隨機利率模型下內生違約條件公司債之評價

(1)

國立交通大學

財務金融研究所

碩士論文

隨機利率模型下內生違約條件公司債之評價

Corporate Bond Valuation with Stochastic Interest

Rates and Endogenous Bankruptcy

研究生：洪敏誠

指導教授：戴天時博士

李漢星博士

(2)

隨機利率模型下內生違約條件公司債之評價

Corporate Bond Valuation with Stochastic Interest Rates

and Endogenous Bankruptcy

研究生：洪敏誠

Student：Min-Cheng Hong

指導教授：戴天時博士

Advisor：Dr. Tian-Shyr Dai

李漢星博士 Dr. Han-Hsing Lee

國立交通大學

財務金融研究所

碩士論文

A Thesis Submitted to Graduate Institute of Finance

National Chiao Tung University

in partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of

Master of Science in

Finance

June 2010

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

中華民國九十九年六月

(3)

隨機利率模型下內生違約條件公司債之評價

Corporate Bond Valuation with Stochastic Interest

Rates and Endogenous Bankruptcy

學生：洪敏誠

指導教授：戴天時博士

李漢星博士

國立交通大學財務金融研究所

中華民國九十九年六月

摘要

Acharya (2002)在內生決定最佳違約時間及贖回時間，分別分析具有違約風險的債券(defaultable bond)、可贖回債券(callable bond)等的價格與市場其他參數 (如公司資產價格與利率)的關係，本文將延伸 Acharya (2002)所未分析到對債權人有保護作用的可賣回債券(putable bond)與可轉換債券(convertible bond)等公司債，再與 Acharya (2002)提出的公司債做組合討論具有違約風險的可轉換債券 (defaultable -convertible bond)等，本文將這些公司債視為無風險債券(host bond) 與美式選擇權的組成，並以數學推導證明公司債的特性，再以陳博孙 (2009) 所提出的三維度立體樹狀結構評價模型 DFPM-WHT 數值評價方法為基礎，驗證各 種公司債的性質，進而討論對債權人保護的問題。

關鍵字：信用風險、隨機利率、結構式模型、內生違約門檻、公司債、債權人保護。

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II

Corporate Bond Valuation with Stochastic Interest

Rates and Endogenous Bankruptcy

Student：Min-Cheng Hong

Advisor：Dr. Tian-Shyr Dai

Dr. Han-Hsing Lee

Graduate Institute of Finance

National Chiao Tung University

June 2010

ABSTRACT

Acharya (2002) analyzes the evaluation of corporate bond with defaultable and callable features when interest rates and firm value are stochastic. This thesis analyzes the sensitivity characteristics of putable bond and convertible bonds. By combining the results of Acharya (2002), we can analyze the corporate bond with multiple features, says callable-convertible bond. We also use a numerical method DFPM–WHT, to verify the analytical properties of corporate bonds proved in this thesis. Besides, we find that the payment rule greatly influence the right of bond holders, and use our numerical model to analyze the bondholder protection problem.

KEYWORDS:Credit Risk, Stochastic Interest Rate, Structure Model, Endogenous

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誌謝

非常感謝戴天時老師，感謝戴老師帶著我們這個部隊一群人一起往前跑，當我遇到瓶頸慢慢的脫隊時，戴老師總是會回過頭來鼓勵我，讓我重拾信心繼續往前跑，當我再次遇到瓶頸脫隊時，戴老師又回過頭來鼓勵我，戴老師從不責備有耐心的指導我，讓我順利的完成碩士論文。感謝李漢星老師在我們碩一剛進交大的時候，讓我們對交大財金感到親切，不畏懼這陌生的環境。感謝王釧茹學姐耐心的幫我解決問題，為我提供了許多研究上的建議，讓我的論文更豐富。感謝陳博孙學長讓我的論文起步非常的順利。還要感謝戴老師各位優秀的弟子，劉亮志、潘政宏、吳偲維、陳雅雯、劉彥君、蘇柏屹、劉育廷、柯婷瑱、陳竑廷、楊凱旭，陪伴我一起討論問題、一起 meeting、一起吃飯、共患難、共享樂，謝謝大家的陪伴，讓我在寫論文的過程中不孤單。再來要感謝我的家人，感謝我的父母支持我來交大讀研究所，感謝姊姊送我人生的第一套西裝讓我有信心的來參加口詴，感謝弟弟六日陪我打電動舒壓。最後還要感謝東吳大學的張老師、洪老師、林老師與陳老師幫我奠定良好的財工基礎，讓我能夠站在交大的舞台上不落人後。洪敏誠謹誌國立交通大學財務金融研究所中華民國九十九年六月

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圖目錄

『圖 1.1』研究架構……….…..2 『圖 2.1』非線性誤差 ……….…..17 『圖 2.2』 BTT 示意圖 ………..….18 『圖 2.3』資產跳躍節點無法重合……….19 『圖 2.4』 BTT 解決資產跳躍示意圖………19 『圖 3.1』 DCB 最佳執行區間………36 『圖 3.2』 CCB 最佳執行時間集合………39 『圖 3.3』 CCB 在 state1 與 state2 的最佳執行時間集合……….…40 『圖 3.4』 Hull-White 利率模型機率設定 ………47 『圖 3.5』建構 Hull-White 利率模型……….…48 『圖 3.6』建構Yt三元樹示意圖 ………48 『圖 3.7』無風險零息債券價格……….…49 『圖 3.8』建構Xt三元樹示意圖………....50 『圖 3.9』立體結構模型示意圖……….…51 『圖 3.10』建構變賣資產模型………..…... 52 『圖 3.11』建構不變賣資產模型……….…53

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VI

表目錄

『表 4.1』市場上的零息利率………55

『表 4.2』外生違約門檻評價結果並與 Bryis and Varenne(1997)比較 ………56

『表 4.3』 與敏感度分析………56 『表 4.4』內生違約門檻評價結果………57 『表 4.5』 D、C 與 CD 對無風險債券價格的敏感度分析 ………58 『表 4.6』 D、C 與 CD 對資產價值的敏感度分析 ………58 『表 4.7』 CB 對無風險債券價格的敏感度分析 ………59 『表 4.8』 CB 對資產價值的敏感度分析 ………60 『表 4.9』 Put 對不同利率期限結構的敏感度分析 ………60 『表 4.10』 PutCB 對無風險債券價格的敏感度分析………61 『表 4.11』 PutCB 對資產價值的敏感度分析………62 『表 4.12』 DCB 對無風險債券價格的敏感度分析 ………62 『表 4.13』 DCB 對資產價值的敏感度分析 ………63 『表 4.14』 CCB 對無風險債券價格的敏感度分析 ………63 『表 4.15』 CCB 對資產價值的敏感度分析 ………64 『表 4.16』 CPut 對無風險債券價格的敏感度分析 ………64 『表 4.17』資產變賣分析………65 『表 4.18』違約門檻設置分析………66 『表 4.19』轉換比率q敏感度分析………66 『表 4.20』賣回價格kPut敏感度分………67

