第一節 研究背景與動機
近年來，隨著利率模型趨近成熟，日新月異的利率相關性商品也隨之蓬勃發 展，而在商品推出之際的成敗取決於訂價是否合理，評價方式能否精確影響評價 的結果。
早期傳統的利率模型為描繪瞬間短期利率的隨機過程（如：Vasicek 模型、
Hull and White 模型）或是瞬間遠期利率的隨機過程（如：HJM）等。應用這些 方式理論上可行，但因為從真實市場無法觀察得知這些瞬間利率，使用模型前為 了符合市場資訊還頇先做校準的動作，因此自西元 1997 年，由 Brace, Gatarek, and Musiela （BGM）所提出的 LIBOR 市場模型（LIBOR Market Model），此模型 為將 HJM 模型間斷化，直接推導市場上可觀察到之 LIBOR 利率的隨機過程，因此 不需像傳統利率模型尚頇對利率做轉換，可以直接以市場上觀察到之 LIBOR 報價 帶入模型中做評價，不僅增加評價的準確性，亦能符合利率波動度結構，更能貼 切的描述市場上的利率期間結構。
LIBOR 市場模型假設遠期 LIBOR 利率服從對數常態分配，由於 LIBOR 市場 模型中的利率隨機過程屬於非馬可夫過程（Non-Markov process），所以在建立 樹狀結構時，因路徑相依的特性造成每期節點無法重合，使得節點成指數成長，
不僅降低評價的效率，亦提高困難度。
為了克服這個問題，何俊儒（2008）採用與 LIBOR 市場模型相同假設—Ho, Stapleton, and Subrahmanyam（1995）所提出的建樹方法，建立同時描繪利率 期間結構與波動度結構，並讓節點重合的二項樹，用來逼近多變量的對數常態過 程。但是由於不同到期日生效的的遠期利率間含有相關性，所以在我們考慮多期 不同生效日之遠期利率的商品時，例如債券選擇權、利率上限選擇權等這類的利
率衍生性商品，就必頇求得不同期間生效日之遠期利率樹的聯合機率分配。
本研究根據 Ho, Stapleton, and Subrahmanyam （HSS）（1995）所提出的建 樹方法，將它應用至遠期利率樹上，並同時考慮多期遠期利率之相關性，以 Cholesky 分解定理和 Andricopoulos et al.(2003) 介紹的求面積法（quadrature method）推導出此聯合機率分配，如此便可評價多期不同生效日的利率樹之相關 金融商品。
第二節 研究流程與論文架構
Forward Rate Recombining Binomial Trees
HSS Multivariate Binomial Methodology (1995) Poon and Stapleton
text (2005)
Forward Rate Tree Joint Probability
Andricopoulos et al.(2003) – Quadrature method Cholesky decomposition
Forward Rate Recombining Binomial Trees
HSS Multivariate Binomial Methodology (1995) Poon and Stapleton
text (2005)
Forward Rate Recombining Binomial Trees
HSS Multivariate Binomial Methodology (1995) Poon and Stapleton
text (2005)
HSS Multivariate Binomial Methodology (1995) Poon and Stapleton
text (2005)
Forward Rate Tree Joint Probability
Andricopoulos et al.(2003) – Quadrature method Cholesky decomposition
整個研究架構為：根據 Ho, Stapleton, and Subrahmanyam（HSS）(1995)提供 建造多變量且讓節點重合的建樹方法，建立遠期利率樹，並考慮多期的遠期利率 之相關性，結合 Cholesky 分解定理和 Andricopoulos et al.（2003）求面積法，
推導出聯合機率分配。
其中，第二章介紹的內容有：簡介利率模型的演進、介紹 LIBOR 市場模型蒙
地卡羅模擬法、根據 Poon 與 Stapleton（2005）推導出離散時間下之 LIBOR 市 場模型的漂浮項，介紹離散的 BGM 模型，最後透過 Ho, Stapleton, and
Subrahmanyam 建造樹狀節點重合的數值方法，建立遠期 LIBOR 利率市場模型。
第三章為研究方法，在考慮多期遠期利率的相關性下結合 Cholesky 分解定 理和 Andricopoulos et al.（2003） 求面積法，推導出遠期 LIBOR 利率的聯合機 率分配。
第四章為實證分析－評價債券選擇權。第五章為本研究之結論與貢獻。