分析債券商品特性

第一節 分析債券商品特性

Acharya (2002)將公司債視為無風險債券(host bond)與美式選擇權的組成，因 此本文延伸 Acharya (2002)，探討為保護債權人的債券型衍生性商品可賣回債券、

可轉換債券與具有違約風險的可轉換債券等，並與 Acharya (2002)組合，考慮具 有違約可能的可轉換債券、可贖回且可轉換債券與可贖回且可賣回債券，以下將 逐一對這些公司債債做特性分析。

一、 可轉換債券：

可轉換債券給與債權人將債券轉換成股票的權力，當轉換價格(convert price)

大於繼續持有的價值時，債權人願意將債權轉換成股權。根據 Brennan and Schwartz (1980)，定義公司資產結構為

BC

22

) , , ( )

, ,

(

p v t p af p v t

p

_CB

 

_CB ， (3.1.5) 其中在時間

t

時的無風險債券價格

P

_t

 p

、資產價值

V

_t

 v

。並定義



t t



T t

CB

p v t a E bV P F

af

^









~ ( )

sup )

, ,

( _{,  }





， (3.1.6) 其中

 ^{ inf}  t ^{ 0 :} f

CB

⁽ P

t

^, V

t

^, t ^{)  (} bV

t

^ P

t

⁾

^

 ^.

。假定公司沒有普通公司債，則令



0

F

B ，使得

a  1

，

b  z

。

以下對可轉換債券特性分析我們採用 Brennan and Schwartz (1980)的假說，

討論公司負債包含普通公司債與可轉換債券，

F

_B



0，上述證明令

F

_B



0可類 推到 Acharya (2002)沒有普通公司債(straight bond)的例子。

Theorem 7.

特性(1).

p

⁽¹⁾

 p

⁽²⁾

 f

_CB

( p

⁽¹⁾

, v , t )  f

_CB

( p

⁽²⁾

, v , t )

。 特性(2). ( , , ) ( , , ) 1

) 1 ( ) 2 (

) 1 ( )

2 ( )

2 ( ) 1

(

 



 

 p p

t v p f t v p p f

p

^{CB CB} 。

特性(3). 給定

P

_t

 p

,

V

_t

 v

，存在債券臨界價格(critical bond price)

b

_CB( t

v

, )，且 )

, ( ) ,

(

v t v t

b

_CB

 

，而



(

v

,

t

)

 bv

，使得最佳執行選擇權條件等價於

p  b

_CB( t

v

, )。 特性(4)

v

⁽¹⁾

 v

⁽²⁾

 f

_CB

( p , v

⁽¹⁾

, t )  f

_CB

( p , v

⁽²⁾

, t )

。

特性(5)

( , , ) ( , , ) 1

) 2 ( ) 1 (

) 2 ( )

1 ( )

2 ( ) 1

(





 

 v v

t v p f t v p v f

v

^{CB CB} 。

證明特性(1)：

令

p 、

⁽¹⁾

p

⁽²⁾是 state 1 與 state 2 兩種情況的無風險債券在時間

t

時價值，在時 間

t

滿足

p

⁽¹⁾

 p

⁽²⁾

 r

⁽¹⁾

 r

⁽²⁾

 

⁽¹⁾

 

⁽²⁾。令



是 state 1 的最佳停止時間，

v

24

) 10 . 1 . 3 ( ) (

 a p

⁽²⁾

 p

⁽¹⁾

在(3.1.7)中，因為

r

⁽¹⁾

 r

⁽²⁾

 P

_⁽¹⁾

 P

_⁽²⁾、



_t⁽_,¹_⁾

 

_t⁽_,²⁾且根據(2.1.32)得知

V

_⁽¹⁾

 V

_⁽²⁾， 如果

P

_⁽²⁾

 bV

_⁽²⁾，則

bV

_⁽¹⁾

 bV

_⁽²⁾

 P

_⁽²⁾

 P

_⁽¹⁾，所以

P

_⁽¹⁾

 bV

_⁽¹⁾，因此得到(3.1.8)。

因為



_t⁽_,²_⁾

P

_⁽²⁾

 

