初始條件與邊界條件 - Theoretical Analysis of the Changes of Stratum Behaviors Due to Hot Spring Seepage

Theoretical Analysis of the Changes of Stratum Behaviors Due to Hot Spring Seepage Through the Rock Flaw

3.4 初始條件與邊界條件

本文是考慮問題之各項初始條件均為零。因係探討深層溫泉抽水所引致滲流對地層力學行為變化等之影響，故可不考慮地表邊界的影響，所以可將溫泉地層模擬為一無限域多孔介質。本文旨在探討溫泉地層因溫泉抽水之滲流作用所引致的地層長期力學、滲流與熱流等行為之變化，所以數學模式中之時間變數t 均已考慮為t→∞。

在z→±∞之無限遠邊界位置上，可考慮其地層位移變化量、超額孔隙水壓及地層溫度變化量等均不受溫泉抽水所引致滲流作用的影響。因此，在無限遠邊界上之地層邊界條件可表為：

( ) ( ) ( ) ( )}

{

, , , , , , ,

{

0,0,0,0

}

lim →

±∞

→ u_r r z u_z r z p r z r z

z ϑ 。 (8) 3.5 閉合解

本文係引用積分轉換方法，解析如圖1 所示點狀溫泉抽水所引致滲流對地層力學行為變化等之影響的數學模式，所採用的解析方法為 Hankel 積分轉換方法，引用適當之數學工具書[18]，即可據以推導出問題之穩態閉合解，如以下所示：

( ) ( )

( )

r Q R

r Gk z Q

r u

t h s w

r π ν λ

α ν ν

π γ ν

−

− +

−

− −

= 8 1

1 1

16 2

, 1 ， (9a)

( ) ( )

( )

z Q R

z Gk z Q

r u

t h s w

z π ν λ

α ν ν

π γ ν

−

− +

−

− −

= 8 1

1 1

16 2

, 1 ， (9b)

( )

k R

z Q r

p ^w ^w 1

, 4

−γ

= ， (9c)

( )

z Q r

h 1

, 4

ϑ =− πλ ， (9d)

式中符號R= r² +z²。式(9a)與式(9b)係因深層單點溫泉抽水滲流所引致之地層水平位移與垂直位移變化等；式(9c)與式(9d)為問題所引起的岩層超額孔隙水壓與岩層溫度變化量。

四、溫泉自岩層裂隙滲流之問題的閉合解

自然界中之岩體常存有裂隙，溫泉抽水時，岩層裂隙即會產生溫泉滲流之現象。當溫泉自岩層裂隙發生滲流時，會引起孔隙水壓之變化，而孔隙水壓之變化會導致地層有效應力之改變，當地層有效應力產生變化時，地層即會出現壓密的行為。欲研究溫泉自岩層裂隙滲流所引致之地層力學行為變化，可以點狀溫泉滲流問題之閉合解為基礎，再做適當之線積分，即可研討出所欲研討的問題之解，說明如下。

根據已研討出之點狀溫泉抽水滲流所引致的地層力學行為變化之閉合解，擬進一步探討如圖2 所示的溫泉自岩層裂隙滲流所引致之地層力學行為變化，其中岩盤裂隙之長度為 2a，而在單位時間內，每一單位岩盤裂隙長度所通過的溫泉滲流水之體積為q ，_w 其中包含q 的熱量。 _h

所探討之溫泉自岩層裂隙滲流的地層力學行為變化問題係三度空間之問題，為進行適當之線積分，首先須將點狀溫泉滲流影響下之閉合解進行座標轉換，即考慮將閉合解由圓柱座標系統

(

r ,,θ z

)

轉換至卡氏座標系統

(

x ,,y z

)

，其轉換過程應滿足以下之關係：

(

x,y,z

)

( )

r,z cosθ u_θ

( )

r,z sinθ

u_x = _r − ， (10a)

(

x,y,z

)

( )

r,z sinθ u_θ

( )

r,z cosθ

u_y = _r + ， (10b)

