导数表示函数在点 x 处的变化率，它描述了函数在点 x 处变化的快慢程度．在许多实际问 题中，我们常常还要计算函数在某一点处当自变量有一个微小的改变量 x D 时，函数相应的改变 量 y D 的大小．除一些特殊情形外，改变量的计算往往是比较困难的，于是我们考虑能否借助比 值 y
x D
D 的极限 （即导数） 及 x D 来近似表示 y D ． 这就涉及到微分学中另一个重要的概念——微分．
3.6.1 微分的定义
设函数 y= f x ( ) 在点 x 处可导，其导数为 0 f x¢ ( 0 ) = ，根据导数定义有 A
0
lim
x
y A x
D ®
D = D 由无穷小与函数极限的关系，可得
y A
x a
D = +
D （a 为 D ® 时的无穷小） x 0 于是
y A x x a D = D + D × 因为
0
lim 0
x
x x
a
D ®
D × =
D ，习惯上将 x a D × 记成 (o D ，即 x a x) D × =o(D ，含义是关于 x x) D 的高 阶无穷小，表示比 x D 趋于零的速度更快．那么
( ) y A x o x D = D + D
上式表明，当自变量的改变量 D ® 时，函数的改变量 y x 0 D 的大小由 A x D 和 (o D 两项组 x) 成．因为 (o D 是 x x) D 的高阶无穷小，也就是说当 D ® 时， (x 0 o D 比 x x) D 趋于 0 的速度更快，
x
D 已经很小很小了， (o D 更加的小， x) 与 A x D 相比可以忽略不计， 因此， y D 的大小主要由 A x D 确定，即
( 0 ) y A x f x¢ x D » D = D
A x D 是 x D 的线性函数，称为 y D 的线性主部，并叫做函数 ( ) f x 的微分．
定义 1 如果函数 y= f x ( ) 在点 x 处具有导数 0 f x ¢ ( 0 ) ， x D 是自变量的改变量， 称 f x¢ ( 0 ) D x 为函数 y= f x ( ) 在点 x 处的微分，记作0 dy ，即
dy= f x¢ ( 0 ) D x
由定义可知， dy 依赖于函数 ( ) f x 、点 x 及自变量的改变量 x 0 D ． 例 1 求函数 y= x 2 当 x=1,D = x 0.02 时的微分，并说明其几何意义．
解 y¢ = 2 x ，所以 1 0.02
d 2 x 0.04
x
y x x = D =
= × D = ．
其几何意义是：当边长为 1 的正方形边长增加 0.02 时，其面积大约增加了 0.04．
当函数 y= 时， x dy=dx=x¢ × D = × D = D ， x 1 x x 即自变量 x 的微分 dx 就等于它的改变量 x D ， 于是函数的微分可以写成
dy= f x¢ ( 0 )d x
一般地，函数 y= f x ( ) 在任一点 x 处的微分称为函数的微分，记作 dy 或 d ( ) f x ，即 dy=d ( )f x = f x¢( )D = x f x x ¢ ( )d
从而有
d ( ) d
y f x x = ¢ ．
这就是说，函数的微分 dy 与自变量的微分 dx 之商等于该函数的导数．因此，导数也叫做
“微商” ．
例如， d cosx=(cos ) dx ¢ x= - sin d x x ， dex=(e ) dx ¢ x= e d x x ． 3.6.2 微分的几何意义
微分的几何意义如图 324 所示， PM 是曲线 y= f x ( ) 上点 P x y 处的切线， ( 0, 0 ) 倾斜角为a ， 当自变量 x 由 x 改变到 0 x0 + D 时，对应的函数改变量为 x
0 0
( ) ( )
y f x x f x NQ
D = + D - = 由于 MN tan ( 0 )
NP = a = f x ¢ ，所以 MN= f x¢( 0)×NP= f x¢ ( 0 ) D ，即 x dy= MN
由此可知，函数 y= f x ( ) 在 x 处的微分，在几何上表示曲线 0 y= f x ( ) 在点 P 处的切线的
x x0 + D x
x 0
y dy D M
图 324 P N
Q
y y= f x ( ) T
a O
纵坐标对应于横坐标改变量 x D 的改变量． (sin x)¢=cos x d (sin x)=cos x dx (cos x)¢=-sin x d (cos x)=-sin x dx (tan x)¢=sec 2 x d (tan x)=sec 2 x dx (cot x)¢=-csc 2 x d (cot x)=-csc 2 x dx (sec x)¢=sec x tan x d (sec x)=sec x tan x dx (csc x)¢=-csc x cot x d (csc x)=-csc x cot x dx (a x )¢=a x ln a d (a x )=a x ln a dx
