中華大學土木與工程資訊學系
副教授 碩士生 碩士生 碩士生 碩士生 碩士生 碩士生
呂志宗 任克泰 溫志浩 廖英達 梁惠儀 楊俊丞 吳明銘
John C.-C. Lu K.-T. Ren Z.-H. Wen Y.-D. Liao H.-Y. Liang Z.-C. Yang M.-M. Wu
摘 要
Benford 定律係用以描述自然形成的大量數據資料中，數字 1 至 9 會以某一特定比 率出現的現象。本文擬引用Benford 定律，探討淡水河、鳳山溪與頭前溪等台灣北部河 川流域之流量及雨量特徵。本研究係根據水利署網站中所提供之長期每日流量暨雨量等 水文資料，進行相關之研究。由研討結果知，研究區域之水文等相關資料，多符合Benford 定律所描述之特徵。
關鍵詞：Benford 定律，淡水河，鳳山溪，頭前溪
Abstract
Benford’s Law states that in big collections of data, certain percentages will start with the digits one through nine. It’s the reflection of a natural pattern in numbers. The objective of this paper is to determine the characteristics of the flow and rainfall over northern Taiwan basins, including Dan-Shui River, Feng-Shan River and Tou-Chian River, by Benford’s law. The study used long-term hydrology data obtained from the web site of Water Resources Agency. The investigation confirmed the characteristics of Benford’s law on most of the hydrology data over the investigated basins.
Keywords: Benford’s Law, Dan-Shui River, Feng-Shan River, Tou-Chian River
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以 Benford 定律探討北台灣之流量及雨量特徵
Analysis on the Characteristics of Flow and Rainfall over Northern Taiwan Basins by Benford’s Law
中華大學土木與工程資訊學系
副教授 碩士生 碩士生 碩士生 碩士生 碩士生 碩士生
呂志宗 任克泰 溫志浩 廖英達 梁惠儀 楊俊丞 吳明銘
John C.-C. Lu K.-T. Ren Z.-H. Wen Y.-D. Liao H.-Y. Liang Z.-C. Yang M.-M. Wu
摘 要
Benford 定律係用以描述自然形成的大量數據資料中，數字 1 至 9 會以某一特定比 率出現的現象。本文擬引用Benford 定律，探討淡水河、鳳山溪與頭前溪等台灣北部河 川流域之流量及雨量特徵。本研究係根據水利署網站中所提供之長期每日流量暨雨量等 水文資料，進行相關之研究。由研討結果知，研究區域之水文等相關資料，多符合Benford 定律所描述之特徵。
關鍵詞：Benford 定律，淡水河，鳳山溪，頭前溪
Abstract
Benford’s Law states that in big collections of data, certain percentages will start with the digits one through nine. It’s the reflection of a natural pattern in numbers. The objective of this paper is to determine the characteristics of the flow and rainfall over northern Taiwan basins, including Dan-Shui River, Feng-Shan River and Tou-Chian River, by Benford’s law. The study used long-term hydrology data obtained from the web site of Water Resources Agency. The investigation confirmed the characteristics of Benford’s law on most of the hydrology data over the investigated basins.
Keywords: Benford’s Law, Dan-Shui River, Feng-Shan River, Tou-Chian River
一、前言
