我們使用自我迴歸分配落後項模型(ADL model)預測經濟成長率並做出下列 實證結果。我們以第 t 期至第 t-3 期的 X，與第 t 期至第 t-3 期的 Y 做為解釋變數，
預測 t+1 期的 Y 值，並求出預測誤差，再以此預測誤差計算每條預測式的平均平 方預測誤差(MSFE)。在這裡我們使用了 15 個變數(加上差分後的有 27 個)，做出 27 條迴歸式，算出 27 個平均平方預測誤差。而期間是自 2002 年第四季資料至 2015 年第二季資料(twA 之公司債利率減去國庫券利率之利差(twA-bill spread)除
2 以 2011 年做為基期
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外，為 2005 第四季自 2015 第二季)，共 51 個樣本點(twA-bill spread 為 39 個樣本 點)。
預測結果(I)— Pseodo Out-Of-Sample Forecasting
在表 2 我們能看到所有的預測結果。第一個我們以 AIC (or BIC)選取落後四期 的自我迴歸模型，AR( 4)，在 51 筆資料內擷取百分之十當作預測(因為樣本數較 少，因此只擷取百分之十)，算出落後四期的自我迴歸模型(AR(4))的平均平方預 測誤差為 53.98949，並將此做為我們的比較標準(AR benchmark)。將其放在分母，
且把我們鎖定的解釋變數所估出來的平均平方預測誤差放在分子，可得出相對平 均平方預測誤差(RMSFE)，並且一目了然其預測力和自我迴歸相比究竟是好是壞 (相對平均平方預測誤差大於 1，表示自我迴歸模型的預測誤差比我們鎖定的解釋 變數小，因此自我迴歸模型表現較好；相對平均平方預測誤差小於 1，我們鎖定 的解釋變數表現得較好)。
接著我們能看到利差解釋變數方面，期間利差(term spread) 與違約利差中的 twA 之公司債利率減去國庫券利率之利差和商業本票與國庫券間的利率差所估 算出來的平均平方預測誤差(MSFE)為 46.4524、60.00572 和 51.8081，而相對平均 平方預測誤差(RMSFE)為 0.860397、1.111433 和 0.959596，期間利差的預測誤差 比比較標準(AR benchmark)少了百分之十四，twA 之公司債利率減去國庫券利率 之利差的預測誤差比比較標準(AR benchmark)多了百分之十一，商業本票與國庫 券間的利率差的預測誤差比比較標準(AR benchmark)少了百分之四。
而未處理過的資產利率的部分，我們能看到名目中短期利率(兩年期債券)的表現 比比較標準(AR benchmark)來得要好，預測誤差比比較標準(AR benchmark)少了百 分之九。三個月期國庫券名目利率與 AR benchmark 的預測力沒有大大的差異。
而十年期債券名目利率的預測力就比比較標準(AR benchmark)來得要差很多。將 名目利率減去通膨率，得出這些資產的實質利率，我們發現其預測能力無論在短 中長期皆消失了。這邊的結果與 Stock and Watson(2003)那篇文獻美國的情況相
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符合，都得出實質利率預測無效的結果。
而我們將資產利率做一階差分處理後，將其當作新的解釋變數再使用 ADL 模型跑一次迴歸，算出平均平方預測誤差，再與比較標準(AR benchmark)做比較。
我們由表 2 能看出不管是名目或實質的長期債券、中短期債券，預測力都不如 AR benchmark。而名目國庫券一階差分後的利率，預測誤差小比較標準(AR benchmark)千分之五，並無太大差異；而實質國庫券一階差分後的利率，相對於 比較標準(AR benchmark)來說，表現也不佳。
表 2
Pseodo Out-Of-Sample Mean Square Forecasting Error (S6 自 2005Q4 至 2015Q2，其餘皆自 2002Q4)
轉換 MSFE RMSFE
AR(4) Level 53.98949 1
TS Level 46.4524 0.860397
S6 Level 60.00572 1.111433
CP6 Level 51.80810 0.959596
B10 Level 71.3873 1.322244
RB10 Level 75.6221 1.400683
B2 Level 49.54128 0.91761
RB2 Level 108.5663 2.010878
TB6 Level 53.74028 0.995384
RTB6 Level 91.37724 1.69250
B10 ∆ 84.68969 1.568633
RB10 ∆ 81.204365 1.504077
