兩廠商之價值競爭

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第三節、 流行興衰的條件

在介紹完模型的動態過程之後，我們將焦點聚集在兩產品的價值動態上，此 兩廠商的競爭並非單純在價格或產量上，而是來自於他們產品在消費者心目中的 價 值⁸。 在 各 產 品 推 出 的 當 期 ， 個 體 取 得 了 對 於 各 產 品 之 起 始 價 值

N i P

Pi^A(0), i^B(0)},  

{ ，但個體間未必相等Pi^A(0) PJ^A(0), i j，個體間起始 價值的差別完全來自於個體們對產品的認知，個體間認知的差別則來自於各別生 活經驗、環境和專業等的差異，如：有些人對於汽車較瞭解，原因可能來自於他 所從事的工作，或有些人對某些運動特別有興趣，則會對哪種運動商品做深入的 研究，這些差異都會反映在起始價值上。廠商在動態間僅能透過媒體替自家產品 做廣告，以影響個體的價值。有了起始價值，我們假設個體因為預算關係而僅能 選擇單一產品進行消費。兩廠商可在不同時間推出產品，我們假設廠商A在第0期 時推出自家產品，而在市場上已經有廠商A所生產的產品後，廠商B應何時推出其 產品，以使該產品銷售達到最高？

1. 兩廠商之價值競爭

在這裡我們得到了兩個定理，定理 1.在說明，架設兩產品起始價值相同的 情況下，廠商 B 在何時推出該所屬產品時，會在某一時間後其價值超越產品 A，

因為產品 B 經由網絡效果產生的價值變動相對產品 A 來說較大，透過比較效果產 生了價值調整，此時個體們對產品 B 的價值產生了提升的作用，相反的，則對產 品 A 產生減少的作用，因此，若我們在假設兩產品起始價值相等時，必存在一時 間點，使得產品 B 的價值超過產品 A，而使得個體傾向喜好消費 B 產品，這樣的 結果關鍵來自於網絡效果疲乏所致。

然而，定理 1. 並不能說明當t時，兩產品是否會同時達到p()或者發 散。如果兩產品都達到p()，則廠商 A 與廠商 B 瓜分市場，消費者在這時對兩 產品的價值相同，故隨機選擇其中一種產品消費。

定理 1.並非我們所要的結果，我們感興趣的是，廠商 B 在何時推出產品可 瓦解產品 A 的網絡，定理 2. 主要就是在解釋這個問題，我們證明，當t'm時，

亦即滿足 1 ) ( ' 1) (

) 1 '

(     

P^B t P^A t



 ，產品 A 在消費者心目中的價值會開始減

8 也可以解釋為，消費者心目中的價值，亦包含了廠商的銷售價格與產量。

‧

‧

‧

在先前章節已討論過，W 通常為可逆的(invertible)，故我們將不等式左右各乘

1

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一期都會存在P^Au(t)P^Au(t1)，其原因在於比較效果產生個體間負的累計比較 效果膨脹的關係，此處具有單調性(monotonic)的證明我們放在附錄。

為提供(15)式的一個直覺，我們舉的例子，當我們對於比較效果的調整係數

1

 的時候，我們可得到P^B(t'1)2P^A(t'1)，表示，產品 B 的邊際效果要為

產品 A 的兩倍時推出產品，始能瓦解產品 A 的網絡，其直覺在於P^B(t'1)有一 部分要被P^A(t'1)扣除，令一部份要抵擋因網絡效果而上升的P^Au(t)，故得(15) 式。 □

定理 2. 並沒假設個體對於兩產品之起始價值必須相等，因此我們可一般化 得知，即便產品 A 之起始價值很高，他的網絡仍有可能被一個起始價值低的 B 商 品給瓦解，但因為兩者起始差距較大，需要較多的時間方能使得產品 B 之價值高 過產品 A，也就是P^B(t)P^A(t)。

我們仍可針對定理 2.所得到的充分條件，其中之調整係數進行分析，在我 們證明中，我們僅要求產品 A 之價值在 B 產品推出後需要逐漸遞減，因此我們得 到了產品 A 之邊際效果與比較效果為負，此一結論與 B 產品之調整係數為合並無

價值

0

時間 圖(四)。縱軸表示個體價值，橫軸為時間，黑色點線為 ，綠色虛線為調整過後之 動態曲線。由定理 2.推得結果知， 會有向下彎曲的特性，經由不斷累計比較效 果，使得產品 A 的價值劇降。

ｔ’ ｔ’+1

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關係，所以無論產品 B 之比較係數放大縮小，並不影響定理 2.之充分條件，得 到此一結論並不訝異，定理 2.得到的是充分條件，若找得其他條件使得產品 A 之 價值亦逐漸減少，並不違反本文之定理 2.。