_t⁽_,¹_⁾

P

_⁽¹⁾



0 所以得到(3.1.9)，再根據 Lemma 1，得到(3.1.10)。其 中

a 

0，因此

) 1 ( ) 2 ( )

2 ( )

1

( , , ) ( , , )

(

p v t f p v t p p

f

_CB



_CB

 

，

故得證。表示無風險債券價格的增(減)量大於選擇權價值的減(增)量。意味著當 無風險債券價格愈高時，則可轉換債券的價值也愈高。

證明特性(3)：

令

p

⁽²⁾

 p

₂最佳決策是不履約，我們想要證明當

p

⁽¹⁾

 p

₁時的最佳決策也是 不履約，假設

p

⁽¹⁾

 p

⁽²⁾，且

V

_t

 v

，



(

v

,

t

)

 bv

。由特性(2)移項得到

1 1

2 2 2

1 2

1

, , ) ( , , ) ( ) ( ( , ) ) ( , )

( p v t f p v t p p v t p p p v t p

f

_CB



_CB

    

^

    

，

因為

f

_CB(

p

₁,

v

,

t

)



0，所以





 ( ( , ) ) )

, ,

( p

₁

v t v t p

₁

f

_CB



。

令

b

_CB( t

v

, )是

p

的最大值，滿足(

p

,

v

,

t

)

 U

} ) ) , ( ( ) , , ( : ] , 0 [ )

, ,

{( 

^



^

  

^

 p v t R R T f p v t v t p

U

_CB



代表一個不履約的區間。(

b

_CB(

v

,

t

),

v

,

t

)

 U

，因為

U

是開區間，所以 0

) , ( ) , ( ) , ), , (

(

b v t v t  v t  b v t 

f

_{CB CB}



_CB ，因此

b

_CB(

v

,

t

)

 

(

v

,

t

)。

證明特性(4)：

令

v

⁽¹⁾、

v

⁽²⁾分別是 state 1 與 state 2 兩種狀態在時間

t

時資產價值，且假設

) 2 ( ) 1

(

v

v 

，根據(2.1.32)可知

V

_⁽¹⁾

 V

_⁽²⁾。令



是 state 1 的最佳停止時間，這兩個 state 的選擇權價值差

   



^{~ ( ) ~ ( )}



⁰

) , , ( )

, ,

( ⁽²⁾



_CB ⁽¹⁾



_t, ⁽²⁾



^ _t



_t, ⁽¹⁾



^ _t



CB

p v t af p v t a E bV P F E bV P F

af 

_{  }



_{  }

，故得證。表示當資產價值變高時，選擇權價值也會愈高。且由(3.1.5)得知在時 間

t

可轉換債券的價值可寫成

p

_CB(

p

,

v

,

t

)

 p  af

_CB(

p

,

v

,

t

)，其中無風險債券價值 與資產價值無關，因此表示當資產價值變高時，可轉換債券的價值也會愈高。

證明特性(5)：

令

v

⁽¹⁾、

v

⁽²⁾分別是 state 1 與 state 2 兩種狀態在時間

t

時資產價值，且滿足

) 2 ( ) 1

(

v

v 

，根據(2.1.32)可知

V

_⁽¹⁾

 V

_⁽²⁾。令



是 state 2 的最佳停止時間，然而我 們想要證明

f

_CB(

p

,

v

⁽¹⁾,

t

)

 f

_CB(

p

,

v

⁽²⁾,

t

)

 v

⁽¹⁾

 v

⁽²⁾，因此這兩個 state 的選擇權價值 差

) , , ( )

, ,

( p v

⁽¹⁾

t af p v

⁽²⁾

t

af

_CB



_CB



t

bV P F

t

  a E

t

bV P F

t



E

a 

^

 

^



~ ( )

)

~ ( (2)

, )

1 (

,  



  



(3.1.11)

 

^]

