ= 90度，
然而所設計的功率分配器的中心頻率是 1GHz，將其推導參數代入 3-2.4 各式後，
發現方程式可得到多組解，以能夠有效利用電路面積，並且在可實現的範圍內為 原則去決定其相關參數，再換算成傳輸線的長度與阻抗。另一方面在架構中將電 容設計成開路截線，利用開路截線設計在不同頻率上產生傳輸零點，藉此改善截 止帶響應，下圖 3.6 為π型架構傳輸線取代一段四分之一波長傳輸線模型圖，利用 一段π型架構來設計威爾金森功率分配器。
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Z 1 ф
θ
C1Z
2θ
Z
c1Z
c2θ
C2圖 3.6 π型架構傳輸線取代一段四分之一波長傳輸線模型圖
由圖 3.6 傳輸線架構圖，得知將兩旁電容設計成開路截線，使其在不同頻率上 產生傳輸零點，其中電容值 B 可由下式，
−j1B= −j2πfC1 = −jZCcot θC (3-2.5) 將其電容的等效阻抗值求出，並搭配設計在不同頻率上產生傳輸零點。
其中因為方程式有多組解，為了有效利用電路面積，因此本論文決定其 Z2值，
主要是當其它參數固定時，Z2阻抗值會與θ電氣長度成反比，如下表 3-2.1 整理出 Z2與θ的變化，可發現當阻抗值越高，該線段電氣長度越短，由於製程上的限制，
為了能夠實現電路，並有效利用電路面積，因此選擇 Z2值為130Ω。
為了能夠實現電路，並有效利用電路面積，因此選擇 Z2值為130Ω。