利率模型之演進

利率模型對風險控管及利率衍生性商品的評價方面，皆扮演很重要的角色，好的 利率模型頇能準確描述現行的利率期間結構，和不同到期日的利率波動度期間結 構及相關係數結構，利率模型一般可分為均衡模型（Equilibrium Models）和無 套利模型（No Arbitrage Models）：。

(一) 均衡模型

均衡模型旨在當資本市場的需求與供給達均衡時，可以決定唯一的利率解，此時 推導出的利率模型為內生模型（Exogeneous Models）。典型之均衡模型如下：

1. Vasicek（1977）

Vasicek 為短期利率模型的一種，在風險中立的假設下，其利率 r 服從 Ornstein-Uhlenbeck（O-U）的隨機過程：

( ) ( ( )) ( ) dr t  r t dtdW t

其中α、β、σ皆為常數，而α為均數復歸的速度、β為短期利率的長 期帄均水準、 ( )r t 為短期利率、σ為短期利率的波動度，dW t 為 Wiener ( ) process，dW t( ) ~N(0,dt 。 )

另外，當利率偏離帄均長期水準β時，會以α的速度回到長期帄均水準 β。而因為 O-U 隨機過程服從常態分配，利率有可能為負數，因此不符合真

實市場情況，也無法準確描述利率期間結構。

2. CIR（1985）

Cox, Ingersoll, and Ross(CIR)為改善 Vasicek 模型利率可能為負的 缺點，將dW t 的係數重新設定為( )  r t( )，因此短期利率波動度恆為正，符 合真實情況，且波動度隨著利率上升而增加，而漂浮項則與 Vasicek 模型 設定相同。在風險中立的假設下，其隨機過程如下：

( ) ( ( )) ( ) ( )

dr t  r t dt r t dW t

CIR 模型雖然為同時考量實質商品及金融市場的經濟模型的基礎下所 推導出的利率模型，但因 CIR 模型為均衡理論下的內生模型，無法符合現在 的利率期間結構，且其利率服從非中央卡方分配，並不利於模型參數的校準。

(二) 無套利模型

由於均衡模型與目前市場利率期間結構並不一致，為了解決這個缺點，因此在無 套利模型中的假設為：目前市場利率為輸入的參數，漂浮項（drift term）則為 時間的函數，讓期初零息利率曲線在無套利模型中會影響未來利率的帄均路徑。

以無套利理論推導，並根據市場期間結構來校準的利率模型。典型之無套利模型 如下：

1. Ho and Lee （1986）

Ho and Lee 模型是最早提出的無套利模型，其短期利率的隨機過程為 ( ) ( ) ( )

dr t  t dt dW t

其中 為瞬間短期利率的波動度，為常數， ( ) t 為時間的函數，且頇符 合期初的利率期間結構，雖然 Ho-Lee 模型改善均衡模型與目前市場利率結

構不一致的缺點，但因為此模型不具有均數復歸的特性，且利率有可能為 負，因此與真實市場情況不符。

2. Hull and White （1990）

Hull-White 模型為 Vasicek 模型延伸出來的模型，此模型可以符合期 初的利率期間結構，其模型在風險中立下的隨機過程為

( ) [ ( ) ( )] ( ) dr t   t r t dt dW t

或

( ) [ ( )t ( )] ( ) dr t   r t dt  dW t

   

其中 、 皆為常數， ( ) t 為使模型符合期初利率期間結構的時間函 數，而此模型在 Vasicek 模型中，可視為利率在時間 t 時，會以 的速度回 歸到( )t

 ^{帄均水準。而 ( )} ^t 可由期初利率期間結構導出：

2

( ) (0, ) (0, ) (1 2 ) 2

t

t Ft t F t  e ^

 



    

其中最後一項因值過小，如果將它忽略不計，隱含著利率的漂浮項變為 (0, ) [ (0, ) ]

Ft t  F t r 。表示帄均而言，利率的變動遵循期初瞬間遠期利率 的斜率，當它偏離利率曲線時，會以 的速度回到帄均利率水準。

3. HJM （1992）

HJM 模型由 Heath, Jarrow and Morton 所提出的以瞬間遠期利率為基 礎，在無套利架構下，推導出連續時間下的多因子遠期利率模型，在傳統風 險中立下，此模型的隨機過程為

( , ) ( , ) ( , ) ( ) df t T  t T dt t T dW t

其中 ( , )f t T 為在時間 t 所觀察到的時間 T 的遠期利率

由 Brace, Gatarek, and Musiela （BGM）所提出的對數常態遠期 LIBOR 利 率模型，稱為 BGM 模型；第二類則為 Jamshidian 所發展出的對數常態遠期

1

Qi^ martingale，根據Ito s Lemma' ， f t T T( ; ,_{i i1})以P t T( , _i1)為計價單位，

( ; ,_{i i} 1)

f t T T_ 為Q^i1martingale，可知 f t T T( ; ,_{i i1})在Q^i1測度下的隨機過程為

1 1

( ; ,_{i i} ) ( ; ,_{i i} ) _i( ) _i( )

df t T T_  f t T T_  t dW t i1, 2, ,n

其中_i( )t 為已知函數，W t_i( )為Q^i1測度下的布朗運動。可解出 LIBOR 遠期 利率的隨機微分方程式為

2

1 1 0 0

( ; , ) (0; , ) exp 1 ( ) ( ) ( )

2

t t

i i i i i i i

f t T T_  f T T_ ^





當上式in，則以P t T( , _n1)為計價單位， f t T T( ; _n, _n1)為Q^n1martingale。

為了推導 f t T T( ; _n, _n1)在Q^k1測度之一般化隨機微分方程式，對所有 1, 2, ,

i n透過測度轉換到Qⁱ測度下的隨機微分方程式可寫成：

1 1 1 1

( ; _n, _n ) _n( )[ ( )_{i n} ( )] ( ; _n, _n ) _n( ) ( ; _n, _n ) _n( ) df t T T_  t v t v_ t f t T T_ dt t f t T T_ dW t ( 2 ) 其中v t_i( )為在 t 時間點的債券價格P t T( , )_i 之波動度，v_n1( )t 為在 t 時間點的 債券價格P t T( , _n1)之波動度。

接著說明如何求得v t_i( )v_n1( )t ：

由於 ₁

1

( , )

1 ( ; , ) ,

( , )

i

i i i

i

P t T

f t T T

P t T  _



 

1 1

ln ( , ) ln ( ,P t T_i P t T_i) ln[1 _if t T T( ; ,_{i i} )]

    ( 3 )

在傳統風險中立假設下，零息債券價格的隨機過程為：

( , _k) ( ) ( , _k) _k( ) ( , _k) ( ) dP t T r t P t T dtv t P t T dW t

利用Ito s Lemma' ，讓 ( 3 ) 式等號兩邊的 dW 項相等，可得到

₁ ¹

利用尤拉吉米斯定理（Euler and Milstein Schemes）進行斷續化

（Discretization），得

1 2