第四章 FEMET 理論分析兩段式彎曲波導
4.1 兩段式彎曲波導數值模擬結果
使用 FEMET 分析兩段式彎曲波導其方法與分析 S 型彎曲波導相 同，因此本節我們不在探討其理論分析，我們直接模擬分析兩段式彎 曲波導各種角度能量穿透的情形，假設最初也是 TE 極化場量形式單 一模態入射，我們將可以看出兩段式彎曲波導，在傳播時會有兩模或 多模干涉現象。
兩段式彎曲波導共同參數如下表所示
表 4.1-1 Two corner bend 共同參數
兩段式彎曲波導參數定義 設定值
入射波長 1.55 mμ
Core 折射率 1.5
Cladding 折射率 1
入射區的長度 4.65 mμ
穿透區的長度 7.75 mμ
干涉區的長度 50 mμ
Core 的寬度 2.325 mμ
上牆至 Core 的距離 31.775 mμ
下牆至 Core 的距離 31.775 mμ
兩段式彎曲波導示意圖如 4.1-1 所示，其中n n、 分別為 Cladding1 2
我們模擬分析兩段式彎曲波導角度為 5 度、10 度、15 度、20 度、25 度及 30 度其能量圖如圖 4.1-1、圖 4.1-3、 圖 4.1-5、圖 4.1-7、
圖 4.1-9 及圖 4.1-11 所示，我們可以看到當波導在彎曲時會出現有兩 模或多模干涉現象，其所彎曲的角度越大多模干涉的現象將越顯著。
圖 4.1-2、圖 4.1-4、圖 4.1-6、圖 4.1-8、圖 4.1-10 及圖 4.1-12 為
最後一個模態轉換系數和基底模態最小值θmax的關系，我們將可以看
出不同的彎曲角度其導波模態的分佈，而表 4.1-1~表 4.1-6 分別表示 每個彎曲角度所代表的穿透能量、偏移量、第一個模態能量、導波模 態及每個彎曲角度所取的模態個數。隨著角度變大相對應的偏移量增 多其穿透能量將越來越小。
最後我們將 S 型彎曲波導與兩段式彎曲波導在相同的偏移量和 干涉區做穿透能量的比較如表 4.1-7，我們可以發現其偏移量較小時 兩段式彎曲波導的穿透能量和 S 型彎曲波導差不多，但隨著偏移量慢 慢增加其穿透能量就遠比 S 型彎曲波導還要低，所以一般我們在模擬 分析彎曲波導，偏移量較小時通常採用兩段式彎曲波導，而偏移量較 大時一般都會採用 S 型彎曲波導。
(1)θ =5°
θmax(degree)
final mode transmission coefficient
圖 4.1-3 最後一個模態轉換系數與θmax的關系
Total FEMET modes
0.986 4.3 0.788 4 93
(2)θ =10°
θmax(degree)
final mode transmission coefficient
圖 4.1-5 最後一個模態轉換系數與θmax的關系
Total FEMET modes
0.948 8.7 0.416 4 98
(3)θ =15°
θmax(degree)
final mode transmission coefficient
圖 4.1-7 最後一個模態轉換系數與θmax的關系
Total FEMET modes
0.894 13.3 0.215 4 104
(4) =20θ °
θmax(degree)
final mode transmission coefficient
圖 4.1-9 最後一個模態轉換系數與θmax的關系
Total FEMET modes
0.885 18.0 0.348 4 110
(5) θ=25°
θmax(degree)
final mode transmission coefficient
圖 4.1-11 最後一個模態轉換系數與θmax的關系
Total FEMET modes
0.882 23.0 0.828 4 117
(6) =30θ °
θmax(degree)
final mode transmission coefficient
圖 4.1-13 最後一個模態轉換系數與θmax的關系
Total FEMET modes
0.551 28.5 0.117 4 124
表 4.1-8 S-bend 和 Two corner bend 穿透能量比較 Offset (μm) Transmitted S-bend
Power ratio
Two corner bend Transmitted
Power ratio
Offset (μm) Transmitted S-bend Power ratio
Two corner bend Transmitted Power ratio 4.6 0.984 0.942 17.8 0.972 0.381 6.7 0.988 0.896 21.3 0.966 0.634 9.0 0.987 0.880 25 0.966 0.596 11.7 0.984 0.942 28.8 0.963 0.231 14.6 0.983 0.780 32.8 0.958 0.417
4.2 彎曲波導的能量分析
