由於梯度力只能將粒子捕捉在光場最亮的地方，如果只靠梯度力移動粒子時，就需要改 變顯示在 SLM 上的相位圖樣，將光場中最亮的部分漸漸地移動到指定的位置，因此使 用者就必頇介入，重新計算所需更換的相位圖樣。
但在一些特別的雷射模態中，如 Bessel 模態[23]、Laguerre-Gaussian 模態[24]或是光漩 渦(optical vortices OV)[25-27]等，被捕捉的粒子會自動地在光場中移動而無需任何外力。
在 HOTs 發展的初期，大多數的研究者都認為粒子在光場中移動的原因是由於這些雷射 模態中的光子帶有軌道角動量(orbital angular momentum OAM)，當粒子散射了或吸收了 這些光子後，粒子即獲得了 OAM 而開始移動。近年來，有些研究者認為這些光子所帶 的 OAM 可視為光場的橫向動量或橫向散射力[28, 29]，因此開啟了利用 HOTs 控制光場 的橫向散射力推動粒子的研究[30-34]。
由於散射力會沿著光場橫向動量方向推動粒子，對於被捕捉在光場最亮部分的粒子能提 供額外的驅動力。因此藉由控制光場橫向動量分布，並同時降低沿光場橫向動量方向上 的梯度力，可以達成利用單一相位圖樣所產生的光場移動粒子，而完全不需使用者的介 入操作。
從 2-2 節的討論，我們知道要控制光場的橫向動量分布需要控制光場的相位與強度分布，
而焦平面上光場的相位與強度分布一旦決定，SLM 平面上的相位與強度分布也就唯一 確定。但在 HOTs 中所使用的 SLM 只能調變入射光場的相位分布，因此需要一些特別 的方法利用全相位 SLM 調變入射光場的強度分布。Roichman 與 Grier 提出形狀相位演 算法(shape-phase algorithm) [32]，此方法是犧牲 SLM 的解析度而達到調變入射光場強度 分布，達成控制光場橫向動量分布的目的。Jesacher 等人則提出在原本 HOTs 系統的相 位圖樣前再用一張相位圖樣來控制入射光的強度分布[33]。
不同於前述的方法。在這章裡，我們從探討光漩渦(optical vortices OV) 推動粒子能力的 起源，以幾何光學的觀點，發展一套控制光場橫向動量分布的方法。我們從產生 OV 所 需相位圖樣與 OV 間的強度對應關係，推論 OV 推動粒子能力的起源為斜向入射光，並 以這個觀念為基礎，利用幾何光學描述 HOTs 中光場中橫向動量的分布，建立一套控制 光場橫向動量分布(即橫向散射力分布)的方法。並展示粒子可以在無任何外加外力與不 變更相位圖樣的情況下，在光場中自動沿著設定好的路線移動。
3-1 光漩渦中光子所帶軌道角動量之起源
光漩渦(Optical Vortex OV) 是一種特殊的光強度分布亮環，此亮環不僅會捕捉樣品，並 且被捕捉的樣品還會自動地沿著亮環移動。這種單純利用光對粒子的作用力而不需要其
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第三章 光場橫向動量控制
他形式的外力即可推動微粒子的能力引起很多研究者的興趣，並提出許多應用[15, 49, 50]。
OV 中的粒子會移動是因為當雷射光束經過了 eiL的相位函數調變後，每一個光子即帶有
L 大小的軌道角動量(orbital angular momentum OAM)[24, 39, 51]。當被捕捉在 OV 內的
粒子吸收或反射了這些帶有 OAM 的光子後，樣品會獲得這些 OAM，而沿著 OV 移動。但是我們發現當 eiL的相位函數被破壞後(即遮住部分方位角範圍內的相位圖樣)，其所產 生的 OV 在相對應的方位角範圍內也會消失，並且剩餘部分的 OV 仍具有推動粒子能力。
此現象是原本 OAM 說法所無法解釋的。因此在這章中，我們從 SLM 平面與其所產生 的 OV 間的光強度對應關係，利用光柵的近似與光束追跡法，解釋 OV 中橫向動量的來 源。
