函數極限的定義: 若實數函數 f (x) 在 x = a 附近有定義且當 x 趨近於 a 時,f (x) 趨 近於定數 L 。 稱函數 f (x) 在 x = a 的極限是 L , 以 lim
x→af (x) = L 表示。 與 x = a 點有無定義無關。
函數極限的意義:
ε 為任意給定正數, 存在 δ > 0 只要 |x − a| < δ 必滿足 |f(x) − L| < ε
即 |f(x)−L| 值會隨著 |x−a| 變小而逐漸愈來愈接近0
L
a
y = f (x)
函數 f (x) 在無窮遠處的極限與極限值無窮大:
數列的極限 : lim
n→∞an = L 表 an − L 值隨著 n 愈大而愈接近0。 而函數極限:
x→alimf (x) = L 表 f (x) − L 值隨著 |x − a| 愈小而愈接近0 函數在無窮遠的極限: 若 lim
x→∞f (x) = L 表 f (x) − L 值隨著x變大而愈接近0, 稱無窮遠處的極限值為 L; 否則f (x)在無窮遠處無極限值。
函數在x = a 點極限為無窮大 : 若 lim
x→af (x) = ∞ 表 f(x) 值隨著 |x − a| 愈小 而變的非常大, 稱f (x) 在 x = a 處為無窮大。
左極限與右極限:
x→alim−f (x) = L: 限制 x < a 所得到的極限值稱為左極限 (x從a的左側趨近a的極 限值)
x→alim+f (x) = M: 限制 x > a 所得到的極限值稱為右極限 (x從a的右側趨近a的 極限值)
極限與左極限、 右極限的關係:
當函數在a點的左極限與右極限均存在且相等時 L = M , 則稱函數在a點的極限 值為L。 即 lim
x→af (x) = L ⇔ lim
x→a−f (x) = L = lim
x→a+f (x)
NOTE: 極限值 L 未必 = f (a) 。 (∵ f (a) 可能無定義, 但仍有極限值 L , 與 x = a 點有無定義無關。 )
f (x) = n x − 1 , x < 0
x + 1 , x ≥ 0 ⇒ limx→0−f (x) = −1, lim
x→0+f (x) = 1 x = 0 時 f (x) 無極限值。
函數極限夾擠原理: 若三函數 f (x), g(x), h(x) 恆有 f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) , 且 lim
x→af (x) =
x→alimh(x) = L 則 lim
x→ag(x) = L
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https://sites.google.com/site/hysh4math 1.3 函數的極限 · 多項式函數與有理函數的極限性質: 函數 f (x) 在 x = a 的極限值就是函數值 f (a)。
若 f (x) = anxn+ · · · + a2x2 + a1x + a0,g(x) = bmxm + · · · + b1x + b0 為兩 實係數多項式函數
1. lim
x→af (x) = f (a)
2. 若 g(a) 6= 0 , 則 limx→a f (x)
g(x) = f (a) g(a) 3. 若 g(a) = 0, f (a) 6= 0 , 則 limx→a f (x)
g(x) 不存在。
4. 若 f (a) = g(a) = 0 , 求 lim
x→a
f (x)
g(x) 先將分子、 分母的共同因式 (x − a) 約 去後, 再依照函數極限性質2、3求極限。
連續函數的定義: 函數f (x)在x = a點連續 ⇔ limx→af (x) = L = f (a)
f (x) 為一實函數, 若 |f(x) − a| 值會隨著 |x − a| 變小而逐漸變小而愈接近0, 則 稱 f (x) 在 x = a 點連續。 即 lim
x→af (x) = L 存在且等於 f (a)。
函數 f (x) 在開區間 (a, b) 連續: 對任意 c ∈ (a, b), f(x) 在 x = c 都連續。
函數 f (x) 在閉區間 [a, b] 連續: 對任意 c ∈ (a, b), f(x) 在 x = c 都連續且對端 點滿足 lim
x→a+f (x) = f (a), lim
x→b−f (x) = f (b) 。
如果 f (x) 在定義域中的每一點都連續, 則稱 f (x) 是一個連續函數。
連續函數的三要件: (1) x = a, f (a) 有定義 (2)lim
x→af (x) 存在 (3) lim
x→af (x) = f (a) 連續函數的圖形: y = f (x) 在 x = a 點連續, 是指其圖形在點 (a, f (a)) 不會斷 掉。
−6−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6
−6
−5
−4
−3
−2
−1 1 2 3 4 5 6
x y
f (x)\x = −3 −2 −1 1 3
