99math6a

國立新營高中

99

課綱 數學科

自我

學習要點、 習題手冊

範圍

_:

數學選修

₍

甲下

₎

極限與函數、 多項式函數的微積分

高

三

_:

班

號

姓

名

_:

指

導 教 師

_:

鄭國順

老師

參考版本

_:

南一

_,

翰林

_,

龍騰 版

新營高中

鄭國順 編

版本修訂

_:2013

年

₂

月

₂

日

目

次

1

極限與函數

1

1.1

數列及其極限

_{. . . .}

₁

1.2

函數的概念

_{. . . .}

₅

1.3

函數的極限

_{. . . .}

₉

2

_{多項式函數的微積分}

16

2.1

微分

_{. . . 16}

2.2

函數性質的判斷

_{. . . 21}

2.3

積分的意義

_{. . . 35}

2.4

積分的應用

_{. . . 43}

3

習題參考答案

54

3.1

第一章

_{. . . 54}

3.2

第二章

_{. . . 55}

https://sites.google.com/site/hysh4math _·

第

1

章

極限與函數

1.1 數列及其極限 數列的極限: 數列若只有有限項, 稱為有限數列, 否則稱為無窮數列。 若無窮數列 < an > 中, 當n愈來愈大, 數列< an >會愈趨近於定值L; 即只要n足 夠大後, 所有 an 與 L 的距離 |an − L| 要多小都可以辦到。 此時稱數列 < an > 的極限是 L , 記為 lim n→∞an = L 即存在 n0 只要 n ≥ n0 必滿足 |an − L| < ε , 其中 ε 為任意正數。 收斂與發散數列: 若有一數列< an >其極限 lim n→∞an = α (定值), 稱數列為收斂數列, 否則稱發散數列。 無窮數列< rn _{> 的斂散性:}      收斂: ( −1 < r < 1, lim n→∞r n _{= 0} r = 1, lim n→∞r n _{= 1} 發散: r ≤ −1, r > 1 等比數列 < an = arn−1 > , 當 −1 < r ≤ 1 為收斂數列。 收斂數列:                            8, 4, 2, 1,1 2, 1 4, · · · , 2n−4· · · 1, 1 2, 1 3, · · · , 1 n, · · · 1, −1 2 , 1 3, −1 4 , · · · , (−1)n+1 n , · · · 1 2, 2 3, · · · , n n + 1, · · · (1 − 1₂), (1 + 1 3), (1 − 1 4), (1 + 1 5), · · · , (1 + (−1)n n + 1), · · · 發散數列:        1, 3, 5, 7, · · · , (2n − 1), · · · −1, 1, −1, 1, · · · , (−1)n, · · · 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, · · · −2₁,3 2, − 4 3, 5 4, · · · , (−1) n_× n + 1 n , · · · 收斂數列極限的四則運算: 若 < an >, < bn > 均為收斂數列, 且 lim n→∞an = α, limn→∞bn = β 則 1. lim n→∞(an ± bn) = limn→∞an ± limn→∞bn = α ± β 2. lim n→∞(can) = c limn→∞an = cα , c為常數 3. lim n→∞(anbn) = limn→∞an× limn→∞bn = αβ 4. lim n→∞(a n bn) = αβ = lim n→∞an lim n→∞bn , _{(β 6= 0)} 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.1 數列及其極限 _· 表 _1-1: 數列四則運算的斂散性 斂散性 _\數列 和、 差 積 商 兩收斂數列 收斂 收斂 收斂 (分母極限_{6= 0)} 一收斂、 一發散數列 發散 斂散不一定 斂散不一定 兩發散數列 斂散不一定 斂散不一定 斂散不一定 無窮級數的值: P∞ k=1 ak = lim n→∞Sn 數列前n項的和 Sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an 稱為級數 n P k=1 ak, 無窮數列的和 ∞ P k=1 ak稱為無窮級數, 即 a1 + a2 + a3 + a4 + · · · = ∞ P k=1 ak = lim n→∞Sn 1. 無窮級數收斂: 若 lim n→∞Sn = α (定值) 存在的級數為收斂級數。 2. 無窮級數發散: 若 lim n→∞Sn = α 不存在的級數為發散級數。 無窮等比級數: a1 + a2 + a3 + · · · = a + ar + ar2 + ar3 + · · · = ∞ P k=1 ak = ∞ P k=1 ark−1 , 其和為 lim n→∞Sn = limn→∞ a(1 − rn) 1 − r =    −1 < r < 1 lim n→∞Sn = a 1 − r為收斂級數。 |r| ≥ 1 lim n→∞Sn, 其值不存在, 為發散級數。 循環_{小數: 循環小數化為分數表達式, 可將循環小數表示成無窮等比級數並求其和。} 0.123 = 0.123123123123123 · · · = 0.123 + 0.000123 + 0.000000123 + 0.000000000123 + · · · = 0.123 1 − 0.001, 即首項為 0.123, 公比為10 −3_{的無窮等比級數} = 123 999 極限夾擠原理: 若三數列 an, cn, bn 從某項起 n ≥ n0 恆使得 an ≤ cn ≤ bn , 且 lim n→∞an = lim n→∞bn = L 則 limn→∞cn = L 考慮數列 sin n n 的極限, 可找到數列 an = −1 n , bn = 1 n 恆有 − 1 n ≤ sin n n ≤ 1 n , 且 lim n→∞an = limn→∞bn = 0 , 故 limn→∞ sin n n = 0

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.1 數列及其極限 _· 2 4 6 8 10 12 −1 −0.5 0.5 1 1 n −1 n sin n n 例題演練 例題1 判別下列無窮數列為收斂數列或發散數列, 若收歛數列求其極限: (a) < 1 + 1 n > (b) < (1.01)n > (c) < 3 n+1 4n > (d) < 2 + n − 3 n2 _{+ 1} > (e) < sin nπ 2 > [Ans:1; 發散;0;2; 發散] 例題2 計算 lim n→∞ 4n2 _{+ 3n − 1} n2 _{− 1} [Ans:4] 例題3 計算 lim n→∞(3 n+1_{+ 4}n+1 3n+ 4n ) =? [Ans:4] 例題4 已知 lim n→∞ an2 _{− bn + 3} 3n + 1 = 2 , 求常數 a, b 值? a = 0, b = −6 例題5 計算 P∞ n=1 2n + 1 3n 之和? [Ans: 52 ] 例題6 試比較 0.9 與 1 的大小? [Ans: 0.9 = 1] 例題7 利用夾擠定理求 an = 1 √ n2 _{+ 1} + 1 √ n2 _{+ 2} + 1 √ n2 _{+ 3} + · · · + 1 √ n2 _{+ n} 的極 限? [Ans: lim n→∞an = 1; n √ n2 _{+ n} < an < n √ n2 _{+ 1} 例題8 利用 n ≥ 4, n3 < 3n 求 lim n→∞ n2 3n = [Ans:0 ≤ n2 3n ≤ 1 n] 習題1-1 數列及其極限 1. 已知 lim n→∞ an2 + 4 2n2 _{− 3n} = 3 , 求常數 a 值? 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.1 數列及其極限 _· 2. 已知 lim n→∞ an2 + bn + 1 3n2 _{+ 1} = 2 , 求常數 a, b 值? 3. 求下列數列極限值? lim n→∞ 2n + 5 n2 + n =? n→∞lim 1 + 4 + 7 + · · · + (3n − 2) n2 =? 4. 判斷下列數列是否有極限, 如果有極限時, 求出它的極限: (1) an = 1 + 10_n (2) an = n 2 _{+ n − 7} n2 5. 求下列無窮等比級數的和: (1) 45 + (45)2+ (45)3+ · · · (2) 23 − 49 + 27 −8 1681 + · · · + (−1)n−1_{· (23)}n + · · · 6. 設 x ∈ R , 若數列 < x(2x − 3)n−1 > 收斂, 求 x 範圍? 及其極限值? 7. 求 P∞ n=1 5 − 3n 4n =? 8. 將循環小數 1.36 化成分數為? 9. 一皮球自離地面15公尺高處落下, 每次返跳高度是其落下高度的 25, 求此球至靜 止時, 總共所走的距離為多少? 10. 無窮等比級數 1 + (2x − 3) + (2x − 3)2 + · · · + (2x − 3)n−1+ · · · , 收斂且公 比不為0, 則實數 x 的範圍? 其和為? 11. 若 P∞ k=1 (3x_{2 )}k−1 = 4 , 求 x 值=? 12. 將 1139₃₃₃₃₃ 化為無窮小數, 則其小數後第100位數字為? 13. 求無窮級數 _{1 × 3}1 + _{3 × 5}1 + _{5 × 7}1 _{+ · · · +} 1 (2n − 1)(2n + 1) + · · · 之和為? 14. 如圖: 最大的正方形A1, 若其邊長為1單位, 以A1的每一邊中點為頂點連接成四邊 形 A2, 再以A2的每一邊中點為頂點連接成四邊形 A3, 依此規則, 形成一序列的正 方形 A₁, A2, A3, · · · , , 求這些無窮多個正方形的面積和? 及周長和?

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 函數的概念 _· 15. 邊長為2的正三角形T1, 連接各邊中點形成正三角形T2, 依此規則, 繼續下去, 得到 一序列的正三角形 T1, T2, T3, · · · , , 求這些正三角形的面積和? 1.2 函數的概念 函_{數的定義域與值域:} 函數 f : A → B 中, 自變數 x 取值的範圍 A 稱為函數 f 的定義域。 集合 B 稱為 f 的對應域。 所有函數值 f (x) 所形成的集合, 稱為函數 f 的值域, 記為 f (A); 值域 f (A) 是對應域 B 的子集。 若函數的定義域與值域皆為實數 _{R , 的子集, 稱此函數為實函數。} x f (x) y = f (x) x = a (a, f (a)) 定義域 A 值 域 f (A ) 常見的初等函數: 1. 常數函數 f (x) = c : 定義域為 R , 值域是 f (R) = {c} 。 2. 一次函數 f (x) = ax + b, a 6= 0 : 定義域為 R , 值域也是 R 。 3. 二次函數 f (x) = ax2 + bx + c : 定義域為 R , 值域是    a > 0 , {y|y ∈ R, y ≥ −b2 − 4ac_4a } a < 0 , {y|y ∈ R, y ≤ −b2 − 4ac_4a } 4. 指、 對數函數: 指數 f (x) = ax _{>, a > 0, a 6= 1 的定義域為} R , 值域是 {y|y > 0} 。 對數 g(x) = logax, a > 0, a 6= 1 定義域為 {x ∈ R|x > 0} , 值域是 {y|y ∈ R} 。 5. 三角函數: 正弦 f (x) = sin x、 餘弦 g(x) = cos x 定義域均為 {x|x ∈ R} , 值域_{都是 {y| − 1 ≤ y ≤ 1} 。} 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 函數的概念 _· x f (x) −π 2 −π 0 1 π2 eπ f (x) = x f (x) = sin x f (x) = ₂₀1ex f (x) = 2x2+ 1 f (x) =√x x f (x) x f (x) x y 圖 _1-2: 函數圖形與非函數圖形 線性函數圖形 二次函數圖形 多項式函數圖形 −4−3−2−1 1 2 3 4 5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 高斯函數圖形 x y f (x) = 1/x 函_{數圖形的判別:} 對任意函數定義域內的 a , 若鉛直線 x = a 與函數圖形恰好有一交點; 若 a 不在定義域內, 則函數圖形與鉛直線沒有交點。 合成函數: 給定兩個函數 f : D1 → R, g : D2 → R , 若滿足 f(D1) ⊂ D2 即 f 的值域包含於 g 的定義域, 則定義合成函數 g ◦ f 為 (g ◦ f)(x) = g(f(x))