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第一章

緒論

第一節研究動機與背景

公司債是公司為了募集資金所發行的債券，而公司是否能如期的償還債務對債權人權利影響重大，此外債權人希望公司債能夠有一些對債權人自己有利的條款，但是公司也會希望公司債具有對公司本身有利的條款，例如：可贖回債券 (callable bond)賦與公司在將債券贖回的權力，可轉換債券(convertible bond)賦與債權人將債權轉換成股權的權力，可賣回債券(putable bond)賦與債權人在市場利率走低時將債券賣回給公司的權力等。

在 Acharya (2002)文章中只分析具有違約風險的債券(defaultable bond)、可贖回債券與具有違約風險的可贖回債券(callable-defaultable bond)的性質影響，並未討論到對債權人保護重要的公司債，如：可轉換債券、可賣回債券等的性質影響，這對於債權人保護是一個相當重要的課題。 第二節研究目的 Acharya (2002)提出評價公司債以內生條件決定違約與贖回時間，Acharya (2002)將這些公司債視為無風險債券(host bond)與美式選擇權的組成，本文將延伸 Acharya 所未提到對債權人有保護作用的可賣回債券(putable bond)與可轉換債券(convertible bond)等六種公司債，以數學推導證明公司債的重要特性，再以陳博孙 (2009) 所提出加入 Hull and White (1990)隨機利率模型，解決樹狀結構總是存在的非線性誤差問題的三維度立體樹狀結構評價模型 DFPM-WHT 數值評價方法為基礎，驗證各種公司債的性質，並討論對債權人保護的問題。

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2 第三節研究架構

本論文架構以各種性質的公司債為主軸，以數學模型推導與討論 Acharya (2002)文章中具有違約風險的債券、可贖回債券、具有違約風險的可贖回債券的性質影響，並延伸出可轉換債券、可賣回債券、可賣回且可轉換債券(putable -convertible bond) ，再與 Acharya (2002)組合成具有違約風險的可轉換債券 (defaultable -convertible bond)、可贖回且可轉換債券(callable-convertible bond)、可贖回且可賣回債券(callable- putable bond) ，最後再以 DFPM-WHT 數值評價方法，驗證各種公司債的性質對公司債價格的影響，進而討論對債權人保護的問題。『圖 1.1』研究架構具違約風險的債券 (defaultable bond) 可贖回債券 (callable bond) 具有違約風險的可贖回債券 (callable-defaultable bond) 可轉換債券 (convertible bond) 可賣回債券 (putable bond) 可賣回且可轉換債券 (putable-convertible bond) 違約風險的可轉換債券 (defaultable-convertible bond) 可贖回且可賣回債券 (callable- putable bond)

可贖回且可轉換債券 (callable-convertible bond)

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第二章文獻回顧

信用風險評價模型大致可分為結構式模型(structural form model)與縮減式模型(reduced form model)。結構式模型假定公司資產服從一隨機過程，透過這個隨機過程能夠清楚地呈現在不同時間公司資產的狀況；反之縮減式模型則未模擬公司資產，是直接假定破產的隨機過程。本論文為了明確展現市場真實狀況，以結構式模型為基礎，透過數值樹狀結構模型更能合理的描述現實世界。

本論文中，第一節整理出結構式評價模型的發展演進及違約門檻(default boundary)的設定。第二節介紹離散式評價模型的展演。第三節介紹 Dai and Lyuu (2010) Bino-Trinomial Tree。

第一節結構式評價模型

結構式評價模型其各自的違約門檻設定並不相同，又可分為外生違約門檻 (Exogenous default boundaries)與內生違約門檻(Endogenous default boundaries)。

一、外生違約門檻(Exogenous default boundaries)

1. Merton (1974)： Merton 模型是結構式模型的基礎，Merton 假設公司資產的隨機過程為 t t t W d rdt V dV _ __ ~ ， (2.1.1) 其中為資產價值的波動率、利率

r

為常數、

W

~

為布朗運動。並假設公司資產是由股東權益價值(equity)與負債(debt)所組成。其中，負債為一零息債券，到期日為T，陎額為F。將股東權益價值視為一歐式買權，其中，標的資產為公司資產，

(12)

4

益價值，進而求出零息債券的價值。但是，Merton 模型只考慮負債在到期日時是否發生違約，而忽略了公司在到期日前就發生違約的情況。此缺點在 Black and Cox(1976)提出的首次通過模型(First passage models)獲得解決。

2. Black and Cox (1976)：

解決 Merton 未考慮公司在到期日前就發生違約的情況。Black and Cox 將違約條件設定成，當在到期日時，公司資產不足以償還債券陎額而發生違約；到期日前，公司資產低於債券陎額的現值而發生違約。定義違約門檻為er(Tt)F。但是，利率是常數的假設無法真正地描述市場利率期限結構，後續學者紛紛提出修正。

3. Kim, Ramaswamy and Sundaresan (1993)：

引用 Cox, Ingersoll, and Ross (1985) 隨機利率模型，如下：

t t t t a b r dt rdZ dr  (  )  ~ ， (2.1.2) 其中 a 為均數復迴歸率、b 為長期利率帄均、為利率的波動度，Z~為布朗運動。而資產價值隨機過程為 t t t t _r _dt _d_W V dV ~ ) (    ， (2.1.3) 其中為資產價值的波動率、



為支付比率，

W

~

為布朗運動且d W Z tdt t  ~ , ~ 。此模型違約情況發生在到期日無法償還債權人本金F與到期日前支出金額無法償還債權人債息(V_t c)。違約門檻設定如下        T t if F T t if c t v , , ) ( ~ _ _{， (2.1.4)} 其中c為債息。

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4. Longstaff and Schwartz (1995)：假設資產價值與短期利率彼此之間不獨立，其短期利率是以 Vasicek (1977) 利率期限結構表示 t t t a b r dt dZ dr  (  )  ~ ， (2.1.5) 其中 a 為均數復迴歸率、b 為長期利率帄均、為利率的波動度，Z~為布朗運動。資產價值隨機過程為 t t t t W d dt r V dV _ __ ~ ， (2.1.6) 其中為資產價值的波動率，

W

~

為布朗運動且d W Z tdt t  ~ , ~ 。此模型違約門檻設定為一常數K，違約情況發生在資產太低，低於門檻 (V_t  K)時發生違約。但是文獻設定有不合理之處，外生門檻的常數假設使企業無法做出最佳繼續營運或倒閉的決策。而文獻所假定的利率模型為 Vasicek (1977) 是一個均衡模型 (Equilibrium Models)，是由均衡市場下的利率模型，無法描述市場上真實利率期限結構，後續 Briys and Varenne (1997)提出了改進方法。

