公式推導

本研究的公式推導參考 Green(Sader and Green, 2005) 等⼈人的推導過程。︒｡⾸首先，考慮在液體中有著微⼩小振幅振動的微懸臂梁，引⽤用不穩定流的納維爾-史托克⽅方程式並且進⾏行傅⽴立葉轉換轉換：

−iωρu = −∇P + η∇²u (2.1)

∇ ⋅ u = 0 ^(2.2)

其中，u(y,z|ω)包含了⽔水平及垂直分量的速度(v,w)，P(y.z| ω)則表⽰示壓⼒力 (pressure)，ρ 是液體密度(density of liquid)，η 為液體的黏滯⼒力(viscosity)

，ω 是⾓角加速度(angular velocity)，⽽而將時間域轉成頻率域的傅⽴立葉轉換 式⼦子為:

ˆx(ω⁾= x(t)e^−iωtdt

−∞

∫

∞ ^(2.3)

在此引⽤用流線函數(stream function)ψ ^(y,z|ω)與速度場(velocity field)的關係:

v( y, z |ω⁾= ∂ψ^{( y, z |}ω⁾

∂z (2.4)

w( y, z |ω ) = − ∂ψ( y, z |ω )

∂y ^(2.5)

v^{(y,z| ω)}與 w(y,z| ω)分別表⽰示流速在 y 和 z 軸的速度分量。︒｡接著將格林積分定理(Green’s integral theorem)之結果應⽤用於不穩定流下的納維爾-史托克⽅方程式並且帶⼊入流線⽅方程式:

ψ (y',z'|ω) =

∫

^[ ψ (y,z |ω)G

( y,z | y',z') −ψ

( y,z | ω)Ω(y,z | y',z')

− ζ Ψ

( y,z | y',z') + P Ψ

( y,z | y',z) / η]dl

^(2.6)

其中， ζ ( y, z |ω ) = −∇²ψ ( y,z |ω )是渦度在 x 軸的分量，符號 n 表⽰示在邊 界線Ｃ上的法線⽅方向，l 則為切線⽅方向， ψⁿ表⽰示流線函數對法線⽅方向的 微分。︒｡式⼦子中的 G(y,z| ω)則是拉普拉斯⽅方程式(Laplace equation) 的格林 函數(Green’s function)，表⽰示如下:

∇²G( y, z | y ', z ')=δ ( y − y')δ (z − z') ^(2.7)

⽽而 Ω(y,z| ω)為亥姆霍茲⽅方程式(Helmholtz equation) 的格林函數:

∇²Ω( y,z | y',z') −σ²Ω( y,z | y',z') =δ ( y − y')(z − z') ^(2.8)

此處的。︒｡函數是式(2.1)的格林函數，被寫成:

Ψ( y, z | y ', z ') = σ⁻²[Ω( y,z | y',z') − G( y,z | y',z')] (2.9) 當微懸臂梁浸⼊入流體中，觀察整個系統的橫斷⾯面，式⼦子(2.6) 中包含⼆二維

⾃自由空間(two-dimensional free-space)的格林函數為:

G( y, z | y ', z ') = [log R] / 2π ^(2.10) Ω( y, z | y ', z ') = −K⁰(σ R) / 2π ^(2.11) Ψ( y, z | y ', z ') = −[log R + K⁰(σ R)] / 2πσ² ^(2.12) 其中， R = (y − y')²+ (z − z')² ，K0是第三類⾙貝索函數(Bessel function of the third kind)。︒｡

數學模型中包含了微懸臂梁、︑､探針針尖、︑､半圓試體以及基板四個部分，⽽而本⽂文感興趣的地⽅方為探針尖端引致試體表⾯面的流體動⼒力荷重。︒｡探針斷⾯面的積分區域如圖 2.1 所⽰示。︒｡

σ² = −iωρ / η Ψ( y, z | y ' | z ')

圖 2.1、︑､數學的模型，原⼦子⼒力顯微鏡探針於液體中掃描基板上某⼀一半圓 試體。︒｡y 軸為⽔水平軸，z 軸為垂直軸，x 為出紙⾯面。︒｡

對⼀一個具有極扁微懸臂梁的探針⽽而⾔言，積分路徑⼤大致可分為四個部分：微懸臂梁(微懸臂梁上端 C^b+跟下端左右兩側 C^bl-及 C^br-)、︑､探針針尖表⾯面(針尖右端 C^s+及左端 C^s-)、︑､半圓試體(試體右端 C^r+及左端 C^r-)與基板表⾯面左右兩端(C^wl 與 C^wr)。︒｡⼜又因為探針針尖與試體的表⾯面均視為⾮非滑移