(

x y z

)

( )

r z

u_z , , = _z , ， (10c)

(

x y z

)

( )

r z

p , , = , ， (10d)

(

x,y,z

)

( )

r,z

ϑ = ， (10e) 其中等號右邊之各項閉合解即為圓柱座標系統下所推導出之解，因問題為軸對稱，故圓柱座標系統下各種物理變化量均與θ無關。點狀溫泉滲流問題係軸對稱問題，故環向位移u_θ =0；此外，圓柱座標系統下之座標變數r 滿足r² = x² +y²的關係。

如圖2 所示，於線狀岩層裂隙上取長度為ds之一小段長度作分析，因單位時間內單位長度之岩層裂隙所產生之溫泉滲流體積為q （立方公尺/公尺/秒），其中包含之熱能_w 為q （焦耳/公尺/秒），故 ds_h q_h 與q_wds恰好對應於點狀溫泉滲流問題之熱源強度Q （焦_h 耳/秒）與滲流水體積Q （立方公尺/秒）。此外，點狀溫泉滲流問題之閉合解中的變數_w

2 z

R= + ，係表示地層中之任意點至點狀溫泉滲流位置間之距離，因此線狀溫泉滲

流問題中，地層內之任意點

(

x,y,z

)

至ds位置之距離R 可表為R= x² +

(

y−s

)

² +z²。最後再對變數s做岩層裂隙長度−a至a的線積分，並應用能進行符號運算之數學套裝軟體 Mathematica 以及數學工具書[18]進行線積分之運算，即可研討出溫泉自長度為2a之岩層裂隙滲流所引致之地層力學行為變化問題的閉合解。基於此，所研討出之地層位移、

超額孔隙水壓力及地層溫度變化量等之閉合解如以下所示：

( )

( ) ( )

(

y a

)

y a z

a y a y z x x

u q

t h x s

− +

− + +

+ + + + +

−

− +

= 2 2 2

2 2 2

1 ln 8

λ ν π

α ν

( )

( ) ( )

(

y a

)

y a z

a y a y z x x

Gk q_w

− +

− + +

+ + + + +

−

− −

2 2 2

1 ln 16

2 1

ν π

ν ， (11a)

( )

_^ + +

(

)

− + + − _^

−

− +

= ² ² ² ² ² ( )²

1 8

1 q x z y a x z y a

t h s

y π ν λ

α ν

( )

_^ + +

(

)

− + + − _^

−

− − ² ² ² ² ² ( )²

1 16

1 x z y a x z y a

Gk q_w

ν π

ν ， (11b)

( )

( ) ( )

(

y a

)

y a z

a y a y z z x

u q

t h s

z + + − + −

+ + + + +

−

− +

= 2 2 2

2 2 2

1 ln 8

λ ν π

α ν

( )

( ) ( )

(

^y ^a

)

^y ^a

z x

a y a y z z x

Gk q_w

− +

− + +

+ + + + +

−

− −

2 2 2

1 ln 16

2 1

ν π

ν ， (11c)

( )

(

y a

)

z y a x

a y z a y x k p q^w ^w

− + +

− +

+ + + +

− +

= 2 2 2

2 2 2

4π ln

γ ， (11d)

( )

(

y a

)

z y a x

a y z a y q x

t h

− + +

− +

+ + + +

− +

= 2 2 2

2 2 2

4πλ ln

ϑ 。 (11e)

式(11a)-(11e)即為本文所欲研討出之解，其中式(11a)-(11c)分別為溫泉自岩層裂隙滲流所引致之x、y 、z 方向的岩層位移，式(11d)與式(11e)則為溫泉自岩層裂隙滲流所引 起的超額孔隙水壓與地層溫度變化量。應用所研討出之閉合解進行後續之相關研究，應有助於進一步瞭解溫泉抽水滲流所引致之岩層力學行為變化問題。

