2-1 程式介紹
本研究中所採用的之分析軟體為 ABAQUS 有限元素分析軟 體，該程式由美國 Hibbit、Karlsson& Sorensen, Inc 公司所發展，目 前已發展至 6.4 版，即為目前我們所使用的版本。
ABAQUS 是套非常強的工程分析軟體，其基本原理為有限元素 法，應用範圍廣泛，包括線性、非線性、靜力、動力等問題。ABAQUS 包含了極為廣泛的元素種類，包括實體元素(Solid element)、樑元素 (Beam element)等各式各樣的元素，可模擬接近真實的幾何條件；也 包含了各式各樣的材料性質可以模擬一般工程上常用的的材料，包括 橡膠(Rubber)、聚合物(Polymer)、複合材料(Composite)、鋼筋混凝土 (Reinforced concrete)、土壤、岩石。ABAQUS 分析包含一般應力、應 變 的 分 析 問 題 ， 還 可 以 模 擬 熱 傳 (Heat transfer analyses) 、 聲 學 (Acoustics analyses) 、土壤中的孔隙水壓 (Coupled pore fluid-stress analyses)等問題也在分析的範圍內。我們利用 ABAQUS 將半無限空 間模擬成有限元素模型進行數值分析，以求得在彈性半無限域中剛性
因為有限元素程式具有較大變化的空間，可以任意改變基礎的形 式、土壤的性質等等，與解析解具特定條件下才能應用比較下，以有 限元素法來求取阻抗矩陣較能符合實際的狀況。
以 ABAQUS 分析問題，必須先將問題簡化後再進行模型的建 立，其中包括幾何條件、材料性質、邊界條件、受力狀況、分析方法，
而建立一個輸入檔先由定義幾何條件開始，再分別建立元素網格大小 和定義元素的種類，之後描述幾何的邊界條件、定義受力的大小、方 向、位置，最後給定分析的方法，整個輸入檔的建立才算完成。
2-2 模型建立
2-2-1 幾何形狀
我們所分析的模型，基礎的面積為 72m *32m，其半無限空間的 土壤深度部分為一層相同的材料性質，在座標系統方面，定基礎長向 為 X 向，短向為 Y 向，立面為 Z 向，並考慮低頻(1-5 Hz)與高頻(5-10 Hz)的波長不同，我們對於這兩種模型的分析範圍作調整，低頻方面，
有效的分析範圍水平尺寸為 288m *248m，如圖 2-1；高頻分析的模型 方面，有效的分析範圍水平尺寸為 200m *144m，如圖 2-2；在深度方 向，低頻與高頻的模型分別為 108m、84m，如圖 2-3。
用有限元素法模擬無質量剛性基礎版受動力載重的問題，有兩個 主要的課題，第一個問題是關於元素的長度，對於 ABAQUS 求解阻 抗矩陣的精確度無法預知，必須在電腦資源的許可下，以最精確的元 素長度來求得穩態解(Steady state)；第二個問題是分析區域的大小，
電腦資源有限，不可能將分析範圍無限的延伸，同樣也必須在電腦可 以運作的範圍內訂出合理的分析範圍，文章後面將會對這兩個問題做 出收斂性的分析。
2-2-2 使用元素
在 近 域 的 分 析 範 圍 內 採 用 三 維 二 十 節 點 實 體 元 素 C3D20(Quadratic element)，如圖 2-4；土壤的波傳屬無限域的問題，
受限於無法真實模擬無限域的空間，在遠域的土壤採用無限元素 (infinite element)分析，如圖 2-5，以模擬吸能邊界，使邊界反射波傳 能量不會傳回近域的土壤中。
2-2-3 材料參數與土壤阻尼
(1)材料參數