2．函数和、差、积、商的微分法则
求导法则： 微分法则：
(u±v)¢=u¢± v¢ d(u±v)=du±dv (Cu)¢=Cu ¢（C 为常数） d(Cu)=Cdu (u×v)¢= u¢v+uv¢ d(u×v)=vdu+udv
( ) u u v 2 uv
v v
¢ - ¢
¢ = (v ¹ 0) d 2 d
d( ) u v u u v
v v
= - (v ¹ 0) 例 2 求下列函数的微分：
（1） y=x3 -sinx+ cos x ； （2） y=e (sinx x+ cos ) x ． 解 （1）因为 y¢ =3x2 -cosx- sin x ，所以
dy=(3x2 -cosx- sin )d x x ．
（2）因为 y¢ = 2e cos x x ，所以
dy= 2e cos d x x x ． 3．复合函数的微分法则
设 y= f u ( ) 及 u= g x ( ) 都可导，则复合函数 y= f g x [ ( )] 的微分为 dy= f u¢( )× g x x ¢ ( )d ．
由于 ( )dg x x¢ =d ( )g x = d u ，所以，复合函数 y= f g x [ ( )] 的微分公式也可以写成 dy= f u u ¢ ( )d ．
由此可见，无论 u 是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式 dy= f u u ¢ ( )d 保持不 变．这一性质称为一阶微分形式不变性．性质表示，当变换自变量时，微分形式 dy= f u u ¢ ( )d 并不改变．
例 3 设 y=sin(2x + ，求 dy ． 1) 解 把 2x + 看成中间变量 u ，则 1
dy=d(sin )u =cos du u=cos(2x+1)d(2x + 1) =2 cos(2x+ 1)d x ． 例 4 设 y =ln(1 e ) + x 2 ，求 dy ．
解 2 1 2 2
d d ln(1 e ) d(1 e ) 1 e
x x
y = + = x +
+
2 2
2 2
1 2 1
e d( ) e 2 d
1 e 1 e
x x
x x x x x
= × = × ×
+ +
2
2
2 e d 1 e
x
x
x x
= +
． 例 5 设 y= e1 3 - x cos x ，求 dy ．
解 由 d(u v× )=v ud + u v d ，得
1 3 1 3 1 3
dy=d(e- xcos )x =cos d(ex - x)+ e- x d(cos ) x
1 3 1 3
cosx e- x ( 3)dx e- x ( sin )d x x
= × × - + × - e1 3 - x (3cosx sin )d x x
= - × + ．
例 6 在括号中填入适当的函数，使等式成立．
（1） d( )= x x d ； （2） d( )= coswt td ． 解 （1）因为 d(x2 )= 2 d x x ，所以
2 2
1 1
d d( ) d( )
2 2
x x= x = x ，即 1 2 d( ) d
2 x = x x ． 一般地，有
1 2
d( ) d
2 x +C = x x （C 为任意常数）．
（2）因为 d(sinwt)= wcoswt td ，所以
1 1
coswt td d(sinwt) d( sinw t)
w w
= = ．
因此
d(1 sinwt C) cosw t td
w + = ．
3.6.4 微分的应用 1．函数的近似计算
微分用于近似计算的基本思想是：在微小局部将给定的函数线性化，即在点 x 的邻域内， 0 由近似等式
0 0 0
( ) ( ) ( )( )
f x » f x + f x¢ x- x （3.9）
来计算函数 ( ) f x 的值．由于该式右端是线性函数，其值较易计算，因而为近似计算函数 ( ) f x 的值提供了方便．
例 7 求 3 1.02 的近似值．
解 令 f x( ) = 3 x ，由（3.9）式得
3 x » 3 x 0 0
3 2 0
1 ( ) 3
x x x
+ -
× 令 x = 0 1 , x = 1.02 , x-x 0 = 0.02 ，于是
3 1.02 1
1 0.02 1.0067
» +3 × » ． 例 8 利用微分计算 sin 30 30' o 的近似值．
解 我们可将这个问题看成是求函数 ( ) sin f x = x 在点 x = 30 30 ' o 处的函数值的近似值问 题．由（3.9）式得
0 0 0 0 0
( ) ( ) '( ) sin cos f x + Dx » f x + f x D =x x + x × D x 这里， 0 π
30 6
x = o = ， π 30 ' x 360
D = = ，所以 sin 30 30 ' = o π π π