5. Briys and Varenne (1997)：

利率期限結構以 Hull and White (1990)模型來描述利率的變動，其隨機過程為 t t t t t t a b r dt dZ dr  (  )  ~ ， (2.1.7) 其中a為均數復迴歸率、b 為長期利率帄均、為利率的波動度、Z~為布朗運動。違約門檻V~_t  FB(t,T)， 指對債權人保護的程度，0 1， 小公司不易破產，當公司資產觸碰到門檻破產時，公司資產已經所剩無幾；反之 大公司易破產，當公司資產不夠大時，公司宣告破產時仍有足夠的資金償還有優先求償權的債權人。因此 愈大對債權人保護程度愈大。B( Tt, )指在時間T 的 1 元在時間t的

(14)

6 價值，即單位零息債券價值。F為債券陎額。償還公司債可分成下列三種情況：第一，在到期日前公司資產低於違約門檻，則發生違約，而債券價值為公司資產乘上到期日前公司發生違約的回收率

f

₁， ) , ( 1 1 V f FB T f  _    。第二，在到期日公司資產不足以償還本金，則發生違約，債券價值為公司資產乘上到期日時公司發生違約的回收率

f

₂，

f

₂



V

_T。第三，債券沒有違約，債券在到期日時的價值為陎額F。並定義違約時間為



t t



T t V V ~ : 0 inf 0       。綜合上述假定，有違約風險的零息債券在T的價值為  T T  TV F  TV F T f F f V _T F _T D  1 1_  2 1_ , _  1_ , _ ， (2.1.8) 所以，有違約風險的零息債券的現值可寫成   ( ) 1  1 }] 1 { [ ₁ ₂ _, _, 0 0 F V T F V T T ds r T T s F T V f F f e E D T                 _ _ _ ，(2.1.9) 因此，透過上述求得有違約風險的息債券價值的現值的封閉解為 ) ) ( ) ( ( ) 1 ( ) , ( ) 1 , ( 1 [ ) , 0 ( 0 4 3 0 1 0 0 0 0 0 q d N d N l f q l q B l B T LB D    _E  _E      )] ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) 1 ( 0 6 4 1 3 0 2 q d N d N d N d N l f      ， (2.1.10) 其中 ) ( ) ( 2 / ) ( ln 2 0 1 d T T T l d        ， ( ) ) ( 2 / ) ( ln 4 0 3 d T T T q d        ) ( ) ( 2 / ) ( ) / ln( 6 0 2 0 5 d T T T l q d        ， T 



T  _B t T   dt 0 2 2 2 ] ) 1 ( )) , ( [( ) (     ) , 0 ( ) 0 ( 0 T FB V l  ， ) , 0 ( ) 0 ( 0 T FB V q   ，BE(l0,1)l0N(d1)N(d2) ) ( ) ( ) , ( 6 0 0 5 0 0 0 0 N d q l d N q q l q BE     ，  







T t u t B(t,T) (t) exp( a(s)ds)du  ， ) ( N 為標準常態累積分配函數。

(15)

二、內生違約門檻(Endogenous default boundaries) 1. Leland(1994)： Leland（1994）導出的永續債券的封閉解，假設公司資產價值V 隨機過程為 t t t t W d dt r V dV _ __ ~ ， (2.1.11) 公司宣告破產時資產的價值為

V

_B，模型中考慮破產成本



V

_B，以及公司營業所得稅率



，債息C，導出公司債的價值函數 ( ) [(1 ) ]( ) 2r/2 B B V V r C V r C V D      ，破產成本的價值函數 2 / 2 ) ( ) (  r  B B V V V V B   ，稅盾的價值函數為 ] ) ( 1 [ ) (  2r/2 B V V r C V T    ，公司總資產的價值函數W(T)V T(V)B(V)為無負債公司的價值加上稅盾的價值減去破產成本，股東權益的價值函數 ) ( ) ( ) (V W V DV E   為總資產價值減去公司債的價值。 2. Acharya (2002)：假設投資人可以在市場完備(complete)且無套利(arbitrage-free)的金融市場 (financial market)中連續地交易(trade continuously)。Acharya 將利率表示為一非負 (nonnegative)的隨機過程 t t t t r t dt r t dZ dr ( , ) ( , ) ~ ， (2.1.12) 其中與為連續且滿足 Lipschitz 與 linear growth condition

, ) , ( ) , ( ) , ( ) , (x t  y t  x t  y t Lxy  (2.1.13) ) 1 ( ) , ( ) , (x t  x t L  x  ， (2.1.14) 其中L為常數，對任意x,y,tR皆成立。假設公司只發行一張債券，陎額 1 元，這張債券到期日為T且以一固定票陎

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8

果(tax benefit)、也沒有破產成本(bankruptcy cost)，因此假設公司價值(firm value) 等於公司資產(Firm asset)，其隨機過程為 t t t t t t _r _dt _d_W V dV ~ ) (    ， (2.1.15) 其中W~_t在P~機率測度下服從布朗運動、支付比率(payout ratio)_t 0、波動度 0  t  、d W Z tdt t  ~ , ~ ，而支付比率是變賣資產的比率，變賣資產所得到的這些現金流用來支付債息，若變賣資產所得到的這些現金流不足以支付債息，企業將陎臨一項重大決策問題，當股東決策不願削弱自己的股權做增資，將使企業無法償債而被迫違約；反之股東決策做增資清償債息使企業繼續經營。由此可知決策者在於股東，對債權人較為不利。

Acharya (2002)研究了三種公司債，可贖回債券(callable bond)、具有違約風險的債券(defaultable bond)與具有違約風險的可贖回債券(callable-defaultable bond)，此三種公司債都有共通的性質就是企業是否違約與債券是否要贖回的決策都是以股東的角度做決策。Acharya 將此三種公司債的價值表示成一個無風險債券(host bond)的價值減去一個選擇權(option)的價值，其執行價格(exercise price) 分別為贖回價格(call price)、公司價值、贖回價格和公司資產中較小者。這個選擇權是一個具有美式性質選擇權(American option)，將存在一個最佳的執行策略 (exercise policy)，使得選擇權價值(option value)極大。

定義折現因子(discount factor)為       , t rds t s e ， (2.1.16) 無風險債券價格(host bond price)為

    _ _ 



s T t ts tT t E c ds F P ~ _, 1 _, ， (2.1.17) 為未來連續債息(continuous coupon)與單位本金(face value)的現值， c 為債息率 (coupon rate)。