然而，若產品 A 之調整係數以k代入，我們可改寫 (15)式為：

) 1 ' ( 1 )

1 ( ) 1 '

(  

 





 P t

t k

P^{B A}

 (16)

此式說明，當調整係數越大，也就是 k 越大，則我們可知 1 ) 1

(  k

 越小，因

此，產品 B 或許可以在較早時間內推出，且亦滿足(16)式。我們知道，兩產品間 之調整係數可不相同，但能影響定理 2.之充分條件者，僅產品 A 之調整係數。

在已經知道了廠商 B 何時推出產品可瓦解產品 A 的網絡後，我們要探討一個 更深入的問題，假設廠商 B 何時推出產品的機會成本是相同的，那麼廠商 B 究竟 在何時推出可最快速的擊敗產品 A？這個問題的答案可直接由定理 2. 延伸而得，

當產品 A 達到p()，那麼我們知道P^A(t'1)0，[P^A(t'1)P^B(t'1)]0為 負數，且為負的極大值，因此可以推論得知，產品 B 推出的時間 't ，可使得產品

A 最快被瓦解，必為t't*，此為廠商 B 之最適策略。

定理 3. 廠商 B 應在t't*推出新產品，可使得產品 B 最快替代掉產品 A 之網 絡。

證明：這個證明很直接，只要證明在t't*期時可使得P^B(t'1)P^A(t'1)最大 即可。廠商 B 欲使產品之價值能最快超越產品 A，則應使P^B(t'1)P^A(t'1)最 大，故我們知當t't*時P^A(t'1)0，而t' t *時P^A(t'1)0，因此，對廠商

而言在t't*時，根據定理 2.，可使得產品Ｂ的價值最快替代掉產品Ａ。 □ 2. 行為不一致

接下來我們要討論的是社會長期存在著行為不一致的問題，我們在文獻回顧 裡面討論到的文章，多數模型都在尋找社會網絡裡，是否存在著一個固定的模式，

使得個體們最終的行為趨近於一致，然而，我們看到的是社會是多元的，長時間 下來，每個人仍有每個人的主見，每個人對事物的看法都不盡相同，這樣的差異，

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在文獻裡多半利用行為不一致的模型推導，而得的結果產生不一致的現象是顯而 易見的，而我們要問的是，是否個體本身在沒有外力的干擾下，透過重複更新過 程，能使得產生行為一致(consensus)，然而當有外力干擾後，卻未必產生一致 的現象？輔理 1. 正是討論這樣的問題，事實上，我們已從定理 2.得到結果。

輔理 1. 若定理 2. 成立時，我們可得到P_i^A(t)P_j^A, {i ji1,j1}N。

證明：我們在前面敘述已經得知 p^A() p^B() p()，這僅在兩者都有辦法達 到p()時才有可能成立，而兩產品達到p()時，表示達到行為一致。然而，當 僅定理 1. 成立時，我們並沒有辦法保證輔理 1. 成立，原因在於P^A(t)P^B(t) 此向會逐漸收斂到 0，因此若沒有足夠大的負向比較效果⁹，則個體對產品 A 與產 品 B 的價值會逐漸收斂致p()。

然而，當定理 2.成立時，我們知道產品 A 的網絡將瓦解，也就是說，兩產品

皆無法達到p()，故可知，此時行為一致無法達到。 □ 本文最重要的觀點在於尋找一家廠商的最佳進入市場的時機，進場時機往往

決定該產品在市場上的關注度，例如我們可以觀察電影院上映之電影，除非像過 年或暑假等特定節日，多數電影商人絕不希望自己的電影與其他電影同時推出，

原因在於他們皆希望自己電影在被觀眾欣賞完後，可以得到充分且單純的討論，

因為推出的時機若不滿足定理 2.時，觀眾透過溝通最中所得到的價值，可能為 )

( ) ( )

(  p   p 

p^{A B} ，意即個體們對於兩電影的價值是相同的，如此在僅能消 費一個產品的情況下，消費者則隨機選擇一個電影觀賞，對於電影商而言，他期 望他的電影所帶來的商機，僅僅是市場上可得利潤的一半，因此，我們可以觀察 到上映的熱門電影通常是一部接著一部。

我們在下個小節將針對我們日常生活中所能觀察到主流產品更迭的現象，提 出一些實例，我們可以將我們的模型應用至多數主流商品的更迭。除此之外，我 們也可觀察到商品成為主流的因素，與其推出之時機具有高度相關，這個因素在 商人眼裡往往被看作是行銷上的至要關鍵。

9 請看附錄之證明，說明為何足夠大的負向比較效果會造成 A 的網絡瓦解。

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3. 實例探討