⾯面，以致流線⽅方程式(2.6)中的第⼀一、︑､第⼆二項為零，式⼦子得以化簡，然後再代⼊入上述所提的邊界條件，可以得到下列的式⼦子：

ψ = [−ζ^wlΨ_n+ 1 η^P

wlΨ_l]

c^wl

∫

^dl⁺

∫

^c^wr^[⁻^ζ^wr^Ψⁿ ⁺_η¹^P^wr^Ψ^l^]^dl

+ [−ζ^b+Ψ_n+ 1

η ^P^b+^Ψ^l^]

∫

^b+ ^dl^{+ [−}^ζ^bl−^Ψⁿ⁺_η¹ ^P^bl⁻^Ψ^l^]

∫

^bl− ^dl

+ [−ζ^br−Ψ_n + 1

η^P^br−^Ψ^l^]

c^br−

∫

^dl^{+ [−}

∫

s+ ^ζ^s+^Ψⁿ⁺_η¹^P^s+^Ψ^l^]^dl

+ [−ζ^s−Ψ_n+ 1

η ^P^s−^Ψ^l^]

∫

s− ^dl^{+ [−}^ζ^r+^Ψⁿ ⁺_η¹^P^r+^Ψ^l^]

∫

^r⁺ ^dl

+ [−ζ^r−Ψ_n+ 1

η^P^r−^Ψ^l^]

∫

^r− ^dl

(2.13)

其中(ζ^wl、︑､ζ^wr、︑､ ζ^r-、︑､ζ^r+、︑､ζ^b+、︑､ζ^bl-、︑､ζ^br-、︑､ζ^s+和 ζ^s-)與(P^wl、︑､P^wr、︑､P^r-、︑､P^r+、︑､

P^b+、︑､P^bl-、︑､P^br-、︑､P^s+和 P^s-)分別圖 2.1 所⽰示的 9 個邊界區間的壓⼒力及渦度值。︒｡其中，路徑 C^wl、︑､C^wr、︑､C^b+、︑､C^bl-及 C^br-遵循⼀一般座標系統(y,z); 路徑 C^r+、︑､C^r-、︑､C^s+與 C^s-則是各⾃自進⾏行座標轉換。︒｡(yr+,z_r+)、︑､(yr-,z_r-) 、︑､(ys+,z_s+)與 (y_s-,z_s-) 之路徑的區間範圍及其微分⼦子表⽰示如表 2.1 所⽰示，其中 yh為⽔水平

⽅方向的分量，yv為垂直⽅方向的分量。︒｡

表 2.1、︑､各個積分路徑之資訊

將表 2.1 的資訊代⼊入式⼦子(2.13)後，可得到：

⽔水平分量速度必須滿⾜足：

v( y '_s−,h_t + y'_s−sinθ |ω ) = 0 for -a/2 ≤ y' ≤ 0, v( y '_s+,h_t + y'_s+sinα |ω ) = 0 for 0 ≤ y' ≤ a / 2, v( y '_r−, y '_r−sinβ |ω ) = 0 for -c/2 ≤ y' ≤ 0, v( y '_r+, y '_r+sinγ |ω ) = 0 for 0 ≤ y' ≤ c / 2.

(2.15)

垂直分量速度必須滿⾜足：

w( y '_s−,h_t + y'_s−sinθ |ω ) = W for -a/2 ≤ y' ≤ 0, w( y '_s+,h_t + y'_s+sinθ |ω ) = W for 0 ≤ y' ≤ a/2, w( y '_r−, y '_r−sinθ |ω ) = W for -c/2 ≤ y' ≤ 0, w( y '_r+, y '_r+sinθ |ω ) = W for 0 ≤ y' ≤ c/2.

(2.16)

將(附錄⼀一)的 18 條積分⽅方程式與式⼦子(2.15)跟(2.16)寫成矩陣的形式，如下:

A ⋅ X = F (2.17)

其中

A_1,1 ! A_1,18

" # "

A_18,1 ! A_18,18

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥ ^(2.18)

X= ζ

{

^wl P^wl ζ^wr P^wr ζ^b+ P^b+ ζ^bl⁻ P^bl−

ζ^br− P^br− ζ^s+ P^s+ ζ^s− P^s− ζ^r+ P^r+ ζ^r− P^r−

}

^T ^(2.19)

F= 0 0 0 0 0 W 0 W 0 W 0 W 0 W 0 0 0 0^⎧^⎨_⎩

}

^T ^(2.20)

