評價債券選擇權

我們利用此模型來評價歐式債券選擇權，考慮標的物是到期日四年，一年發 一次債息，票面利率為 10%，面值$100 的債券，而選擇權到期日是一年後，履約 價為 100 元。由於 LIBOR 市場模型最大的特色就是直接以市場上觀察到之 LIBOR 報價帶入模型中做評價，但因為市場上可能沒有足夠的資訊供我們評價模型所使 用，因此所需參數有些必頇進行估計。其中，遠期利率我們採用市場上觀察到的 LIBOR 報價，藉由插補法、拔靴法、預期理論等，獲得不同期限的遠期利率。波 動度則使用市場上價帄的利率上限選擇權(CAP)波動度估計遠期利率的波動度。

相關係數則採用歷史資料去估計。先介紹參數估計過程（遠期利率、波動度、相 關係數的估計），最後為評價結果。

一. 遠期利率的估計 步驟 1：殖利率曲線之估計

由於在市場上觀察到的 LIBOR 利率都是一年以內的即期利率，但是我們需要 的參數卻是遠期 LIBOR 利率，且大部分都在一年以上，因此必頇藉由目前的即期 利率及一年以上的交換利率求得遠期利率。首先，我們在市場上找出以美元計價 的 LIBOR 報價，期限分別是 6 個月與 12 個月，及當日一年以上且半年付息一次 的交換利率，如下表所示：

LIBOR 報價 交換利率報價

期限 (月) Rate 期限 (年) Rate 6 個月 1.845% 1 年 2.431%

12 個月 2.3725% 2 年 3.221%

3 年 3.748%

4 年 4.128%

由於市場上美元 LIBOR 報價最長只到 12 個月，而債券選擇權評價期間為四 年，為了求出更長期的美元 LIBOR 報價，超過一年的部份需要以一年以上且半年

付息一次的美元利率交換報價，並利用拔靴法（Bootstrapping Approach）轉換 成 LIBOR 利率。拔靴法是目前實務上常用來估計殖利率曲線的方法，轉換方式則 是利用利率交換的報價會等於一帄價發行相同年限、風險等級、付息複利次數債 券的票面利率，而轉換成的 LIBOR 利率也會等於其殖利率。

但是由於市場上沒辦法觀察到所有到期日的交換利率，因此利用 MATLAB 軟 體的非線性插補法（Cubic Spline）插補出一年以上，且以半年為單位的交換利 率。例如：我們有 1 年期與 2 年期的交換利率就可以使用非線性插補法，插補出 1.5 年的交換利率，接著便可使用拔靴法，利用下式即可求出 1.5 年的殖利率：

0.5 0.5 11 1.5 1.5

1.5 1.5 1.5

1 1 1

( 1) 1

2 2 2

L L L

S  e^{ } S  e^{ }  S   e^{ }  其中，S_1.5：由非線性插補法求得的 1.5 年期的交換利率

L_t： t年期的殖利率，t0.5, 1,1.5

由於S_1.5、L_0.5（即為 1.845％）、L₁（即為 2.3725％）皆已知，如此便可求得L_1.5。 接著再次使用相同的方法求出 2 年期的殖利率，運用下式：

0.5 0.5 11 1.51.5 2 2

2 2 2 2

1 1 1 1

( 1) 1

2 2 2 2

L L L L

S  e^{ }   S e^{ }   S e^{ }  S   e^{ } 

其中，S₂代表 2 年期的交換利率，而只有L₂未知，因此可求出L₂。不斷重覆此 步驟就可估算出 2 年、2.5 年…以半年為單位的殖利率，如下表所示：

年限 殖利率（％) 0.5 L_{0.5 1.8450%}

1 L_{1 2.3725%}

1.5 L_{1.5 2.8561%}

2 L_{2 3.2118%}

2.5 L_{2.5 3.5034%}

3 L_{3 3.7467%}

3.5 L_{3.5 3.9561%}

4 L_{4 4.1382%}

步驟 2：遠期利率之估計

接著使用即期利率與遠期利率之間的關係式，

1 1

1

1

(0 ; ,_{i i} ) ^{i i i i} 0,1, 2,3

i i

L T L T

f T T i

T T

 





  



其中T_i為i年，且L_i即為上表中所表示的殖利率。

因此可求出如下表所示的初始遠期利率：

表 1. 各期的初始遠期利率 遠期利率（％）

(0 ;0 ,1)

f

2.3725%

(0 ;1, 2)

f

4.0512%

(0 ;2 ,3)

f

4.8163%

(0 ;3 , 4)

f

5.3129%

二. 波動度估計

一般而言，市場上利率上限選擇權的報價是以波動度作為報價，此波動度指 的是利率上限選擇權包含區間內[T_i1,T_i]的帄均波動度，但模型所需的是各個遠 期利率的波動度，因此我們需要經過校準過程：

假設各個遠期利率的波動度均為常數，即

( ) 1

i t si vTi caplet

   

由於利率上限選擇權（Caps）是由一系列的利率買權（caplets）所組合而成，

對於 Cap 內的每一個利率買權（caplet）分別評價後加總就是 Cap 的價值。以下 先針對利率買權（caplet）做討論，在時間 t ，利率買權的價值應用 Black 模型

（1976）可求得：

( , _i 1, ,_i ) _i (0, )_{i c}( , _i( ), ,_i ) Cpl t T_ T K  P T Black t F t v K 其中，_i為每個 caplet 的時間長度

