1. 1 簡介
一般我們直覺光以單模入射於彎曲波導傳播時，其特性會和 直線波導傳播一樣強度固定不會有大小的變化，但是事實上彎曲波導 在傳播時會有兩模或多模干涉的現象，尤其是在兩段式彎曲波導(two corner bend)如圖 1.1-2 所示，在彎曲時多模干涉現象會更加的顯著。
而近年來分析各種彎曲波導的方法有很多種，有光束傳播法 (beam propagation method, BPM) 、 時 域 有 限 差 分 法 (time-domain finite-difference, FD-TD) 、 頻 域 有 限 差 分 法 (frequency-domain finite-difference, FD-FD)，而有別於光束傳播法雖然速度很快但是它 有角度的限制及高階模態計算不精準的缺點，沒辦法模擬長距離波 導，而時域有限差分法和頻域有限差分法為雙向傳播(bi-direction)使 用大量的計算，所以只能計算較小的結構。
分析彎曲波導的論文相當的廣泛，就以分析 S 型彎曲波導 (S-bend)如圖 1.1-1 所示來改善彎曲損耗方面就有很多種類型。而此篇 論文[1]就在探討設計最佳化的曲線公式來減少輻射損失的情形，而更 進一步減少彎曲損失的方法有很多篇論文提出，其中增加橫向偏移量 (lateral offset)就是其中之一，此篇論文[2]就是增加其彎曲波導的橫向 偏移量來改善彎曲時其能量的損失，而在[3]的論文中在探討匹配彎曲
波導(matched bend)的方法來設計曲線波導，其中 S 型彎曲波導就是 由兩個匹配彎曲波導所組成，是一件很容易設計的方法，不過此方法 的缺點就是必須要慎選其彎曲半徑及彎曲角度。以上的論文都是在針 對 S 型彎曲波導在改善其彎曲損失的設計。
而在[4]論文中就是比較 S 型彎曲波導和兩段式彎曲波導在彎曲 時損失的比較，在此論文提到其輸出能量的公式不過所推導出的公式 是很近似並不精確，最後所得到的結論為兩個不在同一直線上的波導 要連接時較小的偏移量一般都使用兩段式彎曲波導來連接，較大的偏 移量都採用 S 型彎曲波導。
至於兩段式彎曲波導的論文大都是改善其轉彎時造成的損失 的一些設計方法，此論文[5]就是用 BPM 來模擬分析兩段式彎曲波 導，來改善轉彎時造成能量的損失其方法有去角的形式、耦合的方法 及在轉彎處放懸臂架不過這些方法都有它的缺點並不是很好的方 法。而用 BPM 來模擬兩段式彎曲波導必須還有以下的限制，其不考 慮反射且在波導中其兩折射率的差值必須要小。
而現今市面上分析傾斜式直線波導(tilted straight waveguide, TSW)有很多種方法如圖 1.1-3 所示，而 BPM 為其中的一種近似方法，
BPM 分析大角度的方法又分為 FD-BPM、FFT-BPM[6]及 FE-BPM[7]
其中 FFT-BPM 和 FE-BPM 都是使用Pade′近似方法來計算彎曲波導
在大角度的例子，不過這些方法其精確度都沒有很高。
本 實 驗 室 提 出 全 特 徵 模 態 展 開 法 (full eigen-mode expansion technique , FEMET[8])做為分析彎曲波導元件的模擬依據是一種不考 慮反射的近似方法，採用的理論是一種假設已知結構內外的基底型式
進行嚴謹的近似，利用矩陣方法求解入射、干涉及穿透各區的模態β
值，且分析後即涵括所有的模態。FEMET 並非像耦合橫向模態積分 方程式 (couple transverse mode integral equation, CTMIE[9])方法，在 求解特徵值還需解聯立方程式，觀念上是屬於簡單易懂的理論，因此 在計算量上可節省許多數值的計算與時間。而在精確度上，雖然
FEMET 忽略了反射，故所求的解為近似解，但是其解與 CTMIE 考慮 反射後的正解比較後卻相當近似。而我們將介紹理論的基本觀念，分 析單模的 TE 極化光場入射到彎曲波導中，經由干涉區後所產生之結 果，利用模態轉換的方式，分析彎曲波導的場型、各個模態係數以及 出口端之穿透係數。
本論文內容是使用 FEMET 來分析大角度彎曲波導，包括 S 型 彎曲波導、兩段式彎曲波導及傾斜式直線波導，我們將分析模擬各種 彎曲波導的能量圖和場形圖分佈，以及最後的穿透能量和穿透系數的 大小，最後我們將比較 S 型彎曲波導和兩段式彎曲波導在相同的偏移 量其能量穿透的結果。
首先我們採用 FEMET 理論先去分析傾斜式直線波導，並與 正解比較其 FEMET 的準確性，我們可以發現其模態不匹配錯誤 (Mode Mismatched error , MME)的值都在小數點四位以下，相當接近 正解。
圖 1.1-1 S-bend 示意圖 圖 1.1-2 Two corner bend 示意圖
圖 1.1-3 Tilted straight waveguide 示意