五、結語

本文研究成果說明如下：

1. 本文係以積分轉換方法解析無限域飽和溫泉地層因抽水所引致滲流問題的數學模式，所研討出之解為可以簡單函數表達之穩態閉合解。應用此閉合解，可據以進行後續之相關研究，許多數值分析結果之驗證與校正，均有賴於以此閉合解為基礎。

2. 在溫泉抽水所引致點狀溫泉滲流問題中，本文係考慮單位時間內有Q 體積（其中包_w

含Q 之熱能）的溫泉自地層中被抽出時，因抽水所引致之地層水平位移_h u_r、地層垂

直位移u_z、超額孔隙水壓p 與地層溫度變化量ϑ 等，如式(9a)-(9d)所示。

3. 根據點狀溫泉滲流所引致之地層力學行為變化問題之閉合解，本文亦進一步探討溫泉自岩層裂隙滲流所引起的岩層力學行為變化問題之解，所研討出之解亦為可以簡單函數表示之閉合解，如式(11a)-(11e)所示，分別代表溫泉自岩層裂隙滲流所引起的岩體在

(

x ,,y z

)

座標系統中之位移

(

ux,uy,uz

)

、超額孔隙水壓p 與岩層溫度變化量ϑ 等結果。

六、誌謝

本文係在國科會計畫NSC-94-2625-Z-216-001 補助下所完成，特此申謝。

參考文獻

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圖1 點狀溫泉抽水滲流所引致岩層力學行為變化問題之示意圖

圖2 溫泉自線狀岩層裂隙滲流所引致岩層力學行為變化問題之示意圖

437

-Benford 定律與河川流量關係之探討

呂志宗、任克泰、曾柏領中華大學土木與工程資訊學系

摘要

Benford 定律常應用以檢驗數字之正確性，其在資料管理領域已有不少應用，可據以研判有問題之數字資訊。河川流量也是一種數字資訊，且此一數字資訊非常重要，因其與工業、農業及民生用水等有關。以往台灣河川流量之監測，已有一定之可信度與基礎，可據以研判其與Benford 定律間之關係，

再當作往後檢定相關河川流量資訊之參考，且亦能據以研判是否有氣候異常的徵兆等。基於此，本文以淡水河流域為研究對象，由該流域之測站三峽(2)的流量記錄之研討知，其河川流量確與 Benford 定律有關。

關鍵字：Benford 定律、淡水河流域、流量 1、前言

天文學家Newcomb[1]於 1881 年首先發現所謂的「第一位數現象」，他發現圖書館所收藏的計算用對數表在一開始的幾頁最髒，而這幾頁的頁碼正是以 1 或 2 開始的數字，愈往後則愈乾淨。其他的書籍也有此類似的現象，這反映出以 1 或 2 開始的數字出現之機率較為頻繁。 Newcomb 在觀察到這個現象之後，他採取了更進一步的研究，結果他找出了一個明確的公式，可用以計算出以某個數字開頭的數據出現之機率。可是 Newcomb 將研究成果發表後似乎並沒有引起別人的注意，直到又過了 57 年之後，物理學家 Benford[2]才再次發現這個定律，他應該是獨立發現該定律的。Benford 以超大範圍的數字來做測試，所有的數據都會出奇的與公式結果相符，因此這個現象就被稱為「Benford 定律」。

Benford 定律在錯帳的調查上已有許多成功的應用[3、4]；由文獻[5]之研究發現，河川長度等數據亦符合Benford 定律。

近年來，由於氣候異常等因素的影響，全球各地常有潦旱發生，對於河川流量等數據特性之瞭解，應有助於偵測出氣候異常之前兆，以做好水資源之貯蓄、規劃與營運等。若是能夠針對河川之各種水文數據加以分析，進而探討其與 Benford 定律的關係，則應有助於未來水資源之規劃與永續利用。本文係相關研究主題之初步探討，旨在分析淡水河流域之河川流量數據是否具有 Benford 定律所描述之特性，未來應能據以建立一套輔助分析模式，用以監測淡水河流域之河川流量變化，希能有助於水資源之永續開發與利用。