此外，參考 Tuck 無因次化的定義[5]，將無因次化的微懸臂梁寬度 定義為 ξ = 2y / b 、︑､無因次化後的壓⼒力定義為 P = b / (2ηW⁰)P_{以及無因次} 化後的渦度量定義為 ζ = b / (2W⁰)ζ 。︒｡式⼦子(2.17)透過反矩陣可以獲得各個區間的壓⼒力及渦度數值。︒｡

另外，對於⼀一個在流體中經歷正規化振盪的微懸臂梁，經傅⽴立葉轉換後 z 軸上每單位⾧長的流體動⼒力(hydrodynamic force)如下:

F_z(ω ) = −πiρωb²W₀Γⁿ(ω ) / 4 (2.21) 其中的 Γⁿ是⼀一個複變函數，其中包含了實部與虛部，其式⼦子為:

Γⁿ(ω⁾= i

π^Re ^ΔP

b(ξ^{) d}ξ

−1

∫

1 ^(2.22)

式⼦子中的 ΔP^b表⽰示微懸臂梁上下端的壓⼒力差值，意即上端壓⼒力減下端壓

⼒力。︒｡

⼀一般執⾏行積分步驟時，是將該積分區間平均切成若⼲干份微⼩小間距後再加總。︒｡對於此數學模型⽽而⾔言，關注的範圍只有中間探針的部分，⽽而在基板兩端對探針相當於延伸⾄至無窮遠處之線段，重要性不⾼高。︒｡於是，為了精簡程式的運算，本研究切割微⼩小區間之⽅方式以餘弦函數分配：

ξ_j = −L × cos(π ^{j / N} +1)

j= 1, 2, 3...N (2.23)

Ｌ為區間之⾧長度，Ｎ為欲切成的間距數⽬目。︒｡以餘弦函數切割的好處在於切割點從稀疏的兩端向中間接近時會越來越密集，以達到重點區域的⾼高精度要求。︒｡本研究將每⼀一區間切割成 200 個⼩小區塊，⽽而每個⼩小區塊再切割成 512 份。︒｡

第三章探針與平直試體

本章節針對探針部分做細部探討，探針底下僅以⼀一平坦基板作為邊界，尚未考慮半圓試體之幾何形狀對於系統所造成的影響。︒｡此章節將討論(1)⾼高程變化、︑､(2) 探針針尖幾何變化、︑､(3) 探針有無針尖以及(4)探針⼒力學性質與雷諾數之關係共計四個部分。︒｡

3.1 ⾼高程變化

調整探針針尖⾄至基板的垂直⾼高程 ht，觀察探針⾃自⾝身正規化的壓⼒力差 (微懸臂梁上端壓⼒力減下端壓⼒力) 、︑､正規化渦度差(微懸臂梁上端渦度減下端渦度) 、︑､基板表⾯面正規化壓⼒力及渦度之變化。︒｡原⼦子⼒力顯微鏡碳針的尺

⼨寸如下：(h1-h_t)/a=2.0; a/b=0.2。︒｡

3.1.1 ⾼高程變化對探針正規化渦度差之影響

在此⽐比較了單位微懸臂梁寬(-1 ≤ ξ ≤ 1)在三種不同⾼高程(ht=0.5a、︑､

1.0a、︑､∞)之正規化渦度差絕對值。︒｡

由圖 3.1(a)顯⽰示單位微懸臂梁寬 ξ = -1、︑､1 ⼆二點處的正規化渦度差絕 對值向上無限延伸之趨勢，乃因⼆二點為微懸臂梁之⼆二端點所致; ξ = -0.2、︑､

0、︑､0.2 則為探針針尖中⼼心點與針尖與微懸臂梁交接之⼆二點，因此處在幾何形狀上具明顯轉折點，導致斜率急遽變化⽽而出現奇異點，意即此處的值趨向無窮⼤大。︒｡在(b) 、︑､(c)、︑､(d)中可發現，探針的正規化渦度差值與⾼高程呈現反⽐比，於無窮遠處的探針，由於上下端的流體量⼀一致，當探針振

動時除了針尖與兩端⾃自由端有些許差值外，其餘部分幾乎為 0。︒｡當探針接近基板時，因下⽅方加⼊入了邊界條件，限制了探針下⽅方的流體量。︒｡

(a) (b)

圖 3.1、︑､探針正規化渦度差絕對值( Δζ_r ⁾在單位微懸臂梁寬(-1 ≤ ξ ≤ 1)分 佈圖。︒｡(a)為完整之單位微懸臂梁寬的分佈圖，(b) 、︑､(c) 、︑､(d)則是(a)在 ξ