(17)

在時間點t時無風險債券價格為p，公司資產為 v ，則定義選擇權價值為



t t



T t F V P E t v p f      sup ~ ( ( , )) ) , , ( _,_ _  _   ， (2.1.18) 其中E~



 為風險中立機率測度P~下的期望值，執行價格為 v k or v k t v, ) _t, , _t  (  ， (2.1.19) 分別是贖回價格k 、公司資產價值_t v、贖回價格和公司資產小者k_t v，執行價格視不同公司債而定。且定義 f :RR[0,T]R是一個連續的函數，滿足   ( ( , )) ) , , (p v t p v t f  ， (2.1.20) 此外，該美式選擇權若最佳執行條件成立則會執行，所以最佳執行時間(optimal stopping time)定義為



0: ( , , ) ( ( , ))



. inf      t f P_t V_t t P_t  V_t t  ， (2.1.21) 因此，將上述三種公司債價格表示成 ), , , ( ) , , (p vt p f pvt pX   X _(2.1.22) 其中當X為 C 則表示可贖回債券，當X為D則表示具有違約風險的債券，當X 為 CD 則表示具有違約風險的可贖回債券。 Acharya (2002)用下列定理描述上述公司債的性質，並假定有兩個狀態，state 1 與 state 2，分別用上標(1)和(2)表示，其中 state 1 的初始利率較 state 2 的初始利低，即 (2) 0 ) 1 ( 0 r r  。 Acharya (2002)重要證明結果簡述如下： Lemma 1. r₀(1) r₀(2) E~



₀(_,2_t)P_t(2) ₀(1_,_t)P_t(1)



 p(2) p(1) 證明：令 (1) (1) 0 p P  ，即 state 1 中在時間t 0時的無風險債券價值為p ，令(1) ) 2 ( ) 2 ( 0 p P  ，即 state 2 中在時間t0時的無風險債券價值為 (2) p 。

(18)

10 定義新隨機變數 T t F ds c E P_t T _s _T _t t  



1 ,0  ~ 0 0, 0, * , 0    ， (2.1.23) 且無風險債券在時間t價值P 的現值為 _t     _ _ 

_

T _t t s T t tP E c 0, ds 0, F , 0 1 ~ _ _  ， (2.1.24) 以上兩式差了從時間0到時間t連續債息的現值，因此得到以下關係式



  _t _t t _s t tP 0, P c ₀ 0, ds * , 0    。 (2.1.25) 將上式移項，左右兩式同時減去P 並且同時取風險中立機率測度之下的期望值 ₀ 0 0 0, * , 0 0 , 0 P P P c ds P t s t t t t   



   (2.1.26) 將(2.1.26)左右同時取期望值，再根據(2.1.17)得到 ] [ ~ ] [ ~ 0 0, 0 , 0  



t s t tP P E c ds E   ， (2.1.27) 由於 (2) , 0 ) 1 ( , 0 ) 2 ( 0 ) 1 ( 0 r t t r    ，因此 ] [ ~ ] [ ~ 0 ) 2 ( , 0 0 ) 1 ( , 0



 t s t sds E c ds c E   ， (2.1.28) 所以由(2.1.27)得知 ] [ ~ ] [ ~ (2) (2) , 0 ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( , 0 ) 1 ( t t t tP p E P E p      ， (2.1.29) 將上式移項得到



(1) (1)



(2) (1) , 0 ) 2 ( ) 2 ( , 0 ~ p p P P E _t _t  _t _t   ， (2.1.30) 故得證。這三種公司債所包含的選擇權滿足以下幾個定理： Theorem 1. p(1)  p(2) f(p(1),v,t) f(p(2),v,t)。證明：

(19)

令 (1) p 、p(2)分別是 state 1 與 state 2 兩種狀態的無風險債券在時間t時價值，在時間t滿足p(1) p(2)，且利率 (1) (2) r r  。令



是 state 2 的最佳停止時間，V_t v，這兩個 state 的選擇權價值差為 ) , , ( ) , , (p(1) v t f p(2) v t f 



( ( , ))

 

~ ( ( , ))



0 ~ (2) (2) (2) , ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ,        t t t t P V F E P V F E _ _  _   _ _  _  (2.1.31) (2.1.31)因為r(1) r(2)_t(_,1_) _t(_,_2)且 (1) (2)   P P  ，並由(2.1.15)解微分方程可得         t s s t s t s t sds ds ds dW r t V e V 0 0 2 0 0 ~ 2 1 0    ， (2.1.32) 且由於 (1) (2) (1) (2)   V V r r    意味著(V_(1),)(V_(2),)。 Theorem 2. ( , ,₍₂)₎ (₍₁₎ , , ) 1 ) 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 (      p p t v p f t v p f p p 。證明：令在時間t時 state 1 與 state 2 的無風險債券價格p(1)  p(2)，且利率 (1) (2) r r  ，然而我們想要證明 (2) (1) (2) (1) ) , , ( ) , , (p v t f p v t p p f    。令



是 state 1 的最佳停止時間，V_t v，則 ) , , ( ) , , (p(2) v t f p(1) v t f 



t Pt Vt Ft

 

E t P V Ft



E       ~ ( ( , )) ~ ( ( , )) (_,2_) (2)  (2)  (_,1_) _(1)  _(1)  (2.1.33) ] 1 ))] , ( ( )) , ( ( [[ ~ )} , ( { ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( , ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( , (1) (1) _t V P t t P V P V F E _ _ _ _ _ _ _ _         _  _ _ _ _  (2.1.34) ] 1 ))] , ( ( )) , ( ( [[ ~ )} , ( { ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( , ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( , (1) (1) _t V P t t P V P V F E _ _ _ _ _ _ _ _             _  ] 1 ] [[ ~ )} , ( { ) 1 ( ) 1 ( , ) 2 ( ) 2 ( , (1) (1) _t V P t t P P F E _ _ _ _ _ _       _ 

(20)