2、 Benford 定律簡介

茲以符號D 表示數字 1、2、3、…、9，則根 據 Benford[2]的研究發現，在一堆自然形成的數

字中之第一位數為D 的出現機率 P，可由下述之 計算公式得知：



 

 +

= D

P 1

log₁₀ 。 (1)

上式即為 Benford 定律所指稱之「第一位數現象」的機率計算公式。

由公式(1) 可計算出在一堆自然形成的數字中，以 1 開頭的機率是 30.1%，以 2 開頭的機率是 17.6%，以 3 開頭的機率是 12.5%，以 4 開頭的機率是 9.7%，以 5 開頭的機率是 7.9% ，以 6 開頭的機率是 6.7%，以 7 開頭的機率是 5.8%，以 8 開頭的機率是 5.1% ，以 9 開頭的機率是 4.6%。其中以數字 1、 2、3 開頭的機率約佔 60.2%。許多自然形成的數字均具有類似的數字屬性，本文擬以淡水河流域之流量為探討對象，以研究其與 Benford 定律間之關係。

3、淡水河流域之流量數據特性分析 由經濟部水利署[6]所建構之網站「水文水資源資料管理供應系統」，可以找到淡水河流域之歷年河川流量等水文資料，其中由測站「三峽(2)」

所記錄之資料較為完整，故本文擬以該測站之流量資料進行相關之統計分析，並探討其與Benford 定律間之相關性，本文之資料統計範圍係自1979 年起至2003 年止，共計 25 年的時間。該測站係位於台北縣三峽鎮三峽橋，其流量記錄資料最早可追溯至1957 年，文獻[6]中 2004 年測站「三峽 (2)」的流量資料因故有些短缺，故暫不考慮。

圖1 與圖 2 是「三峽(2)」測站之位置示意圖，

該測站係由第十河川局管轄。圖1 中之綠色區域係代表與淡水河流域有關之區域，其中「三峽(2)」

438 -測站約位於圖1 正中央偏左之位置上；圖 2 則是

「三峽(2)」測站再局部予以放大之位置圖。圖 3 是 2003 年「三峽(2)」測站之流量資料統計圖，

表 1 則是 2003 年「三峽(2)」測站之流量資料統計表，各年度之流量資料均是與此方式加以記錄。

圖1 三峽(2)測站位置示意圖[6]

圖2 三峽(2)測站位置局部放大示意圖[6]

圖3 三峽(2)測站 2003 年之流量統計圖[6]

表1 三峽(2)測站 2003 年之流量統計表[6]