在a點極限 有 有, 但 有,= 沒有,左右極限 沒有
= f (3) 6= f(−2) f(−1) 存在但不相等 (發散) 在a點連續 是 不是 是 不是 不是
型I 型II 型III 圖形特徵 平滑 移除 尖點 跳離 ±∞
有漸近線 圖 1-3: 不連續函數的圖形:I移除、II 跳離、III 發散類型 (removable,jump,infinite)
https://sites.google.com/site/hysh4math 1.3 函數的極限 · 連續函數的充要條件: f (x) 在 x = a 連續⇔ lim
x→af (x) = f (a)
若 f (x) 在 x = a 有極限值 L 但 6= f(a) 則函數 f(x) 在 x = a 點不連續。(圖 形在a點移除; 型I)
例: f (x) = x sin 1x 在 x = 0 的極限值為0, 但f (0)不存在, 故在x = 0處不連續。
例: 高斯函數 f (x) = [x] 在整數點 x = a, f (a) = a, 但 lim
x→a−f (x) = a − 1 6=
x→alim+f (x) = a ,f (x) 在整數點 x = a 均不連續。(圖形在a點跳離分開; 型II) 例: f (x) = tan x 在 x = kπ + π
2, k ∈ Z 極限值不存在 (發散), 函數 f(x) 在 x = kπ + π
2, k ∈ Z處, 均不連續。(圖形在a點發散; 型III) 連續函數的一些性質:
設函數f (x)與g(x)均在x = a連續, 則下列函數在x = a連續 1. f (x) + g(x)
2. f (x) − g(x) 3. f (x)g(x) 4. f (x)
g(x) , 若 g(a) 6= 0
5. pk f (x) , 其中 f(x) 在 a 附近恆不為負,k 為一正整數。
連續函數的一些觀念:
1. 函數在有定義的點不一定連續: f (x) = n x + 1 , x ≥ 0
x − 1 , x < 0 在 x = 0 時, 不 連續。
2. 函數在有定義且有極限值的點不一定連續: f (x) = n |x − 1| , x 6= 1 1 , x = 1 在 x = 1 時, 有極限值但不連續。
3. 若 |f(x)| 連續, f(x) 不一定連續: f(x) = n −1 , x ≤ 2
1 , x > 2 在 x = 2 時,
|f(x)| 連續, 但 f(x) 不連續。
4. 分段定義函數不一定有不連續點: f (x) = n x2 , 0 ≤ x < 1
3x − 2 , 1 ≤ x ≤ 2 , 在 x = 1 時, f (x) 為連續
5. 連續函數與不連續函數的乘積不一定不連續: f (x) = x, g(x) = n 1 , x ≥ 0
−1 , x < 0 , 其中 f 為連續, g 在 x = 0 不連續, 但 f × g 為連續函數。
6. 兩不連續函數的乘積或和不一定不連續: f (x) = n x , x ≤ 0
1 , x > 0 ,g(x) = n −1 , x ≤ 0
x , x > 0 , 其中 f × g 在 x = 0 時, 為連續。
合成函數的極限: 設 lim
x→af (x) = L , 若 g(x) 在 L 連續, 則合成函數的極限 lim
x→ag(f (x)) = g(L)
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13. 設 f (x) =
( kx2 − x − k + 1
x − 1 , x 6= 1 5, x = 1
在 x = 1 處是連續, 試求 k 值?
14. 求出a值, 使得 g(x) =
( x2 − a2
x − a , x 6= a 8, x = a
是連續函數
15. 根據圖形回答下列問題:
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−6
−5
−4
−3
−2
−1 1 2 3 4
x
(a) 求函數 f (x) 在點 x = −1 時的極限?
(b) 求函數 f (x) 在點 x = 0 時的極限與函數值?
(c) 求函數 f (x) 在點 x = 2 時的極限與函數值?
(d) 求函數 f (x) 在點 x = 5 時的極限?
16. 下列敘述何者不恆為真?(1) 若 f(a) 沒有定義, 則 lim
x→af (x) 不存在 (2) 若 lim
x→af (x) 存在, 則f (x)在a點連續 (3) 若 0 ≤ f(x) ≤ 3x2 + 4x4 , 則 lim
x→0f (x) = 0 (4) 若 f(x) 在 a 點連續, 則 lim
x→af (x) 存在 (5) 若 lim
x→af (x) = L, 為一實數, 則
x→alim|f(x)| = |L|
17. 函數 f (x) = (x − 299)3(x − 301) + x , 求證: 至少有一實數c, 使得 f(c) = 300 18. 已知方程式 x3 + x − 64 = 0 恰有一實根, 求此實根介於哪兩連續整數之間?
