分析案例

4-1 程式流程

由前章的(3-10)式我們可以得知控制方程式為外力頻率

ϖ

的函 數，意即每一個外力頻率的增量∆

ϖ

即可求得相對應的

Y

b

( i ϖ )

、

) ( i ϖ

Y

s ，如此反覆的計算，我們可以藉由 FORTRAN或是其他的程式 語言來計算。

首先必須知道結構物的基本性質，包括結構自由度總數、阻尼 比、各樓層總質量、結構物的自然頻率、振動模態等；然後將外力或 是地震歷時作傅立業轉換再開始運算。

停止分析的條件有兩個，分別與結構物週期和傅立業轉換有關；

考慮到結構物週期到 10 Hz 已經是高頻的部分，所以在外力頻率增 量∆

ϖ

累積到超過62.83 rad/sec，也就是10 Hz 時我們就結束分析。

也因為傅立業轉換後有對稱的特性，我們只需要作(N/2)+1 次的分 析，其他的為對稱，僅在虛部相差一個負號。計算所有的

Y

b

( i ϖ )

、

Y

s

( i ϖ )

後作傅立業反轉換(Inverse Fourier transform)，利用(3-6)式即得到結構 物歷時反應，程式分析流程圖如圖4-1

4-2 案例簡介

分析的案例為台電的松湖超高壓變電所，該案例為不規則斷面基 地面積，地下一層的面積為 2528m²，地面層為 2528m²，二層為 896m²，三層為 2248m²，四層為 368m²，五層為 1184m²，六層為 2248m²，七層為 2248m²，屋頂層為2248m²。

X方向為長向 72m，Y方向為短向 40m，地上七層，共35m高，

地下一層3.6m，結構物模態與週期由ETABS假設結構物與地盤為剛 性接合所求得；每一層樓皆假設為三個自由度，分別為X、Y 方向的 平移與面外(out of plane)旋轉自由度。結構物的樓層質量與轉動慣量 如表4-1，每個模態的自然頻率如表4-2，各振態如表4-3，結構物的 阻尼比為5%。

在基礎的質量矩陣方面，由於我們將地面層與地下一層視為一個 剛性的箱型體，所以在水平向的質量為地面層加上地下一層的總質 量；而垂直向的質量則為全部樓層的總質量，因為上面樓層並未考慮 到垂直向的自由度；在面內(In-plane)轉角的自由度為地面層與地下一 層轉動慣量的總和；長向與短向的翻轉(Rocking)自由度為上面每一樓 層的力，乘以樓高，加上每一個樓層本身轉動慣量的貢獻，如圖4-2。

4-3 阻抗矩陣

4-3-1 幾何形狀

本案例的基礎形式採用筏式基礎，基礎位置在地下一層連接，屬 於埋入基礎(Embedded foundation)的形式，埋入深度為八公尺；由於

應用 ETABS 在分析時，固定點放在地面層，所以在求阻抗矩陣時，

我們把控制點放在地面，而將整個地下一層與基礎當作剛性箱體 (Rigid box)計算其阻抗矩陣。

同樣的，考慮高頻與低頻的波長不同，我們將模型分為低頻與高 頻的模型，低頻的模型相對與高頻的較大，元素尺寸相對也較大；分 析的範圍與元素尺寸的大小我們以2-3節所做的收斂性分析為準，採 用模型五相近的分析區域及元素尺寸，低頻的分析模型如圖 4-3，高 頻的分析模型如圖 4-4，低頻與高頻深度方向的的分析模型，分別為 圖4-5、圖4-6，元素尺寸分割如表4-4，我們以元素長度與剪力波長 作無因次化，如表 4-5；再以前述基礎尺寸、等值邊長的方式作分析 區域的無因次化，如表4-6。

4-3-2 使用元素

在 分 析 範 圍 內 採 用 三 維 二 十 節 點 實 體 元 素 C3D20(Quadratic

element)；在分析範圍以外的土壤採用無限元素(infinite element)模擬 吸能邊界，使邊界反射波傳能量不會傳回近域的土壤中。

4-3-3 土壤材料性質

土壤的楊氏模數 Es(Young’s Module) 為 4.68×10⁸ Pa，剪力模數 G(Shear module)為1.8×10⁸ Pa，密度ρ為2000 t/m³，包松比ν(Poisson ratio)為0.3，阻尼比ξ(Damping ratio)為0.1，剪力波速為300 m/s。土 壤的阻尼部分依照前面 2-2-3 節所導，令 ABAQUS 裡的雷利阻尼常 數α=0，β=

