习题 3.3
1．研究下列函数在分段点处的连续性： （1） ( ) 1, 1 3 , 1 x x f x x x - ì = í - > î ≤ （2） 2 , 1 ( ) 2 , 1 x x f x x x ì ï = í - > ï î ≤ 2．求函数 sin , 0 | | ( ) 0, 0 x x x f x x ì ¹ ï = í ï = î 的连续区间． 3．设 2 ln(1 ) , 0 ( ) 2, 0 kx x x f x x x + ì > ï = í ï + î ≤ ，当 k 为何值时，函数 ( ) f x 在其定义域内连续？ 4．设 a>0,b > 0 ，且 1 sin , 0 ( ) 2, 0 (1 ) ,x 0 ax x x f x x bx x ì < ï ï =í = ï ï + > î 在 (-¥ +¥ 内处处连续，求 , , ) a b 的值． 5．求下列函数的间断点，并判断间断点的类型： （1） ( ) 2 2, 0 , 0 x x f x x x - ì ï = í > ï î ≤ （2） 2 0, 1 ( ) 2 1, 1 2 1 , 2 x f x x x x x ì < ï =í + < ï + î ≤ ≥ （3） 2 1 1 ( ) 1 0 1 x x f x x x ì - ¹ ï = í - ï = î （4） ( ) 2 2 2 - = - - x f x x x 6．证明方程 x4 -2x = 1 至少有一个根介于 1 和 2 之间． 7．证明方程 ex -x = 2 在(0, 2)内有一个根． 8．试利用连续函数的介值定理说明：在一金属线材围成的圆圈上，必有一条直径的两端 点处的温度是相同的．3.4 导数的概念
3.4.1 平均变化率 速度这个问题在日常生活中经常遇到．例如，某辆汽车在三个小时内共行驶 180 公里， 那么这三个小时内的平均速度是 60 公里/小时．如果用s
表示路程，t
表示时间，则s
是t
的函 数，平均速度就是路程的增量与时间的增量之比 2 1 2 1 ( ) ( ) s t s t t t --其中， s t ( ) 1 , s t 分别表示在时刻( ) 2 t 1 , t 的路程． 2 又例如，产品的成本是指生产一定数量产品所需要投入的费用总额，它是关于产品数量 的函数，平均成本是指生产单位产品投入的费用，等于成本增量与产品数量增量之比．某公 司生产某种产品的成本函数为 ( ) C x =200+ x（元）， 其中 x 表示产品的数量． 由成本函数可知， 生产 10 件产品的总成本为 (10)C - C (0) =3.1623（元），其平均成本为 3.1623 0.3162 10 = （元/件）； 而生产 20 件产品的总成本为 (20)C - C (0) =4.4721（元），则其平均成本为 4.4721 0.2236 20 = （元 /件）．上述结果表明，多生产产品可以降低成本． 以上两个例子虽然实际意义不同，但从抽象的数量关系来看，其实质都是函数的改变量 与自变量的改变量之比，称之为平均变化率． 定义 1 在函数 y= f x ( ) 的定义域内任取两点 x 0 , x0 + D ，当自变量x x 从 x 变为0 x0 + D x 时，相应的函数增量 D =y f x( 0+ Dx)- f x ( 0 ) ，称比值 0 0 ( ) ( ) f x x f x y x x + D - D = D D 为函数 y= f x ( ) 在区间 [x x0, 0 + D 上的平均变化率． x ] 函数的平均变化率反应了当自变量改变一个单位长度时函数改变量的大小，或近似地刻 画函数在某点的变化性态．但有时候仅仅知道平均变化率还不够．例如，知道了汽车在某段 时间内的平均速度还不能说明汽车在哪些时刻开得快，哪些时刻开得慢，以及快多少慢多 少．显然，仅掌握计算平均速度是不够的，更为重要的是了解函数在某点处变化的性态．为 此，我们讨论下面两个问题． 例 1 变速直线运动的速度 设一物体作变速直线运动， 在[0, ] t 这段时间内所经过的路程为
s
， 则s
是时间 t 的函数． 求 该物体在时刻 t 0 Î (0, ) t 的速度 v t ． ( ) 0 解 首先取从时刻 t 到 t 这样一个时间间隔0 D = - ，在这段时间间隔内物体从位置 t t t 0 0 ( ) s t 移动到 s t( )=s t(0 + D ，其改变量为 t ) 0 0 ( ) ( ) s s t t s t D = + D - 在这段时间间隔内的平均速度为 v = s s t(0 t) s t ( ) 0 t t + D - D = D D 当时间间隔 t D 很小时，可以认为物体在时间 [ ,t t0 0 + D 内近似地做匀速运动．因此，可以 t ] 用 v 作为 v t 的近似值，且 t ( ) 0 D 越小，其近似程度就越高．当时间间隔 D ® 时，我们把平均 t 0 速度v
的极限称为时刻t
0 的瞬时速度，即 0 0 0 0 0 0 ( ) ( )( ) lim lim lim
t t t s t t s t s v t v t t D ® D ® D ® + D - D = = = D D ． 例 2 切线的斜率 设 C 为一条连续的平面曲线，其方程是 y= f x ( ) ，如图 322 所示． M x y 是 C 上任一 ( 0, 0 ) 点， ( , ) N x y 是另外一点，割线 MN 将绕着点 M 转动．如果当点 N 沿曲线 C 趋向点 M 时，它
的极限位置存在，设为直线 MT，那么直线 MT 就称为曲线 C 在点 M 处的切线．也就是说， 曲线 C 在点 M 处的切线 MT 是 x® x 0 割线 MN 的极限位置． 图 322 设割线 MN 的斜率为 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) tan y y f x f x f x x f x x x x x x j= - = - = + D - - - D 其中j为割线 MN 的倾角．当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时，此时 x® x 0 ．如果当 x® x 0 时，上 式的极限存在，设为 k，即 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x k x x ® - = - 存在，则割线 MN 就转化成切线 MT，因此自然将割线的斜率的极限定义为曲线 C 在点 M 处 切线的斜率 0
lim tan tan
x k j a D ® = = ． 3.4.2 导数的定义 上面两个例子虽然表示的实际意义不一样，但其数学表达式却是一样的，都是因变量的 改变量与自变量的改变量之比，当自变量改变量趋于零时的极限．我们称此极限值为函数的 导数． 定义 2 设函数 y= f x ( ) 在点 x 的某个邻域内有定义， 0 当自变量 x 在 x 处取得增量 x 0 D （点 0 x + D 仍在该邻域内）时，相应地函数x y 取得增量 0 0 ( ) ( ) y f x x f x D = + D - 如果当 D ® 时，极限 x 0 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim x x f x x f x y x x D ® D ® + D - D = D D 存在，则称此极限值为函数 y= f x ( ) 在点 x 处的导数，并称函数0 y= f x ( ) 在点 x 处可导，记 0 为 f x ¢ ( 0 ) ，即 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim x x f x x f x y f x x x D ® D ® + D - D ¢ = = D D （3.5）