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 函數的概念 _· x f f (x) g g(f (x)) g ◦ f 隱函_數: 函數_{關係隱藏在某些 x, y 的關係式中。 即 y不一定可以明確用 x 表示出來的 x, y} 之間的函數關係。 例: 單位圓 x2 _{+ y}2 _{= 1 可視為 f (x) =} √_{1 − x}2 _{上半圓及 g(x) = −}√_{1 − x}2 下半圓兩個函數的組成。 例: 關係式 y2 _{= x + 5 可視為 f (x)}√_{x + 5 及 g(x) =} −√x + 5 兩函數關係的組成。 若滿足 f (g(x)) = g(f (x)) = x , 且 f 函數的定義域為 g 的值域,f 的值域為函 數 g 的定義域, 則稱函數 f 、g 互為反函數。 記為 f−1 _{= g, g}−1 _{= f} Note: f (x) = x2, g(x) = √x, 雖然 f (g(x)) = x , 但 f, g 不是反函數 (因 g(f (x)) =√x2 _{= |x|)。} 例題演練 例題1 設 f (x) = x + 1, g(x) = x2_{x − 2}− x − 2 求函數 f (x) 與 g(x) 的定義域, 並問 f (x) 與 g(x) 相等嗎? [Ans: Df = R, Dg = {x|x ∈ R, x 6= 2} , 故 f 6= g] 例題2 若 f (x) = √_{1 − x, g(x) =} √2 + x , 寫出 f + g 與 f_{g , 並列出各函數的定義} 域? Ans: (f + g)(x) =√_{1 − x +}√2 + x, Df +g = [−2, 1] ; (f_{g )(x) =} √ 1 − x √ 2 + x, Df /g= (−2, 1] 例題3 設 f (x) = 3x2 _{+ 2x − 7 , 求一次函數 g(x) , 使 (f ◦ g)(x) = 12x}2 _{− 8x − 6} [Ans: g(x) = 2x − 1 或 g(x) = −2x + 13 ] 例題4 描繪出函數 f (x) = |x2 − 3x − 4| 的圖形? −2 −1 1 2 3 4 5 −5 5 f (x) = |x2_{− 3x − 4| 函數圖形} 例題5 若 f (x) = x2, g(x) = √x , 分別求合成函數 f (g(x)) 與 g(f (x)) 並說明其合成 函數的定_{義域及值域? Ans: f ◦ g = x : D = {x ≥ 0}, R = {y ≥ 0}; g ◦ f =} |x| : D = {x ∈ R}, R = {y ≥ 0} 習題1-2 函數的概念 1. 分別求下列函數的定義域: 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 函數的概念 _· (a) f (x) = cos 2x (b) f (x) = x x − 1 (c) f (x) = p_{(x − 1)(x + 3)} (d) f (x) = log₂(x2 _{− 2x − 3)} 2. 分別求下列函數的值域: (a) f (x) = 2 sin 3x _{(b) f (x) =} x − 1 x + 1 (c) f (x) = p_{−(x − 2)(x + 1)} 3. 若 h(x) = 7 − 3x 求 h(2x − 1) =? ; 又若 h(2x − 1) = −2 時,x =? 4. 試描繪函數 y = |x| + |x − 2| 的圖形? 5. 若 f (x) = 3x − 1, g(x) = x2 , 求 (f ◦ g)(x)=? 與 (g ◦ f)(x)=? 6. 若 f (x) = 2x_{, g(x) = log} 2x , 求 (f ◦ g)(x)=? 與 (g ◦ f)(x)=? 7. 設 f (x) = x2+ x + 1 是多項式函數, g(x) = √_{x 是根式函數, 求合成函數 g ◦ f} ? 8. 若 f (x) = 1 x , 求 (f ◦ f)(x)=? 9. 已知自由落體下落 t 秒後的距離 h(t) = 12gt2 ,g 為重力加速度。 問 (1) 從物體下 落_{開始, 第1秒內, 第1秒 ∼ 第2秒, 第2秒 ∼ 第3秒, 第3秒 ∼ 第4秒, · · · 物體} 落下的距離比為? (2) 若有一物體, 自離地面高490公尺自由落下, 如果不計空氣 阻_{力, 求該物體從落下至著地須經多少秒?} 10. 若 x1 6= x2 則函數 f (x1) 6= f(x2), g(x1) 6= g(x2) 且已知部分函數值如表: 求下 列值: x _{−2 −1 0} 1 2 f (x) 1 _{−1 0 −2 2} g(x) ₋₂ 2 1 _{−1 0} (a) g(f (2)) =? 又 f (g(2)) =? (b) g(f (1)) =? 又 f (g(1)) =? (c) f (f (−2)) =? 又 g(g(−1)) =? (d) 若 f (g(a)) = 1,g(f (b)) = 1 則 a, b =? 11. 設 f (x) = 2x − 3 , 求一次函數 g(x) , 使 (g ◦ f)(x) = x 且 (f ◦ g)(x) = x ;(如 此函數 g(x) 稱為 f (x) 的反函數) 12. 若 f (x) = 3x − 8_{x − 3 , x 6= 3 求 g = f}−1(x) =?

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.3 函數的極限 _· 1.3 函數的極限 函_{數極限的定義: 若實數函數 f (x) 在 x = a 附近有定義且當 x 趨近於 a 時,f (x) 趨} 近於定數 L 。 稱函數 f (x) 在 x = a 的極限是 L , 以 lim x→af (x) = L 表示。 與 x = a 點有無定義無關。 函數極_{限的意義:} ε 為任意給定正數, 存在 δ > 0 只要 |x − a| < δ 必滿足 |f(x) − L| < ε 即 |f(x)−L| 值會隨著 |x−a| 變小而逐漸愈來愈接近0 L a y = f (x) 函_{數 f (x) 在無窮遠處的極限與極限值無窮大:} 數列的極限 : lim n→∞an = L 表 an − L 值隨著 n 愈大而愈接近0。 而函數極限: lim x→af (x) = L 表 f (x) − L 值隨著 |x − a| 愈小而愈接近0 函數在無窮遠的極限: 若 lim x→∞f (x) = L 表 f (x) − L 值隨著x變大而愈接近0, 稱無窮遠處的極限值為 L; 否則f (x)在無窮遠處無極限值。 函數_{在x = a 點極限為無窮大 : 若 lim} x→af (x) = ∞ 表 f(x) 值隨著 |x − a| 愈小 而變的非常大, 稱f (x) 在 x = a 處為無窮大。 左極限與右極限: lim x→a−f (x) = L: 限制 x < a 所得到的極限值稱為左極限 (x從a的左側趨近a的極 限值) lim x→a+f (x) = M: 限制 x > a 所得到的極限值稱為右極限 (x從a的右側趨近a的 極限值) 極限與左極限、 右極限的關係: 當函數在a點的左極限與右極限均存在且相等時 L = M , 則稱函數在a點的極限 值為L。 即 lim

x→af (x) = L ⇔ limx→a−f (x) = L = lim_x→a+f (x)

NOTE: 極限值 L 未必 = f (a) 。 (∵ f (a) 可能無定義, 但仍有極限值 L , 與

x = a 點有無定義無關。 ) f (x) = n x − 1 , x < 0_{x + 1 , x ≥ 0 ⇒ lim} x→0−f (x) = −1, lim_x→0+f (x) = 1 x = 0 時 f (x) 無極限值。 函_{數極限夾擠原理: 若三函數 f (x), g(x), h(x) 恆有 f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) , 且 lim} x→af (x) = lim

x→ah(x) = L 則 limx→ag(x) = L

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.3 函數的極限 _·

lim

x→0

sin x

x = 1, lim_x→∞ sin xx = 0

面積 △OAB < 扇形 OAB < △OBC ⇒ sin θ_{2 < θ2 <} tan θ₂ ⇒ cos θ < sin θ θ < 1 y x O B C A θ 圖 1-3: 利用夾擠定理求極限值 函_{數極限的運算性質:} 若兩實函數 f (x), g(x) 在 x = a 時有極限, 且 lim

x→af (x) = L, limx→ag(x) = M 則

1. lim

x→a[cf (x)] = c limx→af (x) = cL

2. lim

x→a[f (x) + g(x)] = limx→af (x) + limx→ag(x) = L + M

3. lim

x→a[f (x) − g(x)] = limx→af (x) − limx→ag(x) = L − M

4. lim

x→a(f (x) × g(x) = limx→af (x) × limx→ag(x) = L × M

5. lim x→a f (x) g(x) = lim x→af (x) lim x→ag(x) = L_{M ,} 其中 M 6= 0 6. lim x→a k p f (x) = k q lim x→af (x) = k √ L , (L > 0) 若 f (x), g(x) 的某一點極限均不存在, 其和 f (x) + g(x) 或積 f (x)g(x) 的極限未必 不存在 f (x) = |x|_{x , g(x) = −}|x|_{x 在 x = 0 時, 均無極限值; 但 lim} x→0(f (x) + g(x)) = 0, lim x→0[f (x)g(x)] = 1 *羅必達法則 (L’Hospital Rule) : 設函數 f (x) 與 g(x) 於區間 I 中, 除點 a 外均可微, 當 x 6= a 時,f(x) 6= 0 且 g(x) 6= 0 , 若滿足下列條件 : lim

x→af (x) = limx→ag(x) = 0

或 lim

x→af (x) = limx→ag(x) = ±∞ 則 limx→a

f (x)

g(x) = limx→a

f′(x) g′(x)