π f

ξ

，

f

為外力頻率。

4-3-4 受力狀況與邊界條件

分別在剛性基礎版的六個自由度(X、Y、Z 的平移與轉角自由 度)，施加 1‧e^iωtN 的力求其變形，等於求剛性基礎版的柔度矩陣 (Compliance matrix)，經過逆轉換後可得其阻抗矩陣。因基礎為不規 則的斷面，所以其阻抗矩陣為全矩陣(Full matrix)。由於我們模擬的為 彈性半無限域空間，所以邊界條件為在土壤無限遠處位移為零。

我們將以此分析作為後面分析台電變電所的阻抗矩陣，進而求解 結構物的歷時反應。

4-4 分析土壤-結構互制效應

我們將以兩個地震記錄對一個結構物作分析，分別為北嶺地震 與，比較結構物在一般剛性地盤設計與考量土壤-結構互制效應的差 別。

(1) 北嶺地震(如圖4-7)：時間間隔為0.02sec，共有 4096筆資料，

地震歷時為81.92sec，最大的地震加速度為 3.13 m/sec² 。以此地震記 錄作為X 與Y向的地震力輸入，垂直向則取其一半當作輸入地震力。

圖4-10為北嶺地震的地震反應譜。

(2)茄定國小(如圖4-8、圖4-9)：1999年 9月 21日之地震記錄，

時間間隔為 0.005sec，共有 16384 筆資料，地震歷時為 81.92sec，X 方向與Y 方向的最大的地震加速度為3.13 m/sec²，垂直向的地震力假 設為零。圖4-11 為東西向的地震反應譜，圖4-12為南北向的地震反 應譜。

4-4-1 剛性地盤假設與土壤-結構互制效應比較

(1)北嶺地震

首先我們比較在沒有考慮土壤-結構互制效應，也就是剛性地盤 設計與有考慮土壤-結構互制效應的差異，結果如圖4-13，X、Y為長

向與短向，旋轉(Torsion)方向自由度單位為公尺，即該樓層旋轉角度 除以該樓層之迴轉半徑。

由圖中可以明顯看出，本案例中，在考慮土壤結構互制效應下位 移反應較小，屋頂層 X 方向的最大位移將近 8.61cm，而剛性地盤的 分析屋頂層X方向的最大位移將近9.17cm，在位移方面減少將近6%。

以相同的地震力作為 X 向 Y 向的地震力輸入而言，由結構的平 面圖(圖 4-3)可知，Y 方向為弱向，所以在有考慮土壤-結構互制效應 下，屋頂層 Y 方向的最大位移為 10.3cm，而在剛性地盤分析下，最 大位移為12cm，減少了有 14%。各樓層的最大位移如圖4-14，由圖 中可以看出樓層愈高，其土壤-結構互制效應與傳統的設計有愈大的 差異，顯示出剛性地盤無法表現出能量由基礎向下傳出去的行為，而 由結構物單獨承受，使得變形較為高估。

本 結 構 物 的 第 一 個 模 態(First mode)週 期 為 0.74sec， 頻 率 為 1.35Hz，從歷時反應後端的自由震盪(Free vibration)可以看出震盪的 週期約為 0.7sec，非常接近第一模態的 0.74sec，而在考慮了土壤-結 構互制效應下，結構物的週期稍微增加約為0.8sec，顯示土壤如同彈 簧一般的作用，延長了結構物的週期。

態座標(Normal mode coordinate)Ys，也就是每一個模態的貢獻度，由 圖中可看出，在有考慮土壤-結構互制效應下，其在每一個模態的貢 獻度均比剛性地盤假設少，僅在第六個模態，剛性地盤假設比土壤 -結構互制效應小了很多，究其原因，乃矩陣運算時出現相互抵銷的情 形，且分析時採用 X 方向與 Y 方向皆為相同的地震記錄，所以在第 六個模態才會出現這樣的情形，若將 X 方向與 Y 方向的地震力採用 不同的地震記錄即不會有這種現象。