本節我們將針對彎曲波導不同的折射率、多模(multi-mode)和 單模(signal mode)來觀察場形的變化及波導在彎曲時輻射的情形，圖
4.2-1、圖 4.2-2 為 S-bend 在不同的折射率單模的能量圖，其中兩者在 輸入波導 core 裡面只存活一個模態，而圖 4.2-1 為 weakly confined 因 此在彎曲時會有少許輻射現象。
圖 4.2-3、圖 4.2-4 分別為 45 度和 70 度 S 型彎曲波導單模入射的 能量圖由於兩者都是 weakly confined，因此，在彎曲時都會有很明顯 的輻射現象，而圖 4.2-5、圖 4.2-6 為 S 型彎曲波導多模入射的能量圖，
由於兩者折射率為 strongly confined 因此能量都會集中在 core 裡面，
在彎曲時並不會有輻射現象。圖 4.2-7、圖 4.2-8 為兩段式彎曲波導在 彎曲 10 度單模入射的能量圖，而圖 4.2-7 為 weakly confined 因此我 們可以看到其能量輻射的現象。
最後我們模擬分析兩段式彎曲波導在 strongly confined 的能量 分佈，如圖 4.2-9、圖 4.2-10 分別彎曲 10 度和 25 度的情形，我們可 以看出其在彎曲時多模干涉的現象。而表 4.2-1~4.2-5 為彎曲波導所 取的參數表及穿透能量的情形。
(1) S-bend (single mode) θ=10°Radius=100λ
z-position (μ m) x-position (μ m)
z-position (μ m) x-position (μ m)
(2) S-bend (single mode) index=1.5:1.4 core=1.5λ
z-position (μ m) x-position (μ m)
z-position (μ m) x-position (μ m)
Power ratio Radius( mμ ) Guiding mode
Total FEMET modes
45° 0.224 25λ 1 151
70° 0.181 25λ 1 157
(2) S-bend (Multi-modes) index=3.5:1 core=1.5λ
z-position (μ m) x-position (μ m)
z-position (μ m) x-position (μ m)
Power ratio Radius( mμ ) Guiding modes
Total FEMET modes
30° 0.878 25λ 11 77
45° 0.495 25λ 11 80
(3) Two corner bend (Single mode) θ=10°
Core index Transmitted Power ratio
(4) Two corner bend (multi-mode) core=1.5λ
4.3 彎曲波導的驗正
此節我們將針對 S 型彎曲波導牆所擺的位置、切的區域及所取 的模態個數對穿透能量的影響，首先我們先對彎曲為 15 度、35 度及 65 度牆所擺的位置來分析如表 4.3-1~4.3-3，其中WC為牆的位置，TE 為 Core 裡的穿透能量，T 為穿透系數我們可以看出其牆的遠近對穿 透能量並沒有很大的影響，其誤差值都很小。
表 4.3-1 S-bend 參數
15
°T T1 T2 T3 T4
10(0.98912) 0.58176 0.80204 0.08177 0.02673 15(0.98926) 0.58169 0.80217 0.08172 0.02694 20(0.98900) 0.58179 0.80196 0.08157 0.02673 25(0.98909) 0.58175 0.80204 0.08157 0.02687 30(0.98895) 0.58180 0.80193 0.08149 0.02673 35(0.98880) 0.58184 0.80184 0.08126 0.02667 40(0.98886) 0.58182 0.80188 0.08129 0.02677
表 4.3-2 S-bend 牆的位置對穿透能量及穿透系數的影響 Radius (μm) index Nλ Guiding
modes λ (μm)
50 1.5:1 30 4 1.55
θ ( )
c E
W T
35
°T T1 T2 T3 T4
10(0.94701) 0.65569 0.71623 0.06356 0.00692 15(0.94215) 0.65571 0.71256 0.06632 0.00651 20(0.94378) 0.66036 0.70965 0.06367 0.00599 25(0.94077) 0.66726 0.70086 0.06542 0.00584 30(0.93881) 0.66504 0.70124 0.06894 0.00590 35(0.94042) 0.66672 0.70111 0.06572 0.00586 40(0.93906) 0.66485 0.70165 0.06838 0.00593