P t T( , )_i 為在時間點 t 觀察到期日T_i的零息債券價格 K為利率上限選擇權的上限利率（即履約價）

F t_i( )即為 f t T( ; _i1, )T_i

根據上述說明，利率上限選擇權（Cap）的價值則為 caplet 價值的加總，則

T 年期利率上限選擇權的價值為 j

接著舉例說明運用上述等式 (18 ) 求得遠期利率的波動度：

【舉例】已知 1 年期與 2 年期的利率上限選擇權的波動度報價，且利率上限選擇 權內含的利率上限買權是以六個月為一段區間，因此 1 年期利率上限選擇權內含 1 個利率上限買權；2 年期利率上限選擇權內含 3 個利率上限買權。則利用等式 關係可寫成在t0時的價值為：

◎ 1 年期：

1 1 1 0.5

0.5P(0,1)Bl(0,F(0), 0.5v_Cap,K)0.5P(0,1)Bl(0,F(0), 0.5v _caplet,K) 同時假設同一年內的各個遠期利率之波動度均相等，可得到 0 年至 1 年間的波動 度v(0,1) caplet_ ：

0.5 caplet (0,1) caplet 1 Cap

v _ v _ v_

◎ 2 年期：

1 2 1.5 2

2 2

1 0.5 1.5 1

0.5 (0,1) (0, (0), 0.5 , ) 0.5 (0,1.5) (0, (0), 1 , )

0.5 (0, 2) (0, (0), 1.5 , )

0.5 (0,1) (0, (0), 0.5 , ) 0.5 (0,1.5) (0, (0), 1 , )

0.5 (0, 2)

Cap Cap

Cap

caplet caplet

P Bl F v K P Bl F v K

P Bl F v K

P Bl F v K P Bl F v K

P Bl

 



 

    

  

     

   (0,F₂(0), 2v_1.5caplet,K)

此時假設v_1caplet v_1.5caplet v_{(1,2)caplet}，在已知v_{0.5 caplet} 及v_{2 Cap} 的情況下，便可求出

1 年至 2 年間的波動度v(1,2) caplet_ 。

藉由以上的估計方法，我們可利用市場上 1 年期至 4 年期，間隔時間為半年 的利率上限選擇權，進行 LIBOR 市場模型遠期利率波動度的估計，下表為校準後 的波動度結構：

表 2. 初始波動度結構 期間 遠期利率波動度 0 年~1 年 34.98%

1 年~2 年 34.38%

2 年~3 年 28.14%

3 年~4 年 25.61%

三. 相關係數估計

我們採用 200 天的歷史資料進行估計，首先在市場上找出這 200 天的每日 6 個月及 12 個月的美元 LIBOR 利率和每日不同期限的交換利率報價，將此 200 天 的資訊分成 200 組，每天分為一組，同時對此 200 組中，針對每組的 LIBOR 利率 及交換利率報價，運用前述遠期利率的估計過程一，所提到的非線性插補法，插 補出一年以上以半年為間隔的 LIBOR 利率及交換利率，再運用拔靴法得到一年以 上的 LIBOR 利率（殖利率），最後運用即期利率與遠期利率之間的關係式，可求 得 200 組每日不同期限的遠期利率。利用此 200 組不同期限的遠期利率，即可求 得遠期利率間的歷史相關係數矩陣：

1 2 3 4

1 1 -0.12958 0.99238 0.99837 2 -0.12958 1 -0.00642 -0.07270 3 0.99238 -0.00642 1 0.99780 4 0.99837 -0.07270 0.99780 1 四. 評價結果

利用市場資料估計完遠期利率、初始波動度結構並求得歷史相關係數後，可 利用這些估計出來的參數進行最後的評價過程，接下來我們將樹狀模型的評價結 果與蒙地卡羅模擬法做比較，表 3 為用樹狀模型得到的債券選擇權價值；而表 4 是用蒙地卡羅模擬法得到的結果。

表 3. 用樹狀模型來評價債券選擇權

m tree m tree m tree m tree

1 13.94235 6 13.92684 11 13.92545 16 13.92251 2 13.88081 7 13.92196 12 13.92310 17 13.93678 3 13.92011 8 13.91764 13 13.93608 18 13.93292 4 13.93581 9 13.93266 14 13.93193 19 13.92861 5 13.92094 10 13.92862 15 13.92733 20 13.92661

"m"為 0 至時間點 t 分割的期數

"tree"為 0 至時間點 t 分割 m 期的債券選擇權價值

表 4. 用蒙地卡羅模擬法評價債券選擇權

N MC Value 95％ C.I.

100 13.94823 [13.29039 , 14.60608]

1000 13.93185 [13.69541 , 14.16828]

,14.04611]

10000 13.93421 [13.86762 , 14.00081]

100000 13.93007 [13.24065 , 14.61949]

1000000 13.92984 [13.07544 , 14.78424]

"N" 為使用蒙地卡羅模擬債券價格選擇權的次數

"MC Value" 為使用蒙地卡羅模擬法模擬 N 次的帄均債券選擇權價格

"95% C.I." 為 95%的信賴區間

由表 3 與表 4 可以看出，使用樹狀模型求算的債券選擇權價值會收斂至使用 蒙地卡羅模擬法的評價結果，表示樹狀模型在分割期數很少的情況下，債券選擇 權的價值仍然與使用蒙地卡羅模擬法的值很接近。

在文檔中 建立遠期LIBOR利率的聯合機率分配 (頁 42-48)