B2 ∆ 55.592334 1.029688
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RB2 ∆ 90.20553 1.670798
TB6 ∆ 53.89863 0.998317
RTB6 ∆ 81.97714 1.518391
U Level 77.10133 1.428080
U ∆ln 60.56935 1.121873
CPI ∆ln 79.1445 1.465924
CPI ∆𝟐𝐥𝐧 53.91677 0.998653
M1A ∆ln 65.90128 1.220632
M1A ∆𝟐𝐥𝐧 67.11474 1.243107
M1B ∆ln 60.48274 1.120269
M1B ∆𝟐𝐥𝐧 54.32772 1.006265
M2 ∆ln 51.61896 0.956093
M2 ∆𝟐𝐥𝐧 41.40056 0.766826
RE ∆ln 51.94007 0.96204
RE ∆𝟐𝐥𝐧 60.32692 1.117383
𝐆𝐃𝐏 不含 S6(2002-2015) 57.48478 1.064740 𝐆𝐃𝐏′ 含 S6(2005-2015) 61.19375 1.133438
再來是失業率，不管是未做過處理，或是將其取對數後再一階差分，表現都 比比較標準(AR benchmark)差。其相對平均平方預測誤差(RMSFE)分別為 1.428080 和 1.121873；而消費者物價指數的部分，我們將其取對數後，分別做一階差分和 二階差分，而實證結果顯示，台灣的消費者物價指數在取對數並一階差分後，預 測能力大大輸給比較標準(AR benchmark)，而取對數且做二階差分後，預測力好 像與比較標準(AR benchmark)也相去不遠，沒有特別突出。
最後是貨幣數量指標。我們對 M1A、M1B、M2 和準備金取對數後再做一階
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與二階的差分(表 2)，因此共有八個變數，八條式子。這邊我們能看到 M1A 的部 分，好像在取對數後一階差分與二階差分時的平均平方預測誤差都差不多，與比 較標準(AR benchmark)相比都表現較差。而 M1B 在取對數後一階差分的表現比比 較標準(AR benchmark)差但是取二階差分後和比較標準(AR benchmark)表現得差 不多。至於 M2 取對數後二階差分的表現非常亮眼，平均平方預測誤差(MSFE)只 有 41.40056，相對平均平方預測誤差(RMSFE)為 0.766826，明顯比比較標準(AR benchmark)的平均平方預測誤差小了百分之二十四。
而 M2 取對數後一階差分的表現也比比較標準(AR benchmark)來得要好，平 均平方預測誤差比比較標準(AR benchmark)小了百分之五左右。最後，我們加入 的變數─準備金，其在取對數後一階差分的表現比比較標準(AR benchmark)來得要 好，平均平方誤差少了百分之四。但是二階差分後就比比較標準(AR benchmark) 來得要差。
預測結果(II)— In-Sample Forecasting
而樣本內預測的部分，我們分為 QLR 檢定和因果檢定(Granger causality test)。
QLR 檢定是檢測迴歸解釋變數前的參數是否穩定，即此 β 值是否會因為時間而跳 動。然而，因果檢定則是檢測此迴歸式內的解釋變數是否對被解釋變數具有影響 力。
首先，我們看到表 3。在因果檢定檢測中(這裡以百分之五顯著水準作為檢定 標準，並且討論落後四期的情況，以符合我們所設定的 ADL 模型)，能看出期間 利差對被解釋變數具有預測能力，但違約利差(twA 之公司債利率減去國庫券利 率之利差與商業本票與國庫券間的利率差兩者)卻無預測能力。這著結果其實還 算合理，因為違約利差是否具有解釋力的這個議題，在每個國家，每段時期都爭 論不休。而這邊我們能看到在台灣違約利差可能不是那麼理想的一個解釋變數。
而資產變數的部分，十年期公債實質利率、兩年期公債實質利率、三個月期國庫
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券實質利率與十年期公債實質利率一階差分、兩年期公債實質利率一階差分、三 個月期國庫券實質利率一階差分對下一期產出具有預測能力。而名目的十年期公 債利率、兩年期公債利率、三個月期國庫券利率與其差分皆顯示對下一期產出無 預測能力。
至於對失業率與失業率取對數後一階差分這兩個變數做因果檢定(Granger causality test)，皆顯示對下一期產出無預測能力(百分之五信心水準)；而對消費 者物價指數取對數後做一階與二階差分這兩個變數則在因果檢定顯示對下一期 的產出皆具有預測能力(百分之五信心水準)。最後是貨幣數量指數。對 M1A、