台灣年平均雨量為2,500 毫米，約為全球平均值 834 毫米的四倍，但每人可獲得的 水量卻僅及全球平均值的四分之一。地形陡峭，降雨時空分佈不均，且三分之二的雨量 直接逕流入海，這些都是水量難以利用的原因。台灣人口密度排名世界第二，缺水排行 名列世界第十八，因此如何妥善貯存又有效運用有限的水資源，是當前最重要的課題之
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一。近年來，因受聖嬰現象及溫室效應等的影響，氣候似較四、五十年前不穩定，每年 之總降雨量雖無明顯變化，但降雨強度明顯增加，造成旱季時缺水成旱，暴雨時洪水成 災，此一現象對水資源之利用已造成重大之影響。
氣候包含雨量及氣溫兩大特性，台灣因山多且高，地形起伏大，所以河短流急。當 降雨來臨時，若是雨量過大，超過土層所能儲蓄之水量，即容易發生洪災及土石流等災 害，並造成人民生命財產之損失。災害發生前，若能適時對人民發出預警，則可減輕因 自然災害所帶來之損失。以目前台灣之技術及人力，預測長期之氣候變化幾不可能。但 短期之氣候變化，則可藉由觀測各種相關之氣候資訊，達到一定程度之預測。
由需求面來看，台灣每人每日用水量，已由250 公升增加至 350 公升。加上消防用 水及日常生活中之漏水等水量，每人每日用水量預估可達與美國接近之570 公升，高於 日、韓等國。用水不當及用水量過高，已成為台灣水資源利用之一大隱憂。
近年來，由於氣候變化異常之影響，在全球各地已造成許多災害，如美國及東南亞 各國出現異常嚴重之旱災、中國及歐洲出現大洪水、台灣近年來的桃芝及納莉颱風等，
皆對人民甚至是國家產生了重大的影響。有鑑於氣候異常造成之災害，常於人們不知覺 之情況下發生，且當災害來臨時，人們往往來不及對災害作防範及躲避。因此，如何在 與氣候相關之資訊的基礎下，取得有用之資訊，對氣候變化作一分析、研究，建立一套 有效之氣候預警系統，以適時地在災害前提出警示，達到降低災害以及維護人民生命財 產的安全，至為重要。
台灣因地勢陡峭，河流陡且急，每當降雨時，若是發生瞬間雨勢過大之情況，則常 會引起洪災及土石流，而造成重大的災害。此時，若是能針對河流之各種水文數據加以 研究、分析，探討其中之相關性，應有助於偵測出氣候異常之前兆，並可據以作好水資 源之儲蓄及規劃等工作。
本研究擬以Benford 定律為基礎，對淡水河、鳳山溪、頭前溪等流域中的流量及雨 量等水文資訊，進行一初步之研究、分析，用以找出其規律性，或能有助於流域內往後 之水資源相關規劃與利用。
二、文獻回顧
氣候為天氣的統計特性，是大氣圈、水圈、冰雪圈、地圈、以及生物圈等五大系統 交互作用下，呈現在大氣的狀態。過去數十年來，台灣的自然環境快速惡化，對氣候變 化的自然調節能力明顯減弱。氣候變化對我國所帶來之災害主要為旱災、洪災等，其對 人民之生命、財產，常造成重大的影響。
陳嘉榮(2000)指出，洪水為國內重要天然災害之一，為減輕此災害所引起的損失，
適時的洪水預警有其必要性。台灣之河川多急流且坡度陡，一般小集水區對雨量之反應 快速，往往使集流時間甚為短促。因此，無論就減災、環境保護、甚至提高國家競爭力 等方面來看問題，提高我國的氣候預報準確度確實有其必要性。台灣為一多山之島嶼，
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河流遍佈整個島內，與人民的生活息息相關。淡水河、鳳山溪及頭前溪流域等位於台灣 北部，流域內包括台北縣、台北市、基隆市、桃園縣、新竹縣市等。並有石門、翡翠水 庫以及其他攔河堰等，提供整個北部地區所需之水資源。
行政院環境保護署(2006)在溫室氣體資料庫網站中提到，影響水資源的水文因子包 括河川流量、蒸發量、溫度等，而河川流量與降雨量有最明顯的關係。因此，若欲探討 氣候變遷對水資源的影響，必須先了解氣候變遷對降雨量、河川流量及水文循環等的影 響。陳晉琪(1999)提及，以台灣地區而言，降雨是水份的主要來源。姜承吾(1996)指出 降水(Pecipitation)為水由大氣降落地面之一段路程，是水文循環作用之起源。其量之多 寡及時間分佈，對灌溉、給水、防洪、水力發電與水資源之開發利用等的影響頗深。凡 落於地面之水，不論其為液態或固態，統稱為降水。因此，降水包括雨、雪、霜、露、
冰雨及雹等，其中雨在不同型式之降水中所佔比例最高。降水起源於大氣中所含之水汽 飽和所引致，但降水現象並非僅與空氣中之水汽含量多寡有關，另有其他因素綜合促 成，如氣流、風向、氣溫、氣壓及流域高程等因子皆是。
一般觀測雨量所使用之基本單位為毫米(mm)，雨量之觀測則有以下幾種方式：1.
普通雨量計觀測；2.雷達降水觀測；3.氣象衛星降雨估測。平均雨量之計算方法則有以 下五種：1.算術平均法(Average Rainfall)；2.集扇多邊型法(Thiessen Method)；3.等雨量 線法(Isohyetal Line)；4.百分數面積法(Percent-of-Mean Method)；5.平均雨量計算法。
姜承吾(1996)指出河川流量為水文之重要記錄。流量為單位時間內通過某斷面之水 容積，常以每秒立方公尺(CMS，cms)或每秒立方英呎(CFS，cfs)加以表示，流量難以由 一次之測取而獲得。流量為流速與斷面之乘積，河川斷面與流速隨時變動，因此兩項變 數須在同一時間測取，方可求得正確之流量。流量測定之方法甚多，小流量可直接量容 積，或由稱重換算流量，天然河道適合使用斷面流速法。其他尚有許多測定流量之方法，
包括：1.直接量計流量法；2.斷面流速測量法；3.水面坡降面積法；4.水工結構物測流量 法；5.控制斷面測流量法。
