研究者專注於如何獲得更⾼高的掃瞄解析度，許多論⽂文著重於如何估 算探針更⾼高階模態的彎矩、︑､扭矩以及針尖跳躍所造成試體額外承受的壓
⼒力。︒｡然後，很少研究是以試體的⾓角度去做考量，例如當針尖⾮非常靠近試 體時，探針振動引致⽔水流⽽而壓迫試體的壓⼒力。︒｡
⽣生物試體掃瞄上，敲觸模式原⼦子⼒力顯微鏡為⽬目前最廣泛的⽅方式。︒｡當 探針針尖敲擊試體時，此系統受到來⾃自於微懸臂梁與試體之間的液體影 響，同時間，探針也透過液體，將壓⼒力傳遞到試體上⾯面。︒｡為了量化試體 表⾯面所受的壓⼒力，吾⼈人專注於針尖與試體之間的交互作⽤用⼒力。︒｡本⽂文欲使
⽤用⼀一套半解析⽅方法獲得針尖尚未接觸試體前的壓⼒力與渦度。︒｡
許多研究討論了動態微懸臂梁在液體中的情況，但鮮少針對針尖造 成的效應進⾏行討論。︒｡ 針尖在振動時所引致的液體壓⼒力與渦度將會對試體 的幾何表⾯面造成變形，尤其是針尖⾮非常接近試體的時候。︒｡本⽂文研究不同 幾何形狀的探針，針尖效應對試體表⾯面所造成的壓⼒力，吾⼈人相信這樣的 壓⼒力很有可能影響⽣生物試體表⾯面的薄膜。︒｡
1.3 ⽂文獻回顧
欲解決流體與固體間的交互作⽤用，依分析結果可分為解析解與數值 解。︒｡解析解也稱精確解，意指使⽤用理論計算或推導出符合的理論解;數值 解則是運⽤用數值分析⽅方式(例如有限元素分析法)藉由電腦做⼤大量疊代運 算得到的近似解。︒｡在實務⾯面上， 涉及的問題往往⾮非常複雜，理論上無法 對其得出理論解，此時便須仰賴數值分析對其作近似分析，不過其近似
解所利⽤用的數值⽅方法必須謹慎考慮。︒｡ 本研究根據數學模型的邊界條件逐 段積分，不過積分時切割的微⼩小區塊數量有收斂的問題，所以本研究之
⽅方法屬於半解析解。︒｡
欲探討液體中振動的探針所引致的流體動⼒力⾏行為，⽬目前最廣泛使⽤用 的⽅方式為利⽤用邊界積分⽅方法獲得⼀一個半解析解，因其擁有堅強的理論背 景，可以使⼈人信服。︒｡Tuck(Tuck, 1969)利⽤用不穩定流下的納維爾-史托克
⽅方程式(unsteady Navier–Stokes equation)推導出⼀一套積分⽅方法，可以獲得 任⼀一斷⾯面下，極扁且具剛性的梁(圖 1.3(a)所⽰示)，在液體中以微⼩小振幅振 動下，其流線⽅方程式，⽽而這⽅方程式中包含剛性梁表⾯面的渦度與壓⼒力。︒｡此
⽅方法往後被實際應⽤用於原⼦子⼒力顯微鏡及微機電系統。︒｡Scherer(Schere et al., 2000)應⽤用此技術⽐比較實驗中的機械抗阻(mechanical impedance)。︒｡
Green(Green, 2002; Green et al., 2004)等⼈人修正液體質量增加之後，來⾃自 液體的阻尼作⽤用⼒力，並同時考慮了原⼦子⼒力顯微鏡的正向⼒力與扭轉⼒力之模 態，使得微懸臂梁離試體不同⾼高程的頻率可以被預測。︒｡Green (Sader and Green, 2005) 等⼈人則延續 Tuck 的理論，於梁的下⽅方增加剛性且無限⾧長的 平⾯面，為其流場提供邊界條件(如圖 1.3(b)所⽰示)，並計算黏滯流體環境 下，⼀一根以微⼩小振幅振動的極薄且具剛性的梁，其流體動⼒力載重。︒｡
圖 1.3 (a)為 Tuck 所提出的微懸臂梁數學模型; (b)是 Green(Sader and Green, 2005) 等⼈人修改 Tuck 後的數學模型; (c)和(d)則是⽐比較極薄梁距底 下平⾯面三種不同⾼高程，由低⾄至⾼高分別為短虛線、︑､虛線、︑､實線(無窮遠)。︒｡
結果顯⽰示，極薄梁不論是壓⼒力或渦度差值會與距底下平⾯面之⾼高程呈現反
⽐比形式，⽽而渦度值會呈現⼀一正⼀一負的反對稱圖形。︒｡
(a) (b)
(c) (d)
圖 1.3 、︑､(a) Tuck(Tuck, 1969)提出的邊界積分⽅方式可獲得極薄剛性梁的 流線⽅方程式，(b)Green(Sader and Green, 2005) 等⼈人提出的數學模型，(c) Green(Sader and Green, 2005) 等⼈人計算出極薄梁上下端的渦度差值，縱 軸為正規化的渦度差值，橫軸為單位梁⾧長度，(d) Green(Sader and Green, 2005) 等⼈人計算出極薄梁上下端的壓⼒力差值，縱軸為正規化後的壓⼒力差 值，橫軸為單位梁⾧長度。︒｡