12 ] 1 )] , ( ) , ( [[ ~ (_,1) (1) (_,2) (2) _{ (1) ₍ (1)_, _)} _t V P t t V V F E _ _ _ _ _ _           _  (2.1.35) ] 1 ] [[ ~ (_,2) (2) (_,1) (1) _{ (1) ₍ (1)_, _)} _t V P t t P P F E _ _ _ _ _ _       _  (2.1.36)



t P t P Ft



E~ (_,2) (2) (_,1) (1)   _ _  _ _ (2.1.37) ) 1 ( ) 2 (  p p (2.1.38) 在(2.1.33)中，因為 (1) (2) (1) (2)   P P r r    、 (2) , ) 1 ( ,   _t  _t 且根據(2.1.32)得知 (1) (2)   V V  意味著(V_(1),)(V_(2),)，如果P_(1)(V_(1),)，則 ) , ( ) , ( (1) (2) ) 1 ( ) 2 (         P V V P    ，所以P_(2)(V_(2),)，因此得到(2.1.34)。在 (2.1.35)中，由於(v,t)k_t,v ,ork_t v，且根據(2.1.16)、(2.1.32)，所以 ) , ( ) , ( (1) (_,2) (2) ) 1 ( ,      _t_ V_  _t_ V_ ，因此 0 ] 1 )] , ( ) , ( [[ ~ )} , ( { ) 2 ( ) 2 ( , ) 1 ( ) 1 ( ,   (1)_ (1) _t  V P t t V V F E _ _ _ _ _ _         ，得到(2.1.36)。因為 0 ) 1 ( ) 1 ( , ) 2 ( ) 2 ( ,      _t P _t P 所以得到(2.1.37)，再根據 Lemma 1，得證(2.1.38)。

Theorem 3. 給定P_t  p ,V_t v，存在債券臨界價格(critical bond price)，

)

,

(

)

,

(

v

t

v

t

b

_X





，使得最佳執行選擇權條件等價於

p



b

_X

( t

v

,

)

，X D,C,CD。證明：令 (1) ₁ p p  最佳決策是不履約，我們想要證明當 (2) ₂ p p  時的最佳決策也是不履約。根據 Theorem 2.移項得到 ) , ( )) , ( ( ) , , ( ) , , (p₂ v t f p₁ v t p₂ p₁ p₁ v t p₂ p₁ p₂ v t f          因為

f

(

p

₂

,

v

,

t

)



0

，所以   ( ( , )) ) , , (p₂ vt p₂ v t f 

(21)

令集合 } )) , ( ( ) , , ( : ] , 0 [ ) , , {(        p v t R R T f p v t p v t U  _(2.1.39) 代表選擇權不立刻執行的區間。令

b

_X

( t

v

,

)

是p的最大值，使得

(

b

_X

(

v

,

t

),

v

,

t

)



U

，因為U是開區間，所以

f

(

b

_X

(

v

,

t

),

v

,

t

)



b

_X

(

v

,

t

)





(

v

,

t

)



0

，因此

)

,

(

)

,

(

v

t

v

t

b

_X





。 Theorem 4. v(1) v(2) f(p,v(1),t) f(p,v(2),t) 證明：考慮(V_t ,t)V_t 與(V_t ,t)V_t k_t的情況，因為(V_t ,t)k_t與資產無關，故不討論。令 (1) v 、v(2)分別是 state 1 與 state 2 兩種狀態在時間t時資產價值，且滿足 (1) (2) v v  ，根據(2.1.32)可知 (1) (2)   V V  。令



是 state 2 的最佳停止時間，這兩個 state 的選擇權價值差為



( ( , ))

 

~ ( ( , ))



0 ~ ) , , ( ) , , (p v(1) t  f p v(2) t E _t_, P  V(1) F_t E _t_, P  V(2) F_t  f _ _  _   _ _  _  其中在(V_t ,t)V_t ,V_t k_t的例子下，所以(V_(1),t)(V_(2),t)。 Theorem 5. ( , ,₍₂)₎ ₍₁(₎ , , ) 1 ) 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( __     v v t v p f t v p f v v 證明：令 (1) v 、 (2) v 分別是 state 1 與 state 2 兩種狀態在時間t時資產價值，且滿足 ) 2 ( ) 1 ( v v  ，根據(2.1.32)可知 (1) (2)   V V  。令



是 state 1 的最佳停止時間，然而我們要證明 (2) (1) (1) (2) ) , , ( ) , , (p v t f p v t v v f    ，因此這兩個 state 的選擇權價值差為 ) , , ( ) , , (p v(2) t f p v(1) t f  (2.1.40)

(22)

14



t P V Ft

 

E t P V Ft



E       ~_,_( _ ( _(2),)) ~_,_( _ ( _(1),)) (2.1.41)   ] 1 ))) , ( ( )) , ( ( [( ~ ) , ( ) 1 ( , ) 2 ( , (1) _t V P t t P V P V F E _ _ _ _ _ _ _ _         _  _ _ _ _  (2.1.42)   ] 1 ))) , ( ( )) , ( ( [( ~ ) , ( ) 1 ( , ) 2 ( , (1) _t V P t t P V P V F E _ _ _ _ _ _ _ _             _    ] 1 )) , ( ) , ( ( [ ~ ) , ( ) 2 ( ) 1 ( , (1) _t V P t V V F E _ _ _ _ _          _  (2.1.43)



t V V Ft



E~_,_(( _(1),)( _(2),))  (2.1.44)



t V V Ft



E~_,_( _(1) _(2))  (2.1.45) ) (v(1) v(2) e t udu      (2.1.46) ) 2 ( ) 1 ( v v   (2.1.47) 在(2.1.41)中，因為 (1) (2)   V V  意味著(V_(1),)(V_(2),)，如果(V_(1),)P_ ，則(V_(2),)P_ ，因此得到(2.1.42)。在(2.1.43)中，由於(V_(1),)(V_(2),)，所以將 _ _ ) , ( (1) 1 _ _   V P 拿掉會變小，得到(2.1.44)。在(2.1.44)中討論 ( , ) ( , ) ) 2 ( ) 1 (     V_  V_ 與 (1) (2)   V V  的大小，如果是具違約風險的債券的例子下 ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) , ( ) , ( _   _  _ _  V  V V V ，如果是具違約風險的可贖回債券的例子下，當 ) 1 ( ) 2 (   V V k_t   ，則 (1) (2) (1) (2) ) , ( ) , ( _   _  _ _  V  V V V ；當 (2) (1)   k V V  _t  ，則 ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) , ( ) , ( _   _  _ _ _  V  V V k_t V V ；當V_(2) V_(1) k_t，則 ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) , ( ) , ( _   _  _ _  V  V k_t k_t V V ，得到(2.1.45)。根據(2.1.32)可知         t s s t s t s t sds ds ds dW r t V e V 0 0 2 0 0 ~ 2 1 0    ，將    t udu e 提出後條件期望值內為 martingale，得到 (2.1.46)。由於0  1   t udu e _{，故得證(2.1.47)。} Theorem 6. f_C(p,v,t) f_D(p,v,t) f_CD(p,v,t) f_C(p,v,t) f_D(p,v,t)。

(23)

證明：左式，由於 f_CD(p,v,t)的執行價格k_t V_t恆小於k 或_t V ，因此_t f_CD(p,v,t)恆大於 f_C(p,v,t)或

f

_D

(

p

,

v

,

t

)