1 )) (

) (

~[(

) 2 (

) 2 ( , )

1 (

, t bV P t

t

bV P bV P F

E

a 

 



 ^

 

 







 _



(3.1.12)

 

^]

1 )) (

) (

~[(

) 2 (

) 2 ( , )

1 (

, t bV P t

t

bV P bV P F

E

a 

 





 

 







 _



 

^]

1 ) (

~[

) 2 (

) 2 ( ) 1 (

, bV P t

t

V V F

E b

a  

 







 _



(3.1.13)



t

V V F

t



E b

a

~ ( (1) (2))

,  

 





(3.1.14)

) (

v

⁽¹⁾

v

⁽²⁾

be

a  

^{t udu}





^



(3.1.15) )

(

v

⁽¹⁾

v

⁽²⁾

a 



(3.1.16)

26

在(3.1.11)中，因為

V

_⁽¹⁾

 V

_⁽²⁾，如果

bV

_⁽²⁾

 P

_ ，則

bV

_⁽¹⁾

 P

_ ，因此得到(3.1.12)。

在(3.1.13)中，由於

V

_⁽¹⁾

 V

_⁽²⁾

 0

，所以將1



bV⁽²⁾P



拿掉會變小，得到(3.1.14)。根

據(2.1.32)可知

V

_t

 V e

^{trsdst sds 0t sds0t sdWs}

2 0

0

~ 2

1 0





 ，將 ^



t^udu

e

提出後條件期望值內為

martingale，得到(3.1.15)。由於

v

⁽¹⁾

 v

⁽²⁾



0，又因為 ^



t^udu

 0

e

且

b  1

，得到(3.1.16)，

且由於

a  0

左右同除 a ，故得證。

若假設該公司沒有發行普通公司債，即

F

_B



0，則

a 

1，

b  z

，仍滿足 Theorem 7.的每一個特性。

二、可賣回債券：

可賣回債券給與債權人將債券賣回給發行者的權力，當賣回價格(put price) 大於繼續持有的價值時，債權人願意賣回給公司。將可賣回債券價值表示成

) , , ( )

, ,

(

p v t p f p v t

p

_Put

 

_Put ， (3.1.17) 其中在時間

t

時的無風險債券價格

P

_t

 p

、資產價值

V

_t

 v

。並定義



t Put t



T t

Put

p v t E k P F

f

^









~ ( )

sup ) , ,

( _{, }





， (3.1.18) 其中

 ^{ inf}  t ^{ 0 :} f

Put

⁽ P

t

^, V

t

^, t ^{)  (} k

Put

^ P

t

⁾

^

 ^.

，

k

_Put為賣回價格。

接著對可賣回債券所包含的選擇權做特性分析，如下：

Theorem 8.

特性(1). 當

p

⁽¹⁾

 p

⁽²⁾，

f

_Put(

p

⁽¹⁾,

v

,

t

)和

f

_Put(

p

⁽²⁾,

v

,

t

)的大小關係不定，會受到利 率期限結構影響。

特性(2). ( , , ) ( , , ) 1

28

] 1

)]

( )

(

~[[

E

t⁽_,¹⁾

k

Put

P

⁽¹⁾ t⁽_,²⁾

k

Put

P

⁽²⁾ _{k P(2)_}

F

t

Put 











    

_



] 1

]

~[[

E

t⁽_,²⁾

P

⁽²⁾ t⁽_,¹⁾

P

⁽¹⁾ _{k P(2)_}

F

t

Put 











  

_



] 1

) (

~[

E k

Put t⁽_,¹⁾ t⁽_,²⁾ _{k P(2)_}

F

t

Put 







  

_



(3.1.21)

] 1

]

~[[

} { ) 1 ( ) 1 (

, ) 2 ( ) 2 (

, t k P⁽²⁾ t

t

P P F

E

Put 











  

_



(3.1.22)



t

P

t

P F

t



E

~ ⁽_,^{2) (2) (}_,^{1) (1)}











 



(3.1.23)

