习题 3.6
1．设 y=x3 +x + ，当 1 x = , 2 D = x 0.01 时分别计算 y D 和 dy ． 2．求下列函数的微分：
（1） 1 2
y x
= x + （2） y= xsin 2 x
（3） 2 1 y x
x
=
+ （4） y= x 2 2 e x
（5） y=ln (12 - x ) （6） y=ln 1 - x 3
（7） y=e- x cos(3- x ) （8） y=arcsin 1 - x 2 3．将适当的函数填入括号内，使下列等式成立：
（1） d( ) 2dx = （2） d( ) 3 d = x x
（3） 1 2 d( ) dx
= x （4） 3 1
d( ) dx
= x
（5） d( ) 2 d = x x （6）
2
d( ) 1 d 1
x x
= -
（7） 1 2 d( ) d
1 x
= x
+ （8） d( )= e- 3 x d x 4．计算下列各式的近似值：
（1） cos 29 o ； （2） 3 996
5．边长为 a 的金属立方体受热膨胀，边长增加 h 时，立方体的体积大约增加了多少？
3.7 利用 MATLAB 计算极限和导数
3.7.1 极限的运算
在实际运算中，极限运算需要很多技巧，因而比较复杂．而 Matlab 提供了多种求极限的 运算函数，使得原本在高等数学中较为复杂的函数极限的求解变得简单．下面给出符号函数 的极限运算调用格式，如表 35 所示．
表 35 limit 命令的调用格式与说明
调用格式 说明
limit(F,x,a)
计算当 x® 时 a F= F x ( ) 的极限值．其中 F 可以是数学函数表达式，也可以是预 先定义好的函数变量．a 可以是符号，也可以是常数，作为符号时须预先定义 limit(F) 按系统默认自变量 x，计算当 x ® 时符号函数表达式 F 的极限值 0
limit(F,a) 按系统默认自变量 x，计算当 x® 时符号函数表达式a F 的极限值 limit(F,x,a,’right’) 计算当 x® a + 时符号函数表达式 F 的右极限值
limit(F,x,a,’left’) 计算当 x® a - 时符号函数表达式 F 的左极限值
其中 a 可以变为任何有限实数，也可以为¥（程序中书写为 inf）．
例 1 求极限 2
1
lim 1 1
x
x x
®
- - ． 解 输入语句如下：
>>syms x a； %定义符号变量 x 和 a
>>limit((x^21)/(x1),x,1) %求函数((x^21)/(x1)当 x ® 1 时的极限 运行结果为
ans = 2 例 2 求极限
0
lim sin
x
x x
® 和 lim sin
x a
x x
®
． 解 输入语句如下：
>>syms x a;
>>limit(sin(x)/x,x,0) 运行结果为
ans = 1 输入语句如下：
>>syms x a;
>>limit(sin(x)/x,x,a) 运行结果为
ans = sin(a)/a 例 3 求下列极限：
（1） lim cos 1
x
x x
®¥
- （2） 2
0
lim 1
x ® + x （3）
0
lim 1
x ® - x
（4）
0
log( ) log lim
h
x h x
h
®
+ - （5） lim 1 2 3
n
n ®¥ n
æ ö ç + ÷ è ø 解 输入语句如下：
>>syms x h n；
>>L1 = limit((cos(x)1)/x)
>>L2 = limit(1/x^2,x,0,'right')
>>L3 = limit(1/x,x,0,'left')
>>L4 = limit((log(x+h)log(x))/h,h,0)
>>L5 = limit((1+2/n)^(3*n),n,inf) 运行结果为：
L1 = 0 L2 = inf L3 = inf L4 = 1/x L5 = exp(6)
3.7.2 导数与微分的计算
在数学里，一元函数 y= f x ( ) 的各阶导数记为 , ,y y y ¢ ¢¢ ¢¢¢ ,... ，在 Matlab 里求函数的导函数 的命令是 diff，其调用格式如表 36 所示．
表 36 diff 命令的调用格式与说明
调用格式 说明
diff(F, ’x’) 计算符号表达式 F 对指定符号变量 x 的一阶导数．其中 F 可以是数学函数表达式，
也可以是预先定义好的函数变量
diff(F) 计算符号表达式 F 对系统默认自变量的一阶导数
diff(F,n) 计算符号表达式 F 对系统默认自变量的 n 阶导数 diff(F,n, ’x’) 计算符号表达式 F 对指定符号变量 x 的 n 阶导数
例 4 求一元函数 e (x x + 2 ) x 和 ln ln x 的一阶和三阶导数．
解 输入语句如下：
>>syms x y t u v z a b %定义符号变量
>>S=exp(x)*(sqrt(x)+2^x); %定义符号函数
>>diff(S) %计算符号函数的一阶导数
运行结果为 ans=
exp(x)*(x^(1/2)+2^x)+exp(x)*(1/2/x^(1/2)+2^x*log(2)) 输入语句
>>diff(S,3) %计算符号函数的三阶导数
运行结果为 ans=
exp(x)*(x^(1/2)+2^x)+3*exp(x)*(1/2/x^(1/2)+2^x*log(2))+ 3*exp(x)*(1/4/x^(3/2)+2^x*log(2)^2)+
exp(x)*(3/8/x^(5/2)+2^x*log(2)^3) 输入语句
>>S=log(log(log(x)));
>>diff(S) 运行结果为
ans=
1/x/log(x)/log(log(x)) 输入语句
>>diff(S,3) %计算符号函数的三阶导数
运行结果为 ans=
2/x^3/log(x)/log(log(x))+ 3/x^3/log(x)^2/log(log(x))+ 3/x^3/log(x)^2/log(log(x))^2+2/x^3/
log(x)^3/log(log(x))+ 3/x^3/log(x)^3/log(log(x))^2+2/x^3/log(x)^3/log(log(x))^3
习题 3.7
1．利用 Matlab 求下列函数的极限：
（1） 3
0
tan sin lim
x
mx mx
x
®
- （2） e e
lim
x y
x® y x y - -
（3） lim
x
x y
x m x n
®
æ + ö ç ÷
è - ø （4） tan 2
π / 4
lim (tan ) x
x x
®
（5） lim [log( 1) log ]
x n n n
®¥ + - （6） lim 2 sin 2
n x n
x
®¥ ×
2．利用 MATLAB 求下列函数的导数：
（1）已知 y=arcsin(a× sin ) x ，求 y¢¢ ．
（2）已知 y= e- x ln x ，求 y ． (5)
（3）已知 y= sin sin 2 sin 3 x x x ，求 y ． (8)
（4）已知 1 1 y x
x
= -
+ ，求 y (20) ．