John C.-C. Lu and Feng-Tsai Lin
ABSTRACT
The paper tried to introduce an interesting concept of golden ratio to improve the teaching in general education. The golden ratio in the nature helps to appreciate the beauty of nature designed by its Creator. The golden ratio, 0.618 or 1.618, is frequently found in the natural system. Many perfect objects are associated with the golden ratio.
For example, the location of eye on the head follows the principle of golden ratio.
Besides, many designers, musicians, and artists apply the golden ratio in their creations.
The study presents the esthetics of golden ratio to the faith level. It helps readers to build up the mind of coordination of the nature, human, matter and oneself.
Keywords: Golden ratio, Fibonacci sequence, General education, Faith with the life.
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一、前言
自然界中存在著許多有趣的黃金比例（Golden Ratio）現象，不僅空間問題與黃 金比例有關，很多與時間有關的問題亦與黃金比例有關。黃金比例可由費氏
（Fibonacci）數列推導出，引用費氏數列，即可找出黃金比例 0.618，其倒數則為 1.618，0.618 或 1.618 均可稱之為黃金比例，黃金比例亦可稱之為黃金數字（Golden Number）或黃金分割（Golden Section）。費氏數列
{
an,n=1,2,3,L}
係指{1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、…}，此數列之特徵為數列當中任意三 個 連 續 的 數 字 之 前 兩 個 數 字 相 加 的 和 ， 恰 為 第 三 個 數 字 的 大 小 ， 亦 即
2
1 +
+ = + n n
n a a
a ，其中n 是自然數。引用費氏數列，並安排前後相鄰的兩個數字彼此
相除，則所得出的比值會逐漸趨近於0.618。大自然的許多事物，都與這個比值有關。
作者在學校是教授與工程相關之課程。近年來，社會各界對各項工程之規劃、
設計與施工等等，均會要求工程與生態環境必須兩者兼顧，亦即應採用生態工法進 行各項工程。在探究生態工程的精神與內涵時發現，這不僅是技術層面的問題，更 是心態的問題。
由此可知，工程教育之內涵除應讓工程師具備專業領域的基本知識技能之外，
亦應包括天人物我這四個層面。若欲培養一個工程師具有這種天人物我的胸懷，則 授課老師不僅應教授其技術層面之知識技能，也應教授學生如何以虔敬的態度面對 天、如何與他人團隊合作、如何愛護環境生態中的每一個受造之物、以及該如何以 積極的態度面對自己的生命問題。以上所述問題之層面，不僅是知識技能的層面而 已，也是一種生活的態度，不僅屬於哲學的層次，更與信仰的層次有關。
老實說，若欲以說教的古板方式介紹這些層面的問題，大多數的人大概都會覺 得興趣缺缺，即使說得頭頭是道，也提不起勁來聽個仔細，因為這類的主題通常是 既八股又說教的，且身教又重於言教，並非一個人口才好能講得出來就算數了。作 者覺得，欲突破此一困境，可以從「美」這個字出發，進一步介紹自然界中的「黃 金比例之美」。也可以從「美」這個字的甲骨文寫法，瞭解造字的倉頡等人所企望的