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.3 函數的極限 _· 1. 無限個無窮小量的和不一定是無窮小量: f1(n) = 1 n2, f2(n) = 2n2, · · · , fn(n) = nn2 但 lim n→∞ ∞ P n=1 fn(n) = lim n→∞ n + 1 2n = 12 2. 兩個無窮量的和未必是無窮量:(正負無窮大的和為不定型) fn = n + sin n, gn = sin n − n ⇒ lim

n→∞(fn+ gn) = 0 3. 兩個非無窮小量的和或積不一定是非無窮小量: 例: < an = 1_{n + 2 >, < b}n = 1_{n − 2 >⇒ lim} n→∞(an+ bn) = 0 例: fn = 1 + (−1) n 2 , gn = 1 − (−1) n 2 ⇒ lim_n→∞(fngn) = 0 4. 無限個無窮小量的積不一定是無窮小量: fk(n) =  _{1 n < k} k n − k + 1 n ≥ k 每個 limn→∞fk(n) = 0 但是 lim n→∞f1(n)f2(n) · · · fn(n) · · · = 1n 2 n − 1 · · ·n1 = 1 1. lim n→∞ n √ a = 1;  a > 1 , 遞減有下界。 0 < a < 1 , 遞增有上界。 2. lim n→∞(1 + xn) n _{= e}x 3. 若 fn < gn 且 lim n→∞fn = a, limn→∞gn = b 未必 a < b 例: fn = 1 − 1n, gn = 1 + 1_n 函_{數極限的觀念: 若 lim} x→af (x) = L 1. x → a 是指 x從左、 右兩邊趨近 a, 但不一定等於 a 。 2. 函數 f (x) 在 x = a 處不一定要有定義, 即 f (a) 值可存在或不存在。 3. f (a) 值存在與否與極限值 lim x→af (x) = L 無關 (可能相等, 可能不相等)。 函_{數圖形的漸近線:} 1. 鉛直漸近線: 若 lim x→a+f (x) = ∞, lim x→a+f (x) = −∞ , lim

x→a−f (x) = ∞ , lim_x→a−f (x) =

−∞ 任一式成立, 則直線 x = a 為函數曲線 y = f(x) 的鉛直漸近線。 2. 水平漸近線: 若 lim x→∞f (x) = b 或 limx→−∞f (x) = b , 任一式成立, 則直線 y = b 為函數曲 線 y = f (x) 的水平漸近線。 3. 一般的漸近直線: 若 lim x→∞[f (x) − (mx + b)] = 0 或 limx→−∞[f (x) − (mx + b)] = 0 , 任一式成 立, 則直線 y = mx + b 為函數曲線 y = f (x) 的漸近線。 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.3 函數的極限 _· 多項式函數與有理函數的極限性質: 函數 f (x) 在 x = a 的極限值就是函數值 f (a)。 若 f (x) = anxn+ · · · + a2x2 + a1x + a0,g(x) = bmxm + · · · + b1x + b0 為兩 實係數多項式函數 1. lim x→af (x) = f (a)

2. 若 g(a) 6= 0 , 則 lim_x→a f (x) g(x) =

f (a) g(a) 3. 若 g(a) = 0, f (a) 6= 0 , 則 lim_x→a f (x)

g(x) 不存在。

4. 若 f (a) = g(a) = 0 , 求 lim

x→a f (x) g(x) 先將分子、 分母的共同因式 (x − a) 約 去後, 再依照函數極限性質2、3求極限。 連續函_{數的定義: 函數f (x)在x = a點連續 ⇔ lim} x→af (x) = L = f (a) f (x) 為一實函數, 若 |f(x) − a| 值會隨著 |x − a| 變小而逐漸變小而愈接近0, 則 稱 f (x) 在 x = a 點連續。 即 lim x→af (x) = L 存在且等於 f (a)。 函數 f (x) 在開區間 (a, b) 連續: 對任意 c ∈ (a, b), f(x) 在 x = c 都連續。 函數 f (x) 在閉區間 [a, b] 連續: 對任意 c ∈ (a, b), f(x) 在 x = c 都連續且對端 點滿足 lim

x→a+f (x) = f (a), lim_x→b−f (x) = f (b) 。

如果 f (x) 在定義域中的每一點都連續, 則稱 f (x) 是一個連續函數。

連續函_{數的三要件: (1) x = a, f (a) 有定義 (2)lim}

x→af (x) 存在 (3) limx→af (x) = f (a)

連續函數的圖形: y = f (x) 在 x = a 點連續, 是指其圖形在點 (a, f (a)) 不會斷 掉。 −_{6−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6} −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 x y f (x)\x = −3 −2 −1 1 3 在a點極限 有 有, 但 有,= 沒有,左右極限 沒有 = f (3) _{6= f(−2) f(−1)} 存在但不相等 (發散) 在a點連續 是 不是 是 不是 不是 型I 型II 型III 圖形特徵 平滑 移除 尖點 跳離 _±∞ 有漸近線 圖 _1-3: 不連續函數的圖形:I移除、II 跳離、III 發散類型 (removable,jump,infinite)

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.3 函數的極限 _· 連續函_{數的充要條件: f (x) 在 x = a 連續⇔ lim} x→af (x) = f (a) 若 f (x) 在 x = a 有極限值 L 但 6= f(a) 則函數 f(x) 在 x = a 點不連續。(圖 形在a點移除; 型I) 例: f (x) = x sin 1_{x 在 x = 0 的極限值為0, 但f (0)不存在, 故在x = 0處不連續。} 例: 高斯函數 f (x) = [x] 在整數點 x = a, f (a) = a, 但 lim x→a−f (x) = a − 1 6= lim

x→a+f (x) = a ,f (x) 在整數點 x = a 均不連續。(圖形在a點跳離分開; 型II)

例: f (x) = tan x 在 x = kπ + π 2, k ∈ Z 極限值不存在 (發散), 函數 f(x) 在 x = kπ + π 2, k ∈ Z處, 均不連續。(圖形在a點發散; 型III) 連續函_{數的一些性質:} 設函數f (x)與g(x)均在x = a連續, 則下列函數在x = a連續 1. f (x) + g(x) 2. f (x) − g(x) 3. f (x)g(x) 4. f (x) g(x) , 若 g(a) 6= 0 5. pk f (x) , 其中 f(x) 在 a 附近恆不為負,k 為一正整數。 連續函_{數的一些觀念:} 1. 函數在有定義的點不一定連續: f (x) = n x + 1 , x ≥ 0_{x − 1 , x < 0} 在 x = 0 時, 不 連續。 2. 函數在有定義且有極限值的點不一定連續: f (x) = n |x − 1| , x 6= 1_{1 , x = 1} 在 x = 1 時, 有極限值但不連續。 3. 若 |f(x)| 連續, f(x) 不一定連續: f(x) = n −1 , x ≤ 2_{1 , x > 2} 在 x = 2 時, |f(x)| 連續, 但 f(x) 不連續。 4. 分段定義函數不一定有不連續點: f (x) = n _{3x − 2 , 1 ≤ x ≤ 2}x2 , 0 ≤ x < 1 , 在 x = 1 時, f (x) 為連續 5. 連續函數與不連續函數的乘積不一定不連續: f (x) = x, g(x) = n _{−1 , x < 0}1 , x ≥ 0 , 其中 f 為連續, g 在 x = 0 不連續, 但 f × g 為連續函數。 6. 兩不連續函數的乘積或和不一定不連續: f (x) = n x , x ≤ 0_{1 , x > 0 ,g(x) =} n −1 , x ≤ 0 x , x > 0 , 其中 f × g 在 x = 0 時, 為連續。 合成函數的極限: 設 lim

x→af (x) = L , 若 g(x) 在 L 連續, 則合成函數的極限 limx→ag(f (x)) =

g(L)

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.3 函數的極限 _·

若 lim

x→af [g(x)] 存在, limx→af (x) 未必存在:

f (x) = n _{−1 , x < 0 , g(x) = x}1 , x ≥ 0 2_{, x ∈ R ; 在 x = 0 時} 合成函數連續: 若 f (x)在 x = a 連續,g(x)在 x = f (a) 連續, 則g(f (x))在x = a為 連續。 連續函_{數的中間值定理: 若 f (x)是定義在 [a, b] 的連續函數, 且滿足 f (a) 6= f(b), 則} 對於 f (a) 與 f (b) 之間的任意實數 M , 在區間 [a, b] 內至少存在一點 c , 使得 f (c) = M 連續函_{數的勘根定理:} 設 f (x) 是一定義在 [a, b] 的連續函數, 且滿足 f (a)f (b) < 0, 則至少存在有一根 介於a與b之間的實數c, 使得 f (c) = 0 例題演練 例題1 lim x→0 3x 2x Ans: 32 例題2 設 f (x) = x_{x − 1}2 − 1, g(x) = x + 1 , 計算 lim x→2f (x) 、 limx→1f (x) 與 limx→1g(x) [Ans:lim x→2f (x) = 3,limx→1f (x) = 2,limx→1g(x) = 2] 例題3 設函數 f (x) = x |x| , 討論 f (x) 在 x = 0 的極限值是否存在? Ans: limx→0−f (x) = −1 6= lim x→1+f (x) = 1 例題4 設函數 f (x) = ( 3x + 2 , 當x > 0 1 , x = 0 −2x + 2 , 當x < 0 , 求 limx→0f (x) 值? 函數值 f (0)與 limx→0f (x) 是否相等? Ans: lim x→0f (x) = 2 6= f(0) = 1 例題5 求下列各極限: (a) lim x→0 √ 1 + x − 1 x Ans: 1 2 (b) lim x→1 x3 _{− 1} x − 1 Ans:3 (c) lim x→2 x + 1 x − 2 Ans: 不存在 (d) lim x→1(x 2 _{− 3x + 1) Ans:−1} (e) lim x→−1 2 (2x + 3)3 Ans:8 (f) lim x→0( 1 + x x − 1 + 3x − 1 x2_{+ 3x − 4}) Ans:−34 例題6 實數a滿足 lim x→2 x2 _{+ ax + 2} x2 _{− x − 2} = L 存在, 求a值? 及此極限值? a = −3; L = 1 3 例題7 設 f (x) = 2x + 1 x2 _{+ x − 6} , 求 f (x) 在哪些區間連續? [Ans:(−∞, −3), (−3, 2), (2, ∞)]

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.3 函數的極限 _· 例題8 設 a 是實數, 函數 f (x) 的定義為 f (x) =  x2 _{− x + 47 , 當x ≥ 1} x + a , 當x < 1 , 求 a 值, 使 f (x) 是一連續函數。 [Ans:a = 46] 例題9 設 f (x) = x5 + 3x2 , 試證: 存在一實數 c 介於 1與2之間, 使得 f (c) = 27 [Ans: 利用勘根定理, 令 g(x) = f (x) − 27 , 則 g(1)g(2) < 0] 習題1-3 函數的極限 1. 求 lim x→4 x2 _{− 16} x − 4 =? ; 求 limx→0 (x + 2)2 _{− 4} x =? 2. 設 f (x) = √ x + 1

x2 _{+ x + 1}, x ∈ R 求 lim_x→∞f (x) =? lim_x→−∞f (x) =? lim_x→1f (x) =

? lim x→−1f (x) =? 3. 試求極限值 lim x→1+[x] =?, lim_x→1−[x] =? 4. 試求極限值 lim x→1 x2 _{− 1} x − 1 =?, limx→2 √ x − √2 x − 2 =? 5. 設 lim

x→af (x) 與 limx→ag(x) 皆存在, 且 limx→a[f (x)+g(x)] = 6, limx→a[f (x)−g(x)] = 2,

求 lim

x→af (x)g(x) =? limx→a

f (x) g(x) =? 6. 試求極限值 lim x→1( 3 1 − x3 − 1 1 − x) =? 7. 試求極限值 lim x→4 √ x − 2 x − 4 =? 8. 實數a, b滿足 lim x→1 a√_{x + 3 − b} x − 1 = 1, 求 a, b 值? 9. 設 f (x) = ax 3 _{+ bx}2 _{+ cx + d} x2 _{+ x − 2} , 若 lim_x→1f (x) = 0, lim_x→∞f (x) = 1 , 求 a, b, c, d 之值? 10. 設函數 f (x) =  x2 + 3 , 當x > 1 2x + 2 , 當x ≤ 1 , 求 limx→1−f (x)、 lim_x→1+f (x) 值? 又函數值 f (1)與 lim x→1f (x) 是否相等? 11. y = [x] , 在那些地方不連續? 12. 設 f : R → R 滿足 f(x) = n _{2x − 3, x < 1 ;}x − 1, x 6= 1 問 f (x) 在 x = 1 處是否連 續? 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math _· 13. 設 f (x) = ( kx2 _{− x − k + 1} x − 1 , x 6= 1 5, x = 1 在 x = 1 處是連續, 試求 k 值? 14. 求出a值, 使得 g(x) = ( x2 _{− a}2 x − a , x 6= a 8, x = a 是連續函數 15. 根據圖形回答下列問題: −_{3 −2 −1 1 2 3 4 5 6} −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x (a) 求函數 f (x) 在點 x = −1 時的極限? (b) 求函數 f (x) 在點 x = 0 時的極限與函數值? (c) 求函數 f (x) 在點 x = 2 時的極限與函數值? (d) 求函數 f (x) 在點 x = 5 時的極限? 16. 下列敘述何者不恆為真?(1) 若 f(a) 沒有定義, 則 lim

x→af (x) 不存在 (2) 若 limx→af (x)