。右式，由於



t t



T t CD p v t E P k V F f      sup ~ ( ) ) , , ( _,_ _ _ _  



t t



T t F V P k P E~ (( ) ( ) ) sup _,         _ _ _ _ _   (2.1.48)



t t



T t F V P k P E~ (( ) ( ) ) sup _,         _ _ _ _ _   (2.1.49)







t t



T t t t T t F V P E F k P E           sup ~ _, ( ) sup ~ _,_( _ _)        ) , , ( ) , , (p v t f p v t f_C  _D  故得證。

第二節離散式評價模型 (DFPM，Discrete First Passage Model)

連續型評價模型較不符合現實世界狀況，企業在結算盈收、股利政策並不會每分每秒都在結算，因此陸續有學者提出離散型評價模型 (DFPM，Discrete First Passage Model)與修正模型，不僅能夠處理具有美式性質的金融商品也能夠處理在某特定時點資本結構改變的問題，本文即透過數值樹狀結構模型更能合理的描述現實世界。以下為離散型評價模型的發展過程。一、杜宛珮 (2007)：一般企業在清償債務或清償債息時通常是在某一個時點做支付的動作，因此會造成資產出現離跳躍的現象。為改善 Black and Cox (1976)結構式首次通過模型(FPM，First Passage Model)為連續的型態，而提出離散結構式首次通過模型

(24)

16

(DFPM，Discrete First Passage Model)，同時也運用了 Dai and Lyuu (2010) Bino-Trinomial Tree 解決了違約門檻無法通過樹狀結構的節點上所產生的非線誤差問題。

二、鍾明璋 (2008)：

為改善杜宛珮 (2007)離散結構式首次通過模型(DFPM，Discrete First Passage Model)利率參數非隨機的缺失，而提出資產與利率為相關隨機變動的立體樹狀模型(EDFPM，Extension Discrete First Passage Model)，為 Longstaff and Schwartz (1995)評價模型的延伸。由於這兩個非獨立的隨機變數在做後推法(backward induction)時聯合機率分配不易求得，因此透過正交化過程將兩非獨立的隨機過程資產與利率變數變換成兩獨立的隨機過程，此時聯合機率分配為邊際機率分配相乘得到，再利用這兩個獨立的隨機變數所建構出獨立的立體樹經由變數變換回原變數資產與利率。三、陳博孙 (2009)：為改善結鍾明璋 (2008) EDFPM 違約門檻為外生給定一常數與利率模型為 Vasicek 均衡模型的兩大缺失，而提出 DFPM-WHT，(Extension Discrete First Passage Model ─ Hull-White Tree)，修正先前利率模型的缺失，考慮 Hull-White 利率模型將更有效捕捉市場利率期間結構，為 Briys and Varenne (1997)評價模型的延伸。一樣透過正交化過程將兩非獨立的隨機過程變數變換成兩獨立的隨機過程。

第三節 Dai and Lyuu (2010) Bino-Trinomial Tree (BTT)

在評價障礙選擇權(barrier option)時，CRR 數值樹狀結構評價方法會出現非線性誤差問題，因此 Dai and Lyuu (2010) 提出 BTT 解決這類問題，本論文將障礙門檻視為一個違約門檻而引用 BTT。所謂非線性誤差問題指障礙門檻無法通

(25)

過樹狀結構上的節點，且隨著切割期數不同出現非線性關係的誤差。『圖 2.1』非線性誤差在『圖 2.1』中 CRR 樹狀結構下切割兩期時障礙門檻L沒有通過節點，因此在做數值計算時會以

L

₁為障礙門檻，當切割三期時門檻L也沒有通過節點，因此會以 2

L

為障礙門檻，產生了非線性的誤差。BTT 以三元樹接二元樹的樹狀結構模型來決解非線性誤差，如『圖 2.2』。首先，調整切割期數建立一個能夠與障礙門檻重合的二元樹，但期間的切割可能不為整數，因此再建立一個三元樹將這個通過門檻的二元樹節點A、節點B與節點C三點連接起來。三元樹的建構方法可以求出股價變動的機率，使後推法能夠順利完成。假設股價隨機過程為

 

t dW rdt t S t dS _ __ ) ( ) ( ， (2.3.1) 求解微分方程得到股價為 t r t W e S t S     2 ) 1 ( ) ( 2 ) 0 ( ) (   _{， (2.3.2)} 是一個對數常態分配(lognormal distribution)，而 logprice 為

t r t W S t S  _ _ _ _ _ _ _ ) 2 1 ( ) ( ) 0 ( ) ( ln  2 ， (2.3.3) 是一常態分配(normal distribution)，期望值為  r )t 2 1 ( 2  變異數為 t Var 2 。

(26)

18 令             ˆ ,  ˆ2 t ,  ˆ 2 t ， (2.3.4) 其中 ˆ ln( ) ln( ) ln( ), [ , ) 0 0 0 0 t t S S S S S SB   B           ，

S

_B為節點B的股價，如『圖 2.2』。透過一階動差、二階動差與機率和為 1 的三個等式 (2.3.7) 1 (2.3.6) (2.3.5) 0 2 2 2          d m u d m u d m u P P P Var P P P P P P       再利用Cramer’s rule 求出股價變動的機率。因此利用後推法求出在t 0的障礙選擇權價值為 ) ( 0 u A m B d C t r V P V P V P e V     (2.3.8) 其中

V

_A、

V

_B與V 分別指節點_C A、B與C上的選擇權價值，而

V

_A、

V

_B與V 由 CRR_C 二元樹求得。『圖 2.2』 BTT 示意圖中縱軸為ln(S_t/S₀)橫從為時間，且Lln(Barrier/S₀)。 Pu Pm Pd L A B C S

(27)

BTT 不僅能解決非線性誤差問題，而且能解決當資產出現跳躍(jump)時，下一期節點無法重合的問題。『圖 2.3』資產跳躍節點無法重合以『圖 2.3』為例，當資產向下跳躍一個常數時，在下一期節點不會重合，使節點個數以倍數成長。『圖 2.4』 BTT 解決資產跳躍示意圖如『圖 2.4』利用 BTT 方法三元樹接二元樹，並利用機率滿足的三個條件求得機率，再做倒推法，解決了資產出現跳躍使下一期節點無法重合的問題。 Pu Pm Pd

(28)

20

第三章研究方法

本文以數學證明延伸 Acharya (2002)尚未做到的可賣回債券(putable Bond)、可轉換債券(convertible Bond)與可賣回且可轉換債券(putable-convertible Bond)等，並與 Acharya (2002)做組合，分別討論具有違約風險的可轉換債券(defaultable -convertible bond)、可贖回且可轉換債券(callable-convertible bond)與可贖回且可賣回債券(callable-putable bond)。本文針對 Acharya (2002)所提出的公司債，以 DFPM-WHT 數值評價方法為基礎來解決問題，不僅能評價外生違約門檻的衍生性商品也能評價內生違約門檻的各種衍生性商品，亦可評價有別於 Acharya 文章中的公司債。本章架構分為三節，第一節，延伸 Acharya 討論對債權人具有保護性質的公司債，再分析與 Acharya (2002)做組合的公司債。第二節，建立驗證工具，數值模型延伸基礎。第三節，討論變賣資產(sale asset)與不變賣資產(non-sale asset)對公司債價格的影響。