也可记为 0 | x x y ¢ = ， 0 d d x x y x = 或 0 d ( ) d x x f x x = ． 函数 ( ) f x 在点 x 处 可导 有时也称 为0 ( ) f x 在点 x 处 具有 导数或 导数 存在． 如果极 限0 0 0 0 ( ) ( ) lim x f x x f x x D ® + D - D 不存在，就称函数 y= f x ( ) 在点 x 处不可导． 0 特别地，当 0 lim x y x D ® D = ¥ D 时，为以后方便起见，也称函数在点 x 处的导数为无穷大，从曲 0 线在点处切线观点来看，该点处的切线平行于 y 轴，即与 x 轴垂直． 函数 ( ) f x 在点 x 处存在导数0 f x ¢ ( 0 ) 的另一个常用等价形式是 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x x f x f x f x x x ® - ¢ = - （3.6） 例 3 求函数 2 ( ) f x = x 在点 (1,1) 处的导数． 解 根据（3.6）式，有 2 1 1 ( ) (1) 1 (1) lim lim 2 1 1 x x f x f x f x x ® ® - - ¢ = = = - - ． 即函数曲线在点 (1,1) 处切线的斜率为 2．导数用来描述曲线在该点处相对 x 轴的倾斜程 度，导数越大，倾角越大，那么因变量相对自变量的变化就越快．因此，导数反映了函数随 自变量变化的快慢程度． 函数 ( ) f x 在点 x 处可导，也就是0 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x ® - - 存在，根据极限的存在条件，要满足 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim x x x x f x f x f x f x x x x x - + ® ® - - = - - 为方便计，称 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x - ® - - 为函数 ( ) f x 在点 x 处的左导数，记为0 f- ¢ (x 0 ) ，即 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim x x x f x f x y f x x x x - - - ® D ® - D ¢ = = - D 0 0 0 ( ) ( ) lim x f x x f x x - D ® + D - = D 同理，称 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x + ® - - 为函数 ( ) f x 在点 x 处的右导数，记为0 f+ ¢ (x 0 ) ，即 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim x x x f x f x y f x x x x + + + ® D ® - D ¢ = = - D 0 0 0 ( ) ( ) lim x f x x f x x + D ® + D - = D 显然，函数 y= f x ( ) 在点 x 处可导的充分必要条件是左导数和右导数均存在且相等． 0 例 4 讨论函数 ( ) sin , 0 , 0 x x f x x x < ì = í î ≥ 在 x = 处是否可导． 0 解 0 0 ( ) (0) sin 0 (0) lim lim 1 0 x x f x f x f x x - - - ® ® - - ¢ = = = -0 0 ( ) (0) 0 (0) lim lim 1 0 x x f x f x f x x + + + ® ® - - ¢ = = = - 因为 (0)f+¢ = f - ¢ (0)= ，所以函数在 1 x = 处可导，且 (0)0 f ¢ = ． 1 如果函数 y= f x ( ) 在开区间 I 内的每一点都可导， 就称函数 ( ) f x 在开区间 I 内可导． 这时，
对于任意 x I Î ，都存在唯一的导数值 ( ) f x ¢ 与之对应，因而 ( ) f x ¢ 也是 x 的函数，称其为函数 ( ) f x 的导函数，简称为导数，记为 y¢ ， ( ) f x ¢ ， d d y x 或 d ( ) d f x x ． 由（3.5）式可得 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim x x y f x x f x f x x x D ® D ® D + D - ¢ = = D D （3.7） 3.4.3 求导数举例 根据（3.7）式，求函数 y= f x ( ) 在点 x 处的导数可分为以下三个步骤： （1）求函数的增量： D =y f x( + Dx)- f x ( ) （2）求比值： y f x( x) f x ( ) x x D + D - = D D （3）取极限： 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim x x y f x x f x f x x x D ® D ® D + D - ¢ = = D D 例 5 求函数 ( ) f x = （ C 为常数）的导数． C 解 0 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f x f x x D ® + D - ¢ = D limx 0 0 C C x D ® - = = D ，即 ( )C ¢ = ． 0 例 6 求 f x ( ) 1 x = ( x ¹ )的导数 ( ) 0 f x ¢ 以及 (1) f ¢ ． 解 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) lim lim x x f x x f x x x x f x x x D ® D ® - + D - + D ¢ = = D D 0 0 2 1 1 lim lim ( ) ( ) x x x x x x x x x x x D ® D ® -D = = - = - + D × D + D . 由 f x ( ) 1 2 x ¢ = - 可得 (1) 1 2 1 1 f ¢ = - = - ． 注意：函数 ( ) f x 在点 x 处的导数0 f x ¢ ( 0 ) 就是其导函数 ( ) f x ¢ 在点 x 处的函数值，即0 0 0 ( ) ( ) x x f x¢ = f x ¢ = ． 例 7 求 ( ) f x = x ( x > )的导数． 0 解 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim x x f x x f x x x x f x x x D ® D ® + D - + D - ¢ = = D D 0 0 1 1 lim lim ( ) 2 x x x x x x x x x x x D ® D ® D = = = D + D + + D + . 例 8 求函数 ( ) sin f x = x 的导数． 解 f x ¢ ( ) 0 ( ) ( ) lim x f x x f x x D ® + D - = D 0 sin( ) sin lim x x x x x D ® + D - = D 0 1
lim 2 cos( ) sin
2 2 x x x x x D ® D D = × + D
0
sin 2
lim cos( ) cos
2 2 x x x x x x D ® D D = + × = D 即 (sin )x¢ = cos x 类似地，可得 (cos )x ¢ = - sin x ． 例 9 求函数 ( ) log f x = a x ( a > 且 0 a ¹ )的导数． 1 解 0 0 log ( ) log ( ) ( )
( ) lim lim a a
x x x x x f x x f x f x x x D ® D ® + D - + D - ¢ = = D D 0 0 0 1 1 1
lim log ( ) lim log (1 ) lim log (1 )
x x a a a x x x x x x x x x x x x x x x D D ® D ® D ® + D D D = = + = + D D 1 1 log e ln a x x a = = 即 (log ) 1 ln a x x a ¢ = ． 特别地，当 a = 时，有 e (ln ) x 1 x ¢ = ． 3.4.4 导数的几何意义 由例 2 的讨论可知，如果函数 y= f x ( ) 在 x 处可导，则导数的几何意义是：0 f x ¢ ( 0 ) 为曲 线 y= f x ( ) 在点( x 0 , y 0 )处切线的斜率． 由直线的点斜式方程，曲线 y= f x ( ) 在点( x 0 , y 0 )处的切线方程为： 0 ( 0)( 0 ) y-y = f x¢ x- x 如果 f x ¢ ( 0 )= ，则切线方程为 0 y= y 0 ，即切线平行于 x 轴． 如果 f x ¢ ( 0 ) 为无穷大，则切线方程为 x= x 0 ，即切线垂直于 x 轴． 例 10 求双曲线 y 1 x = 在点 ( , 2) 1 2 处切线的斜率， 并写出在该点处的切线方程和法线方程． 解 因为 2 1 y x ¢ = - ， 1 2 4 x y ¢ = = - 故所求切线方程为 2 4( 1 ) 2 y- = - x - ，即 4x+y -4= ． 0 法线方程为 2 1( 1 ) 4 2 y- = x - ，即 2x-8y +15= ． 0 3.4.5 函数的可导性与连续性之间的关系 定理 1 如果函数 y= f x ( ) 在点 x 处可导，则函数在该点必连续． 0 证 因为 y= f x ( ) 在点 x 处可导，即0 0 0 lim ( ) x y f x x D ® D ¢ = D 由具有极限的函数与无穷小的关系式有