存在, 則f (x)在a點連續 (3) 若 0 ≤ f(x) ≤ 3x2 + 4x4 , 則 lim

x→0f (x) = 0 (4)

若 f(x) 在 a 點連續, 則 lim

x→af (x) 存在 (5) 若 limx→af (x) = L, 為一實數, 則

lim x→a|f(x)| = |L| 17. 函數 f (x) = (x − 299)3(x − 301) + x , 求證: 至少有一實數c, 使得 f(c) = 300 18. 已知方程式 x3 _{+ x − 64 = 0 恰有一實根, 求此實根介於哪兩連續整數之間?} 19. 已知 x4 _{− x}3 _{− 9x}2 + 2x + 12 = 0 有四個相異實根, 求此四根位於哪些連續整 數之間? 20. f (x) = (x + 4)2_{(x − 3)}2_{+ x , 證明在 −4, 3之間有一實數 c, 使得 f(c) = 1}

第

2

章

多項式函數的微積分

2.1 微分 割_{線PQ 的斜率} ∆y ∆x 之變化: 當 Q 點沿著曲線 Γ 漸漸趨近 P 點, 如果割線 PQ 也漸 漸趨_{近一個極限位置的直線 l, 則 l 為曲線 Γ 在 P 點的切線, 此時 P 點為切點,}

https://sites.google.com/site/hysh4math 2.1 微分 _· 極限值 lim ∆x→0 ∆y ∆x 為此切線的斜率。(割線斜率的極限就是切線斜率) −₂ −_{1 1 2} −₅ f(x) = x3_−x2_{+ x} P Q 2 4 P(−1 , −3) Q(1 , 1) x y −₂ −_{1 1 2} −₅ f(x) = x3_−x2_{+ x} P Q 1 1.25 P(−1 2, −7 8 ) Q(1 2, 3 8) x y −₂ −_{1 1 2} −₅ f(x) = x3_−x2_{+ x} P Q 0.4 0.42 P(−2 10, −31 125) Q(2 10, 31 125) x y

切線的斜率: 對函數 y = f (x) 圖形上一點 P (a, f (a)) , 若極限 lim

x→a f (x) − f(a) x − a 存 在, 且等於 m , 則函數 f (x) 通過點 P 的切線斜率為 m , 此時切線方程式為 y − f(a) = m(x − a) -6 -4 -2 2 4 6 x -80 -60 -40 -20 20 40 y f HxL = -x3 + x2+ 12 x - 3 x0 -6 -4 -2 2 4 6 x -100 -50 50 100 y f HxL = x3 - x2- 25 x + 35 圖 _2-1: 函數 f (x) 的割線與切線 平均變化率與瞬時變化率: 函數 y = f (x) 的平均變化率為 _{∆x =}∆y f (x) − f(a)_{x − a} , 若 其極限值 lim x→a f (x) − f(a) x − a 存在, 則稱為 f 在 x = a 的瞬時變化率。 導數的定義: 函數的瞬時變化率

設 f : D → R 是一實函數 f(x) , 若極限值 lim_x→a f (x) − f(a)_{x − a} 存在, 則該極限值

稱為 f (x) 在 x = a 的導數, 以 f′_{(a) 表示。 稱函數 f (x) 在 x = a 點可微分。} 導數也可以用極限 lim h→0 f (a + h) − f(a) h 表示之。 (注意:lim_h→0f (a + 2h) − f(a + h)h 存在, 並不意謂 f (x) 在 x = a 可微分) 導數值與切線斜率: 若 f (x) 在 x = a 處可微分, 通過圖形 y = f (x) 上一點 P (a, f (a)) 之切線斜率為 f′_(a) 切線方程式為 y = f′_{(a)(x − a) + f(a)} 法線方程式為 y = −1 f′(a)(x − a) + f(a) 函_{數在x = a可微分的充要條件: lim} h→0+ f (a + h) − f(a) h = lim_h→0− f (a + h) − f(a) h = f′(a) 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 2.1 微分 _· x f HxL 1 f 'Hx0L x f 'HxL 圖 _2-1: 函數 f (x) 的切線與切線斜率值 f′ (x) 亦即 f′_{(a) = lim} x→a f (x) − f(a) x − a = limh→0 f (a + h) − f(a) h 導數的一些觀念釐清: 1. lim h→0 f (a + h) − f(a − h) 2h 存在是 f′(a) 存在的必要非充分條件。 2. f (x) = |x| x2 , limh→0 f (0 + h) − f(0 − h) 2h = 0 但 f′(0) 不存在。 3. 若 f (x) 在 x = a 處可微分, 則 f (x) 在 x = a 處為連續 4. 若 f (x) 在 x = a 處為連續, 未必 f (x) 在 x = a 處可微分 5. f (x) = |x| , 在 x = 0 為連續, 但不可微分 x = a沒有極限值 圖A: x = a有極限值但不連續 圖B: x = a連續但不可微分 (左右瞬時變化率不相等) 圖C: x = a連續、 可微分 圖D: 點 x = a 在 A 圖中沒有極限值, 在 B 圖有極限值但不連續, 在 C 圖中有極限值 且連續但不可微分, 在 D 圖中為可微分。 函_{數 f (x) 的導函數 f}′_{(x) : 當 f (x) 在定義域中的每一個數a其導數值存在, 稱 f}′_(x) 為 f (x) 的導函數 。 設 f : D → R 是一實函數, 若 x 在定義域 D 內的每一點均可微分, 則稱 f(x) 為 可微分函數, f′_{(x) = lim} h→0 f (x + h) − f(x) h , x ∈ D 導函數符號: 函數 y = f (x) 的導函數有以下表示法: f′(x), y′,_dxdy,_dxdf, d_dxf (x), Dxy n階導函數: f′(x) 是 f (x) 的導函數, 稱為一階導函數。 f′′(x) 是 f′(x) 的導函數, 稱為二階導函數。 fn(x) 是 fn−1(x) 的導函數, 稱為 n 階導函數。

https://sites.google.com/site/hysh4math 2.1 微分 _· 多項式函數的導函數: 1. 若 f (x) = c 為常數函數, 則 f′_{(x) = 0} 2. 若 f (x) = mx + k 為一次函數, 則 f′(x) = m 3. f (x) = cxn , 則導函數為 f′(x) = ncxn−1 4. d_dx[f (x)]n = n[f (x)]n−1f′(x) 5. 實係數多項式函數 f (x) = anxn+ an−1xn−1+ · · · + a2x2+ a1x + a0 為可微 分函數, 且其導函數為 f′_{(x) = na}

nxn−1+(n−1)an−1xn−2+· · ·+2a2x+a1

微_{分的運算性質: 若 f (x), g(x) 在 x = a 處均可微分, 則}

1. u(x) = f (x) + g(x) 亦在x = a可微分, 且 u′(a) = f′(a) + g′(a) 2. v(x) = f (x) − g(x) 亦在x = a可微分, 且 v′(a) = f′_{(a) − g}′(a) 3. 若 g(x) = cf (x), c 為一常數, 則 g′_{(a) = cf}′_(a)

4. 若 u(x) = f (x)g(x) 則 u(x) = f (x)g(x) 亦在x = a可微分, 且 u′(a) = f′(a)g(a) + f (a)g′(a)

5. 函數 u(x) = [f (x)]n 亦在x = a可微分, 且u′_{(a) = n[f (a)]}n−1_{· f}′_(a)

6. 若 g(x) = 1 f (x), g(x) 6= 0 , 則 g(x) = 1f (x) 亦在 x=a 可微分, 且 g′_{(a) = −} f′(a) [f (a)]2 7. 若 f (x), g(x) 為可微分函數, 則u(x) = f (x) g(x), g(x) 6= 0 亦為可微分函數, 且 u′(x) = f′(x)g(x) − f(x)g′(x) [g(x)]2 8. 若 f (x) 恆正, 則 g(x) = pk f (x) 亦在 x=a 可微分, 且 g′(a) = 1_k[f (a)]1k−1f′(a)

9. 若 y = f (u), u = g(x) , 且 u 在 x 可微分, f (u) 在 u 可微分, 則 d dxf (g(x)) = f′(g(x)) · g′(x) 鏈鎖_{定則: 若 y = f (g(x)) 則 dy} dx = dydg · dgdx *L’Hospital 定理: 若 f (x), g(x) 在 x = a 點可微, 但 lim x→a f (x) g(x) 為不定型; 則 lim x→a f (x) g(x) = limx→a f′(x) g′(x) *泰勒展開式: f (x) = c0 + c1x + c2x2 + · · · + cnxn

= f (a) + f′_{(a)(x − a) +}f′′_2!(a)_{(x − a)}2+f

3_(a)