19. 已知 x4 − x3 − 9x2 + 2x + 12 = 0 有四個相異實根, 求此四根位於哪些連續整 數之間?
20. f (x) = (x + 4)2(x − 3)2+ x , 證明在 −4, 3之間有一實數 c, 使得 f(c) = 1
第 2 章 多項式函數的微積分
2.1
微分
割線PQ 的斜率 ∆y
∆x 之變化: 當 Q 點沿著曲線 Γ 漸漸趨近 P 點, 如果割線 PQ 也漸 漸趨近一個極限位置的直線 l, 則 l 為曲線 Γ 在 P 點的切線, 此時 P 點為切點,
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x f HxL
1 f 'Hx0L
x f 'HxL
圖 2-1: 函數 f (x) 的切線與切線斜率值 f′(x)
亦即 f′(a) = lim
x→a
f (x) − f(a)
x − a = lim
h→0
f (a + h) − f(a) h
導數的一些觀念釐清:
1. lim
h→0
f (a + h) − f(a − h)
2h 存在是 f′(a) 存在的必要非充分條件。
2. f (x) = |x|
x2 , lim
h→0
f (0 + h) − f(0 − h)
2h = 0 但 f′(0) 不存在。
3. 若 f (x) 在 x = a 處可微分, 則 f (x) 在 x = a 處為連續 4. 若 f (x) 在 x = a 處為連續, 未必 f (x) 在 x = a 處可微分 5. f (x) = |x| , 在 x = 0 為連續, 但不可微分
x = a沒有極限值 圖A:
x = a有極限值但不連續 圖B:
x = a連續但不可微分 (左右瞬時變化率不相等)
圖C:
x = a連續、 可微分 圖D:
點 x = a 在 A 圖中沒有極限值, 在 B 圖有極限值但不連續, 在 C 圖中有極限值 且連續但不可微分, 在 D 圖中為可微分。
函數 f (x) 的導函數 f′(x) : 當 f (x) 在定義域中的每一個數a其導數值存在, 稱 f′(x) 為 f (x) 的導函數 。
設 f : D → R 是一實函數, 若 x 在定義域 D 內的每一點均可微分, 則稱 f(x) 為 可微分函數, f′(x) = lim
h→0
f (x + h) − f(x)
h , x ∈ D 導函數符號: 函數 y = f (x) 的導函數有以下表示法:
f′(x), y′, dy dx, df
dx, ddxf (x), Dxy n階導函數:
f′(x) 是 f (x) 的導函數, 稱為一階導函數。
f′′(x) 是 f′(x) 的導函數, 稱為二階導函數。
fn(x) 是 fn−1(x) 的導函數, 稱為 n 階導函數。
https://sites.google.com/site/hysh4math 2.1 微分 · 多項式函數的導函數:
1. 若 f (x) = c 為常數函數, 則 f′(x) = 0
2. 若 f (x) = mx + k 為一次函數, 則 f′(x) = m 3. f (x) = cxn , 則導函數為 f′(x) = ncxn−1 4. ddx[f (x)]n = n[f (x)]n−1f′(x)
5. 實係數多項式函數 f (x) = anxn+ an−1xn−1+ · · · + a2x2+ a1x + a0 為可微 分函數, 且其導函數為 f′(x) = nanxn−1+(n−1)an−1xn−2+· · ·+2a2x+a1
微分的運算性質: 若 f (x), g(x) 在 x = a 處均可微分, 則
1. u(x) = f (x) + g(x) 亦在x = a可微分, 且 u′(a) = f′(a) + g′(a) 2. v(x) = f (x) − g(x) 亦在x = a可微分, 且 v′(a) = f′(a) − g′(a) 3. 若 g(x) = cf (x), c 為一常數, 則 g′(a) = cf′(a)
4. 若 u(x) = f (x)g(x) 則 u(x) = f (x)g(x) 亦在x = a可微分, 且 u′(a) = f′(a)g(a) + f (a)g′(a)
5. 函數 u(x) = [f (x)]n 亦在x = a可微分, 且u′(a) = n[f (a)]n−1· f′(a) 6. 若 g(x) = 1
f (x), g(x) 6= 0 , 則 g(x) = 1f (x) 亦在 x=a 可微分, 且 g′(a) = − f′(a)
[f (a)]2
7. 若 f (x), g(x) 為可微分函數, 則u(x) = f (x)