徐義人(2003)指出，流域係由諸多斜面與河川網所構成。其中，斜面為雨水降落之 主要場所。落於斜面與河溪之雨水會成為河川水路之逕流(Runoff)，最後流至出水口 (Outlet)。降於流域之雨水，並非全部都會轉成河川逕流。成為河川逕流之部份中，有的 在降雨後以較快速度流入河道，或在降雨停止後，經長時間後才變為河川流量。
姜承吾(1996)提及，逕流可分為三部份：第一為地表逕流(Surface Runoff)，係流經 地表之水流，其起初為薄膜流，再來為漫地流，最後集中於溪、谷、河渠並流至流域出 口，地表逕流主要起因於強度大之暴雨。第二為地表下逕流(Subsurface Runoff)，亦稱為 伏流，為降水之一部份滲入地表下土壤內形成側流以流入河川，其流速雖緩，但於持續 之中度降雨時，地表下逕流量可能較多。第三為地下水逕流(Groundwater Runoff)，亦稱 地下水流，即入滲之雨水經深層滲漏流入地下水層，形成地下之蓄水層。
Nigel(1999)曾經利用 Hadley Centre 氣候模擬方案(HadCM1、HadCM2、HadCM3) 所計算出來的結果，分析氣候和水資源間的變化關係。蔡松家(2002)指出，以地理資訊
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系統軟體ArcView 為核心，配合 Microsoft Virtual Basic 程式，並結合 GSM(Group Special Mobile)無線傳輸水位接收系統，再藉由即時傳輸之雨量及河川水位觀測資料進行建模與 預測，已可於將軍溪建立一套洪水預警系統。
王安得(2004)是以電腦數值模擬為基礎，使用數值模擬程式 NETSTARS，模擬淡水 河於各時間序列下各流量之推移載(Bed Load)、河床質載(Bed Material Load)等之輸砂量 (Sediment Content)，並結合經濟部水利署之懸移質實測記錄，推估淡水河口之年輸砂量 及淡水河口之年侵蝕率。李詩茜(2003)利用模擬演算法及缺水指標等，針對翡翠水庫之 操作規線進行評估，能對乾旱的預防或改善找出一套明確之用水因應方案。陳明業(2001) 嘗試以永續發展之角度，檢視過去針對淡水河流域之水資源需求所提出之各項水資源規 劃方案，並針對可行性較高之幾項水資源規劃方案，進行模擬評估，其亦考慮氣候變遷 對水資源所可能造成的影響，找出較符合永續發展理念之水資源操作方式。
天文學家 Newcomb 於 1881 年首先發現所謂的「第一位數現象」，他發現圖書館所 收藏的計算用對數表在一開始的幾頁最髒，而這幾頁的頁碼正是以1 或 2 開始的數字，
愈往後則愈乾淨。其他的書籍也有此類似的現象，這反映出以1 或 2 開始的數字出現之 機率較為頻繁。Newcomb 在觀察到這個現象之後，他採取了更進一步的研究，結果他 找出了一個明確的公式，可用以計算出以某個數字開頭的數據出現之機率。但是 Newcomb 將研究的成果發表後，並未受到當時世人的注意，直到物理學家 Benford(1938) 再次獨立發現這個定律。Benford 以大範圍的數據作測試，發現許多自然形成的數據都 會與公式所得的結果相符合，因此這個現象就被稱為「Benford 定律」。Benford 定律與 數據間並無直接之相關性，但可找出Benford 定律與數據間之規律性。
Benford 定律係於 1930 年代被提出，但直到 1994 年經過 Nigrini 的研究之後，才開 始應用在審計領域，也逐漸被應用在商業界的資料分析與管理調查上，並已印證Benford 定律在審計領域查核上的實用性。如前所述，Benford 定律常應用以檢驗數字之正確性，
其在資料管理以及審計領域上已有不少應用，可據以研判有問題之數字資訊。Benford 定律在審計領域的應用，是根據第一位數出現的頻率，分析會計資料中的交易金額的第 一(或第二、三、…)位數之出現頻率是否遵循 Benford 定律的出現頻率。Johnson(2005) 曾經以Benford 定律檢驗愛爾蘭在生意上因為詐欺和私吞所發生的錯誤帳目，以減少每 年在生意上高達5%的營業額損失。
Hans-Andreas 等人(2003)發現，在一些不同的系統裡，符合 Benford 定律的數據樣 本可以是河流長度、市場每日的庫存量、零售價目、物理常數等等。有一些數學級數，
例如Fibonacci 級數，亦已被證實會遵守 Benford 定律。
朱毓仁(2004)指出，Benford 定律雖然能夠檢驗數據，但在使用上仍是有其先天上的 限制，其僅能夠稱作是一個分析程序，可以有效的協助審計人員找出非自然的經濟交 易，例如可能的錯誤、潛在的舞弊行為、人為的偏差與無效率或不正常的經濟行為等。
但是根據Benford 定律所完成的分析結果仍須要依賴專業的判斷，才能正確判斷統計數 據中是否確實存在錯誤或舞弊。因此，Benford 定律雖然不能直接斷定資料的正確性，
但由於其能夠協助審計人員有效的找出可能的錯誤、潛在的舞弊行為、人為的偏差與無 效率或不正常的經濟行為，指導審計人員查核的方向，降低審計的風險，增加審計工作 的效率與效果，故Benford 定律已被稽核人員相當推崇與採用。
本文擬以Benford 定律為工具，並以淡水河、頭前溪與鳳山溪等流域為研究目標，
探討流域中之流量及雨量等數據，據以檢驗其與Benford 定律間之相關性，用以研判流