3-1-1 光漩渦的產生
在 HOTs 中，OV 的產生可以藉由控制 SLM 使其穿透函數為 eiL，即可在 HOT 的樣品 空間(物鏡焦平面)產生一個 OV[10, 11]。其作法如圖 5 所示，一道雷射光束經過一個能 產生穿透函數為 eiL的 SLM 調變後，經過物鏡聚焦後即在物鏡的焦平面上產生 OV。
圖 5 光漩渦的產生方式示意圖
3-1-2 光漩渦的性質
在利用 HOTs 產生 OV 的過程中， SLM 上的光強度分布與焦平面上 OV 的光強度分布 存在一種幾何光學的對應關係[28, 52]。當 SLM 某方位角範圍內光被遮住時，其所產生 的 OV 在某一範圍的方位角也會消失。消失的方位角範圍大小與 SLM 上被遮住的區域 接近，並且存在著 90°或-90°的角度差。圖 6 是 SLM 平面上的相位分布與強度分布與其
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在焦平面上所產生光場的相位與強度分布圖。圖 6 (a)與(b)是當 SLM 上方位角，在=-15
°到=15°(即=30°)範圍內的光被擋住時，在焦平面上所產生的 L 分別為 50 與-50 的 OV 之光場強度分布與相位分布。而圖 6 (c)與(d)則是當=60°的情況下，L 分別為 50 與-50 的 OV 的光場強度分布與相位分布。從圖中我們可以看到當 SLM 上的某一方位角
範圍內的光被擋掉後，OV 的某一方位角範圍內的光也消失了，並且擋掉部分
與消失部分的方位角範圍相當接近。此外焦平面上消失的區域，在 L的情況下會 相對於 SLM 上檔掉的區域旋轉 90°，而在 L的情況下會相對於 SLM 上檔掉的區域
旋轉-90°。
圖 6 SLM 平面與焦平面上光場強度與相位分布。
(a)為 L=50 與=30o。(b)為 L=-50 與= 30o。(c)為 L=50 與= 60o。(d)為 L=-50 與= 60o。
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第三章 光場橫向動量控制
圖 7 不同下，對 L 的關係圖與對 L 的關係圖。
(a)在不同下，與 L 的關係圖，圖中實線部分表示的值而虛線部分是模擬的結果。(b)
在不同下，與 L 的關係圖。圖中 L 的的範圍是從-199 到 200。
這種性質不只存在在 L=±50 的 OV 中，在其他 L 的 OV 中也有此性質，如圖 7 所示。圖 7(a)是在不同下，
與 L 的關係圖，圖中實線部分表示的值而虛線部分是模擬的結
果。而圖 7(b)則是在不同下，
與 L 的關係圖，其中為 SLM 上擋住區域中央的 方位角度，則為焦平面上 OV 消失區域中央的方位角。圖中 L 的的範圍是從-199 到 200。3-1-3 光柵近似法與光束追跡
由這些特別的對應關係讓我們聯想到光柵。光柵的穿透函數為 eik〃r，其中 k 為一個二維 向量，決定光柵的方向與周期，而 r 是 SLM 平面上的位置向量。eik〃r的相位是沿著 k 方向隨著距離的增加而增加，而 eiL的相位則是隨著方位角的增加而增加。如果我們仔 細的觀察產生 OV 的相位圖樣，我們可以發現產生 OV 的相位圖樣很像是一直隨著方位 角旋轉的光柵。由於在形式上這兩種穿透函數的相位都是隨著某一個空間座標中的值線 性增加，因此我們藉由已熟悉的光柵特性，解釋粒子在 OV 中旋轉的來源。