3! (x − a)3+ · · · +

fn(a)

https://sites.google.com/site/hysh4math 2.1 微分 _· 試估計 √3 999 的值? f (x)x13, f (999) ≈ f(1000)+f′(1000)(999−1000) = 10− 1 300 例題演練 例題1 求通過函數 f (x) = x3_{−x 圖形上點 P (2, 6) 的切線方程式? [Ans:y = 11x−16]} 例題2 一石頭從高度為490公尺懸崖掉下,t 秒後的高度是 s(t) = 490 − 4.9t2 , 求 t 從 0到10的平均速度及 t = 10 的速度? [Ans:−49m/s; −98m/s] 例題3 設函數 f (x) = x2 + x 的圖形為 Γ , 求通過 Γ 外一點 Q(1, 1) 且與 Γ 相切的直 線方程式? 及切點坐標? [Ans: 切點 P (0, 0), L1 : y = x 或 切於 P (2, 6), L2 : 5x − y = 4] 例題4 討論函數 f (x) = |2x| 在哪些點不可微分? [Ans:x = 0, f′(0) 不存在, 不可微分] 例題5 計算函數 f (x) =√x 的導函數 f′(x) , 並指出其定義域? [Ans:f′(x) = ₂√1_{x, D = (0, ∞)]} 例題6 求函數 f (x) = (x3_{− x}2_{+ 2x − 5)}5 的導函數? [Ans:5(x3_{− x}2_{+ 2x − 5)}4_(3x2₋ 2x + 2)] 例題7 求函數 f (x) = x2 − x + 1 x2 + x + 1 的導函數? [Ans: 2x2_{− 2} (x2+ x + 1)2] 例題8 求函數 f (x) = √x2 _{+ x + 1 的導函數? [Ans:} 2x+1 2√x2_+x+1] 例題9 求函數 f (x) = x4_−2x3+x+1 的三階導函數 f′′′(x) ? [Ans:f′′′_{(x) = 24x−12]} 例題10 將多項式 f (x) = x4 _{− 3x}2+ x + 7 表成 c0+ c1(x − 1) + c2(x − 1)2+ c3(x − 1)3+ c4(x − 1)4 的形式, 其中 c0, c1, c2, c3, c4 為常數? [Ans:f (x) = 6 − (x − 1) + 3(x − 1)2 _{+ 4(x − 1)}3 _{+ (x − 1)}4_] 習題2-1 微分 1. 在拋物線 y = 3x2 _{− 2x + 5 上找一點 P , 使通過點 P 之切線的斜率為10} 2. 求通過曲線 y = 1_{x 上點 P (1, 1) 的切線方程式?} 3. 有一物從高為25呎處自由落下, 經過 t 秒後的高度為 S(t) = −16t2 + 25 ; 問當 t = 12 時, 該自由落體的速度? 4. 設 y = f (x) = 2x3 _{+ 3x}2_{− 12x + 1 之圖形為 Γ, 試求 Γ 的水平切線及所對應} 的切點坐標? 5. 已知函數 y = f (x) 的部分圖形如下: 試比較下列各數值的大小? f′_{(−1), f}′(0), f′(1), f′(2) −1 1 2 3 −2 2 4

https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 函數性質的判斷 _· 6. 函數 f (x) = |x − 1|, 分別在 x = 0, x = 1, x = 2 處是否有導數, 若有其導數值 為多少? 7. 設 f (x) = x4 _{− 2x}3 _{− x}2 + 5x + 3 , 試求 f′(x) 及 f′(1) ? 8. 求 f (x) = (x3_{− x + 1)(2x}2_{− x + 1) 的導函數} 9. 若函數 f (x) = (x − 1)10(2x − 5)30, 求 f′(2) =? 10. 求 f (x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 5) (x − 4) , 在 x = 1 的導數值 f′(1) =? 11. 若函數 f (x) 在 x = a 的導數 f′(a) = 4 , 求 lim h→0 f (a + 3h) − f(a − 2h) h 的 值? 12. 已知 P (1, 3) 為函數 f (x) = −x3+ 4x 圖形上一點, 且直線L為函數 f (x) 以P 點 為切點的切線, 求直線 L 與 f (x) 圖形的所有交點坐標? 13. 一質點 P 在直線上運動, 其位移 S 公尺與時間 t 秒的關係式為 S(t) = t3_−t2+ 1 , 求 (a) 質點 P 在 t = 2 至 t = 4 之間的平均速度? (b) 質點 P 在 t = 2 之間的瞬時速度? 及加速度? (c) 質點 P 在出發後幾秒的瞬時速度為最小? 14. 求曲線 xy + x − y = 0 在點 P (2, −2) 的切線方程式? 15. 設 P (x) 為一三次多項式, 且滿足 P (−1) = 2, P′(−1) = 4, P′′(−1) = 6, P′′′(−1) = −12 , 求 P (1) 的值? 16. 設 y = √3 1 + x2 _{, 求 y}′ 17. 設 f (x) 為可微分函數, 且已知 f (2) = 3, f′(2) = 5 及 f′(3) = 7 , 回答下列問 題: (a) 求 [f (x)]2 在 x = 2 的導數值? (b) 求 f (f (x)) 在 x = 2 的導數值? (c) 求 x f (x) 在 x = 2 的導數值? (d) 求 g(x) = x7 _{− 8x}2 _{+ 35x − 40 在 x = 0 的切線方程式?} 2.2 函數性質的判斷 函_{數的單調性: 遞增函數與遞減函數} 若函數 f (x)在區間 [a, b] 內, 若 x1 < x2 時, 恆有 f (x1) ≤ f(x2) 則稱函數 f (x) 為遞增函數。 (若恆有 f (x1) < f (x2) 則稱嚴格遞增函數) 若函數 f (x)在區間 [a, b] 內, 若 x1 < x2 時, 恆有 f (x1) ≥ f(x2) 則稱函數 f (x) 為遞減函數。 (若恆有 f (x₁) > f (x2) 則稱嚴格遞減函數) 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 函數性質的判斷 _· 遞_{增函數(遞減函數) 的導函數判別: 設函數 f (x) 在 [a, b] 連續, 在 (a, b) 可微分} 1. 若 f′_{(x) > 0 對所有 x ∈ (a, b) 均成立, 則f(x)在[a, b] 是嚴格遞增函數。} 2. 若 f′_{(x) < 0 對所有 x ∈ (a, b) 均成立, 則f(x)在[a, b] 是嚴格遞減函數。} 註:f′_{(x)為恆正或恆負是可微分函數f (x)單調的充分條件 (非必要條件)。} 注意: 函數的單調性是一個區間上的性質, 要用導數在這一個區間上的正負符號來 判_{定, 而不是單一點處的導數符號來判別一個區間上的單調性。} A. 函數f (x)在其單調區間內, 除了f′(x) > 0外, 可能包含孤立點 (必連續) 或有 限個 f′_{(x) = 0 的點。} B. 導數為零的點和不可導點, 可能是單調區間的分界點。 C. 劃分函數的單調區間: 先考慮方程式 f′(x) = 0 的根及f′(x) 不存在的點來劃 分函數定義區間 (單調區間分界點), 然後再判斷區間內導數的正負符號。 若 分界點 f′_{(x) = 0 的點及f}′_{(x) 不存在的點是函數定義區間內, 為連續點則} 屬於單調區間。 多項式函數單調性的判別: 若多項式函數f (x)在區間[a, b]為連續, 在(a, b)內均可微, 滿 足 f′_{(x) ≥ 0, 則 f(x) 在 [a, b] 是嚴格遞增函數。} 多項式函數一般在定義域的區間 [a, b] 內, 滿足 f′_{(x) = 0 的點必為定義域內的} 連續點, 故屬於單調區間。 多項式函數在 [a, b] 區間內無孤立點。 例: f (x) = x3 _{為單調遞增函數, f}′_{(x) = 2x}2 _{> 0 的區間為(−∞, 0), (0, ∞),} 但在 x = 0 時,f′_{(0) = 0 為連續點, 故f (x) 在區間(−∞, ∞)為單調。} 例: f (x) = x −sin x 為單調遞增函數, 但在 x = 2nπ, n ∈ Z 時,f′_{(0) = 0 使得} f′_{(x) = 1 − cos x > 0 不恆成立, 但均為連續點。 故f(x) 在區間(−∞, ∞)為} 單調。 例: f (x) = −1_x 的單調遞增區間為 (−∞, 0), (0, ∞)。 因 f(x) 在 x = 0 為不連 續點。

均值定理: 若函數f (x)在區間 [a, b] 為連續, 且在區間 (a, b) 可微分, 則存在 c ∈ (a, b) 使得 f′_{(c) =} f (b) − f(a) b − a 幾何意義: 連結 A(a, f (a)), B(b, f (b)) 的函數圖形上, 至少有一點 C(c, f (c)) 的切線平行於 ←_AB→ 例: f (x) = 1 x 在閉區間 [−1, 2] 上不連續, 不存在 f ′_{(c) = −}1 c2 = f (2)−f(−1) 2−(−1) = 1 2 。 例: f (x) =  1 − x, 當0 ≤ x ≤ 1 x − 1, 當1 < x ≤ 3 , 在區間[1, 3] 上連續, 但在x = 1 為不可 導, 不存在 f′_{(c) =} f (3)−f(0) 3−0

https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 函數性質的判斷 _· a B b A C -2 -1 0 1 2 -6 -4 -2 0 2 4 6 圖2-2: 均值定理的意義: 在連續區間[a, b],可微分區間(a, b)內,至少存在一點c的切線斜率等於AB的 斜率 例: f (x) =  x2, _{當 − 2 ≤ x < 1} 3 − x, 當1 ≤ x ≤ 2 , 在區間[−2, 2]內 , 在x = 1 處為不連 續不可導, 但存在 c = −3₈ , f′_{(c) = −}3₄ = f (2)−f(−2)₂₋₍₋₂₎ 函_{數圖形的凹向的判別:} 圖形凹口向下 (自行車手把偏右側前進): 切線的斜率逐漸變小 (曲線上愈往右邊 的點導數值愈小, 即 f′_{(x)為嚴格遞減函數)。} 圖形凹口向上 (自行車手把偏左側前進): 切線的斜率逐漸變大 (曲線上愈往右邊 的點導數值愈大, 即 f′_{(x)為嚴格遞增函數)。} 設函數 f (x) 在區間 I = (a, b) 可微分,f′′_{(x) 是 f}′_{(x) 的導函數, 則} 1. 若 f′′_{(x) > 0 對所有 x ∈ (a, b) 均成立, 則 f}′_{(x) 在區間 (a, b) 是遞增函} 數。 表示 f (x) 的圖形凹口方向向上。 (此時切線在圖形下方) 2. 若 f′′_{(x) < 0 對所有 x ∈ (a, b) 均成立, 則 f}′(x) 在區間 (a, b) 是遞減函 數。 表示 f (x) 的圖形凹口方向向下。 (此時切線在圖形上方) 凹口向上,切線在圖形下方 凹口向下,切線在圖形上方 遞增、 凹口向下 f′ (x) > 0, f′′ (x) < 0 遞增、 凹口向上 f′ (x) > 0, f′′ (x) > 0 遞減、 凹口向下 f′ (x) < 0, f′′ (x) < 0 遞減、 凹口向上 f′ (x) < 0, f′′ (x) > 0 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 函數性質的判斷 _· 多項式函數圖形的凹向的判別: 若 f (x) 為二次以上的多項式函數 1. 若 f′′_{(x) ≥ 0 對所有 x ∈ (a, b) 均成立, 則 f}′(x) 在區間 (a, b) 是遞增函 數。 表示 f (x) 的圖形凹口方向向上。 2. 若 f′′_{(x) ≤ 0 對所有 x ∈ (a, b) 均成立, 則 f}′(x) 在區間 (a, b) 是遞減函 數。 表示 f (x) 的圖形凹口方向向下。

反曲點: 若點 (a, f (a)) 為函數 f (x) 的一個反曲點, 則 f′′(a) = 0 或不存在。 (其逆不

真) 若函數 f (x) 在 x = a 點附近的圖形中, x < a 時與 x > a時的圖形, 凹向的方 向相反, 則點 (a, f (a)) 稱為函數 f (x) 圖形的一個反曲點。 例: f (x) = x4_{, f}′′_{(0) = 0, 但點 (0, 0) 並不是 f (x) 圖形的反曲點。} 例: f (x) = (x − 2)53, 則 f′(x) = 5 3(x − 2) 2 3, f′′(x) = 10 9 (x − 2)− 1 3,f′(2) = 0, f′′_{(2) 不存在, 在 (−∞, 2), f}′′_{(x) < 0, 在 (2, ∞), f}′′(x) > 0, 點 (2, 0) 是函數 f (x) 的反曲點。 例: f (x) =  x2_{, 當0 < x ≤ 1} x3_{, 當1 < x < +∞} ,f′′(1) 不存在, 由於在 x = 1 的左右兩側 恆有 f′′_{(x) > 0, 函數的凹凸性不變, 點 (1, 1) 不是反曲點。} −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 −1 1 2 f′′_{(x) = 0 是否就是反曲點?} f (x) = x3 g(x) = x2 h(x) = x4 1 2 3 4 −4 −2 2 f′′_{(x) 不存在, 可能是反曲點} f (x) = (x − 2)53 −2 −1 1 0.5 1 1.5 2 2.5 f′′_{(x) 不存在, 但不是反曲點} f (x) = x2 f (x) = x3 函_{數的相對極大值與相對極小值:}