「人事物之美」，其意境與造物主有關，是一種祈求天人合一之「美的信仰」。
美學素養的提升可從許多方面著手，筆者擬嘗試由有趣的黃金比例切入美學，
且略微引入信仰的層面，使工程師懂得欣賞造物主所創造的自然生態之美，進而能 在工程之規劃、設計與施工的過程中，維護環境、生態與景觀，減少或避免對大自 然的破壞，甚至能夠恢復已被破壞的環境、生態或景觀。更希望能培養學生成為術
134 德兼修、濟人濟物之博雅人才。
二、美之內涵
聖經創世記二章九節說：「耶和華神使各樣的樹從地裏長出來，可以悅人的眼 目，也好作食物。」這段經文給我們看見，植物有兩種功用，一是給人欣賞，二是 供應人類所需用的食物，且造物主認為「悅人眼目」應是最重要的，「作食物」則是 第二重要部分。回想我們的生活經歷，也可以揣摩出這是一段很有哲理的話。例如 各地的旅遊景點，常是強調當地的自然景觀，自然景觀與植物是無法分開的，甚至 許多旅遊景點的宣傳訴求，即是邀請觀光客前來欣賞當地所栽植經營的花海。站立 甚至躺臥在一片向日葵、油菜花、油桐花、波斯菊或金針花田中的感覺，是一種既 浪漫又幸福的感覺，彷彿來到了人間仙境，會讓人陶醉其中。
大多數人應該都會認同造物主實在是最懂得「美」的藝術家，當人們觀賞祂廣 大的創造時，就會發現，自然界中的大大小小、形形色色，實在是壯麗、奇觀又美 妙，這一切都說出祂的無限，並且令人讚嘆不已。譬如，科學家發現，在顯微鏡下，
絕對沒有兩片雪花是完全相同的；又例如原子很小，但其中卻蘊藏著極大的能量；
還有，天上有無數的星體，雖然天體是懸在虛空之中，但卻有力量支撐著它們且規 律地在看不到的軌道上運行著；還有，太陽照射地球一個小時的能量，就等同於人 類一年所消耗的能源，地球生態系的存活，就是依賴太陽每一天所供應的光和熱；
此外，人的大腦能記錄無數的資料，不僅彩色影像可以記錄，聲音、觸覺、嗅覺、
以及生活中之各種經歷也都可以記錄，且能思考各種事物，並產生出無窮的創意與 智慧，但大多數人一輩子下來卻可能僅發揮其功效的 2% 而已；各種活物，都是既 精巧又完美，其遺傳密碼 DNA 的基本單元雖然看似簡單，但不同的組合方式所產 生出來的果效卻又完全不同，且神奇無比；我們身體上的各個肢體，都是大小適當 且剛好被安排在最合適又最美的位置上。這些神奇又奧妙的現象，實在是多得不勝 枚舉。
大自然的設計牽涉到美學，但是美學的應用並非僅挶限於自然景觀而已。實際 上，各行各業的專家，都可以給「美」這個字適當的加以詮釋。例如：科學家費曼 說「簡單就是美」；詩人徐志摩說「數大就是美」；模糊的事物會有「朦朧之美」；畫 作或樂曲若能令人感動就可說是「美不勝收」或「美妙樂音」；很多服務業或個人都 想盡力作到「完美」，並期待得著「美譽」和「美名」，好達到「真善美」的境界。
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每個人對「美」所下的定義，通常已超越視覺感官的範圍，並且均已達到心靈層次 的範疇。由此可知，若欲單從視覺感官的角度，要對美下個定義是不夠的。因此，
本文除了將從黃金比例說明美的概念，亦將探討心靈層次的美。
作者發現造漢字的倉頡等人很有智慧。漢字之演變，依時間的先後，有甲骨文、
金文、大篆、小篆、隸書和草書等，根據考古學家的鑑定，甲骨文最早出現的年代 大約已有4,600 年左右的時間（朱天民 2000），而聖經創世記中的挪亞一家八口出方 舟的時間也已約有 4,600 多年，因此甲骨文開始出現的時間，大約就是挪亞一家出 方舟的時間。有相信聖經的文字學家（朱天民2000；李美基等人 2001）推論說，根 據聖經，大洪水後，人類是因蓋造巴別塔，被神分散至地的四方，因此在 4,600 年 前那個古老的年代裏，寫聖經的希伯來人遷移至中東附近，自稱是炎黃子孫的華夏 民族則向東遷移，居住在亞洲東邊，並稱自己所居住的這塊土地為「神州」，意思是 我們的祖先認為自己是神的子民，而所居住的這塊土地是神所給的土地。希伯來人 與造漢字的倉頡等人，一定會從他們先祖的口中得知人類的第一個家庭是神所造的 亞當、夏娃，以及亞當、夏娃喫了知識樹上的果子後，被趕出伊甸園的故事。自此 之後，人類經歷了四次的墮落，且一次比一次嚴重，但神不放棄人，並應許要救贖 被敗壞的人，當時神應許給人的救贖主耶穌基督尚未來到地上，但神卻以豫言或圖 畫的方式將祂的心意啟示給人（李常受1994；張郁嵐 1998）。