M1B、M2 與準備金取對數後再做一階和二階差分。這八個變數裡面顯示為 M1B、
M2 的一階和二階差分這四個變數對下一期的產出有預測力，而準備金與 M1A 的部分則沒有預測能力。(百分之五信心水準)
接著我們看 QLR test 的結果(表 4)，其結果顯示在 2002 第四季至 2015 第二 季裡面，基本上參數都沒有顯著的變化(百分之五信心水準)，只有失業率取對數 後一階差分的參數不穩定，檢定結果拒絕虛無假設。(其係數改變的分界點在 2008 年第二季，恰好為次級房貸風波的時候)
由此二結果分別來看，如圖 2，在所有變數裡面，因果檢定顯示，對下一期經濟 成長率有預測能力的解釋變數佔了百分之四十八，而 QLR 檢定中參數沒有變動 的比例為百分之九十六。而具有解釋力且係數沒有變動的比例為百分之四十八 (即為對下一期經濟成長率有預測能力的的那些解釋變數)。最後將樣本內檢定與 樣本外檢定做交叉比對，發現只有期間利差(term spread)、M2 取對數後做一階、
M2 取對數後做二階差分、對消費者物價指數取對數後做二階差分這四個變數是 符合：(1)對下一期變數有解釋力(因果檢定)，(2)係數不隨時間變化(QLR 檢定)，
(3)比較標準(AR benchmark)相比預測力較佳(RMSFE 小於 1)這三項的，佔了所有變 數裡面的百分之十五(消費者物價指數取對數後做二階差分的預測誤差只比比較 標準(AR benchmark)小了大約千分之二，若扣除這項則符合上述(1)、(2)、(3)的比
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例為百分之十一)。
圖 1
相對平均平方誤差之直方圖－相對於 AR benchmark
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最後，我們將各個解釋變數所求出的經濟成長預測值，做簡單結合預測法(簡 單平均)，求出五個平均的預測值，再求出其平均平方預測誤差。因含 twA 之公 司債利率減去國庫券利率之利差(twA-bill spread)之資料自 2005 開始，所以我們 在這邊做了兩種結果，分別是包含與不包含 twA 之公司債利率減去國庫券利率 之利差(包含的自 2002Q4 開始至 2015Q2，不包含的自 2005Q4 開始 twA 之公司 債利率減去國庫券利率之利差(twA-bill spread))。我們發現包含 twA 之公司債利 率減去國庫券利率之利差與不包含的，其平均平方預測誤差為分別 61.1937 和 57.48478，而和比較基準(AR benchmark)相比，其數值為分別為 1.133438 和 1.06474。可見其預測能力沒太大的改善或較比較基準(AR benchmark)來得差，但 是這個預測結果卻會比單條預測迴歸式所得出的平均平方預測誤差來得穩定。
結論
從結果看來，我們知道在樣本內預測(in-smaple forecasing)中，因果檢定後有 解釋能力的變數只有百分之四十八。(圖 2)這個結果其實滿合理的，因為不同時 期的這些解釋變數和國家產出的關聯性會有波動，所以會出現某幾年具有預測力，
但是某幾年又消失了。這在國外很多文獻裡已經有做過實證研究證實了這一點。
但是在我們的資料裡面能看出實質利率才是我們真正要關切的指標。在台灣，國 家的實質產出和實質債券利率或實質國庫券利率較有關係，而非名目的利率。而 失業率與 M1A 和準備金對經濟成長皆沒有什麼預測能力；但是，消費者物價指 數、M1B 和 M2 對經濟成長的預測力卻非常顯著。至於 QLR 檢定，百分之九十 六的迴歸式參數皆沒有顯著的變化(圖 2)，這也許是因為資料樣本不夠長導致的 原因。
而樣本外預測(Pseodo out-of-sample forecasting)的結論得出只有百分之三十 三的解釋變數預測效果較比較基準(AR benchmark)佳。其中我們看到期間利差 (term spread)預測力比比較基準(AR benchmark)要來得佳，平均平方誤差小了百分
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之十四。而我們本文中所主要探討的違約利差(twA 之公司債利率減去國庫券利 率之利差和商業本票與國庫券間的利率差)的預測誤差各自比比較基準(AR benchmark)多了百分之十一和百少了分之四左右。預測能力無改善或不彰顯，且 其因果檢定裡不具顯著性。第一個可能的原因是因為違約利差變數中的 twA 之
之十四。而我們本文中所主要探討的違約利差(twA 之公司債利率減去國庫券利 率之利差和商業本票與國庫券間的利率差)的預測誤差各自比比較基準(AR benchmark)多了百分之十一和百少了分之四左右。預測能力無改善或不彰顯，且 其因果檢定裡不具顯著性。第一個可能的原因是因為違約利差變數中的 twA 之