表 4.3-3 S-bend 牆的位置對穿透能量及穿透系數的影響
65
°T T1 T2 T3 T4
10(0.74479) 0.78245 0.36153 0.04057 0.01444 15(0.72497) 0.82738 0.10730 0.16786 0.02672 20(0.73368) 0.85483 0.04503 0.02676 0.01384 25(0.71497) 0.82881 0.07725 0.14786 0.01467 30(0.72647) 0.84795 0.07627 0.03899 0.01084 35(0.71069) 0.82167 0.13016 0.13584 0.01227 40(0.72141) 0.83696 0.13508 0.05068 0.00941
表 4.3-4 S-bend 牆的位置對穿透能量及穿透系數的影響
θ
θ ( )
c E
W T
( )
c E
W T
接下來我們針對切的區域對穿透能量的影響，Nλ為切的區域 所定義的參數，其值越大階梯近似所切的區就越多，由表 4.3-6~4.3-8 分別為 30 度、50 度及 70 度切區對穿透能量的影響我們可以看到Nλ越 大，其穿透能量的值慢慢的增加到謀一個值，角度越大其值越明顯，
因此我們所切的區域對穿透能量有很明顯的影響度。
表 4.3-5 S-bend 參數
30
°T T1 T2 T3 T4
20(0.92119) 0.84088 0.46184 0.01988 0.02027 40(0.95897) 0.86227 0.46323 0.00381 0.02913 60(0.97177) 0.86898 0.46429 0.00674 0.03194 80(0.97839) 0.87234 0.46497 0.00946 0.03326 100(0.98229) 0.87429 0.46543 0.01114 0.03400 120(0.98491) 0.87558 0.46575 0.01227 0.03446 140(0.98683) 0.87651 0.46600 0.01310 0.03479 160(0.98823) 087719 0.46620 0.01371 0.03502
表 4.3-6 S-bend 切的區域對穿透能量及穿透系數的影響 Radius (μm) index W (c μm) Guiding
modes λ (μm)
25 1.5:1 25 4 1.55
θ ( E) N Tλ
50
°T
T1 T2 T3 T4 60(0.92989) 0.89133 0.23815 0.27274 0.06562 80(0.94493) 0.89764 0.24055 0.27659 0.06927 100(0.95414) 0.90149 0.24199 0.27890 0.07143 120(0.96029) 0.90406 0.24293 0.28042 0.07285 140(0.96474) 0.90592 0.24359 0.28150 0.07386 160(0.96807) 0.90731 0.24409 0.28231 0.07460 180(0.97068) 0.90841 0.24447 0.28294 0.07518 200(0.97278) 0.90928 0.24478 0.28344 0.07565
表 4.3-7 S-bend 切的區域對穿透能量及穿透系數的影響
70
°T
T1 T2 T3 T4 120(0.93886) 0.82698 0.47510 0.16619 0.04010 140(0.94518) 0.82928 0.47734 0.16716 0.04080 160(0.94995) 0.83101 0.47903 0.16789 0.04131 180(0.95259) 0.83701 0.46284 0.18786 0.04982 200(0.95573) 0.83817 0.46388 0.18839 0.05020 220(0.95831) 0.83911 0.46474 0.18882 0.05051 240(0.96046) 0.83990 0.46546 0.18918 0.05076
表 4.3-8 S-bend 切的區域對穿透能量及穿透系數的影響
θ
θ ( E) N Tλ
( E) N Tλ
最後我們根據所取的模態個數對穿透能量的影響θmax為基底 模態的最小值角度越大所取的模態數就多，表 4.3-10~表 4.3-12 分別 為 20 度、40 度及 60 度其θmax對穿透能量的影響，我們由表可以看出 在 20 度時θmax對穿透能量的影響就很小，但當在彎曲 60 度時θmax的 多少對穿透能量的影響就很重要。因此在彎曲角度大時我們必須慎選 其θmax值。
表 4.3-9 S-bend 參數
20
°T