= -1、︑､-0.2、︑､0 局部正規化渦度差之放⼤大圖。︒｡

3.1.2 ⾼高程變化對探針正規化壓⼒力差之影響

接續 3.1.1 的例⼦子，⽐比較了單位微懸臂梁寬(-1 ≤ ξ ≤ 1)在三種不同⾼高 程(h^t=0.5a、︑､1.0a、︑､∞)之正規化壓⼒力差絕對值 ΔP_r _。︒｡

圖 3.2 中，當探針越接近基板時，正規化壓⼒力差絕對值 Δζ_r 的值會越來越⼤大，這是因正規化渦度值會影響壓⼒力值的⼤大⼩小。︒｡渦度即旋度，數學定義為速度向量的旋量，物理意義上若流場中渦度不為零，流場容易 發⽣生渦旋。︒｡正規化壓⼒力差最⼤大的地⽅方位於 ξ = -0.2、︑､0.2 處，恰為探針與 微懸臂梁的交接處，可從探針的幾何形狀得知，此處的探針上端為平坦的微懸臂梁，下端卻是⽔水平的微懸臂梁與具某斜率的探針相接，幾何形狀相對複雜許多。︒｡

(a) (b)

圖 3.2、︑､探針正規化壓⼒力差絕對值( Δζ_r ⁾在單位微懸臂梁寬(-1 ≤ ξ ≤ 1)分 佈圖。︒｡(a)為完整之單位微懸臂梁寬的分佈圖，(b)、︑､(c) 、︑､(d)則是(a)在 ξ

= -1、︑､-0.2、︑､0 局部正規化壓⼒力差之放⼤大圖。︒｡

3.1.3 ⾼高程變化對基板正規化渦度之變化

探針在液體中振動時，引致的流體落在基板上，於單位微懸臂梁寬 (-1 ≤ ξ ≤ 1)與探針之間設定了六種不同⾼高程(ht=0.01a、︑､0.03a、︑､0.2a、︑､0.5a

、︑､1.0a、︑､∞)，並且⽐比較各⾃自在基板上的正規化渦度值 ζ^r^。︒｡

圖 3.3 中顯⽰示正規化渦度呈現反對稱，除了 ht=0.01a與 0.03a ⼆二條 曲線之外，其餘四條曲線的曲線趨勢相同。︒｡由圖中得知， ξ = 0.4 到 0.6 之間的渦度值隨著⾼高程增加⽽而減少，直⾄至無窮處時為零，⽽而 ht=0.01a與 0.03a這⼆二條線段沒有提升反倒有些微下降; ξ = 0 到 0.4 區間，此⼆二曲線

也沒有趨近零，反⽽而有⼤大幅地上升趨勢。︒｡此因探針下降到某個臨界值的時後，探針針尖⾮非常貼近試體，幾乎可以視為針尖與基板連在⼀一起，左端的流體便無法與右端的流體相連，在這⼀一刻邊界條件改變，才導致曲線的趨勢改變。︒｡

圖 3.3(a)、︑､探針左半部(-1 ≤ ξ ≤ 0)於不同⾼高程(ht=0.01a、︑､0.03a、︑､0.2a、︑､

0.5a、︑､1.0a、︑､∞)對下⽅方基板造成之正規化渦度分佈圖。︒｡

圖 3.3(b)、︑､探針右半部(0 ≤ ξ ≤ 1)於不同⾼高程(ht=0.01a、︑､0.03a、︑､0.2a、︑､

0.5a、︑､1.0a、︑､∞)對下⽅方基板造成之正規化渦度分佈圖。︒｡

3.1.4 ⾼高程變化對基板正規化壓⼒力之變化

在液體中操作的探針，施⼒力於流體，流體再傳遞⼒力量⾄至基板的表⾯面 上，延續 3.1.3 節的內容，於此⽐比較六種不同的⾼高程(ht=0.01a、︑､0.03a、︑､

0.2a、︑､0.5a、︑､1.0a、︑､∞)對基板表⾯面所造成的正規化壓⼒力值 P^r ^。︒｡

於圖 3.4 中發現，當探針從無窮遠處慢慢接近基板時，基板表⾯面所 承受的正規化壓⼒力值會越來越⼤大，直⾄至 ht=0.01a時轉為下降，並且曲線有越來越凌亂之趨勢，這是因為本研究的壓⼒力來⾃自流體，探針靠近基板到某⼀一程度後，此時的流體已經相當稀少，所能提供的壓⼒力也相繼下降。︒｡