0 ( ) y f x x a D ¢ = + D 其中， 0 lim 0 x a D ® = ，上式两边乘以 x D ，有 y D = f x ¢ ( 0 ) D x + D a x 由此可见，当 D ® 时， x 0 D ® ，这就是说，函数 y 0 y= f x ( ) 在点 x 处是连续的．即如果 0 函数 ( ) f x 在点 x 处可导，则函数在该点处必连续． 0 注意：这个定理的逆定理不一定成立，即函数 y= f x ( ) 在 x 处连续，在0 x 处不一定可导， 0 但如果函数 y= f x ( ) 在 x 处不连续，则在0 x 处一定不可导． 0 例 11 试讨论函数 ( ) | | , 0 , 0 x x f x x x x ì = = í - < î ≥ 在 x = 处的连续性和可导性． 0 解 因为 0 0 0
lim ( ) lim | | lim 0
x x x f x x x + + + ® ® ® = = = 0 0 0
lim ( ) lim | | lim ( ) 0
x x x f x x x - - - ® ® ® = = - = 所以 0 0 lim ( ) lim | | (0) 0 x x f x x f ® ® = = = ，即 ( ) | | f x = x 在点 x = 处连续． 0 函数在 x = 处左导数 0 0 0 ( ) (0) 0 (0) lim lim 1 0 x x f x f x f x x - - - ® ® - - - ¢ = = = - - 函数在 x = 处右导数 0 0 0 ( ) (0) 0 (0) lim lim 1 0 x x f x f x f x x + + + ® ® - - ¢ = = = - 因为 (0)f-¢ ¹ f + ¢ (0) ，所以 (0) f ¢ 不存在，即 ( ) | | f x = x 在点 x = 处不可导． 0 例 12 设 3 ( ) f x = x ， x Î -¥ +¥ ，试讨论 ( ) ( , ) f x 在点 x = 处的导数． 0 解 f x 在 (( ) -¥ +¥ 上是连续的，在点 , ) x = 处，有 0 3 2 0 0 0 3 (0 ) (0) 1
lim lim lim
( ) x x x f x f x x x x D ® D ® D ® + D - D = = = +¥ D D D 即 ( ) f x 在点 x = 处 导数 为无 穷大 ，即 ( ) 0 f x 在点 x = 处 不 可 0 导．从图 323 可以看出，曲线 ( ) f x 在原点具有垂直于 x 轴的切线 0 x = ． 由上述例 11，例 12 可知，函数在某点处连续是函数在该点处可 导的必要条件，但不是充分条件．
习题 3.4
1．当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却，若物体的温度 T 与时间 t 的 函数关系为 T= T t ( ) ，应怎样确定该物体在时刻 t 的冷却速度 ( ) v t ？ 2．根据导数的定义，求下列函数在给定点处的导数 f x ¢ ( 0 ) ． （1） ( ) sin f x = x ， x = 0 0 （2） f x( )= 10 x 2 ， x = - 0 1 3．对函数 y= f x ( ) ， (0) 0 f = ， 0 ( ) lim x f x k x ® = ， k 表示什么？ 4．若 f x ¢ ( 0 ) 存在且值为 k ，求下列极限： 图 323（1） 0 0 0 ( ) ( ) lim x f x x f x x D ® - D - D （2） 0 0 0 ( ) ( ) lim h f x h f x h h ® - - + 5．求下列函数的导数： （1） y 1 x = （2） y=x5 3 × x （3） y= log 5 x （4） 2 5 x x y = × 6．一物体的运动的运动规律为 S= t 3 (m) ，求这物体在 t = (s)时的速度． 2 7．求下列曲线在给定点处的切线方程： （1） f x ( ) 1 x = ， ( , 2) 1 2 M （2） ( ) cos f x = x ， ( , 0) π 2 M 8．求在抛物线 y= x 2 上横坐标为 3 的点处的切线方程． 9．自变量 x 取哪些值时，曲线 y= x 2 与 y= x 3 的切线平行？ 10．已知 2 2 , 0 ( ) , 0 x x f x x x ì ï = í - < ï î ≥ ，求 (0) f + ¢ 及 (0) f - ¢ ，讨论 (0) f ¢ 是否存在． 11．用导数的定义求 ( ) , 0 ln(1 ), 0 x x f x x x < ì = í + î ≥ 在点 x = 处的导数． 0 12．讨论函数 2 1, 1 ( ) 3 1, 1 x x f x x x ì + < ï = í - ï î ≥ 在点 x = 处的连续性与可导性． 1 13．已知函数 2 , 1 ( ) , 1 x x f x ax b x ì ï = í + > ï î ≤ ，为了使函数 ( ) f x 在 x = 处连续且可导， , 1 a b 应取 何值？
3.5 导数运算法则
求函数的变化率——导数，是理论研究和实践应用中经常遇到的一个问题．有必要探讨 函数求导的运算法则和基本初等函数的导数公式，借助于这些基本法则和基本初等函数的导 数公式，就能很方便的求出常见初等函数的导数． 3.5.1 导数的四则运算法则 定理 1 如果函数 u= u x ( ) 及 v= v x ( ) 在点 x 处可导 那么它们的和、差、积、商（分母为 零的点除外）在点 x 处也可导，且 （1）[ ( )u x ±v x( )]¢=u x¢( )± v x ¢ ( ) ; （2）[ ( ) ( )]u x v x× ¢=u x v x¢( ) ( )+ u x v x ( ) ( ) ¢ ; （3） ( ) ( ) ( )2 ( ) ( ) ( ) ( ) u x u x v x u x v x v x v x ¢ ¢ ¢ é ù - = ê ú ë û ( ( )v x ¹ ). 0 证 只证明（1），（2） 、 （3）请读者自己证明． 设 y=u x( )+ v x ( ) ，则[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] y u x x v x x u x v x D = + D + + D - + [ (u x x) u x( )] [ (v x x) v x ( )] = + D - + + D - = D + D u v y u v u v x x x x D D + D D D = = + D D D D 所以 0 0 lim lim ( ) ( ) ( ) x x y u v u x v x x x x D ® D ® D D D ¢ ¢ = + = + D D D 同理可证[ ( )u x -v x( )]¢=u x¢( )- v x ¢ ( ) ． 上述法则可以简单的表示为： (u±v) ¢=u¢± ， (v ¢ uv) ¢=u v¢ + uv ¢ ， ( ) u u v 2 uv v v ¢ - ¢ ¢ = ． 定理 1 中的法则 （1）、（2） 可推广到任意有限个可导函数的情形． 例如， 设 u= u x ( ) 、 v= v x ( ) 、 ( ) w= w x 均可导，则有 (u+ +v w) ¢=u¢+v¢+ w ¢
(uvw)¢=(uv w uvw) ¢ + ¢=u vw uv w uvw ¢ + ¢ + ¢ ．
在法则（2）中，如果 ( ) v x = （C 为常数） C ，则有 (Cu) ¢= Cu ¢ ． 例 1 设 3 2 2 5 3 7 y= x - x + x - ，求 y¢ ． 解 y¢= (2x 3 -5x 2 +3x-7)¢ = (2x 3 )¢-(5x 2 )¢+(3x)¢-(7)¢ = 2×3x 2 -5×2x+3 = 6x 2 -10x+3． 例 2 设 3 π ( ) 4 cos sin 4 f x =x + x - ，求
f ¢
(x
)
及 ( )π 2 f ¢ ． 解 3 π 2( ) ( ) (4 cos ) (sin ) 3 4 sin
