第二章 規格定義
2.2 光學空間： 透鏡
2-2.1 基礎光學原理(一階計算)
圖 10 一個市售的成像鏡頭 AF-S Nikkor 50mm f/1.4G Lens [9]
在了解物空間的狀況後，我們需要對光學系統進行更進一步的設計。在這裡我們 要討論光學系統的設計。物體能在像帄面上清楚成像，靠的就是光學空間，也就是鏡 頭來達成的。鏡頭包含許多不同的透鏡，例如圖 10 是一個典型的相機鏡頭。每個透 鏡有他們個別的曲率和焦長，透過這些透鏡的組合來成像。
物體基本成像公式:
1 S0+S1
i= 1f ；S0 為物距，Si為像距，f 為透鏡焦距 (1)
圖 11 成像的物像距關係圖 [10]
- 16 - 線的能力，稱為屈光度( Optical Power,Φ )，屈光度的定義為焦距的倒數，其物理 意義是焦距越短，鏡片匯聚光線的能力越強。
Φ=1f (4)
然而並不是所有的鏡片都可以讓光線匯聚，有些反而使光線發散，我們稱他的屈 光力為負。
圖 12 不同透鏡的屈光度與焦點表現 [10]
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透鏡能匯聚光線的原因，可以從斯乃爾定理(Snell’s Law)推導出。斯乃爾定律 的物裡意義在於，光線在不同物質的介面上，為因為介質的折射率不同，而產生不同 的偏角，如圖 13 所示。其關係為:
n1sinθ1 = n2sinθ2 (5)
圖 13 Snell’s Law 示意圖 [10]
但在現實中物體一定有像高，不是點對點的成像，所以如果要在像帄面上呈現具 有物體高度的影像，我們必頇要再考慮其他的光學因素，也就是所謂的像差
(Aberration)
2.2.2 光學像差
在理論計算中，我們的光應該是能夠正確的聚焦在焦點上，而不在光軸上的光應 該是要能聚焦在像帄面上，然而在實際例子中還得考量很多影響成像的因素。
像差主要可分為；球面像差、彗形像差、場曲、像散、畸變等五種，而若考慮不 同顏色的色光，還得考慮色差的問題。
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像差形成的原因，是因為光線折射後成的像有誤差，導致影像變形、模糊。任何 真實世界中的光學系統都會有像差，但是我們可以藉由一些光學設計的方法，把它們 控制到一個我們可以接受的程度。
球面像差
圖 14 球面像差示意圖[10]
當光能聚焦在一點，是因為透鏡折射的關係。然而透鏡因為要方便加工的關係，
其表面通常選球面，表面上各點的曲率皆同。但當入射光線的光束變粗後，光線要從 透鏡上各點折射到焦點上所需的折射量不同，而造成光線無法正確匯集，形成不同高 度的光線距焦在不同點上的情形，肇因為球面鏡片，故稱之為球面像差，如圖 14 所 示。
慧形像差
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圖 15 慧形象差示意圖 [10]
慧形像差，如圖 15 所示，是因為光線在斜射( 偏離光軸 )時，光線因為透鏡設 計缺陷，造成在像帄面上的焦點位置偏離，而偏離的量，隨著離光軸越遠而有增加的 現象，形狀類似彗星拖著長長的尾巴，稱為正彗形像差。而若是越偏靠近光軸越偏移 的量越大，則為負彗形像差。
場曲
圖 16 場曲示意圖 [10]
場曲為系統的最清晰成像位置不是個帄面，而是個曲面。人眼因為是網膜本身就 是個曲面的關係(圖 17) ，所以巧妙得躲過這像光學限制，但在攝影系統的感光元件 來說，如底片或 CCD，要將他們弄彎是很困難的。因此，在設計光學系統時，要考慮 向帄面彎曲的程度，若太彎，則在感光元件上看到的影像，離開光軸上的區域因為已 經偏離最佳聚焦位置，所以會變得模糊不清。只有在場曲接近帄面時，才能光軸上和 離開光軸的光的正確聚焦位置都在像帄面上，如圖 16 所示。
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圖 17 人眼構造圖[11]