sin cos
6+ 6 360 × 1 3 π
0.5076 2 2 360
= + × = ．
在（3.9）式中，令 x = ，当 x 0 0 D = x 充分小时，有 ( ) (0) (0)
f x » f + f¢ x （3.10）
根据（3.10）式容易得到下面一些常用的近似公式：
sin x» ； tan xx » ； ex x » + ；1 x ln(1+x) » ； x 1 1 1
n x x
+ » + n ．
例 9 计算 1.005 的近似值．
解 1.005= 1 0.005 + ，利用公式 1 1 1
n x x
+ » + n 进行计算，这里取 x = 0.005 ，其值相对 较小，故
1.005 1 0.005 1 1 0.005 1.0025
= + » +2 ´ = ．
例 10 有一批半径为 1cm 的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，厚度定为 0.01cm ，试估计每只球需要多少克铜（铜的密度是 8.9 g/cm ）? 3
解 先求出镀层的体积，再乘上密度就得到每只球所需铜的质量．
因为镀层的体积等于两个球体体积之差，所以它就是球体体积 4 3 3 π
V = R 当 R 自 R 取得增 0 量 R D 时的增量 V D ．我们求V 对 R 的导数
0
0
3 2
0
( π )4 4π
R R 3
R R
V = R R
=
¢ = ¢ =
所以由（3.9）式得
2
4π 0
V R R
D » × D 将 R = 0 1 , D = R 0.01 代入上式得
2 3
4 3.14 1 0.01 0.13 (cm ) V
D » ´ ´ ´ = 于是镀每只球需用的铜约为
0.13 8.9 1.6 (g) ´ » ． 2．误差估计
在生产实践中，经常要测量各种数据．但是有的数据不易直接测量，这时我们就通过测 量其它有关数据后，根据某种公式算出所要的数据．由于测量仪器的精度、测量的条件和测 量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的 结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差．
下面就讨论怎样用微分来估计间接测量误差．
绝对误差与相对误差：如果某个量的精确值为 A，它的近似值为 a，那么|A-a|叫做 a 的绝 对误差，而绝对误差|A-a|与|a|的比值 | |
| | A a
a
- 叫做 a 的相对误差．
在实际工作中，某个量的精确值往往是无法知道的，于是绝对误差和相对误差也就无法 求得．但是根据测量仪器的精度等因素，有时能够确定误差在某一个范围内．如果某个量的 精确值是 A，测得它的近似值是 a，又知道它的误差不超过dA:|A-a|≤dA，则dA 叫做测量 A 的 绝对误差限，
| |
A
a
d 叫做测量 A 的相对误差限（简称绝对误差） ．
例 11 设测得圆钢截面的直径 D = 60.03 (mm)，测量 D 的绝对误差限 dD=0.05．利用公式 π 2
A= 4 D 计算圆钢的截面积时，试估计面积的误差．
解 π
d 2
A A A¢ D D D
D » = × D = × D ，|DA|»|dA| π π
| |
2D D 2 D dD
= × D ≤ × ．
已知 D=60.03,dD =0.05，所以 绝对误差限为
π π
60.03 0.05 4.715
2 2
A D D
d = ×d = ´ ´ = (mm 2 )；
相对误差限为
2
π
0.05
2 2 2 0.17%
π 60.03
4
A D D
D
A D
D
d × d d
= = × = ´ » ．
习题 3.6
1．设 y=x3 +x + ，当 1 x = , 2 D = x 0.01 时分别计算 y D 和 dy ． 2．求下列函数的微分：
（1） 1 2
y x
= x + （2） y= xsin 2 x
（3） 2 1 y x
x
=
+ （4） y= x 2 2 e x
（5） y=ln (12 - x ) （6） y=ln 1 - x 3
（7） y=e- x cos(3- x ) （8） y=arcsin 1 - x 2 3．将适当的函数填入括号内，使下列等式成立：
（1） d( ) 2dx = （2） d( ) 3 d = x x
（3） 1 2 d( ) dx
= x （4） 3 1
d( ) dx
= x
（5） d( ) 2 d = x x （6）
2
d( ) 1 d 1
x x
= -
（7） 1 2 d( ) d
1 x
= x
+ （8） d( )= e- 3 x d x 4．计算下列各式的近似值：
（1） cos 29 o ； （2） 3 996
5．边长为 a 的金属立方体受热膨胀，边长增加 h 时，立方体的体积大约增加了多少？