4 f¢ x = x ¢+ x¢- ¢ = x - x 2 π 3 ( ) π 4 2 4 f ¢ = - ． 例 3 设 3 3 x y=x × ，求 y¢ ． 解 3 3 3 ( 3 )x ( ) 3x (3 ) x y¢= x × ¢= x ¢× +x × ¢ 2 3 3x 3x x 3 ln 3 x = × + × = x2 ×3x ×(3+ x ln 3) ． 例 4 设 ( ) ln 1 sin t t t j = + ，求 ( ) j¢ t ． 解 ( ) (ln 1) sin 2 (ln 1) cos sin t t t t t t j¢ = + ¢ - + = 2 1 sin (ln 1) cos sin t t t t t × - + = sin (ln 2 1) cos sin t t t t t t - + ． 例 5 设 y= tan x ，求 y¢ ． 解 2
sin (sin ) cos sin (cos )
(tan ) ( ) cos cos x x x x x y x x x ¢ - ¢ ¢ ¢= ¢ = = 2 2 2 2 2 cos sin 1 sec cos cos x x x x x + = = = 即 2 (tan )x ¢ = sec x ．
类似地，可得 2
(cot )x ¢ = - csc x
例 6 设 y= sec x ，求 y¢ ．
解 (sec ) ( 1 ) (1) cos 2 1 (cos )
cos cos x x y x x x ¢ - × ¢ ¢ ¢= ¢ = = sin 2 cos x x
= 1 sin sec tan
cos cos
x
x x
x x
= × = × ．
即 (sec )x ¢ =secx× tan x
类似地，可得 (csc )x ¢ = -cscx× cot x ． 3.5.2 反函数求导法 定理 2 如果函数 x= f y ( ) 在某区间 I 内单调、可导且y f y ¢ ( )¹ ，那么它的反函数 0 1 ( ) y= f- x 在对应区间 Ix =
{
x x= f y y( ), Î I y}
内也可导，并且 1 1 [ ( )] ( ) f x f y - ¢ = ¢ 或 d 1 d d d y x x y = . 证明略． 定理说明：反函数的导数等于直接函数导数的倒数． 例 7 设 x= sin y ， [ π π , ] 2 2 y Î - 为直接函数， 则 y= arcsin x 是它的反函数. 函数 x= sin y 在 开区间 ( π π , ) 2 2 - 内单调、可导，且 (sin )y ¢ =cosy > 0 因此，由反函数的求导法则，在对应区间 I = - x ( 1,1) 内有 2 2 1 1 1 1 (arcsin )(sin ) cos 1 sin 1
x y y y x ¢ = = = = ¢ - - ． 类似地，有 2 1 (arccos ) 1 x x ¢ = - - ． 例 8 设 x= tan y ， ( π π , ) 2 2 y Î - 为直接函数，则 y= arctan x 是它的反函数. 函数 x= tan y 在区间 ( π π , ) 2 2 - 内单调、可导，且 2 (tan )y ¢ =sec y ¹ ． 0 因此，由反函数的求导法则，在对应区间 I =x (-¥, +¥)内有 2 2 2 1 1 1 1 (arctan )
(tan ) sec 1 tan 1
x y y y x ¢ = = = = ¢ + + ． 类似地，有 (arc cot ) 1 2 1 x x ¢ = - + ．
例 9 设 x= log a y (a>0, a ¹1)为直接函数，则 y= a x 是它的反函数. 函数 x= log a y 在区
间(0, +¥)内单调、可导，且 1 (log ) 0 ln a y y a ¢ = ¹
因此，由反函数的求导法则，在对应区间 I =x (-¥, +¥)内有 1 ( ) ln ln (log ) x x a a y a a a y ¢ = = = ¢ . 特别地， (e )x ¢ = e x ． 3.5.3 复合函数求导法则 定理 3 如果 u= g x ( ) 在点 x 处可导，函数 y= f u ( ) 在点 u= g x ( ) 可导，则复合函数 [ ( )] y= f g x 在点 x 处可导，且其导数为 d d d d d d y y u x = u× x 或 d ( ) ( ) d y f u g x x = ¢ × ¢ ． 证 设 x D 为 x 的改变量，函数 u= g x ( ) 相应的改变量记为 u D ．当 D ¹ 时，有 u 0 y y u x u x D D D = × D D D ． 又因为 u= g x ( ) 在点 x 处可导，则在点 x 处连续，即当 D ® 时， x 0 D ® ，所以 u 0 0 0 0 0 d d d
lim lim ( ) lim lim ( ) ( )
d x x u x d d y y y u y u y u f u g x x D ® x D ® u x D ® u D ® x u x D D D D D ¢ ¢ = = × = × = × = × D D D D D 定理表明：复合函数的导数等于函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导 数．此法则称为复合函数的链式法则． 例 10 设 3 5 ( 1) y= x + ，求 d d y x ． 解 函数 3 5 ( 1) y= x + 可看作是由 5 y= u , u=x 3 + 复合而成的，因此 1 4 2 2 3 4 d d d 5 3 15 ( 1) d d d y y u u x x x x= u× x = × = + . 注意：中间变量 u 要还原为 3 1 x + ． 例 11 设 y = e x 3 ，求 d d y x ． 解 函数 y = e x 3 可看作是由 y=e , u u= x 3 复合而成的，因此 3 2 2 d d d e 3 3 e d d d u x y y u x x x= u× x = × = . 例 12 设 sin 2 2 1 x y x = + ，求 d d y x ． 解 函数 sin 2 2 1 x y x = + 是由 y= sin u , 2 2 1 x u x = + 复合而成的，因此 2 2 2 2 2 2 2 2 d d d 2(1 ) (2 ) 2(1 ) 2 cos cos d d d (1 ) (1 ) 1 y y u x x x x u x u x x x x + - - = × = × = × + + + . 从上面的例子可以看出，在求复合函数的导数时，关键是要能正确地分解复合函数，然 后由外向里，逐层推进求导．在求导的过程中，始终要明确是哪个函数对那个变量求导．在 开始时，可以设中间变量，一步一步做下去，熟练后可不必写出中间变量，直接求导． 例 13 设 y= ln sin x ，求 d d y x ．
解 d (ln sin ) 1 (sin ) d sin y x x x= ¢= x × ¢ 1 cos cot sin x x x = × = ． 例 14 设 3 2 1 2 y= - x ，求 d d y x ． 解 1 2 2 3 2 3 2 d 1 [(1 2 ) ] (1 2 ) (1 2 ) d 3 y x x x x - ¢ ¢ = - = - × - 2 2 3 4 3 (1 2 ) x x - = - ． 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形．例如，设 y= f u u( ), =j( ), v v= y( ) x ， 则 d d d d d d d d d d d d y y u y u v x= u× x = u× v× x ． 例 15 设 y = ln cos(e ) x ，求 d d y x ． 解 d [ln cos(e )] 1 [cos(e )] d cos(e ) x x x y x = ¢= × ¢ 1 [ sin(e )] (e ) e tan(e ) cos(e ) x x x x x ¢ = × - × = - ． 例 16 设 1 sin e x y = ，求 d d y x ． 解 1 1 1
sin sin sin
d 1 1 1 (e ) e (sin ) e cos ( ) d x x x y x= ¢= × x ¢= × x× x ¢ 1 sin 2 1 1 e x cos x x = - × × ． 例 17 证明幂函数的导数公式： 1 (xa) ¢ =axa - (a是任意实数) 证 因为 ln ln e x e x xa = a = a 所以 ln ln 1 (x ) (e x) e x ( ln ) x x x x a a a a a a a a - ¢= ¢= × ¢ = × = ． 3.5.4 初等函数的求导法则 下面将基本初等函数的导数公式和导数的运算法则汇集如下： 1．基本初等函数的导数公式 （1） ( )C ¢ = （C 是常数）0 ； （2） (xa) ¢ = axa - 1 （a 是任意实数） ； （3） ( )ax ¢ = ax ln a ； （4） (e )x ¢ = e x ； （5） (log ) 1 ln a x x a ¢ = ； （6） (ln ) x 1 x ¢ = ；