神啟示希伯來人的話，是記載在希伯來聖經中；而神啟示給神州子民的話，有 一部分就隱藏在老子、水經注等著作中，另有一部分則引藏在我們現今所使用的漢 字中（朱天民2000；李美基等人 2001）。因為惟有引用聖經上的神聖啟示，才有辦 法解釋甲骨上所出現的文字之符號所要表達的豫意。引用聖經中所記載的故事或神 聖啟示，應可說明為何造漢字的倉頡等人，會造出一個有「舟」、有「八」又有「口」
的「船」字，原來是用以表示挪亞一家八口住在巨大的方舟內，用以躲避全球性的 大洪水這件事；此外，又造出我獻羔羊、羔羊蓋我的「義」字，這個「義」字的上 半部是一隻「羊」，而下半部則是一個「我」字，這也微妙微肖的將整本聖經的精意
「我獻羔羊、羔羊蓋我」給啟示出來了。在漢字當中，有很多跟「羊」有關的字，
都有正面、積極、光明的象徵意義，例如：「義」、「祥」、「善」、「美」等字都是。
現在讓我們再來看看「美」這個字，「美」是由「羊」與「大」所組成。在甲骨 文中「羊」是畫成 ；「大」是畫成 ，乃指一個人；而「美」則是畫成 ，亦即 有一隻羔羊蓋著人。舊約聖經中有許多關於耶穌基督要來到地上為人類流血贖罪的 記載，在說到流血贖罪這件事時，神是以羊來形容祂自己，說耶穌是替罪的羔羊，
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如同舊約祭司在獻祭過程中，以羊為犧牲祭物一樣。在中國，最大的禮儀就是祭祀。
有一次子貢想撤掉祭壇上的羊，但孔子對他說：「爾愛其羊，我愛其禮。」孔子相當 堅持這個禮儀，有可能是孔子從祖先們的口中得知，其在豫表上具有相當重要的意 義，所以不可以廢掉這個禮儀。若以此精神來解釋「美」這個字，就能夠很清楚的 說明為何「羊」加上「大」就是「美」，當時造字的人應是在描述一幅圖畫，指明神 的羔羊要為人類捨命流血贖罪這件「美事」。
對耶穌基督的信徒而言，應能領會如何過「美的人生」，不就是接受主耶穌為個 人流血贖罪，並經歷祂的死與復活。聖經羅馬書六章五節說：「我們若在祂死的樣式 裏與祂聯合生長，也必要在祂復活的樣式裏與祂聯合生長。」這樣的與主耶穌同死 同活，會使我們裏面滿有羔羊基督的生命，這應該就是美這個字的屬靈意義之實際。
黃金比例或費氏數列都可用以描述完美的事物，它可以使人們對完美事物的解 釋，不再只是拘限於抽象之定性的描述，而能以定量的數據加以表明。造物主確實 也在許多的受造之物身上，引用了黃金比例或費氏數列的設計原則。以下之介紹，
能讓讀者對黃金比例等有更深入的認識，並有助於培養天人物我、人與自然應共存 共榮的胸懷。
三、黃金比例的推導
學理上，推導黃金比例的方法有很多種，例如可以：1. 根據費氏數列；2. 根據 完美的相似矩形；3. 根據比例中項的原則；4. 根據正五邊形；5. 根據帕司卡（Pascal）
三角形等等（洪萬生2003；蔡聰明 1995a；蔡聰明 1995b；呂志宗、謝瑜萱 2004；
Livio 2004）。今擬介紹如何根據費氏數列推導出黃金比例。
費氏約出生於 1170 年，後來成為商人，他也是一位出色的數學家。1202 年，
他寫了一本名為「計算書」的數學書，在書中他曾提出一個著名的「兔子問題」，亦 即：「某人在圍牆內飼養了一對兔子，如果新生的兔子在第二個月後每個月都會生出 一對兔子，請問一年後圍墻內一共有多少對兔子？」
根據題意，第一個月圍牆內所出現的兔子，就是飼養者原先所飼養的第一對兔 子。第二個月時，第一對兔子還不能生出兔子，因為每一對兔子都必須在成長兩個 月以後才能生出兔子，故第二個月時，圍牆內的兔子仍是一開始所飼養的那一對兔 子。第三個月時，第一對兔子已成長兩個月了，故應會生出一對兔寶寶，故現在圍