像散
圖 18 像散示意圖 [10]
像散發生於光線經透鏡折射後，沒有在像帄面上證確聚焦的現象。原來應該是一 個點的焦點，變成像是一個鬆散的大斑點，這將導致影像模糊不清。像散方像分子午 面(Tangential plane)和弧矢面(Sagittal plane)兩種，分別影響水帄方向和垂直方 向的成像能力，如圖 18 所示。
子午面和弧矢面的定義如下：
1. Tangential plane (子午面)：主光線(chief ray)與光軸(optical axis)所構 成的帄面。
2. Sagittal plane (弧矢面)：與子午面垂直且包含主光線的帄面。
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畸變
畸變為影像因透鏡的缺陷產生變形，越靠近邊緣的影像變形越嚴重。影像的變形 可分為兩種，桶形畸變(Barrel Distortion)和枕狀畸變(Pincushion Distortion)。
桶形畸變影像較原本的影像收縮，形狀偏圓，類似木桶的造型。枕狀畸變較原本圖形 為大，形狀尖銳四角外擴。畸變情形如圖 19 所示。
圖 19(a)原始圖型 (b) 枕狀畸變 (c) 桶形畸變
桶形畸變在超廣角的魚眼鏡頭的成像上由其常見，如圖 20 所示。
圖 20 桶形畸變嚴重的魚眼鏡頭[12]
色差
圖 21 色差示意圖[13]
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白光是由許多波長的光所組成的，不同波長的光對同一個介質所對應的折射率不 同，所以不同顏色得光在透過鏡片折射時會聚焦在不同的點上，讓焦點模糊，稱為色 差。如圖 21 所示。
2.2.3 像差消除
像差的出現會影響成像品質，造成畫面不清。因此如何解決像差問題，是進階的 光學設計相當重要的課題。
像差形成最重要的原因，是因為透鏡不能將光折射到正確的位置。要修正這種情 況，可以使用以下幾種方法：
1. 將單片鏡片改為多鏡片組合 2. 改變透鏡形狀
3. 使用非球面 4. 縮小光圈 5. 消色差組合
我們在修正像差時，得找出對成像影響最敏感的那片鏡片，只要調整它就可以大 幅改善品質。
多鏡片組合：
多鏡片組合能夠矯正離軸向差，鏡片越多矯正能力越強，但也代表著成本的上升，
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得公式； 1f =f1
1+f1
2−fd
2f1 (11) 多透鏡的等效焦距可用多組兩片透鏡不斷等效算出，如下圖所示：
圖 23 多鏡片組合等效焦距計算示意圖
多鏡片系統可以把光路拉長，將光線的高度變化和和光線鏡心偏離的角度變化趨 緩，綜合起來的像差就不會這麼嚴重。
而若以波動光學來看，光波透過透鏡改變波前，讓波前在鏡後聚焦。而比如我們 採用對稱是得透鏡組，如庫克三片式鏡頭（Cooke Triplet lens），它採用屈光度：正─
負─正 的布局，可以有效的把波前的變形在後面修正，就是一個經典的例子。
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圖 24 庫克 三片式鏡頭設計 [14]
使用非球面：
由於現代的光學系統逐漸走向輕量化、微型化，但我們對於光學系統的品質要 求仍然不變，因此在可運用鏡片的數量上必然有所限制。同時，在過去，由於非球面 鏡片加工困難，只能由最有經驗的老師傅研磨，用在最頂級的鏡頭的某一面。然而隨 著塑膠鏡片加工技術的精進，我們可以用射出成形法大量製造非球面鏡片，而玻璃材 料也可以用模造玻璃法大量生產。因此，在光學設計上運用非球面來改善影像品質常 用的選項了。
使用非球面係數的意義在於改變鏡片表面得曲率，讓透鏡變型，讓各視野光線可 以折射到正確的地方，將原本成像品質不好的邊緣光修正。然而非球面是提升光學品 質的萬靈丹嘛？ 其實非球面在光學設計上的意義應該是提升現有架構的效能，如果 現有的光學架構太差，那非球面能改進的空間其實很有限。大量使用非球面也會讓加 工的公差容忍度變低，在生產上也是不利的。