g(x), g(x) 6= 0 亦為可微分函數, 且 u′(x) = f′(x)g(x) − f(x)g′(x)
[g(x)]2
8. 若 f (x) 恆正, 則 g(x) = pk f (x) 亦在 x=a 可微分, 且 g′(a) = 1k[f (a)]1k−1f′(a)
9. 若 y = f (u), u = g(x) , 且 u 在 x 可微分, f (u) 在 u 可微分, 則 dxd f (g(x)) = f′(g(x)) · g′(x)
鏈鎖定則: 若 y = f (g(x)) 則 dy
dx = dy dg · dg
dx
*L’Hospital 定理: 若 f (x), g(x) 在 x = a 點可微, 但 lim
x→a
f (x)
g(x) 為不定型; 則
x→alim f (x)
g(x) = lim
x→a
f′(x) g′(x)
*泰勒展開式:
f (x) = c0 + c1x + c2x2 + · · · + cnxn
= f (a) + f′(a)(x − a) +f′′(a)
2! (x − a)2+f3(a)
3! (x − a)3+ · · · +fn(a)
n! (x − a)n
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https://sites.google.com/site/hysh4math 2.1 微分 · 試估計 √3
999 的值? f (x)x13, f (999) ≈ f(1000)+f′(1000)(999−1000) = 10−3001 例題演練
例題1 求通過函數 f (x) = x3−x 圖形上點 P (2, 6) 的切線方程式? [Ans:y = 11x−16]
例題2 一石頭從高度為490公尺懸崖掉下,t 秒後的高度是 s(t) = 490 − 4.9t2 , 求 t 從 0到10的平均速度及 t = 10 的速度? [Ans:−49m/s; −98m/s]
例題3 設函數 f (x) = x2 + x 的圖形為 Γ , 求通過 Γ 外一點 Q(1, 1) 且與 Γ 相切的直 線方程式? 及切點坐標?
[Ans: 切點 P (0, 0), L1 : y = x 或 切於 P (2, 6), L2 : 5x − y = 4]
例題4 討論函數 f (x) = |2x| 在哪些點不可微分? [Ans:x = 0, f′(0) 不存在, 不可微分]
例題5 計算函數 f (x) =√
x 的導函數 f′(x) , 並指出其定義域?
[Ans:f′(x) = 2√1x, D = (0, ∞)]
例題6 求函數 f (x) = (x3− x2+ 2x − 5)5 的導函數? [Ans:5(x3− x2+ 2x − 5)4(3x2− 2x + 2)]
例題7 求函數 f (x) = x2 − x + 1
x2 + x + 1 的導函數? [Ans: 2x2− 2 (x2+ x + 1)2] 例題8 求函數 f (x) = √
x2 + x + 1 的導函數? [Ans:2√2x+1x2+x+1]
例題9 求函數 f (x) = x4−2x3+x+1 的三階導函數 f′′′(x) ? [Ans:f′′′(x) = 24x−12]
例題10 將多項式 f (x) = x4 − 3x2+ x + 7 表成 c0+ c1(x − 1) + c2(x − 1)2+ c3(x − 1)3+ c4(x − 1)4 的形式, 其中 c0, c1, c2, c3, c4 為常數?
[Ans:f (x) = 6 − (x − 1) + 3(x − 1)2 + 4(x − 1)3 + (x − 1)4] 習題2-1 微分
1. 在拋物線 y = 3x2 − 2x + 5 上找一點 P , 使通過點 P 之切線的斜率為10 2. 求通過曲線 y = 1x 上點 P (1, 1) 的切線方程式?
3. 有一物從高為25呎處自由落下, 經過 t 秒後的高度為 S(t) = −16t2 + 25 ; 問當 t = 12 時, 該自由落體的速度?
4. 設 y = f (x) = 2x3 + 3x2− 12x + 1 之圖形為 Γ, 試求 Γ 的水平切線及所對應 的切點坐標?
5. 已知函數 y = f (x) 的部分圖形如下: 試比較下列各數值的大小?
f′(−1), f′(0), f′(1), f′(2)
−1 1 2 3
−2 2 4
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