第三章 論文作法介紹
3.1 利用上升機率分析吞吐量
考慮到每個飽和的站台在環境中都會因為 idle 的 slot 經過而提升自己 的傳送機率，我們因此設計了以此特性為主要考量的分析方法。因為每個 站台的 backoff 的範圍是被 CW 所限制，所以在 backoff 的過程中，在第 一個 slot 即傳送的機率為(1/當次的 CW)，在接下來的 slot 傳送的機率便 開始遞增，會一直持續到當次的 CW 到達的時候，傳送的機率會達到 1，那 是因為在一次的 CW 中一定會有至少且唯一一次的傳送。
圖 3-1 傳送機率隨著空白時槽上升示意圖
圖 3-1 中解釋了當在 W 的範圍內平等的選擇一個 backoff 的數字當作傳送 的等待時間時，其中的每個 slot 的傳送機率，而第 i 個 slot 必須在前面 i-1 個 slots 都沒有傳送時才會使用到，要是有某個 slot 選擇傳送，則在 後面的那些 slots 就不會出現。當第一個 slot 被使用時，因為 backoff 選到第一個 slot 的機率為 1/W，所以傳送機率為 1/W，如果第一個 slot 沒有選擇傳送的話，則會使用第二個 slot，傳送的機率則會提高到 1/(W-1)，以此類推，一直到最後一個 slot(傳送機率為 1)為止。在例 1 中，我們參考文獻[1]的環境，來設計我們的模型，隨後在例 2 中會加入 文獻[1]所沒有考慮到的兩個因素修改這個模型。圖 3-1 中表示了在某個 CW 為 W 的 stage 中，所有可能發生的 slot，考慮例 1 的情況，如果把其 中的 slots 以模型狀態的方式表示並將所有可能的 stage 考慮進去，我們
可以得到一個二維的馬可夫鏈如下圖所示:
圖 3-2 例 1 時槽出現機率馬可夫鏈
圖中的每個狀態發生的機率定義為bi,j，裡面包含兩個參數 i、j，參數 i 代表的是此站台正在使用第 i 個 stage 產生的 backoff 參與競爭，而參數 j 代表的是 slot 經過的個數，範圍會由 0 到當次的 CW-1 為止。假設每個 slot 的傳送機率定義為u，那麼 1-u則為該 slot 沒有傳送的機率，便會 使該 slot 往下一個傳送機率較高的狀態前進。
1 , j −
i i, j
1
1 − u
i,j−圖 3-3 例 1 時槽未使用轉換機率
1 1 , ) 1
( 1
1 ,
, b -u i
~m-bi j = i j− i,j- = (3-1) 由上式可以得到
0,0
m,0 m,4
1,0
2,0
0,CW0-1
1,CW1-1
2,CW2-1
m,CWm-1
0,2 0,3 0,4
1,4
2,4 0,1
m,3 m,2
m,1 2,1 1,1
2,2 2,3
1,3 1,2
1 1 , ) 1 (
1
0 , 0
,
, b u i
~m-b
j
k
k i i
j
i =
∏
− − ==
(3-2) 其中
j u W
i j
i = 1−
, (3-3) 當站台傳送封包時，若通道上剛好沒有別的站台選擇傳送的話，可視為一 次成功的傳送，這裡我們定義通道上剛好有別的站台傳送資料的機率為 p，則傳送成功的轉移機率表示如下，其中每次成功傳送之後都會回到狀 態b0,0。
j i, ) 1
,
( p
u
i j−
圖 3-4 例 1 時槽成功轉換機率
當該 slot 選擇傳送，而且通道上剛好也有其他的站台在該 slot 傳送，那 麼該站台的狀態便會跳到下一個 stage 的第一個 slot，我們假設通道剛好 有其他站台傳送封包的機率為p，則轉換機率為up。
0 ,
−1
i i−1,1 i−1,2 i−1,3
0 , i
p
ui−1,0 ui−1,1p
圖 3-5 例 1 時槽失敗轉換機率
由上圖:
圖 3-6 例 2 時槽出現機率馬可夫鏈
當站台成功的傳送封包時，轉移機率表示如下，其中每次成功傳送之後都 會回到狀態b0,0。
j i, ) 1
,
( p
u
i j−
圖 3-7 例 2 時槽成功轉換機率
在同一個 backoff stage 裡的機率轉換中，假設在第 i 個 stage 的第 j 個 slot 裡的傳送機率為ui,j，而系統中被使用的機率為p。則在同一個 stage 裡面 狀態(i,j-1)跳到下一個狀態(i,j)的機率為沒有傳送而且通道沒被使用
0,0
m,0
0,1
1,0
2,0
0,CW0-1
1,CW1-1
2,CW2-1
m,CWm-1
1,1
2,1
m,1 m,2 m,3 m,4
2,2 1,2
0,2 0,3 0,4
1,4
2,4 2,3
1,3
的機率：(1−ui,j−1)(1−p)，而且狀態(i,j)跳回自己的狀態(i,j)的機率為自
)
stage i-1 的狀態轉換過來的話，所轉換的機率為傳送的機率
因為在馬可夫鏈中所有狀態的機率的和為 1，再利用式(3-13)與式(3-18)
就可以算出狀態b0,0所會發生的機率大小：
各自的封包的話就被視為是一次失敗的傳送(被稱為 collision)，在每一次的 collision 發生時，參與碰撞的站台只能等到整個碰撞的情形結束之後再平 等的隨機存取通道上的資源，而無法在碰撞發生時即刻的停止各自的傳輸