（7） (sin )x ¢ = cos x ； （8） (cos )x ¢ = - sin x ；
（9） 2
(tan )x ¢ = sec x ； （10） 2
(cot )x¢ = - csc x ；
（11） (sec )x¢ =secx× tan x ； （12） (csc )x ¢ = -cscx× cot x ；
（13） 2 1 (arcsin ) 1 x x ¢ = - ； （14） 2 1 (arccos ) 1 x x ¢ = - - ； （15） (arctan ) 1 2 1 x x ¢ = + ； （16） 2 1 (arc cot ) 1 x x ¢ = - + ．
2．函数的和、差、积、商的求导法则 设 u=u x v( ), = v x ( ) 都可导，则 （1） (u±v) ¢=u¢± ； v ¢ （2） (Cu) ¢= Cu ¢ ； （3） ( ) uv ¢=u v¢ + uv ¢ ； （4） ( ) u u v 2 uv v v ¢ - ¢ ¢ = ． 3．反函数的求导法则 设函数 x= f y ( ) 在区间 I 内单调、可导，且y ( )f y ¢ ¹ ，则它的反函数 0 y= f- 1 ( ) x 在对应区 间 I 内也可导，且x 1 1 [ ( )] ( ) f x f y - ¢ = ¢ 或 d 1 d d d y x x y = . 4．复合函数的求导法则 设 y= f u ( ) , u= g x ( ) ，且 ( ) f u 及 ( ) g x 都可导，则复合函数 y= f g x [ ( )] 的导数为 d d d d d d y y u x = u× x 或 d ( ) ( ) d y f u g x x = ¢ × ¢ ． 例 18 将一金属块加热到 100℃，然后放置 20℃在恒温室中冷却．已知其温度的变化规 律为 0.2 80e t 20 T = - + (℃)，其中 t 为冷却时间，求该金属块的冷却速率（即温度的变化率），并 求冷却时间 t = s 时该金属块的温度及冷却速率（精确到 0.1℃）5 ． 解 金属块的冷却速率，即温度 T 对时间 t 的导数： 0.2 d 80( 0.2)e d t T t - = - = - 16e - 0.2 t (℃/s) 0.2 5 5 80 e 20 49.4 t T = = ´ - ´ + » (℃) 0.2 5 1 5 d 16e 16e 5.9 d t T t - ´ - = = - = - » - (℃/s)． 例 19 在 某 项 记 忆 力 测 试 中 ， 某 人 在 t 分 钟 后 能 够 记 住 M 个 单 词 ， 其 中 3 2 0.001 0.1 M = - t + t ．求记住的单词数关于时间的变化率，并求在前 10 分钟（ t = 10 ）内可以 记住多少单词，以及在 t = 10 分钟时的记忆率是多少？ 解 记住的单词数关于时间的变化率，即 M 对 t 的导数： 2 d 0.003 0.2 d M t t t = - + 3 2 10 0.001 10 0.1 10 9 t M = = - ´ + ´ = 2 10 d 0.003 10 0.2 10 1.7 d t M t = = - ´ + ´ = ． 3.5.5 隐函数求导法 前 面几 节所 讨论 的求 导法则 适用 于因 变量 y 与 自 变量 x 之 间 的函 数关 系是 显函 数 ( ) y= f x 的形式．但有时，变量 y 与 x 的之间的函数关系是由方程 ( , ) 0 F x y = 来确定，即 y 与 x 的关系隐含在方程 ( , )F x y = 中．我们称这种由未解出因变量的方程所确定的 y 与 x 之间的0
函数关系为隐函数．例如， 2 2 1 16 9 x y + = ， ey +xy - = ， ee 0 x+ey -xy = 等都是隐函数． 0 把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化．例如隐函数 2 4 0 x -y + = 可以显化为 2 4 y=x + ．但有些隐函数的显化是有困难，甚至是不可能的，例如方程 ex+ey -xy = 就无法 0 把 y 表示成 x 的显函数的形式．但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们希 望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来．下 面举例说明隐函数的求导方法． 假设由方程 ( , ) 0 F x y = 所确定的函数为 y= f x ( ) ，则把它代回方程 ( , ) 0 F x y = 中，得到 ( , ( )) 0 F x f x = 利用复合函数求导法则，在上式两边同时对 x 求导，再解出所求导数 y¢ ，这就是隐函数 求导法． 例 20 求由方程 ey +xy - = 所确定的隐函数的导数e 0 y¢ ． 解 把 y 看成关于 x 的函数，方程两边的每一项对 x 求导数，得 (e )y ¢+(xy )¢-(e)¢= (0) ¢ 即 ey ×y¢+(y+xy ¢ )-0= 0 从而 e y y y x ¢ = - + ( e 0 y x + ¹ )． 注意：求隐函数的导数时，只需要将确定隐函数的方程两边同时对自变量 x 求导，凡是遇 到含有因变量 y 的项时，把 y 当作中间变量看待，即 y 是 x 的函数，再按复合函数求导法则求 之．例如， ( ) xy ¢=y+ xy ¢ ， ( ) x y 2 xy y y ¢ - ¢ = ， 2 (y )¢=2 y y × ¢ ， (ln ) y 1 y y ¢= × ，¢ (sin )y ¢=cos y y × ， ¢ 2 1 (arcsin ) 1 y y y ¢= × ¢ - 等，最后从所得等式中解出 y¢ ． 例 21 求由方程 5 7 2 3 0 y + y-x- x = 所确定的隐函数在 x = 处的导数 0 y ¢ | x = 0 ． 解 把方程两边同时对 x 求导数得 4 6 5y ×y¢+2y¢ - -1 21x = 0 解得 6 4 1 21 5 2 x y y + ¢ = + 因为当 x = 时，从原方程得 0 y = ，所以 0 6 0 4 0 1 21 1 | | 2 5 2 x x x y y = = + ¢ = = + ． 例 22 求椭圆 2 2 1 16 9 x y + = 上点 (2, 3 3) 2 处的切线方程． 解 把椭圆方程的两边分别对 x 求导，得
2 0 8 9 x y y¢ + × = 解得 9 16 x y y ¢ = - 当 x = 时， 2 3 3 2 y = ，代入上式得所求切线的斜率 2 3 | 4 x k=y ¢ = = - 所求的切线方程为 3 3 3 ( 2) 2 4 y- = - x - ，即 3x+4y -8 3= ． 0 3.5.6 对数求导法 在求导数时有时会遇到一些函数，直接对其求导很困难，例如，形如 ( ) [ ( )] v x y= u x 的幂指 函数或者多因子之积的函数，这时，一般采用先在函数的两边取自然对数，变成隐函数的形 式，然后利用隐函数的求导方法求出它的导数，这种方法叫做对数求导法．方法如下： 设 y= f x ( ) ，两边取对数，得 lny= ln ( ) f x 两边对 x 求导，得 1 [ln ( )] y f x y ¢= ¢ 则 [ln ( )] ( ) [ln ( )] y¢=y× f x ¢= f x × f x ¢ ． 例 23 求 sin ( 0) x y=x x > 的导数． 解 解法 1：两边取对数，得 sin lny=lnx x = sin ln x x 上式两边对 x 求导，得 1 1 cos ln sin y x x x y ¢ = × + × x 于是 1 (cos ln sin ) y y x x x x
¢ = × + × xsin x (cosx lnx sin x )
x = × + ． 解法 2：幂指函数的导数也可先将函数变成指数函数，然后采用复合函数求导法则求导． 因为 sin sin ln sin ln e x e x x x x y=x = = × 所以
sin ln sin sin
e x x(sin ln ) x (cos ln x )
y x x x x x