第一節分析債券商品特性

Acharya (2002)將公司債視為無風險債券(host bond)與美式選擇權的組成，因此本文延伸 Acharya (2002)，探討為保護債權人的債券型衍生性商品可賣回債券、可轉換債券與具有違約風險的可轉換債券等，並與 Acharya (2002)組合，考慮具有違約可能的可轉換債券、可贖回且可轉換債券與可贖回且可賣回債券，以下將逐一對這些公司債債做特性分析。一、可轉換債券：可轉換債券給與債權人將債券轉換成股票的權力，當轉換價格(convert price)

(29)

大於繼續持有的價值時，債權人願意將債權轉換成股權。根據 Brennan and Schwartz (1980)，定義公司資產結構為 BC t t c t B t N B N C N S V    ₀ ， (3.1.1) 其中

N

_B為普通公司債(straight bond)契約數量，B_t F_BP_t為普通公司債陎額

F

_B在時間t的價值，N 為可轉換債券的契約數量，_c C 為可轉換債券陎額_t F 在時間_C t的價值，N 指流通在外股票股數，轉換前每股價格為₀ S_tBC。每單位陎額可轉換債券可轉 price conversion q 1 股股票，q被稱為轉換比率，因此所有可轉換債券可轉ΔN N_cqF_c股(注釋：本論文q的設定為單位陎額可轉換股票股數，所以

ΔN為q乘上契約數N 再乘上陎額_c F ，此為修改 Brennan and Schwartz (1980)的_C

設定。)，並定義轉換後每股價格為 AC t S ，且公司資產結構由(3.1.1)改變成 AC t t B t N B N N S V  ( ₀ ) 。 (3.1.2) 單位陎額可轉換債券轉換價格 ) ( ) ( 0 0 0 t B t t B t AC t AC t AC t V N B z V N B N N q N N NS S N q qS            ， (3.1.3) 其中 1 0     N N q z 。單位陎額可轉換債券在T時的價值定義為 (3.1.4) ) 0 , max( ) 0 , 1 max( ) 1 ( ) 0 , ) 1 ( max( ) 0 , max( ) 0 , ) ( max( ) , max( T T T T T B B B B T T B B T T T T B B T T T T B T T AC T T CB P bV a P P V F zN z F zN P P F zN zV P P P F zN zV P P B N V z P qS P P                      其中 1 1 , 1 ) 1 (       B B B B F zN z b F zN a 。在到期日前的價值為

(30)

22 ) , , ( ) , , (p v t p af p v t p_CB   _CB ， (3.1.5) 其中在時間

t

時的無風險債券價格P_t  p、資產價值V_t v。並定義



t t



T t CB p v t a E bV P F af      sup ~ ( ) ) , , ( _,_ _ _   ， (3.1.6) 其中



inf



t0: f_CB(P_t,V_t,t)(bV_t P_t)



.。假定公司沒有普通公司債，則令

0 

B

F

，使得a1，b z。

以下對可轉換債券特性分析我們採用 Brennan and Schwartz (1980)的假說，討論公司負債包含普通公司債與可轉換債券，

F

_B



0

，上述證明令

F

_B



0

可類推到 Acharya (2002)沒有普通公司債(straight bond)的例子。

Theorem 7. 特性(1). ( , , ) ( , , ) ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( t v p f t v p f p p   _CB  _CB 。特性(2). ( , ,₍₂)₎ ₍₁₎( , , ) 1 ) 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 (      p p t v p f t v p f p p CB CB _。

特性(3). 給定P_t  p ,V_t v，存在債券臨界價格(critical bond price)b_CB( tv, )，且 ) , ( ) , (v t v t b_CB  ，而(v,t)bv，使得最佳執行選擇權條件等價於pb_CB( tv, )。特性(4) v(1)v(2) f_CB(p,v(1),t) f_CB(p,v(2),t)。特性(5) ( , ,₍₁)₎ ₍₂₎( , , ) 1 ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( _     v v t v p f t v p f v v CB CB _。證明特性(1)：令 (1) p 、p(2)是 state 1 與 state 2 兩種情況的無風險債券在時間t時價值，在時間t滿足p(1)  p(2)r(1) r(2)(1)(2)。令



是 state 1 的最佳停止時間，

(31)

v V_t  ，

F

_B



0

，根據(3.1.6)這兩個 state 的選擇權價值差



 



0 ] ) ( ) [( ~ ] ) ( ) ( [ ~ ) ( ~ ) ( ~ ) , , ( ) , , ( ) 2 ( ) 2 ( , ~ 2 1 ) 1 ( ) 1 ( , ~ 2 1 ) 2 ( ~ 2 1 ) 1 ( ~ 2 1 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( , ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( , ) 2 ( ) 1 ( 2 2 2 ) 2 ( ) 2 ( 2 ) 1 ( ) 1 (                                                   t t W d ds ds t t W d ds ds t t W d ds ds ds r t ds r W d ds ds ds r t ds r t t t t CB CB F P e bV P e bV E a F P e bV e P e bV e E a F P bV E a F P bV E a t v p af t v p af t s s t s t s t s s t s t s t s s t s t s t s s t s s t s t s t s s t t                                             由(2.1.32)已知       t s s t s t s t sds ds ds dW r t V e V 0 0 2 0 0 ~ 2 1 0    。故得證。表示當無風險債券價格變低，選擇權價值愈高。證明特性(2)：令在時間t時 state 1 與 state 2 的無風險債券價格p(1)  p(2)然而我們欲證 ) 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) , , ( ) , , (p v t f p v t p p f_CB  _CB   。令 (1) (2) r r  ，且令



是 state 2 的最佳停止時間，V_t v，則



 



 





 





     