對函數 f : D → R , 若存在區間 (a, b) ⊂ D , 使 c ∈ (a, b) 對所有 x ∈ (a, b) 1. 若滿足 f (x) ≤ f(c) , 則稱 f(c) 是函數 f 的相對極大值 (local maximum)。 2. 若滿足 f (x) ≥ f(c) , 則稱 f(c) 是函數 f 的相對極小值 (local minimum)。 最大最小值: 函數f(x) 為定義在 [a, b] 的函數, 滿足所有 x ∈ D, f(x) ≤ f(d) 則 x = d 有最大值 f (d)。 函數 f(x) 不一定有最大 (小) 值, 若有則最多只有一個最大 (小) 值。 最大值、 最小值一定發生在極值位置。 但極值未必就是最大或最小值。 臨_{界點: 函數 f (x) 在定義域中, 使 f}′_{(x) = 0 的點或不可微分的點稱為臨界點。} 多項式函數的臨界點就是 f′(x) = 0 的點。

https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 函數性質的判斷 _· 三_{次函數圖形的凹向: 三次函數 f (x) = ax}3 _{+ bx}2 _{+ cx + d , 其中 a, b, c, d 均為實} 數,a 6= 0 1. 當 a > 0 ; ( 若x > − b_{3a ,} 則f′′(x) > 0, 即函數圖形凹向上 若x < − b_{3a ,} 則f′′_{(x) < 0, 即函數圖形凹向下} 2. 當 a < 0 ; ( 若x > − b_{3a ,} 則f′′_{(x) < 0, 即函數圖形凹向下} 若x < − b_{3a ,} 則f′′_{(x) > 0, 即函數圖形凹向上} 三_{次函數 f (x) = ax}3 _{+ bx}2 _{+ cx + d 圖形判斷係數正負:} 1. ( 當a > 0, lim x→∞f (x) = ∞ 當a < 0, lim x→∞f (x) = −∞ 2. 由反曲點 x = −b_3a 位置決定 b 正負。 3. f′_{(0) = c : 由 x = 0 點的切線斜率決定 c 正負。} 4. f (0) = d : 圖形交 y 軸於 (0, d) 決定 d 正負。 三次函數 f (x) = ax3 _{+ bx}2 _{+ cx + d 的大略圖形:} f′(x) = 3ax2+ 2bx + c, f′′(x) = 6ax + 2b 1. f_′(x) = 0 沒有實根: D = (2b)2_{− 4 · 3a · c = 4(b}2 _{− 3ac) < 0} 當a > 0且b2 _{− 3ac < 0時 , f}′_{(x) > 0恆成立, 函數f (x)是遞增函數} 當a < 0且b2 _{− 3ac < 0時 , f}′_{(x) < 0恆成立, 函數f (x)是遞減函數} f (x) 零點 臨界點 反曲點 g(x) 零點 臨界點 反曲點 圖1-A:a > 0, f′ (x) > 0 圖1-B:a < 0, f′ (x) < 0 圖 _{2-2: f}′ (x) = 0 沒有實根且以反曲點 (α, f (α))為切點的切線斜率恆正或恆負 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 函數性質的判斷 _· 2. f′(x) = 0 只有一實根 (重根 α): 此時 f′(α) = f′′(α) = 0, f′′′_{(α) = 6a 6= 0} D = b2 _{− 3ac = 0, α = − b3a} 也是反曲點的 x 坐標; f′_{(x) 是恆正或恆負。}      當a > 0且x 6= α時 , f′_{(x) = a(x − α)}2 _{> 0} 函數f (x)在區間(−∞, α], [α, ∞)是遞增函數 當a < 0且x 6= α時 , f′_{(x) = a(x − α)}2 _{< 0} 函數f (x)在區間(−∞, α], [α, ∞)是遞減函數 f (x) 零點 臨界點 反曲點 g(x) 零點 臨界點 反曲點 圖2-A:a > 0, 且_{x 6= α} 時, f′ > 0 圖2-B:a < 0 , 且_{x 6= α} 時, f′ < 0 圖2-2: f′ (x) = 0 只有一實根且以反曲點 (α, f (α)為切點的切線為水平線 (斜率為0) 3. f′(x) = 0 有兩相異實根 α, β : f′(x) = 3ax2_{+2bx+c = 3a(x−α)(x−β)} 設 α < β, 以 α + β₂ , f (α + β₂ ) = (−b_3a, f (−b_3a)) 為反曲點 。 且 f′′(α) = 3a(α − β); f′′(β) = 3a(β − α)  當a > 0, f′′_{(α) < 0且f}′′_{(β) > 0時 , f}′′_{(α)是極大值, f}′′_{(β)是極小值} 當a < 0, f′′_{(α) > 0且f}′′_{(β) < 0時 , f}′′_{(α)是極小值, f}′′_{(β)是極大值} x = α x = β x1 x2 f (x) 零點 臨界點 反曲點 x1x = α x2 x3 x = β f (x) 零點 臨界點 反曲點 圖3-A:a > 0, f′′ (α) < 0, f′′ (β) > 0 圖3-B:a < 0, f′′ (α) > 0, f′′ (β) < 0 圖 _{2-2: f}′ (x) = 0有兩異實根且在x = α, β時,f (x)有極值, 並以α + β 2 , f (α + β2 )  為反曲點 多項方程式的重根: 若 α 是 f (x) = 0 的 m 重根 ⇔ f (α) = f′(α) = f′′_{(α) = · · · = f}(m−1)(α) = 0, f(m)_{(α) 6= 0}

https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 函數性質的判斷 _· 表 2-2: 三次函數 f (x) = ax3_{+ bx}2 _{+ cx + d圖形分類: D = b}2_{− 3ac} f′ (x) = 0 無實根D < 0 二重根D = 0 兩相異臨界點D > 0 a > 0 a < 0 三_{次多項式方程式的實根個數: 根據三次函數 f (x) = ax}3 _{+ bx}2 _{+ cx + d, a > 0 的} 大略圖形, 與 x 軸的交點個數判斷 f (x) = 0 的實根個數。 設 f′_{(x) = 3ax}2 _{+ 2bx + c, D = b}2 _{− 3ac} 1. 若 D > 0, f 有兩相異臨界值 (極值)α, β 且設 α < β (a) f (α)f (β) < 0 ⇔ f(x) = 0 有三個相異實根。 (b) f (α)f (β) = 0 ⇔ f(x) = 0 有一個二重根及另一個實根。 (c) f (α)f (β) > 0 ⇔ f(x) = 0 有一個實根及兩個虛根。 x1 x2 x3 x = α x = β f (x) 零點 臨界點 反曲點 x1 x = α x2 x = β f (x) 零點 臨界點 反曲點 x1 x = α x = β f (x) 零點 臨界點 反曲點 圖A:D > 0, f (α)f (β) < 0 圖B:D > 0, f (α)f (β) = 0 圖C:D > 0, f (α)f (β) > 0 圖 2-2: D > 0, f (x) 有兩相異臨界值 2. 若 D < 0, f (x) = 0 有一個實根及兩個虛根。 x1 x = −_3ab f (x) 零點 臨界點 反曲點 3. 若 D = 0, f (x) 有一臨界值x = α = β (a) f (α) = 0 ⇔ f(x) = 0 有三重根 α 。 (b) f (α) 6= 0 ⇔ f(x) = 0 有一個實根及兩個虛根。 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 函數性質的判斷 _· x1 x = −_3ab f (x) 零點 臨界點 反曲點 x1 x = α x = −_3ab f (x) 零點 臨界點 反曲點 圖A:D = 0, f (α) = f′ (α) = f′′ (α) = 0 圖B:D = 0, f′ (α) = f′′ (α) = 0, f (α) 6= 0 圖 _{2-2: D = 0, f (x)}有一臨界值 費馬定理: 函數f (x)為定義在[a, b]的函數,c ∈ (a, b), 在 c 處有極大值或極小值, 若f(x)在 x = c 可微分, 則 f′(c) = 0 。 f (x) 在 x = c 有極值 ⇒ f′(c) = 0 或 f′(c) 不存在。 函_{數 f (x) 極大值、 極小值判定法:} 函數f (x)為定義在[a, b]的函數,c ∈ (a, b), x = c 點可微分 若 f′_{(c) = 0 且 f}′_{(x) 在 x = c 點兩端異號 ⇒ f(c) 為極大值或極小值。} 1. x = c 有極大值 f (c) : 即 f(x) 在 x = c 左端為遞增、 右端為遞減。_ 一階導數判別法: f′_{(c) = 0 且 f}′_(c−_{) > 0, f}′_(c+_{) < 0} 二階導數判別法: f′_{(c) = 0 且 f}′′_{(c) < 0} 2. x = c 有極小值 f (c) : 即 f(x) 在 c 左端為遞減、 右端為遞增。_ 一階導數判別法: f′_{(c) = 0 且 f}′_(c−_{) < 0, f}′_(c+_{) > 0;} 二階導數判別法: f′_{(c) = 0 且 f}′′_{(c) > 0} 3. 若 f′(c) = f′′(c) = 0 則須進一步判定: 若 f′(c) = f(2)_{(c) = · · · =} f(n−1)(c) = 0, f(n)_{(c) 6= 0 則當 n 為偶數時,f(c) 為 f(x) 的極值且當} f(n)(c) < 0 為極大值,f(n)(c) > 0 為極小值。 n 為奇數時,f (c) 不為 f (x) 的極值。 函_{數 f (x) 反曲點 (c, f (c)) 判定法: (與極值判定法具有相似性)} 函數f (x)為定義在[a, b]的函數,c ∈ (a, b), x = c 點可微分 若 f′′_{(c) = 0 且 f}′′_{(x) 在 x = c 點兩端凹口方向相反 (二階導數值異號) ⇒ x =} c 為 f(x) 的反曲點。 1. 二階導數判定法: f′′(c) = 0 且 f′′(c−)f′′(c+) < 0 2. 三階導數判定法: f′′(c) = 0 且 f′′′_{(c) 6= 0} 3. 若 f′′(c) = f′′′(c) = 0 則須進一步判定: 若 f′′(c) = f(3)_{(c) = · · · =} f(n−1)(c) = 0, f(n)_{(c) 6= 0 則當 n 為奇數時, (c, f(c)) 為 f(x) 的反曲點。n} 為偶數時, (c, f (c)) 不為 f (x) 的反曲點。 Note: f (x) 在 x = c 有反曲點 ⇒ f′′(c) = 0 或 f′′(c) 不存在。 Ex: f (x) = x5, (0, 0) 為其反曲點但 f′′(0) 不存在。

https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 函數性質的判斷 _· −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 x y 圖 _2-2: 函數中不可微分或導數值為0的臨界點可能有極值 極值的臨界點求法: 函數f (x)為定義在 [a, b] 的實函數, 則極值可能發生在 f′(x) = 0 的點、 不可微分的點或定義域的端點。 1. f′(x) = 0 的實根位置 (可微函數 f (x) 的臨界值):(但 f (x) 的臨界值未必會 有極值) 若 c ∈ (a, b) ,f(x) 在 x = c 可微分, 當 f′_{(c) = 0 (f (x) 的臨界值) 且當} f′(x) 在 x = c 點兩端異號則在 x = c 處才有極大值或極小值。 2. 函數 f (x) 中的不可微分的點 (尖點): 例: f (x) = |x − 2| − 2|x + 1| 在 x = −1 有極大值 f(−1) = 3 3. 函數定義域閉區間的端點:

閉區間的左端點a, f (x)在a右邊附近為遞減 (遞增), 則在a有極大值 (極小值)。

閉區間的右端點b,f (x)在b左邊附近為遞增 (遞減), 則在b有極大值 (極小值)。 註: 臨界點: 函數 f (x) 中 f′_{(x) = 0 或不可微分的點稱為臨界點, 臨界點的函數} 值稱為其臨界值。 若 f′_{(c) = f}′′_{(c) = f}(3)_{(c) = · · · = f}(n−1)_{(c) = 0, f}(n)_{(c) 6= 0 時:} 1. 若 f (c) = 0 則 x = c 為方程式 f (x) = 0 的n重根。 2. 若 n 為偶數, 則 f (x) 在 x = c 時有極值。 Ex:f (x) = x4, x = 0 有極小值。 3. 若 n 為奇數, 則 f (x) 在 x = c 時為反曲點。 Ex: f (x) = x3_{, (0, 0) 為反曲} 點。 最佳化問題: 了解題意 → 定出變數, 整理出限制條件 (定出函數 f(x)) → 極值的一 階、 _{二階判定法 → 求出函數 f(x) 的最大值或最小值 。} 例題演練 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 函數性質的判斷 _· 表 _2-2: 初等函數 _{f (x)} 圖形的一些重要性質 性質 判定法 f交y軸截距c f (0) = c f交x軸截距c f (c) = 0 函數 f的反函數 g = f−₁    f 與 g 函數圖形對稱於直線 y = x f (g(x)) = x 且 g(f (x)) = x f圖形對稱於y軸 _{f (−x) = f(x)} f圖形對稱於原點 (0, 0) _{f (−x) = −f(x)} f 在x = a 點有極限 lim x→a− f (x) = lim x→a+f (x) f 在x = a 點連續 lim x→a− f (x) = lim x→a+f (x) = f (a) f 在x = a 點可導 lim x→a f(x)−f (a) x−a = lim_h→0− f(a+h)−f (a) h = lim_h→0+ f(a+h)−f (a) h f圖形在c 有相對極大值    f′ (c) = 0 且 f′ _在 c 符號由正變負(一階導數檢定) f′ (0) = 0 且 f′′ (c) < 0 (二階導數檢定) f圖形在c 有相對極小值    f′ (c) = 0 且 f′ _在 c 符號由負變正(一階導數檢定) f′ (0) = 0 且 f′′ (c) > 0 (二階導數檢定₎ f圖形在c 有最大值 在c 為相對極大值或端點或不可微分點 ₍孤立點、 尖點₎ f圖形在c 有最小值 在c 為有相對極小值或端點或不可微分點 (孤立點、 尖點) 函數f在區間I 為遞增 區間 I 內均可微, 且f′ (x) > 0 (此為充分非必要條件) 函數f在區間I 為遞減 區間 I 內均可微, 且f′ (x) < 0 (此為充分非必要條件) f圖形在開區間 I 為凹口向上 _{∀x ∈ I, f}′′ (x) > 0 f圖形在開區間 I 為凹口向下 _{∀x ∈ I, f}′′ (x) < 0 點(c, f (c)) 是函數f圖形的反曲點    f′′_在 c 左右異號, 且一般f′′ (c) = 0或f′′ (c)不存在 f′′ (c) = 0, f(3)_{(c) 6= 0} f 圖形有x = c 的鉛直漸近線 lim x→c−f (x) = ±∞ 或 lim x→c+f (x) = ±∞ f 圖形有y = h 的水平漸近線 lim x→∞f (x) = h 或 x→−∞lim f (x) = h 若 f′ (c) = f′′ (c) = · · · = f(n−1)_{(c) = 0,} 且 f(n)_{(c) 6= 0}          若f (c) = 0則x = c 為方程式f (x) = 0的n重根 若n為偶數, 則f (x)在x = c 時有極值 若n為奇數, 則f (x)在x = c 時為反曲點

https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 函數性質的判斷 _· 例題1 討論函數 f (x) = x4 + 4x3 + 5 在哪些區間為遞增函數? x區間 ₋₃ 0 f′(x) ₋ 0 + 0 + 遞增遞減 遞減 連續點 遞增 連續點 遞增 (0, f (0) (−3, f (−3) _{Ans:[−3, ∞)} 例題2 設函數 f (x) = x3 + ax2 + ax + 2 在實數 R 上為遞增函數, 求 a 值的範圍? [Ans:0 ≤ a ≤ 3] 例題3 討論函數 f (x) = x3 _{− 6x}2 + 8 的圖形增減情形及凹口方向? [Ans: x 區間 0 2 4 f′(x) + 0 _{− − −} 0 + 遞增遞減 遞增 遞減 遞減 遞減 遞增 f′′(x) _{− − −} 0 + + + 凹向 向下 向下 向下 向上 向上 向上 f (x) 8 _{−8 −24} −2 2 4 6 8 −20 −10 10 例題4 四次函數 f (x) = ax4+bx3+cx2_{+dx+e 圖形的反曲點是 P (0, 0) 與 Q(2, −16)} 且 f′(0) = 0 , 求 f (x) [Ans:x4 _{− 4x}3] 例題5 函數 f (x) = x4+ ax3+ bx2_{+ cx + d 的圖形有兩個反曲點 P (0, 4), Q(1, −3) ,} 求 a, b, c, d 的值? [Ans:f (x) = x4 _{− 2x}3_{− 6x + 4} 例題6 有一三次函數 f (x) , 其函數圖形的反曲點在 (1, 4) , 且 x = 1 也是一個臨界值, 又 f (2) = −3, 求函數 f(x) ? [Ans:f(x) = −7x3 _{+ 21x}2 _{− 21x + 11]} 例題7 描繪三次函數 f (x) = x3 _{− 3x + 4 的圖形? [Ans:} x 區間 ₋₁ 0 1 f′(x) + 0 _{− − −} 0 + 遞增遞減 遞增 遞減 遞減 遞減 遞增 f′′(x) _{− − −} 0 + + + 凹向 向下 向下 向下 向上 向上 向上 f (x) 6 4 2 −3 −2 −1 1 2 3 −10 −5 5 10 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 函數性質的判斷 _· 例題8 求方程式 x3 + 6x2 _{+ 9x + 3 = 0 的實數解個數? [Ans:f (−1)f(−3) < 0 方程} 是有三相異實數根] −6 −4 −2 2 −5 5 10 x1 x2 x3 例題9 已知函數 f (x) 及其導函數 g(x) = f′(x) 的部分圖形: −1 1 2 f (x) f′_(x) (a) 在哪些區間 f′(x) < 0 x < 0, x > 2 (b) 在哪些區間 f′′(x) > 0 x < 1 例題10 就實數 a 的範圍, 討論方程式 x3 + 3x2 + a = 0 的實數解個數? Ans: (a) a > 0 , 只有一實根。 (b) a = 0 , 有一個二重根及另一個實根。 (c) −4 < 0 , 有三個相異實根。 (d) a = −4 , 有一個二重根及另一個實根。 (e) a < −40 , 只有一實根。 例題11 求函數 f (x) = x3+3x2_{+3x−1 的極值? [Ans:f(x) 沒有極值]} 例題12 求多項式函數 f (x) = x4 _{− 4x}3 _{− 8x}2 + 30 的極值? [Ans: f (0) = 30 極大值, f (−1) = 27, f(4) = −98 為極小值 ] 例題13 求函數 f (x) = −x3 + 12x 在區間 [−4, 3] 的最大值與最小值?

[Ans: x = 2, −4有 max = 16 ;x = −2 有 min = −16]

例題14 一正圓柱內接於底半徑為10公分, 高為20公分的直圓錐面, 求這個正圓柱的最大 體積? [Ans: V (r) = πr2_{(20 − 2r) ,max V =} 8000π 27 立方公分 例題15 坐標平面上, 求拋物線 y = 12x2 上一點 P , 使點 P 到點 Q(4, 1) 的距離為最短? P (2, 2), P Q = √5 例題16 用一塊寬3公尺, 長8公尺的白鐵版, 先在四個角截去大小相同的正方形, 然後摺起 四邊焊接起來, 形成一個無蓋的長方體蓄水箱, 試問在各角截去的正方形邊長應為 多少, 才能使水箱的容積為最大 (不計鐵片厚度), 又其最大容積為多少? [ Ans: V (x) = x(8−2x)(3−2x), 0 ≤ x ≤ 3 , 當 x = 2 時,max V (x) = 200_cm3