x
×
例 24 求函数 ( 1)( 2) ( 3)( 4) x x y x x - - = - - 的导数． 解 先在两边取对数（假设 x > ） 4 ，得 1 ln [ln( 1) ln( 2) ln( 3) ln( 4)] 2 y= x- + x- - x- - x - 上式两边对 x 求导，得 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 1 2 3 4 y y ¢ = x- + x- -x- - x - 于是 1 1 1 1 1 ( 1)( 2) 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 1 2 3 4 2 ( 3)( 4) 1 2 3 4 y x x y x x x x x x x x x x - - ¢ = + - - = + - - - - - ． 3.5.7 参数方程求导法 在平面解析几何里，许多平面曲线方程是用参数形式给出的，例如圆心在原点，半径为 2 的圆周方程可表示为： 2 cos (0 2π) 2sin x t t y t = ì í = î ≤ ≤ ，这表明： , x y 都与 t 存在函数关系．如果把 对应于同一个 t 值的 x 与 y 值看作是对应的，这样就得到 y 与 x 之间的函数关系．消去参数 t ， 得到 2 2 4 x + y = ，这就是 x 和 y 的隐函数关系式，也称为由参数方程所确定的隐函数关系式． 一般地，若参数方程 ( ) ( ) x t y t j y = ì í = î 确定 y 与 x 的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为 由参数方程所确定的函数． 在实际问题中，需要计算由参数方程所确定的函数的导数．从参数方程中消去参数
t
有时 会有困难．因此，我们希望有一种能直接由参数方程计算出它所确定的函数的导数的方法． 若 x= j( ) t 和 y= y( ) t 都可导，且 ( ) 0 j¢ t ¹ ，则比值 y y t x x t D D D = D D D ，两边取 D ® 时的极限， t 0 此时 , D D 也趋于零，得到 x y 0 0 0 0 0 lim ( )lim lim lim
( ) lim t x x x t y y y y t t t t x x x t x t t t y j D ® D ® D ® D ® D ® D D ¢ D D D D D = × = = = D D ¢ D D D D D 即 d d / d ( ) d d / d ( ) y y t t x x t t y j ¢ = = ¢ （3.8） （3.8）式就是由参数方程确定的函数的求导法则，可以表述为：因变量对参数的导数除 以自变量对参数的导数． 例 25 求椭圆 cos sin x a t y b t = ì í = î 在相应于 π 4 t = 点处的切线方程．
解 由 d ( sin ) cos cot
d ( cos ) sin y b t b t b t x a t a t a ¢ = = = - ¢ - 得所求切线的斜率为
π 4 d d t y b x = = - a 切点的坐标为： 0 π 2 cos 4 2 x =a = a ， 0 π 2 sin 4 2 y =b = b 所以，切线方程为 2 2 ( ) 2 2 b y b x a a - = - - 例 26 计算由摆线的参数方程 ( sin ) (1 cos ) x a t t y a t = - ì í = - î 所确定的函数 y= f x ( ) 的导数． 解 d ( ) d ( ) y y t x x t ¢ = ¢ [ (1 cos )] [ ( sin )] a t a t t ¢ - = ¢ - sin (1 cos ) a t a t = - sin cot 1 cos 2 t t t = = - （ t¹ 2 π, n n 为整数） ． 3.5.8 高阶导数 我们知道，变速直线运动的速度 ( ) v t 是路程函数 ( ) s t 对时间 t 的导数，即 d d s v t = 或 ( )v t = s t ¢ ( ) 而加速度 a 又是速度 ( ) v t 关于时间 t 的变化率，即速度 ( ) v t 对时间 t 的导数 d d( ) d d ( ) [ ( )] d d s v t a t s t t t ¢ ¢ = = = 于是，加速度就是路程函数对时间的导数的导数，称为 ( ) s t 对 t 的二阶导数，记为 ( ) s t ¢¢ ， 因此，变速直线运动的加速度就是路程函数对时间的二阶导数，即 ( ) ( ) a t = s t ¢¢ 一般地，函数 y= f x ( ) 的导数 y¢= f x ¢ ( ) 仍然是关于 x 的函数．我们把 y¢= f x ¢ ( ) 的导数称 为函数 y= f x ( ) 的二阶导数，记作 y¢¢ 、 ( ) f¢¢ x 或 2 2 d d y x ，即 ( ) y¢¢= y ¢ ¢ ， ( ) [ ( )] f¢¢ x = f x ¢ ¢ ， 2 2 d d d ( ) d d d y y x x x = 相应地，把函数 y= f x ( ) 的导数 ( ) f x ¢ 称为 y= f x ( ) 的一阶导数． 类似地， 二阶导数的导数称为三阶导数， 三阶导数的导数称为四阶导数， ×××， 一般地， ( n - ) 1 阶导数的导数称为 n 阶导数，分别记作
y¢¢¢ , y (4) ,×××, y ( ) n 或
3 3 d d y x , 4 4 d d y x ,×××, d d n n y x ． 函数 ( ) f x 具有 n 阶导数， 也常说成函数 ( ) f x 为 n 阶可导． 如果函数 ( ) f x 在点 x 处具有 n 阶 导数，那么函数 ( ) f x 在点 x 的某一邻域内必定具有一切低于 n 阶的导数． 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数． 例 27 设 30 y= x ，求 y(30), y (31) ．
解 29 30 y¢ = y ， 28 30 29 y¢¢ = × y ， y¢¢¢ =30 29 28 × × y 27 …， (30) 30 29 28 27 3 2 1 30! y = × × × L × × = (31) ( 30! ) 0 y = ¢ = ． 一般地， ( ) (xn )n = n ! ， (x n)(n + 1) = （0 n 为正整数）． 例 28 求函数 y = e x 的 n 阶导数．
解 y¢ = e x ， y¢¢ = e x ， y¢¢¢ = e x ， y (4) = e x ，…，所以
( ) e n x y = ． 即 ( ) (e )x n = e x ． 例 29 求正弦函数 y= sin x 与余弦函数 y= cos x 的 n 阶导数． 解 y= sin x ， π cos sin( ) 2 y¢ = x= x + ， π π π π
cos( ) sin( ) sin( 2 )
2 2 2 2
y¢¢ = x+ = x+ + = x + × ，
π π π π
cos( 2 ) sin( 2 ) sin( 3 )
2 2 2 2 y¢¢¢ = x+ × = x+ × + = x + × ， (4) π π cos( 3 ) sin( 4 ) 2 2 y = x+ × = x + × ， 一般地， ( ) π sin( ) 2 n y = x+ × n ，即 (sin )( ) sin( π ) 2 n x = x+ × n ． 类似地， ( ) π (cos ) cos( ) 2 n x = x+ × n ． 例 30 某汽车在限速为 80km/h 的路段上行驶，在途中发生了事故．警察测得该车的刹车 痕迹为 30m ，而该车型的满刹车时的加速度为 2 15 m/s a = - ，警察判该车为超速行驶，应承担 一部分责任，为什么？ 解 是否超速行驶，应该看该车刹车之前的行驶速度 v 是否大于0 80 km/h ． 设该车从刹车开始到 t 时刻所走的路程为 s= s t ( ) ，作匀减速运动，所以有 2 0 1 2 s=v t+ at 开始刹车后 t 时刻汽车的速度为 0 v=s¢ =v + at 汽车从开始刹车到停止所用的时间如下求得 0 0 at= + v ，即 t v 0 a = - 将 2 15 m/s a = - ， s = 30m ， t v 0 a = - 代入 0 1 2 2 s=v t+ at 得 2 2 0 0 15 30 ( ) 2 15 15 v v = - - +