(3.1.9) ~ 1 ) ( ~ ] 1 )) ( ) [(( ~ ] 1 )) ( ) ( [( ~ 1 )) ( ) ( ( ~ ) 8 . 1 . 3 ( 1 )) ( ) ( ( ~ ) 7 . 1 . 3 ( ) ( ~ ) ( ~ ) , , ( ) , , ( ) 1 ( ) 1 ( , ) 2 ( ) 2 ( , ) 1 ( ) 1 ( , ) 2 ( ) 2 ( , ) 2 ( ) 2 ( , ~ 2 1 ) 1 ( ) 1 ( , ~ 2 1 ) 2 ( ~ 2 1 ) 1 ( ~ 2 1 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( , ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( , ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( , ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( , ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( , ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( , ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( 2 2 ) 2 ( ) 2 ( 2 ) 2 ( ) 2 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( t t t t P bV t t t P bV t W d ds ds t t W d ds ds t t P bV W d ds ds ds r t ds r W d ds ds ds r t ds r t P bV t t t P bV t t t t t t CB CB F P P E a F P P E a F P e bV P e bV E a F P e bV e P e bV e E a F P bV P bV E a F P bV P bV E a F P bV E a F P bV E a t v p af t v p af t s s t s t s t s s t s t s t s s t s t s t s s t s s t s t s t s s t t                                                                                                                                                      

(32)

24 ) 10 . 1 . 3 ( ) ( a p(2) p(1) 在(3.1.7)中，因為 (1) (2) (1) (2)   P P r r    、 (2) , ) 1 ( ,   _t  _t 且根據(2.1.32)得知 (1) (2)   V V  ，如果 (2) (2)   bV P  ，則 (1) (2) (2) (1)     bV P P bV    ，所以 (1) (1)   bV P  ，因此得到(3.1.8)。因為_t(_,_2)P_(2)_t(_,1_)P_(1)0 所以得到(3.1.9)，再根據 Lemma 1，得到(3.1.10)。其中a0，因此 ) 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) , , ( ) , , (p v t f p v t p p f_CB  _CB   ，故得證。表示無風險債券價格的增(減)量大於選擇權價值的減(增)量。意味著當無風險債券價格愈高時，則可轉換債券的價值也愈高。證明特性(3)：令 (2) ₂ p p  最佳決策是不履約，我們想要證明當 (1) ₁ p p  時的最佳決策也是不履約，假設 (1) (2) p p  ，且V_t v，(v,t)bv。由特性(2)移項得到 1 1 2 2 2 1 2 1, , ) ( , , ) ( ) ( ( , ) ) ( , ) (p v t f p v t p p v t p p p vt p f_CB  _CB   



   



 ，因為 f_CB(p₁,v,t)0，所以   ( ( , ) ) ) , , (p₁ v t v t p₁ f_CB



。令b_CB( tv, )是p的最大值，滿足(p,v,t)U } ) ) , ( ( ) , , ( : ] , 0 [ ) , , {(        pv t R R T f p vt v t p U _CB



代表一個不履約的區間。(b_CB(v,t),v,t)U ，因為U是開區間，所以 0 ) , ( ) , ( ) , ), , ( (b v t v t  v t b v t  f_CB _CB  _CB ，因此b_CB(v,t)(v,t)。證明特性(4)：

(33)

令 (1) v 、 (2) v 分別是 state 1 與 state 2 兩種狀態在時間

t

時資產價值，且假設 ) 2 ( ) 1 ( v v  ，根據(2.1.32)可知 (1) (2)   V V  。令



是 state 1 的最佳停止時間，這兩個 state 的選擇權價值差



 





~ ( ) ~ ( )



0 ) , , ( ) , , ( (2)  _CB (1)  _t_, (2)   _t  _t_, (1)   _t  CB p v t af p v t aE bV P F E bV P F af  _ _ _  _ _ _ ，故得證。表示當資產價值變高時，選擇權價值也會愈高。且由(3.1.5)得知在時間t可轉換債券的價值可寫成p_CB(p,v,t) paf_CB(p,v,t)，其中無風險債券價值與資產價值無關，因此表示當資產價值變高時，可轉換債券的價值也會愈高。證明特性(5)：令 (1) v 、 (2) v 分別是 state 1 與 state 2 兩種狀態在時間

t

時資產價值，且滿足 ) 2 ( ) 1 ( v v  ，根據(2.1.32)可知 (1) (2)   V V  。令



是 state 2 的最佳停止時間，然而我們想要證明 (1) (2) (1) (2) ) , , ( ) , , (p v t f p v t v v f_CB  _CB   ，因此這兩個 state 的選擇權價值差 ) , , ( ) , , (p v(1) t af p v(2) t af_CB  _CB



t bV P Ft

 

aE t bV P Ft



E a       ~_,_( _(1) _ ) ~_,_( _(2) _ ) (3.1.11)   ] 1 )) ( ) ( [( ~ ) 2 ( ) 2 ( , ) 1 ( , t bV P t t bV P bV P F E a           _ _ _ _ _  (3.1.12)   ] 1 )) ( ) ( [( ~ ) 2 ( ) 2 ( , ) 1 ( , t bV P t t bV P bV P F E a               _    ] 1 ) ( [ ~ ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( , bV P t t V V F E b a         _   (3.1.13)



t V V Ft



E b a ~_,_( _(1) _(2))  (3.1.14) ) (v(1) v(2) be a t udu      (3.1.15) ) (v(1) v(2) a   _(3.1.16)

(34)

26 在(3.1.11)中，因為 (1) (2)   V V  ，如果bV_(2)P_ ，則bV_(1)P_ ，因此得到(3.1.12)。在(3.1.13)中，由於V_(1)V_(2) 0，所以將 _ _   P bV(2) 1 拿掉會變小，得到(3.1.14)。根據(2.1.32)可知       t s s t s t s t sds ds ds dW r t V e V 0 0 2 0 0 ~ 2 1 0    ，將    t udu e 提出後條件期望值內為 martingale，得到(3.1.15)。由於v(1) v(2) 0，又因為  0   t udu e 且b1，得到(3.1.16)，且由於a0左右同除 a ，故得證。若假設該公司沒有發行普通公司債，即

F

_B



0

，則a1，bz，仍滿足 Theorem 7.的每一個特性。二、可賣回債券：可賣回債券給與債權人將債券賣回給發行者的權力，當賣回價格(put price) 大於繼續持有的價值時，債權人願意賣回給公司。將可賣回債券價值表示成 ) , , ( ) , , (p v t p f p v t p_Put   _Put ， (3.1.17) 其中在時間

t

時的無風險債券價格P_t  p、資產價值V_t v。並定義



t Put t



T t Put p v t E k P F f      sup ~ ( ) ) , , ( _,    ， (3.1.18) 其中



inf



t0: f_Put(P_t,V_t,t)(k_Put P_t)



.，k_Put為賣回價格。

接著對可賣回債券所包含的選擇權做特性分析，如下： Theorem 8. 特性(1). 當 (1) (2) p p  ， f_Put(p(1),v,t)和 f_Put(p(2),v,t)的大小關係不定，會受到利率期限結構影響。

隨機利率模型下內生違約條件公司債之評價

國 立 交 通 大 學

財 務 金 融 研 究 所

碩 士 論 文