圖 8(a)是比較 eiL在=180°附近的相位圖樣與 e-iky的相位圖樣。圖中的左側為光通過該 區域後，在焦平面上的光強度分布。從圖中我們可以發現這兩個相位圖樣對於光有類似 的效用，都是將光聚焦在縱軸的負半部上。而圖 8 (b)則是比較 eiL在=0°附近的相位圖 樣與 eiky的相位圖樣。圖中的右側為光通過該區域後，在焦平面上的光強度分布。同樣 地，這兩個相位圖樣對於光也有相同的效用，都是將光聚焦在縱軸的正半部上，因此產 生 OV 的相位圖樣可以近似成一直隨著方位角旋轉的區域光柵。
L
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圖 8 產生 OV 的相位圖樣與的光柵相位圖樣對入射光作用之比較。
圖 9 是當光線經過 L 為正值的穿透函數 eiL中=0°附近的區域後，傳播到焦平面的路徑。
從前面的討論中我們可以知道，此部分的相位圖樣可以近似為 eiky。而當光線經過 eiky 的光柵後會向上偏折，所以通過 SLM 上=0°附近區域的光線也會向上偏折。在通過透 鏡後，這排光線會一直維持相同的水平高度，但在水平方向則匯聚到焦平面上 v 軸上的 A 點。由於這排光線是從透鏡平面上 x>0 的區域斜向入射到焦平面 A 點上，所以這些光 線的動量具有平行於焦平面的橫向分量。這些分量都沿著-u 方向，亦即 OV 在 A 點上切 線方向。藉由同樣的方法，我們可以知道入射在 SLM 其他方位角的光線所貢獻的橫向 動量都是沿著 OV 的切線方向。因此當 OV 中的粒子獲得光線中的橫向動量後就會沿著 OV 的亮環持續旋轉。
OV 中光的軌道角動量 J 定義為焦平面上位置向量與該位置上的橫向動量 Pt的外積，
即
P
tρ
J
。 (3-1)A 點的是沿著 v 而 Pt是沿著-u，所以 A 點上 J 的方向是沿著正 z 方向。OV 上其他的 位置都可藉由同樣的方法分析，都會得到相同的結果。所以 L>0 的 OV 中的軌道角動量 是沿著正 z 方向。此方向與目前的理論所預測的方向是一樣的。而對於 L<0 的 OV，我 們可以用同樣的方法分析得到 L<0 的 OV 中的軌道角動量是沿著-z 的方向，
結合光柵近似法與光束追跡法的分析可以得知粒子在 OV 中持續旋轉的動力來自於光線 所貢獻的橫向動量。相較於軌道角動量的分析法，此種線動量分析法對 OV 推動粒子的 現象提供了一個比較簡單和直覺的解釋。在這個概念下，只要設法控制光線入射到焦平 面上的角度，即可提供粒子在焦平面上橫向移動的動力。在下一節中我們將利用此概念，
發展一套控制光場橫向動量分布的演算法。
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第三章 光場橫向動量控制
圖 9 在 L>0 的 OV 中，光線從 SLM 平面到焦平面的路徑圖
3-2 橫向動量分布的幾何光學描述與控制
由於 OV 的強度分布局限在環狀，所以被捕捉的粒子的移動路徑有只有環形。因此在這 部分的研究中，我們的目標是希望能產生環狀以外且能夠移動被捕捉粒子的光場。
從對 OV 中光子所帶軌道角動量的研究中，我們發現被捕捉在 OV 中的粒子會移動的原 因是由斜向入射的光線所造成。斜向入射光線會在焦平面上貢獻動量分量，所以如果能 夠在焦平面上產生斜向入射光，即可產生具有橫向動量分布的光場。
在傳統的光學鑷夾中，入射光束被物鏡聚焦的過程中有許多的斜向入射的光線產生，但 由於入射光的強度分布是對稱於光軸，入射光線在焦點上所貢獻的橫向動量會被彼此抵 消。為了破壞入射光強度分布的軸向對稱性，我們將相位圖樣只顯示在 SLM 上某一方 位角區域內。在接下來的討論中，我們將利用幾何光學描述由該方位角區域內的相位圖 樣所產生光場中的橫向動量分布，並從所得到的結果找出控制光場橫向動量的方法。
3-2-1 橫向動量分布的幾何光學描述
在這一小節中我們將利用幾何光學分析 HOTs 中捕捉光場的橫向動量分布。在這裡我們
在這一小節中我們將利用幾何光學分析 HOTs 中捕捉光場的橫向動量分布。在這裡我們