圖 3.4、︑､探針(-1 ≤ ξ ≤ 1)於不同⾼高程(h^t=0.01a、︑､0.03a、︑､0.2a、︑､0.5a、︑､1.0a

、︑､∞)對下⽅方基板所造成之正規化壓⼒力。︒｡

3.2 探針針尖幾何形狀之探討

針對不同的原⼦子⼒力顯微鏡掃描模式、︑､試體本⾝身性質及欲測得之表⾯面性質(例如：表⾯面形貌、︑､電性、︑､磁性、︑､⼒力學特性等等)，會選擇不同的探針型式與尺⼨寸。︒｡除了前⾯面所提及的三⾓角形針尖，本節針對市⾯面上常⾒見的幾種探針針尖進⾏行幾何形狀的⽐比較。︒｡

圖 3.5 (a)探針為最常⾒見的錐形針尖;(b)的幾何形狀類似兩個相切的四分之⼀一圓，其針尖相當尖銳，可獲得⾼高解析度的照⽚片，不過針尖頂端也相當容易受損; (c)為⾼高原探針針尖(plateau tip); (d)是鑽⽯石針尖，和(a) 同為錐形針尖，不過與微懸臂梁連接處有部分緩衝區間，這與針尖本⾝身的製程有關。︒｡

(a) (b)

圖 3.5、︑､四款市⾯面常⾒見的原⼦子⼒力顯微鏡探針針尖⽰示意圖。︒｡(Nanoandmore 廠商之產品，http://www.nanoandmore.com/home.php)

表 3.1、︑､四種探針針尖之數學式。︒｡

針尖種類⽰示意圖

錐形針尖 (3 singularities)

z = ± y + h^t

鐘形針尖 (2 singularities)

y²

(a / 2)² + (z− h₀)² (h₀− h_t)² = 1

銳利形針尖 (1 singularity) (a / 2)² = y + (a / 2)⎡⎣ ⎤⎦²+ z − h

(

)

平滑形針尖

z = sin y,0.5π ≤ y ≤ 2.5π

運⽤用簡單的數學式⼦子模擬了四種探針針尖的幾何形狀，並為其命名，分別是直線⽅方程式的錐形針尖、︑､僅半個橢圓⽅方程式的鐘形針尖、︑､兩個四分之⼀一圓⽅方程式相切的銳利形針尖以及擷取正弦函數某

⼀一區間的平滑形針尖。︒｡由前⾯面的經驗，在線段連接處若有急劇轉折導致斜率瞬間變化太⼤大，於此處會有奇異點的產⽣生，表 3.1 的⽰示意圖中得知，理論上錐形針尖會有 3 個奇異點，鐘形針尖則是針尖與微懸臂梁之連結點共有 2 個，銳利形針尖的奇異點發⽣生在針尖尖端處，⽽而平滑形針尖在上述這些位置相連前斜率都有緩慢變化，理論上不會有奇異點的產⽣生。︒｡

3.2.1 不同幾何形狀之針尖之正規化渦度

探針針尖的尺⼨寸盡量統⼀一，四種探針除了銳利形針尖因數學⽅方程式的需求外，設定為其針尖⾼高寬⽐比為 1:1 之外，其餘的針尖尺⼨寸均設定為 (h1-ht)/a=2.0; a/b=0.2，並且固定針尖與基板距離 h^t=0.3a。︒｡

圖 3.6 中各線段的正規化渦度量值，會因為該探針幾何形狀⽽而有不 同。︒｡⼀一條⽔水平直線(例如(a)中的微懸臂梁上端 ξ = -1 到 1、︑､微懸臂梁下端 左右兩側 ξ = -1 到-0.2 與 ξ = 0.2 到 1，還有下⽅方基板部分)上的正規化渦 度呈現反對稱，除(b)的 ξ = -1 到-0.8 和 ξ = 0.8 到 1 之外。︒｡(a) 、︑､(c) 、︑､(d) 中，流體經微懸臂梁兩側流⾄至中間針尖部分的時候，不論交接點處是否平滑，都會被針尖阻擋在此，造成此處的正規化渦流值上升; 反觀(b)圖中，正規化渦度會順著銳利形針尖的曲率，順勢流向針尖尖端處，也因如此，(b)中基板的渦度分佈圖不同於其他三者。︒｡

錐形針尖和銳利形針⼆二種幾何形狀的針尖端為銳利的，故圖 3.7 中

在文檔中黏滯流環境下掃描探針與試體之互制探討 (頁 21-0)

∫

ψ (y',z'|ω) =

∫

[ ψ (y,z |ω)G

( y,z | y',z') −ψ

( y,z | ω)Ω(y,z | y',z')

− ζ Ψ

( y,z | y',z') + P Ψ

( y,z | y',z) / η]dl

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

{

}

}

∫

第三章 探針與平直試體

(

)

^[ ψ (y,z |ω)G

第三章探針與平直試體