土壤的楊氏模數 Es(Young’s Module) 為 4.68×108 Pa，剪力模數
ratio)為 0.3，阻尼比ξ(Damping ratio)為 0.1，剪力波速 Vs為 300 m/s，
壓力波速 Vp為 561m/s。
(2)土壤阻尼
對於動力反應分析問題，欲正確分析出能量在土壤中的消耗，必 須加入適當的阻尼，才能有效模擬系統的動態行為。在 ABAQUS 中，
採用的阻尼方式為雷利阻尼(Rayleigh Damping)，其阻尼矩陣是由質 量矩陣與勁度矩陣線性疊加而成，即
[C]=α[M]+β[K]
α為質量比例阻尼係數，β為勁度比例阻尼係數，雷利阻尼屬於 黏滯性阻尼(viscous damping)，而土壤的行為與遲滯性阻尼(hysteretic damping)較為接近，其阻尼力與位移成正比；為了將雷利阻尼表為遲 滯性阻尼，我們將推導其運動方程式如下。
由於在頻率域求取阻抗矩陣(Impedance matrix），因此可利用
ABAQUS 程式以頻率域求解穩態解的分析方法，若土壤結構系統受 一頻率為ω之簡諧外力作用時，系統的反應可寫成：
t
Ue
it
u ( ) =
ω (2-1)將
u (t )
分別對時間微分一次、二次，可得到速度、加速度反應，將(2-1)、(2-2)、(2-3)代入運動方程式可表為下式：
)
2-2-4 受力狀況與邊界條件
求取阻抗矩陣的方法為在剛性基礎版的中央施加一單位簡諧載 重，本次分析使用的單位為牛頓(N)，故施加 1‧eiωtN 的力在剛性基 礎版中央，求得剛性基礎版的位移，分別在剛性基礎版的六個自由度
(X、Y、Z 的平移與轉角自由度)，施加 1‧eiωtN 的力求其位移，等於 求剛性基礎版的柔度矩陣(Compliance matrix)，經過逆轉換後可得其 阻抗矩陣。
由於我們模擬的為彈性半無限域空間，所以邊界條件為在土壤無 限遠的地方位移為零。
2-3 收斂性分析
除了正確的模擬實際情況外，元素的大小與分析區域的大小對於 分析的結果佔有很重要的部分，本節將對這兩個重要的部分分析其收 斂性，以便於決定以後分析所用的元素尺寸與區域。
2-3-1 元素大小收斂性分析
元素的長度對於結果的正確性有相當重要的影響，而元素的長度 通常因為壓力波速、剪力波速不同而改變，也因外力頻率的大小而有
所改變，由於剪力波速為 300m/sec，而分析的外力頻率最大到 10Hz，
所以在決定元素尺寸時應小於 30 公尺才能得到較合理的解，本節將 基於元素尺寸小於 30 公尺的原則下，對不同長度的元素進行分析來 比較其間的差異。
因考慮高、低頻的波長不一樣，在高頻的時候波長較短，我們用 較短的元素來計算較短的波長，應能得到較準確的結果，所以在分析 中將對低頻(1~5 Hz)、高頻(5~10 Hz)作不同元素長度的分析；在 5Hz 作不同元素切割的分析比較其差異性。
本分析中依據對剛性基礎版位置遠近之同分為兩個區域，並同時 改變 X、Y、Z 三個方向上元素的分割進行分析，分割區域的示意圖 如圖 2-1~圖 2-3，在 X、Y 和 Z 方向來改變元素的尺寸進行收斂性分 析，其中分割尺寸較大的為模型一，漸漸縮小元素尺寸到模型三，低 頻分析模型的分割尺寸，如表 2-1。
分析頻率共分為低頻(1-5Hz)與高頻(5-10Hz)，間隔為 1Hz，我們 以頻率在低頻最大值 5Hz 時的剪力波長(60m)以及高頻最大值 10Hz 時的剪力波長(30m)，與元素尺寸作無因次化，其無因次化過程如下：