T1 T2 T3 T4 90°(0.98375) 0.93305 0.30891 0.12968 0.03033 80°(0.98268) 0.93304 0.30869 0.12626 0.02977 70°(0.97999) 0.93427 0.30226 0.12210 0.02927 60°(0.96649) 0.94469 0.24279 0.11918 0.02999 50°(0.92989) 0.96110 0.03569 0.06806 0.01591 45°(0.92743) 0.95872 0.06752 0.06015 0.00941
表 4.3-10 S-bend 所取的模態數對穿透能量及穿透系數的影響 Radius (μm) index Wc (μm) Guiding
modes λ (μm)
50 1.5:1 25 4 1.55
θ
max(TE) θ
40
°T
T1 T2 T3 T4 90°(0.90367) 0.89280 0.31257 0.09286 0.01589 80°(0.90153) 0.91197 0.25495 0.06795 0.01491 70°(0.89662) 0.94278 0.08662 0.01076 0.01288 60°(0.83076) 0.90049 0.14018 0.00810 0.01230 50°(0.67222) 0.79692 0.18378 0.05664 0.01252 45°(0.60075) 0.73779 0.22321 0.07772 0.02346
表 4.3-11 S-bend 所取的模態數對穿透能量及穿透系數的影響
60
°T
T1 T2 T3 T4 90°(0.77302) 0.83601 0.25904 0.08313 0.00889 80°(0.74479) 0.76834 0.37981 0.10041 0.01025 70°(0.68761) 0.82348 0.09357 0.02440 0.01131 60°(0.58765) 0.71531 0.26495 0.07437 0.01553 50°(0.39035) 0.61091 0.10766 0.07278 0.01590 45°(0.13581) 0.19483 0.28008 0.13792 0.01963
表 4.3-12 S-bend 所取的模態數對穿透能量及穿透系數的影響
θ
θ
max(TE) θ
max(TE) θ
10 15 20 25 30 35 40
Transmitted Power ratio
θ=15°
Transmitted Power ratio
θ=30°
θ=50°
θ=70°
圖 4.3-2 S-bendNλ對能量穿透的影響
45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 0.1
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
θmax(degree)
Transmitted Power ratio
θ=20°
θ=40°
θ=60°
圖 4.3-3 S-bend θmax對能量穿透的影響
最後我們將 S 型彎曲波導對它影響的參數值繪成圖表，如圖
4.3-1、圖 4.3-2 和圖 4.3-3，我們可以看出牆所放的位置對能量穿透的
影響最小，而 Nλ參數對能量穿透的影響最大，尤其是大角度更為明
顯因此我們要在模擬時要慎選其參數值。
第五章 結論與未來工作
一般我們在模擬彎曲波導大都使用 BPM、FD-FD、FD-TD 等來 做分析，雖然 BPM 它的運算速度很快其計算量為N Ni z，但是它不考 慮反射且又不是很精確對於長距離及大角度的波導沒有辦法去模擬 分析，而本論文提出 FEMET 也是不考慮反射的近似理論，雖然它的 運算速度沒有比 BPM 快計算量為N2iNz，但是它的論理簡單易懂不 用去解聯立方程，且能處理 BPM 無法模擬的長距離波導，對於大角 度的彎曲波導也比 BPM 還準確。
對於 FEMET 的精確性本論文採用模擬傾斜式直線彎曲波導來 與正解做比較，我們發現其誤差值大都在小數點三、四位，因此
FEMET 論理算是一種精確度高，計算量少，且運算速度快的近似理 論。而我們未來的工作可以使用 FEMET 模擬各種波導結構，像是錐 型波導、Mach Zehnder Interforometers 和 Y-branch 等。最後我們可採 用柱座標的方法來驗證 S 型彎曲波導的準確性。
參考文獻
[1] F.J.Mustieles, E.Ballesteros, and P. Baquero, " Theoretical S-Bend Profile for Optimization of Optical Waveguide Radiation Losses,
"IEEE Photonics technology letters, Vol. 5, no.5, pp.551~553, May 1993.