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非球面公式如下[15]
z(r) = r2
R(1:√1;(1:k)r2 R2)
+∝1 r2+∝2 r4+∝3 r6+ ⋯ (12)
r 為距離光軸高度，R 是透鏡曲率半徑，z 是光軸上前進距離，k 是 conic constant，
𝛼1、𝛼2、𝛼3…等是非球面修正係數。
圖 25 非球面示意圖[15]
色差消除：
消色差鏡片(Achromatic lens)是被設計用來將色差減到最低的設計。消色差透鏡將
兩片色散能力不同的鏡片膠合起來，讓一片的色差備另外一片彌補，最常見的設計就 是把冕牌玻璃和燧石玻璃結合在一起。
折射率≧1.6，
V≧50：冕牌玻璃 V＜50：燧石玻璃
折射率＜1.6，
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V≧55：冕牌玻璃 V＜55：燧石玻璃
V 的定義為：
V =nnd;1
f;nc (13) nd、nf、nc為該材料在 Fraunhofer 光譜( d：587.6nm、f：486.1nm、c：656.3nm) 照射下，所對應的折射率。低色散的材料，Abbe Number 高。
2.2.4 鏡頭規格介紹
圖 26 鏡頭規格示意圖
通常設計是先決定物或是像空間，或是兩個都先被決定了。光學空間則是為了
配合他們做出變動。
我們在定義一個鏡頭的時候通常會以這幾像規格為主：
1. 焦距長：焦距長代表系統的大小，同時也和系統的視野有關。焦長和像高(Image Height)呈現 tanθ的關係。在像高不變的情況之下，焦距越短時視野(FOV)也會變
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大。在底片像機時期因為底片大小固定，所以常用焦長來表示鏡頭的視野，如 50 公厘代表標準鏡頭；16mm 的鏡頭視野很大，是廣角鏡頭；300mm 視野窄，能把 影像放大，是望遠鏡頭等等。由於我們在設計時通常不會只用一片鏡片，所以鏡 頭上標是的焦距大多是所有鏡片組等效出來的「有效焦長」(EFL，Effective Focal Length)
圖 27 焦長與像高視角示意圖
2. 光圈： 光圈大小的單為是用 F-Number(F/#)，F/#=f/D (焦距/光圈直徑)。由於焦距 是固定的，當 F/#越小時，光圈直徑越大：F/#越大時，光圈直徑越小。
光圈的開口代表進光量，光圈開得越大進光量越大，畫面越亮，但是這也造成雜 散光也越多，會影響影像品質，光圈開得越大成像越差。光圈也與景深有關，景 深代表能清楚顯示的範圍，由於我們拍攝的物體是立體的，所以我們希望鏡頭能 在我們需要的範圍內都能清楚成像，當光圈越小時景深也越長，雜散光越少，但 是亮度也會下降。
3. 鏡片數量：鏡片數量越多，代表對光學像差的修正能力也會越強，但也要付出較 高的製造成本與較大的體積重量。在製造技術進步後，可以大量使用非球面來增 強每一片鏡片的像差修正能力，讓所需鏡片數大幅下降，同時兼顧光學品質。
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4. 鏡片材質：目前主要的光學材料可以分為塑膠和玻璃兩種。玻璃是歷史悠久的光 學材料，目前已發展出豐富的產品種類。玻璃的重量重，加工較難且單價較高。
但是玻璃很穩定，長時間使用下能維持一定的成像品質，適合應用在高單價和高 精密的儀器上。塑膠則擁有廉價、輕巧和加工容易的特點，可以利用射出成形等 加工方式大量生產，這在製造表面複雜的非球面上尤其容易。玻璃鏡片也可使用
但是玻璃很穩定，長時間使用下能維持一定的成像品質，適合應用在高單價和高 精密的儀器上。塑膠則擁有廉價、輕巧和加工容易的特點，可以利用射出成形等 加工方式大量生產，這在製造表面複雜的非球面上尤其容易。玻璃鏡片也可使用