(2)茄定國小1999年 9月 21日地震記錄

由圖 4-16 可以看出有考慮土壤結構互制與剛性地盤的比較，與 前面的北嶺地震比較起來，在考慮土壤-結構互制效應下，屋頂層 X 向最大位移為 15.4cm，而假設剛性地盤的屋頂層 X 向最大位移為 15.9cm，僅僅減少3%，其所減少的位移反應在X向並沒有非常的明 顯。

圖4-17為各樓層最大位移，在考慮土壤-結構互制下，屋頂層 Y 方向最大位移為 12.3cm，在剛性地盤的假設下，屋頂層 Y 方向最大 位移為 14.3cm，位移減少了 14%，由兩個案例看來，在弱向的差異 會比在強向來的多

如北嶺地震一般，在歷時反應後段的自由震盪，假設為剛性基

礎，週期約為 0.72sec，若考慮土壤-結構互制時，週期則稍微拉長為 0.82sec，兩個案例都顯示出，如果考慮土壤的影響，猶如加上彈簧一 般。

圖 4-18 為有考慮土壤-結構互制與剛性地盤在正規振態座標 (Normal mode coordinate)Ys的比較，由圖中可看出，每一個Ys在有 考慮土壤互制效應下會比剛性地盤假設少，且因為 X 方向與 Y 方向 為不同的地震力，所以不會有之前北嶺地震的現象。

4-4-2 阻抗矩陣對反應歷時的影響

考慮到阻抗矩陣的大小對於結構物週期的改變，而造成在考慮土 壤-結構互制效應下，可能造成結構物位移反應放大的效果，本節跟 針對不同的阻抗矩陣比較其位移反應的差異。

我們將前面得到的阻抗矩陣分別放大 50%、減少 50%與原來剛 性地盤假設的位移作比較。

(1)北嶺地震

在 X 向與 Y 向為相同的地震力下，考慮不同倍數的阻抗矩陣，

其分析結果如圖 4-19，顯然的，當阻抗矩陣為 1.5 倍(1.5GFF)時，其

就是土壤與基礎之間的位移會愈小，當阻抗矩陣無限大時，也就是一 般的剛性地盤設計。

比較剛性基礎假設與0.5 倍的阻抗矩陣的位移反應，如圖4-20， 可以明顯看出剛性地盤的位移大許多，而因為阻抗矩陣變小，而將結 構物的週期延長，以一般的反應譜而言，周期長的結構物受到的地震 力愈小，所以阻抗矩陣愈小，可以預期結構物的位移愈小。

屋頂層X方向的最大位移在剛性地盤假設、1.5倍阻抗矩陣與0.5 阻抗矩陣分別為9.17cm、8.73cm、8.2cm，樓高愈高，其差異愈大。

各樓層最大位移如圖4-21

(2)茄定國小1999年 9月 21日地震記錄

由圖 4-22 可以看出 X 方向的位移，在阻抗矩陣放大 1.5 倍時其 歷時反應與 0.5 倍的阻抗矩陣相比，在整個歷時過程中，1.5 倍的阻 抗矩陣雖然比0.5 倍的阻抗矩陣反應稍大，但其實相差不多，甚至0.5 倍阻抗矩陣的最大位移，相較1.5阻抗矩陣稍大了點。圖4-23為剛性 地盤與0.5 倍阻抗矩陣的比較，明顯可看出剛性位移反應大出許多。

由圖4-24看出，屋頂層X方向的最大位移在剛性地盤假設、1.5 倍阻抗矩陣、0.5 倍阻抗矩陣分別為15.9cm、15.3cm、15.8cm，顯示 不論在北嶺地震或是茄定國小的地震反應下，對比較強的 X 方向而

言差異不太，因 X方向較強，相對應的頻率也愈高。

屋頂層Y 方向的最大位移在剛性地盤假設、1.5 倍阻抗矩陣、0.5 倍阻抗矩陣分別為 14.2cm、13cm、11.7cm，但是在低樓層的位置，

0.5 倍的阻抗矩陣有比 1.5 倍的阻抗矩陣稍大的趨勢，可能因為能量 在平衡時，在較低樓層的位置，阻抗矩陣愈弱，愈有放大的效果。

在文檔中 次結構法分析土壤-結構互制行為 (頁 38-48)