解得 0 30m/s 30 3.6km/h 108 km/h v = = ´ = 所以，该车在开始刹车前的行驶速度大于 80km/h ，是超速行驶，警察的判罚是正确的．
习题 3.5
1．求下列函数的导数（其中 , a b 为常数）： （1） 3 2 2 1 1 2 10 y x x x x x = - + + - + （2） 2 2 2 2 x y x = + （3） 2 (2 ) y=x + x （4） 4 2 1 x x y x + + = （5） y ax b a b + = + （6） y=(x-a x)( - b ) 2．求下列函数的导数： （1） 3 3 x y=x × （2） y=ex × ln x （3） 2 ln y=x × x （4） y ln x 2 x = （5） y= xsin x （6） y= e cos x x （7） y= xarctan x （8） y= x 2 e x （9） 1 1 x y x + = - （10） 2 5 1 x y x = + （11） 2 2 1 1 x x y x x + - = - + （12） 2 e ln 3 x y x = + 3．求下列函数的导数： （1） 1 sin 1 cos t s t + = + （2） y=xsinx+ cos x （3） 1 cos x y x = - （4） 5sin 1 cos x y x = +（5） ( )f x = xsin cos x x （6） y= x2 ln cos x x
4．求下列函数在给定点处的导数： （1） ( ) sinf x = x- cos x ，求 ( )π 4 f ¢ , ( )π 6 f ¢ ； （2） sin 1 cos 2 r =q q+ q，求 π 4 d d q r q = ； （3） 2 3 ( ) 5 5 x f x x = + - ，求 (0) f ¢ ， (2) f ¢ ． 5．求下列函数的导数： （1） 5 (3 7) y= x + （2） y=3sin(4x +5)
（3） 2 sin y= x （4） y= sin 2 x （5） sin 2 x y = （6） y = sin 2 x （7） 2 3 e x y = - （8） 2 ln(1 ) y= + x （9） 2 2 y= a - x （10） y= ln cos x （11） 2 (arcsin ) y= x （12） y = arctan(e ) x 6．求下列函数的导数： （1） y sin 2x x = （2） 2 1 1 y x = - （3） y= arcsin x （4） y=arcsin(1 2 ) - x （5） e 2 cos 3 x y= - x （6） y= arccos x ． 7．求下列函数的导数： （1） 2 (arcsin ) 2 x y = （2） y=(x+ sin2x ) 4 （3） ln tan 2 x y = （4） 2 1 ln y= + x （5） arctan e x y = （6） y= ln[ln(ln )] x 8．求由下列方程所确定的隐函数的导数 d d y x ： （1） xy = e x y + （2） x3+ y3 -3xy = 0 （3） y=x+ ln y （4） siny=ln(x+ y )
9．设函数 y= y x ( ) 由方程 sin( ) ln xy x y y
y + - = 确定，求 0 d d x y x = ． 10．求曲线 ey x +lny = 上点(0,1)的切线方程． 1 11．求下列函数的导数： （1） y= x x （2） y= (ln ) x x （3） 1 x x y x æ ö = ç ÷ + è ø （4） 4 3 2(3 ) ( 1) x x y x + - = + 12．求由下列参数方程所确定的函数的导数 d d y x ： （1） 2 3 x at y bt ì = ï í = ï î （2） cos sin x a t y b t = ì í = î （3） 2 3 1 x t y t t ì = + ï í = - ï î （4） (1 sin ) cos x y q q q q = - ì í = î 13．已知 e sin e cos t t x t y t ì = ï í = ï î ，求当 π 3 t = 时 d d y x 的值．
14．求曲线 2 2 1 2 4 x t t y t ì = + - ï í = ï î 在点(1,16)的切线方程和法线方程． 15．求下列函数的二阶导数： （1） 10 3x 2sin 3 y=x + + x （2） y=(x + 3) 4 （3） y= xcos x （4） y=ln(1 2 ) + x （5） 2 e x y= x （6） y= x e x 2 （7） y e x x = （8） y=ln(x+ 1+ x 2 ) （9） 2 (1 ) arctan y= + x x （10） y= x x 16．作直线运动的物体的运动方程如下，求物体在给定的时刻的速度 v( m/s )、加速度 a ( m/s 2 )： （1） 3 3 2 S=t - t + ， t = 2 （2） S t 1 t = + ， t = 3
3.6 微分及其应用
导数表示函数在点 x 处的变化率，它描述了函数在点 x 处变化的快慢程度．在许多实际问 题中，我们常常还要计算函数在某一点处当自变量有一个微小的改变量 x D 时，函数相应的改变 量 y D 的大小．除一些特殊情形外，改变量的计算往往是比较困难的，于是我们考虑能否借助比 值 y x D D 的极限 （即导数） 及 x D 来近似表示 y D ． 这就涉及到微分学中另一个重要的概念——微分． 3.6.1 微分的定义 设函数 y= f x ( ) 在点 x 处可导，其导数为0 f x¢ ( 0 ) = ，根据导数定义有 A 0 lim x y A x D ® D = D 由无穷小与函数极限的关系，可得 y A x a D = + D （a 为 D ® 时的无穷小） x 0 于是 y A x x a D = D + D × 因为 0 lim 0 x x x a D ® D × = D ，习惯上将 x a D × 记成 (o D ，即 x a x) D × =o(D ，含义是关于 x x) D 的高 阶无穷小，表示比 x D 趋于零的速度更快．那么 ( ) y A x o x D = D + D 上式表明，当自变量的改变量 D ® 时，函数的改变量 y x 0 D 的大小由 A x D 和 (o D 两项组 x) 成．因为 (o D 是 x x) D 的高阶无穷小，也就是说当 D ® 时， (x 0 o D 比 x x) D 趋于 0 的速度更快， x D 已经很小很小了， (o D 更加的小， x) 与 A x D 相比可以忽略不计， 因此， y D 的大小主要由 A x D 确定，即0 ( ) y A x f x¢ x D » D = D A x D 是 x D 的线性函数，称为 y D 的线性主部，并叫做函数 ( ) f x 的微分． 定义 1 如果函数 y= f x ( ) 在点 x 处具有导数0 f x ¢ ( 0 ) ， x D 是自变量的改变量， 称 f x¢ ( 0 ) D x 为函数 y= f x ( ) 在点 x 处的微分，记作0 dy ，即 0 dy= f x¢ ( ) D x 由定义可知， dy 依赖于函数 ( ) f x 、点 x 及自变量的改变量 x 0 D ． 例 1 求函数 2 y= x 当 x=1,D = x 0.02 时的微分，并说明其几何意义． 解 y¢ = 2 x ，所以 1 0.02 d 2 x 0.04 x y x x = D = = × D = ． 其几何意义是：当边长为 1 的正方形边长增加 0.02 时，其面积大约增加了 0.04． 当函数 y= 时， x dy=dx=x¢ × D = × D = D ， x 1 x x 即自变量 x 的微分 dx 就等于它的改变量 x D ， 于是函数的微分可以写成 0 dy= f x¢ ( )d x 一般地，函数 y= f x ( ) 在任一点 x 处的微分称为函数的微分，记作 dy 或 d ( ) f x ，即 dy=d ( )f x = f x¢( )D = x f x x ¢ ( )d 从而有 d ( ) d y f x x = ¢ ． 这就是说，函数的微分 dy 与自变量的微分 dx 之商等于该函数的导数．因此，导数也叫做 “微商” ．
例如， d cosx=(cos ) dx ¢ x= - sin d x x ， dex=(e ) dx ¢ x= e d x x ．