https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 函數性質的判斷 _· 例題17 求拋物線 y = x2上與點 P (3, 0) 距離最近點坐標及最近距離? [ Ans: P (1, 1),√5 ] 習題2-2 函數性質的判斷 1. 討論函數 f (x) = 3x4 _{− 4x}3 _{− 12x}2 + 5 的遞增與遞減的所在區間? 2. 討論函數 f (x) = x4 _{− 4x}3 _{− 2x}2+ 12x + 1 的遞增與遞減的區間? 3. 討論函數 f (x) = x + 1_{x 遞增與遞減的所在區間?} 4. 利用導數方法描繪函數 f (x) = 2x3 _{− 6x − 1 的圖形} 5. 利用函數 f (x) = x5 的圖形, 比較兩數 a = 19995 + 2007₂ 5 與 b = 20035 _的大 小關係? 6. 求函數 f (x) = x3 + 3x2 _{+ x − 7 圖形的反曲點?} 7. 若函數 f (x) = ax3 + bx2 _{+ 1 圖形的反曲點為 (−1, 2) , 求此函數? item 函數} f (x) 是可微分函數, 且函數圖形為凹口向上, 若已知 f (3.99) = 251.1, f (4) = 251 求 (a) f (x) 在區間 [3.99, 4] 的平均變化率為何? (b) f (x) 在區間 [3.99, 4] 的平均變化率與 f′(4) 值哪一個比較大? 為什麼? (c) 若 f (5) = 245, f′_{(5) = −2 試利用x = 5的切線 (線性) 估計 f(5.001) 值,} 並說明此估計值比實際值大或小? 8. 已知多項式函數 f (x) 均可微且其導函數 g(x) = f′(x) 的部分圖形如下: −1 1 2f′(x) (a) 函數 f (x) 在哪些區間為遞減函數? (b) 函數 f (x) 在哪區間的圖形為凹口向上? (c) 函數 f (x) 的臨界點 (極值點) 發生在哪一點? (d) 函數 f (x) 的最大值發生在哪一點? (e) 函數 f (x) 圖形的反曲點 x =? 9. 已知多項式函數 f (x) 在定義域 {x ∈ R| − 2 ≤ x ≤ 4} 的圖形如下: 選出 正確的選項?(1) f (0) = 10 3 (2)f (x) 的值域為 {y ∈ R| 8 3 ≤ y ≤ 26 3 } (3) 在定義域範圍下, 方程式 f (x) = 0 恰有一實根 (4) 在定義域範圍下, 方程式 f (x) = 4 有兩相異實根 (5) 函數 f (x) 為 3 次多項式函數 (6) f′_{(−1) = 0} (7) f′(2) = 0 (8) 在定義域範圍下, 函數 f (x) 有兩臨界點 (9) 點 (0,10₃ ) 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 函數性質的判斷 _· 為反曲點 (10) 在定義域範圍下, 函數 f (x) 的最小值為 0 (11) f′′_{(0) < 0} x f (x) (−1,9₂) (0,10₃ ) (2, 0) (4,26₃ ) (−2,83) 4 −2 10. 設 (x − 1)2 是多項式 x15+ ax2 + b 的因式, 求 a, b 的值? 11. 已知正數 α 為三次方程式 x3_{− x}2_{− 8x + k = 0 的二重根, 試求 a, k 及另一根?} 12. 設 k 為實數且方程式 x3 _{− 3kx}2 + 4 = 0 有三個相異實根, 求 k 的範圍? 13. 設 f (x) = x3 _{− 3x}2_{− 9x + k , 試求滿足下列條件之 k 值? (1). f(x) = 0 有三} 相異實根? (2). f (x) = 0 有一實根兩虛根? (3). f (x) = 0 有兩正根與一負根 ? 14. 設函數 f (x) = ax3+ bx2+ cx + d 的大略圖形如下, 是判別 a, b, c, d 之正負值? 15. 就實數 a 範圍, 討論直線 y = 3x + a 與函數 f (x) = x3 圖形交點的個數? 16. 求多項式方程式 x3 + 4x + 5 = 0 的實根個數? 17. 求多項式函數 f (x) = x4 + 4x3 的極值? 18. 求函數 f (x) = 3x4 _{− 4x}3 _{− 12x}2 + 5 的極大值與極小值? 19. 求函數 f (x) = x + 1_{x 的極大值與極小值?} 20. 求函數 f (x) = x3 + 3x2 _{− 9x − 10 在區間 [−4, 3] 的最大值與最小值?} 21. 函數 f (x) 的導函數 f′(x) = x2_{(x − 3) , 求函數 f(x) 的極值所在? x 為何值} 時,f (x) 圖形會有反曲點? 22. 多項式函數 f (x) = x3 + kx2 _{− 3kx + 3 沒有極值, 求實數 k 的範圍?} 23. 試證: 對任意實數 x ≥ 0 , 恆有 2x3 ≥ 3x2 − 1 24. 一農夫想順著筆直的水溝旁圍成一面積為 5000 平方公尺的長方形菜園, 因此他 將一條繩子分成三段分別當作兩個寬一個長邊 (水溝邊不圍) 圍成長方形, 求所需 的繩長 s 公尺最小值為何? 25. 一底半徑為3, 高為12的直圓錐, 求內接於此直圓錐之圓柱的最大體積?

https://sites.google.com/site/hysh4math 2.3 積分的意義 _· 26. 在一半徑為2的半圓形內, 圖中 ABCD 為內接梯形, 試求此梯形 ABCD 的最大 面積? D A B C O 27. 一半徑為2的半圓形圖中 ABCD 為內接矩形, 試求此矩形 ABCD 的最大面積? D A B C O 28. 有一拋物線 y = 9 − x2 , 如圖 求矩形 ABCD 面積的最大值? A B C D 29. 在半徑為 r, 高為 h 的直圓錐內作內接直圓柱, 若直圓柱的最大體積為 V, 其所對 應的底半徑為 R, 高為 H, 則 V =?, R =?, H =? 30. 已知一球體之半徑為 R , 求其內接直圓錐的最大體積?(直圓錐的體積等於 13× 底 面積× 高) 2.3 積分的意義 黎曼_{和 :} Pn j=1 f (x∗_j)∆x 設 f (x) 是在 [a, b] 中的每一點都連續的函數, 且在 [a, b] 中的函數值都不為負, 函數f (x)與x軸上方介於 x = a, x = b, 兩鉛直線所圍成的區域面積R。 若取 x∗ j ∈ [xj−1, xj] 任一點為參考點, ∆x = b − a_n = xj− xj−1, 其中 a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b 是區間 [a, b] 的一分割。 黎_{曼和 =} Pn j=1 f (x∗_j)∆x x y a _b y = f (x) x y a _b P (x, y) y = f (x) ∆xj

_∆x

j y = f (x∗ j)

S

j 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 2.3 積分的意義 _· 各種黎曼和: 不同方法的黎曼和有不同的收斂速度。 平面區域的面積: R = lim n→∞ n P j=1 f (x∗_j)∆x 1. 矩形法: 上矩形與下矩形面積 將區間 [a, b] 分成 n 等分, 再將區域 R 分割成 n 個條狀的區域 S1, S2, · · · , Sn , 則 b − a_n 為每一切割區域的底長, 若在該區域中的最大值 hnU , 最小值 hnL 則 Ln = n P j=1 b − a n · hkL 為區域 R 的下矩形面積 Un = n P j=1 b − a n · hkU 為區域 R 的上矩形面積 Ln ≤ 平面區域的面積 R ≤ Un (a) y = f (x) 在 [a, b] 第 j 個等份的左端點 a + j − 1_{n (b − a)} [a, b] 第 j 個等份的右端點 a + _{n(b − a)}j (b) 上矩形和與下矩形和: 若 f (x) 在 [a, b] 為遞增, 則 Ln = n P j=1 b − a n f (a + j−1n (b − a)) = b − an n P j=1 f [a + j−1_{n (b − a)]} Un = n P j=1 b − a n f (a + nj(b − a)) = b − an n P j=1 f [a + _nj_{(b − a)]} 上矩形和與下矩形和的差 : Un− Ln = b − a_{n [f (H}n) − f(h1)] = b − a_{n [f (b) − f (a)]} (c) 函數圖形下的區域面積 R: Ln ≤ 區域面積 R ≤ Un lim n→∞Ln = 區域面積 R = limn→∞Un 2. 矩形左和與右和: 參考點 f (x∗_j) 分別為區間 [x_j−1, xj] 的左端點函數值 f (xj−1) 與右端點函數值 f (xj) 左和: Pn j=1 f (x∗_j)∆x = b − a_{n [f (a) + f (x}1) + f (x2) + · · · + f(xn−1)] 右和: Pn j=1 f (x∗_j)∆x = b − a_{n [f (x}1) + f (x2) + · · · + f(xn−1) + f (b)] 3. 梯形法: f (x∗_j) 以取 hU, hL 兩者平均值所得到的黎曼和。 (以 hU, hL 為上下底的梯形面積來估計逼近曲線下的面積。)

https://sites.google.com/site/hysh4math 2.3 積分的意義 _· 0.5 1 1.5 2 2.5 2 4 6 8 10 12

left hand sum f (x) 0.5 1 1.5 2 2.5 2 4 6 8 10 12 mid sum f (x) 0.5 1 1.5 2 2.5 2 4 6 8 10 12

right hand sum f (x) 圖_2-3: 函數 f (x) = x3_{+ 1 在區間[0, 2]、n = 10不同分割的左(下)矩形、 中點、 右 (上)矩形黎曼和} 梯_形法: Pn j=1 f (x∗_j)∆x = Pn j=1 1 2[f (xj−1) + f (xj)]∆x = b − a_{n [}f (x₂0) + f (x1) + · · · + f(xn−1) + f (x_{2 )]}n 4. 中點法: f (x∗ j) 以 f ( x_j−1+ xj 2 ) 所得到的黎曼和。 (以區間 [x_j−1, xj] 的中點為參考點) 中點法: Pn j=1 f (x∗_j)∆x = Pn j=1 f (x_j−1) + f (xj) 2 ∆x = b − a_{n [f (}x0+ x1 2 ) + f (x1+ x2 2) + · · · + f(xn−12+ xn)] 5. *拋物線法:(辛浦森法) 設 n 為偶數, 以分別過每個區間 [x0, x2], [x2, x4] · · · [xn−2, xn] 的兩端點及中點 x1, x3, · · · , xn−1 之相鄰三點拋物線 pk(x) 曲線下面積 1 3 × b − an [f (x0) + 4f (x1) + f (x2)] 來估計逼近函數曲線下的面積。 *辛浦森法: n P j=1 f (x∗ j)∆x = b − a_{3n {[f (x}0) + 4f (x1) + f (x2)] + [f (x2) + 4f (x3) + f (x4)] + · · · } = b − a_{3n [f (x}0) + 4f (x1) + 2f (x2) + 4f (x3) + · · · + 2f (xn−2) + 4f (xn−1) + f (xn)] 定積分 Rb a f (x)dx = lim_n→∞ n P j=1 f (x∗_j)∆x : 若 lim n→∞ n P j=1 f (x∗_j)∆x存在, 稱 f (x) 在區間[a, b]上可積分。 則 f (x) 從 a 到 b 的定 積分是 lim n→∞ n P j=1 f (x∗_j)∆x 以符號 R_abf (x)dx 表示之。a與b分別為此積分的下限與 上限 定積分的幾何意義: 曲線下的面積值。fave = f (t) = k, t ∈ (a, b) 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 2.3 積分的意義 _· fave ≈ f (x1) + f (x2) + f (x_n 3) + · · · + f(xn) = n X j=1 f (xj) b − a ∆x = 1 b − a n P j=1 f (xj)∆x

當 n → ∞, fave = _{b − a}1 R_abf (x)dx, 故 n → ∞, A = (b−a)fave = b−a_b−aR_abf (x)dx =

Rb a f (x)dx 定積分的運算性質: 設 f (x), g(x) 都是 [a, b] 上的連續函數,k為常數, 則 1. R_ab_{kdx = k(b − a)} 2. R_ab_{[f (x) ± g(x)]dx =} R_ab_{f (x)dx ±}R_abg(x)dx 3. R_abkf (x)dx = kR_abf (x)dx 4. R_ab_{f (x)dx = −}R_baf (x)dx 5. R_aaf (x)dx = 0 定積分的分段性質: 設 f (x) 是在 [a, b] 中的連續函數, 且 a < c1 < c2 < · · · < ck < b 則 Rb a f (x)dx = Rc1 a f (x)dx + Rc2 c1 f (x)dx + · · · + Rb ck f (x)dx b à a c fHxL â x = à a b fHxL â x + à b c fHxL â x a c 圖 2-3: 定積分的分段性質 定積分的不等關係: 設 f (x), g(x) 都是在區間 [a, b] 中的連續函數, 則 1. 若 f (x) ≥ 0 則 Rabf (x)dx ≥ 0 2. 若 f (x) ≥ g(x) 則 Rabf (x)dx ≥ Rb a g(x)dx 3. 若 m ≤ f(x) ≤ M , 則 m(b − a) ≤ Rabf (x)dx ≤ M(b − a)