) 1 ( ) 2

(

p

p 



(3.1.24)

在(3.1.19)中，因為

r

⁽¹⁾

 r

⁽²⁾

 P

_⁽¹⁾

 P

_⁽²⁾、



_t⁽_,¹_⁾

 

_t⁽_,²⁾且根據(2.1.32)得知

V

_⁽¹⁾

 V

_⁽²⁾， 如果

P

_⁽²⁾

 k

_Put，則

k

_Put

 P

_⁽²⁾

 P

_⁽¹⁾，所以

P

_⁽¹⁾

 k

_Put，因此得到(3.1.20)。在(3.1.21) 中，



_t⁽_,¹_⁾

 

_t⁽_,²_⁾，因此~[ ( ) 1 ] 0

} { ) 2 (

, ) 1 (

,

 

_ ⁽²⁾ _t



P t k

t

Put

F

k E

Put 









，得到(3.1.22)。因為

) 0

1 ( ) 1 (

, ) 2 ( ) 2 (

,_{ }

 

_{ }





_t

P

_t

P

所以得到(3.1.23)，再根據 Lemma 1，得證(3.1.24)。

證明特性(3)：

根據(2.1.18)，可知

f

_Put(

p

,

v

,

t

)與資產無關，因此資產的變化不影響選擇權價 值。

三、可賣回且可轉換債券：

可賣回且可轉換債券給與債權人將債券賣回給發行公司與轉換成股票的權 力，當賣回價值大，則賣回給發行公司；轉換價值大，則轉換成股票；若繼續持 有價值大，則繼續持有。因此，在未發行普通公司債

F

_B



0的假設下，可賣回 且可轉換債券的價值表示為

) , , ( )

, ,

(

p v t p f p v t

p

_PutCB

 

_PutCB ， (3.1.25)

其中在時間

t

時的無風險債券價格

P

_t

 p

、資產價值

V

_t

 v

。並定義



t Put t



T t

PutCB

p v t E k zV P F

f

^





 



~ ( )

sup ) , ,

( _{,  }





(3.1.26) 其中

 ^{ inf}  t ^{ 0 :} f

PutCB

⁽ P

t

^, V

t

^, t ^{)  (} k

Put

^ zV

t

^ P

t

⁾

^

 ^.

。

由(3.1.25)知道可以將可賣回且可轉換債券寫成一個無風險債券與一個美式 選擇權的組合，滿足下列特性：

Theorem 9.

特性(1). 當

p

⁽¹⁾

 p

⁽²⁾，

f

_PutCB

( p

⁽¹⁾

, v , t )

和

f

_PutCB

( p

⁽²⁾

, v , t )

的大小關係不定。

特性(2).

( , , ) ( , , ) 1

) 2 ( ) 1 (

) 2 ( )

1 ( )

2 ( ) 1

(

 



 

 p p

t v p f t v p p f

p

^{PutCB PutCB} 。

特性(3).

v

⁽¹⁾

 v

⁽²⁾

 f

_PutCB(

p

,

v

⁽¹⁾,

t

)

 f

_PutCB(

p

,

v

⁽²⁾,

t

)。 特性(4).

^{( , , ) ( , , )} ₁

) 2 ( ) 1 (

) 2 ( )

1 ( )

2 ( ) 1

(





 

 v v

t v p f

t v p v f

v

^{PutCB PutCB} 。

特性(5).

f

_Put(

p

,

v

,

t

)

 f

_CB(

p

,

v

,

t

)

 f

_PutCB(

p

,

v

,

t

)

 f

_Put(

p

,

v

,

t

)

 f

_CB(

p

,

v

,

t

)。

證明特性(1)：

根據 Theorem 8.特性(1)，我們無法說明無風險債券(host bond)價格改變對

)