剪力波長=
頻率
剪力波速
A=
剪力波長 元素尺寸
低頻分析模型分割尺寸如表 2-1，無因次化如表 2-2，高頻分析 模型分割尺寸，如表 2-3，無因次化如表 2-4，其分析阻抗矩陣的結 果如圖 2-6~圖 2-21。
如圖 2-6~圖 2-21 可知，Model-3 分割尺寸較小的結果較接近由解 波動方程式得到的解析解 9，雖然 Model-1 和 Model-2 也相差不多，
但是我們在頻率等於 5 Hz 時，分別依照高頻與低頻的元素分割尺寸 建立兩個模型，比較其在圖形上跳躍的程度，也就是數值的差異性，
結果皆顯示 Model-3 的元素分割尺寸有較好的收斂性。
以無因次來比較，在低頻的時候，Model-3 之 A 值介於 0.15~0.2 之間，可以在電腦資源允許下得到較佳的解，而在高頻時，Model-3 之 A 值介於 0.178~0.267 之間；事實上證明當元素切割愈小的時候，
能得到愈精確的解，但基於電腦資源的限制，總是有所限度。
2-3-2 分析區域收斂性分析
瞭解元素尺寸對結果的影響之後，決定分析區域的大小也非常重 要；我們將前面對元素尺寸做收斂性分析的 Model-3 做為我們的基 礎模型，分別在 X、Y 和 Z 方向上將分析區域擴大，考慮低頻的波長
較長，需要較大的分析區域，所以將低頻的 Model-3 模型長、寬、高 各擴大 36m (元素大小為 12*12*12)，高頻的模型則不需要太大的分 析區域，但是要求較小的元素尺寸，所以將高頻的 Model-3 長、寬、
高各擴大 24m (元素大小為 8*8*8)，低頻與高頻同樣擴大兩次，分別 為 Model-4 與 Model-5，低頻模型的平面、立面示意圖，如圖 2-22，
高頻模型的平面、立面示意圖，如圖 2-23。
我們將以基礎長邊(X 向)、短邊(Y 向)的尺寸與分析區域長邊、
短邊尺寸作無因次化，其無因次化過程如下：
B=
基礎長邊尺寸
分析區域長邊尺寸
C=
基礎短邊尺寸
分析區域短邊尺寸
在深度方向的無因次化，以等值基礎面積的方形面積邊長與深度 作無因次化，其過程如下：
等值邊長= 基礎面積
D=
等值邊長
分析區域深度尺寸
無因次化如表 2-5，其元素跟節點的數量如表 2-6，分析的結果
由分析的結果可以得知在分析區域愈大的時候，解愈趨於穩定，
也比較接近於解析解；以無因次比較低頻時，B值在介於 4~6之間、
C值介於7.75~12.25 之間、D 值介於2.25~3.75之間，結果都可接受；
在高頻時 B 值在介於 2.8~4 之間、C 值介於 4.5~7.5 之間、D 值介於 1.75~2.75之間屬適用範圍。
在長向(X 方向)及短向(Y 方向)的翻轉自由度(Rocking)、平移自 由度(Horizontal)方面，ABAQUS 的解無論是在實部或是虛部與解析 解相差不多，但是在耦合自由度(Coupling，平移自由度與翻轉自由度 的耦合)，僅只有實部方面較為接近，虛部部分具有和解析解一致的 趨勢，但在到了高頻的部分與解析解就無法吻合。
在垂直自由度(Vertical)部分，ABAQUS 的解與解析解很接近，在 扭轉自由度(Torsion)部分差異甚大，因扭力為剪力波，而剪力波的波 長較短，對於 ABAQUS 而言，可能無法掌握其精確度，或者是有其 他更好的模擬方式可以接近解析解，但是總和來說，ABAQUS 的解 和解析解的差異還在可以接受的範圍內，而且趨勢都相同，我們還是 以收斂性分析的元素尺寸、分析區域做為我們以後的分析。