3.6.2 微分的几何意义 微分的几何意义如图 324 所示， PM 是曲线 y= f x ( ) 上点 P x y 处的切线， ( 0, 0 ) 倾斜角为a ， 当自变量 x 由 x 改变到0 x0 + D 时，对应的函数改变量为 x 0 0 ( ) ( ) y f x x f x NQ D = + D - = 由于 tan ( 0 ) MN f x NP = a = ¢ ，所以 MN= f x¢( 0)×NP= f x¢ ( 0 ) D ，即 x dy= MN 由此可知，函数 y= f x ( ) 在 x 处的微分，在几何上表示曲线0 y= f x ( ) 在点 P 处的切线的 x 0 x + D x 0 x y D dy M 图 324 P N Q y y= f x ( ) T a O
纵坐标对应于横坐标改变量 x D 的改变量． 注意到， dy 与函数增量 D =y f x( 0+ Dx)- f x( 0 ) = NQ 之差 d y y MQ D - = 所以用微分 dy 近似代替改变量 y D 产生的误差就是 MQ，当 x D 很小时，MQ 比 MN 小得 多，故当 x D = x- x 0 很小时，有 d y y D » 或 f x( )» f x( 0)+ f x¢ ( 0)(x- x 0 ) 上式表明，用微分近似代替改变量 y D ，实质上就是在点 x 附近（微小局部）用线性函数0 0 0 0 ( ) ( )( ) y= f x + f x¢ x- x 近似代替函数 y= f x ( ) ． 在几何上就是在点 P 附近用切线 PM 近似代 替曲线段 PQ．在微小局部用直线段近似代替曲线段，即“以直代曲”是微积分的基本思想之 一，通常称为非线性函数的局部线性化，这种思想方法在实际问题中有广泛应用． 3.6.3 微分公式与微分运算法则 从函数的微分的表达式 dy= f x x ¢ ( )d 可以看出，要计算函数的微分，只要计算函数的导数，再乘以自变量的微分即可．因此，可 得如下的微分公式和微分运算法则． 1．基本初等函数的微分公式 导数公式: 微分公式: (xm)¢= m xm-1 d (xm )=m xm-1 dx
(sin x)¢=cos x d (sin x)=cos x dx
(cos x)¢=-sin x d (cos x)=-sin x dx
(tan x)¢=sec 2 x d (tan x)=sec 2 x dx
(cot x)¢=-csc 2 x d (cot x)=-csc 2 x dx
(sec x)¢=sec x tan x d (sec x)=sec x tan x dx
(csc x)¢=-csc x cot x d (csc x)=-csc x cot x dx
(a x )¢=a x ln a d (a x )=a x ln a dx
(e x ) ¢=e x d (e x )=e x dx
1 (log ) ln a x x a ¢ = d(log ) 1 d ln a x x x a = 1 (ln ) x x ¢ = d(ln )x 1 d x x = 2 1 (arcsin ) 1 x x ¢ = - 2 1 d(arcsin ) d 1 x x x = - 2 1 (arccos ) 1 x x ¢ = - - 2 1 d(arccos ) d 1 x x x = - - 2 1 (arctan ) 1 x x ¢ = + 2 1 d(arctan ) d 1 x x x = + 2 1 (arc cot ) 1 x x ¢ = - + 2 1 d(arc cot ) d 1 x x x = - +
2．函数和、差、积、商的微分法则 求导法则： 微分法则： (u±v)¢=u¢± v¢ d(u±v)=du±dv (Cu)¢=Cu ¢（C 为常数） d(Cu)=Cdu (u×v)¢= u¢v+uv¢ d(u×v)=vdu+udv 2 ( ) u u v uv v v ¢ - ¢ ¢ = (v ¹ 0) 2 d d d( ) u v u u v v v - = (v ¹ 0) 例 2 求下列函数的微分： （1） 3 sin cos y=x - x+ x ； （2） y=e (sinx x+ cos ) x ． 解 （1）因为 2 3 cos sin y¢ = x - x- x ，所以 2 dy=(3x -cosx- sin )d x x ． （2）因为 y¢ = 2e cos x x ，所以 dy= 2e cos d x x x ． 3．复合函数的微分法则 设 y= f u ( ) 及 u= g x ( ) 都可导，则复合函数 y= f g x [ ( )] 的微分为 dy= f u¢( )× g x x ¢ ( )d ． 由于 ( )dg x x¢ =d ( )g x = d u ，所以，复合函数 y= f g x [ ( )] 的微分公式也可以写成 dy= f u u ¢ ( )d ． 由此可见，无论 u 是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式 dy= f u u ¢ ( )d 保持不 变．这一性质称为一阶微分形式不变性．性质表示，当变换自变量时，微分形式 dy= f u u ¢ ( )d 并不改变． 例 3 设 y=sin(2x + ，求 dy ． 1) 解 把 2x + 看成中间变量 u ，则 1
dy=d(sin )u =cos du u=cos(2x+1)d(2x + 1) =2 cos(2x+ 1)d x ． 例 4 设 y =ln(1 e ) + x 2 ，求 dy ． 解 2 2 2 1 d d ln(1 e ) d(1 e ) 1 e x x x y = + = + + 2 2 2 2 2 1 1 e d( ) e 2 d 1 e 1 e x x x x x x x = × = × × + + 2 2 2 e d 1 e x x x x = + ． 例 5 设 1 3 e x cos y= - x ，求 dy ． 解 由 d(u v× )=v ud + u v d ，得 1 3 1 3 1 3
dy=d(e- xcos )x =cos d(ex - x)+ e- x d(cos ) x
1 3 1 3 cosx e- x ( 3)dx e- x ( sin )d x x = × × - + × - 1 3 e- x (3cosx sin )d x x = - × + ． 例 6 在括号中填入适当的函数，使等式成立． （1） d( )= x x d ； （2） d( )= coswt td ． 解 （1）因为 2 d(x )= 2 d x x ，所以
2 2 1 1 d d( ) d( ) 2 2 x x= x = x ，即 d(1 2 ) d 2 x = x x ． 一般地，有 2 1 d( ) d 2 x +C = x x （C 为任意常数）． （2）因为 d(sinwt)= wcoswt td ，所以 1 1
coswt td d(sinwt) d( sinw t)
w w = = ． 因此 1 d( sinwt C) cosw t td w + = ． 3.6.4 微分的应用 1．函数的近似计算 微分用于近似计算的基本思想是：在微小局部将给定的函数线性化，即在点 x 的邻域内， 0 由近似等式 0 0 0 ( ) ( ) ( )( ) f x » f x + f x¢ x- x （3.9） 来计算函数 ( ) f x 的值．由于该式右端是线性函数，其值较易计算，因而为近似计算函数 ( ) f x 的值提供了方便． 例 7 求 3 1.02 的近似值． 解 令 3 ( ) f x = x ，由（3.9）式得 3 x » 3 0 x 0 2 3 0 1 ( ) 3 x x x + - × 令 x = 0 1 , x = 1.02 , x-x 0 = 0.02 ，于是 3 1.02 1 1 0.02 1.0067 3 » + × » ． 例 8 利用微分计算 sin 30 30' o 的近似值． 解 我们可将这个问题看成是求函数 ( ) sin f x = x 在点 x = 30 30 ' o 处的函数值的近似值问 题．由（3.9）式得 0 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) sin cos f x + Dx » f x + f x D =x x + x × D x 这里， 0 30 π 6 x = o = ， 30 ' π 360 x D = = ，所以
sin 30 30 ' = o sinπ cos π π
6+ 6 360 × 1 3 π 0.5076 2 2 360 = + × = ． 在（3.9）式中，令 x = ，当 x 0 0 D = x 充分小时，有 ( ) (0) (0) f x » f + f¢ x （3.10） 根据（3.10）式容易得到下面一些常用的近似公式： sin x» ； tan xx » ； ex x » + ；1 x ln(1+x) » ； x n 1 x 1 1 x n + » + ．