, , ( p v t

f

_Put 的影響，也因此無法利用此方法說明無風險債券對可賣回且可轉換債 券影響的特性。

證明特性(2)：

我們想要證明

f

_PutCB

( p

⁽¹⁾

, v , t )  f

_PutCB

( p

⁽²⁾

, v , t )  p

⁽²⁾

 p

⁽¹⁾，首先令集合

 k zV

⁽¹⁾

zV

⁽²⁾



A 

_Put

 

、

B   zV

⁽¹⁾

 k

_Put

 zV

⁽²⁾



、

C   zV

_⁽¹⁾

 zV

_⁽²⁾

 k

Put



，而

) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1

(

r P



P



r   

、



_t⁽_,¹_⁾

 

_t⁽_,²⁾且根據(2.1.32)得知

V

_⁽¹⁾

 V

_⁽²⁾，令



是 state 2 的最佳停止時間，

30

 

32

將(3.1.30)分三個 case 討論，(3.1.30)表示如下：

Case1: 在

A   k

_Put

 zV

⁽¹⁾

 zV

⁽²⁾



中。

綜合上述三個 case，可將(3.1.30)寫成

接著再將上述的公司債與 Acharya (2002)做組合，分析具有違約風險的可轉 換債券、可贖回且可轉換債券與可贖回且可賣回債券。

四、具有違約風險的可轉換債券：

具有違約風險的可轉換債券，包含兩個選擇權。當資產夠小，則該公司債會 違約；當資產夠大，則該公司債會被債權人轉換成股票。在這裡討論公司不發行

34

普通公司債(straight bond)，

F

_B

 0

。而具有違約風險的可轉換債券在時間

t

時價 值可以寫成一個無風險債券與一個金融商品(derivative)的組合如下：

) , , ( )

, ,

(

p v t p f p v t

p

_DCB

 

_DCB ， (3.1.31) 其中令金融商品為

f

_DCB(

p

,

v

,

t

)，這裡稱之為「DCBoption」。若具有違約風險的 可轉換債券違約，由(2.1.18)知

P

_T

 V

_T，則

zV

_T

 P

_T，由(3.1.6)知該債券不可能會

轉換成股票；若具有違約風險的可轉換債券轉換成股票即

zV

_T

 P

_T，則

P

_T

 V

_T該 債券不可能會違約，因此具有違約風險的可轉換債券所包含的這兩個選擇權彼此 互斥，所以定義 DCBoption 在時間

t

時價值為這兩個選擇權的組合

) , , ( ) , , ( ) , ,

(

p v t f p v t f p v t

f

_DCB



_D



_CB ， (3.1.32) 所以具有違約風險的可轉換債券在時間

t

時價值能夠像 Acharya 一樣可以寫成一 個無風險債券與 DCBoption 的組合，接著要討論具有違約風險的可轉換債券是 否有如同 Acharya 的性質。

Theorem 10.

特性(1).

p

⁽¹⁾

 p

⁽²⁾

 f

_DCB

( p

⁽¹⁾

, v , t )  f

_DCB

( p

⁽²⁾

, v , t )

。 特性(2).

r p p r

p p

r DCB DCB

r



 

 









^{ }

) 1 ( ) 2 (

0 )

1 ( ) 2 (

0

lim

lim 。

特性(3). 給定

P

_t

 p

,

V

_t

 v

，存在債券價格區間(critical bond price region)，

 ^{p R p b v t p b v t t v} 

t v

B

~( , )

 

^:



_D( , ),



_CB( , ),



, ，使得最佳執行 DCBoption 等價於 )

,

~(

t v B

p 

。

特性(4).

v

⁽¹⁾

 v

⁽²⁾

 f

_DCB(

p

,

v

⁽¹⁾,

t

)

 f

_DCB(

p

,

v

⁽²⁾,

t

) 特性(5). 0 lim 2

) 1 ( ) 2 (

0





 





v

p p

_{DCB DCB}

v

證明特性(1)： 因此由(3.1.33)與(3.1.34)得到

)

根據(3.1.35)與(3.1.36)，因此兩個 state 的 DCBoption 價值差

)

在文檔中 隨機利率模型下內生違約條件公司債之評價 (頁 28-43)