月日

一月

二月

三月

四月

五月

六月

七月

八月

九月

十月

十一月

十二月 1 2.11 1.63 0.83 0.91 1.39 0.83 0.49 0.40 0.02 0.40 0.40 2.35 2 1.63 2.11 0.83 0.74 0.91 0.57 0.74 0.32 0.02 0.40 0.40 1.15 3 5.63 1.63 0.83 13.90 0.66 0.57 0.32 0.40 0.02 0.66 0.40 1.15 4 2.83 2.59 1.87 27.60 0.66 0.49 0.32 0.49 0.04 0.83 0.57 0.83 5 2.83 2.11 0.91 18.00 0.83 0.49 0.57 0.40 0.49 0.57 0.49 0.74 6 2.35 1.63 0.91 6.79 0.66 0.74 0.49 0.40 0.40 0.57 0.40 0.74 7 7.71 1.39 2.35 2.59 0.57 4.47 0.91 0.57 0.40 0.74 0.32 1.15 8 15.30 1.87 1.87 6.02 0.91 2.83 3.31 0.32 0.40 1.63 0.32 0.74 9 4.86 1.39 1.63 12.50 0.83 0.83 4.47 0.32 0.40 0.57 0.40 0.57 10 6.79 1.15 2.83 16.60 0.66 0.74 4.47 0.40 18.00 0.49 0.49 0.91 11 5.25 1.63 1.63 7.18 0.57 0.66 18.70 0.32 54.90 0.57 0.74 1.15 12 2.59 1.63 1.39 2.59 0.49 1.39 8.78 4.47 20.20 0.40 0.49 1.39 13 2.11 1.39 1.39 1.63 0.57 0.66 1.63 2.35 7.71 0.74 0.49 1.15 14 1.87 0.83 1.15 2.35 0.66 5.63 0.83 0.57 5.25 0.83 0.40 1.15 15 1.87 1.15 0.91 2.35 1.15 5.63 0.66 0.83 1.87 4.08 0.32 0.91 16 1.63 1.39 0.91 1.39 2.11 1.63 0.57 0.49 0.66 0.91 0.40 0.91 17 1.39 1.39 0.83 1.15 2.59 0.91 0.57 0.40 0.91 0.66 0.66 0.91 18 1.39 1.15 1.39 0.91 2.11 21.00 0.49 0.40 0.57 0.66 0.57 0.91 19 1.15 1.63 1.87 0.83 1.39 18.00 0.57 0.40 0.49 0.66 0.49 1.15 20 0.91 1.63 3.07 0.74 0.91 46.30 0.49 0.49 0.57 0.57 0.74 * 21 1.39 0.83 2.83 0.83 0.32 54.90 0.49 0.40 1.39 0.83 0.40 * 22 1.63 0.91 2.11 0.66 0.57 24.30 0.57 0.32 0.74 0.66 0.91 * 23 1.87 0.91 1.39 0.66 0.74 11.50 1.15 0.23 0.74 0.66 0.91 * 24 1.39 1.15 2.35 0.74 0.66 5.25 2.11 0.57 0.66 0.74 0.32 * 25 1.15 0.91 1.39 0.66 0.74 2.35 2.83 0.49 0.57 0.74 0.40 * 26 1.15 0.83 1.15 0.83 0.74 0.91 1.39 1.15 0.57 0.74 0.57 0.91 27 2.59 0.91 1.15 0.66 0.74 0.66 4.08 0.49 0.49 1.15 8.78 1.15 28 1.87 0.83 4.47 0.57 0.66 0.66 0.49 0.57 0.40 0.66 18.70 0.83 29 1.39 9.85 0.57 0.66 0.57 0.40 0.74 0.40 0.57 19.30 0.83 30 1.39 1.63 0.91 1.15 0.57 0.74 0.49 0.40 0.57 5.63 0.74

31 1.39 1.15 0.91 0.57 0.40 0.57 0.83

註：1. 流量之單位為 m³/sec。

2. 符號*表示無該筆記錄。

由式(1)所示之 Benford 定律的討論原則知，

需計算出流量資料中之首位數分別為數字1、2、

3、…、9 的出現機率為何。基於此，本文擬以五個年度為一個討論單元，因此，擬分別研討 1979~1983 年、1984~1988 年、1989~1993 年、

1994~1998 年、1999~2003 年等之流量資料的特徵，探討其特徵是否與Benford 定律有關。

經由研討得知，在 1979~1983 年間，共有 1,826 筆流量資料，其中流量數據之首位數為 1 之出現次數為463 次，其出現機率為 25.4%；首位數為 2 之出現次數為 326 次，其出現機率為 17.9%；首位數為 9 之出現次數為 68 次，其出現機率為3.7%。詳細之統計資料結果如表 2 所示。

表3 至表 6 分別為另四組三峽(2)測站流量數據之機率統計表，每一組之統計範圍均為連續之 5 個年度。表 3 為 1984~1988 年間，三峽(2)測站流量數據之首位數出現機率統計表；表 4 為 1989~1993 年間，三峽(2)測站流量數據之首位數出現機率統計表；表5 為 1994~1998 年間，三峽 (2)測站流量數據之首位數出現機率統計表；表 6 為1999~2003 年間，三峽(2)測站流量數據之首位數出現機率統計表。

在文檔中坡地災害潛勢、觀測與預警技術之研究（二）-子計畫： (頁 73-128)