[2] Tsutomu Kitoh, Norio Takato, Mitsuho Yasu, and Masao Kawachi
"Bending loss Reduction in Silica-Based Waveguides by Using Lateral Offsets "IEEE Journal of lightwave technology. Vol. 13, 4,pp.55~562, April 1995
[3] Paolo Monguzzi, Raffaella Costa, and Mario Martinelli, "Design of curved waveguides: the matched bend, "J. Opt. Soc. Am.A/Vol. 20, No. 1/,130-137January 2003.
[4] L.D.Hutcheson, Ian A. White and James J. Burke, " Comparison of bending losses in integrated optical circuits, " Optics Letters,276-278, 1980.
[5] Stuart N. Radcliffe and Terence P. Young" New Low-Loss Bend Structures for High-Density Integrated Optical Switch Arrays "IEEE Journal on selected areas in communications.Vol. 6. No.
7.pp.1169~1177,August 1988.
[6] Junji Yamauchi "Propagating Beam Analysis of Optical Waveguides"
Hosei University, Tokyo, Japan 2003.
[7] Yasuhide Tsuji, Masanori Koshiba, and Tomohide Tanabe, "A Wide-angle Beam Propagation Method Based on a Finite Element Scheme, " IEEE Transactions on magnetics .vol. 33, no. 2, pp.
1544~1547, March 1997.
[8] 黎聯群, "多模干涉器的場理論及元件物理," 碩士論文, 國立中山 大學光電工程研究所,(2006).
[9] 周逸軒, "雙向多模解析法分析二維環型共振腔結構," 碩士論文, 國立中山大學光電工程研究所, 2003.
[10] A. Ishimaru, "Electromagnetic Wave Propagation, Radiation, and Scattering, " Prentice-Hall ,Seattle, pp. 104-105, 1991.
中英對照表
bi-direction 雙向傳播 cladding 波覆 couple transverse mode integral equation 耦合橫向模態積分方程式 core 波核 discretized radiation modes 離散輻射模態 electric wall 電牆 expansion coefficients 展開係數 full eigen-mode expansion technique 全特徵模態展開法 fundamental mode 初始模態 grating array directional coupler 階梯陣列順向耦合器 guiding mode 導波模態 mode Mismatched error 模態不匹配錯誤 multi-mode 多模 mode transmission coefficient 模態轉換系數 magnetic wall 磁牆 multimode interference devices 多模干涉器 matched bend 匹配彎曲波導 offset 偏移量
orthonormal basis functions 正交且規化函數 propagation constant 傳播常數
reflection coefficient 反射係數 strongly confined 強烈的限制 S-bend S 型彎曲波導 signal mode 單模 transmission coefficient 穿透係數 transmission energy 穿透能量 tapered waveguide 錐型波導 two corner bend 兩段式彎曲波導 tilted straight waveguide 傾斜式直線彎曲波導 weakly confined 微弱的限制