此邊界積分⽅方法僅針對原⼦子⼒力顯微鏡探針某⼀一斷⾯面的⼆二維圖，作流 場的分析，⽽而且系統的邊界條件不能太複雜，否則在處理線積分時會花 費⼤大量時間。︒｡⼀一般來說，原⼦子⼒力顯微鏡因為製程的關係，探針表⾯面是不 規則形狀的，或是掃描試體本⾝身形狀不具規則性，⽽而這些因素對於需要
逐段編寫積分路徑的邊界積分法是很⼤大的挑戰。︒｡於是，也有學者直接運
⽤用有限元素分析⽅方法(finite element method)計算考慮原⼦子⼒力顯微鏡探針 的流體動⼒力⾏行為，尤其是微懸臂梁周圍的流體動⼒力載重(Tung et al. 2001) 或是模擬了細胞試體應變分布情形(Horton et al., 2001)以及試體邊緣的應
⼒力(Parry et al. 2005)。︒｡
(a) (b)
圖 1.4、︑､(a)Tung(Tung et al. 2001)等⼈人所製的液體中微懸臂梁的三維模型 圖; (b)Horton(Horton et al., 2001)等⼈人以有限元素法得到試體的垂直應變 圖。︒｡
相較於接觸式原⼦子⼒力顯微鏡，敲觸式原⼦子⼒力顯微鏡可獲得更清晰的
⽣生物試體表⾯面影像。︒｡在敲觸模式中，原⼦子⼒力顯微鏡探針針尖觸碰試體的
⼒力量較接觸式還要⼩小，不過敲觸式還需要考慮振動時所引致的⽔水壓。︒｡
紫模(purple membrane)是⼀一個六邊形結構的細胞，胞質內外均有蛋
⽩白質層。︒｡Möller 等⼈人⽐比較接觸式與敲觸式的量測⽅方法，發現了在橫向的 掃描分辨率⾮非常相似，不過⽣生物試體的⾼高程卻明顯不同。︒｡
表 1.1、︑､接觸式與敲觸式⽐比較。︒｡(Clemens Möller et al., 1999)
試體 敲觸式 接觸式
⾼高程 (nm)
標準差 (nm)
解析度 (nm)
⾼高程 (nm)
標準差 (nm)
解析度 (nm) HPI 1.7±0.3 0.62~0.95 ~1.5 2.2±0.3 0.11~0.34 ~1.5 外紫模 0.4±0.1 0.09~0.15 ~1.1 0.5±0.1 0.07~0.12 ≤0.5 內紫模 0.6±0.1 0.22~0.33 ~1.2 0.8±0.1 0.08~0.17 ≤0.5
從表 1.1 中可發現，敲觸模式在細胞⾼高程的掃描結果，平均值約⼩小 於接觸模式 25%。︒｡敲觸模式的標準差較⼤大(0.95nm)，意即敲觸模式⼤大部 份的數值，與其平均值差異性⼤大。︒｡除了量測試體的表⾯面形貌，原⼦子⼒力顯 微鏡還可以透過奈⽶米技術計算出⽣生物試體的⼒力學性質。︒｡
Medalsy and Müller (Medalsy and Müller, 2013)發現，在量測蛋⽩白質 與紫模的⼒力學勁度時，會因為電解液以及探針下針的速率有關，並⽐比較 速率相差⼗十倍的範圍內之試體勁度。︒｡Martin Stark(Martin Stark et al., 2001) 等⼈人利⽤用能量守恆的觀點探討敲觸式原⼦子⼒力顯微鏡，探針位移產⽣生的動 能會轉移到試體上，⽽而在接觸的瞬間，針尖會讓試體壓⼒力變形，⽽而變形 形狀與探針針尖有直接關係。︒｡Andreas Enge(Andreas Enge et al., 1997)等
⼈人提到，敲觸式原⼦子⼒力顯微鏡的探針所引致的⽔水壓，對於探針下⽅方的紫 模試體周圍均會造成⽔水壓，⽔水壓的分佈⼜又會因試體幾何形狀⽽而有不同。︒｡
(a) (b)
(c) (d)
圖 1.5、︑､(a) Clemens Möller (Clemens Möller et al., 1999)等⼈人量測紫模試 體表⾯面; (b) Medalsy and Müller (Medalsy and Müller, 2013)量測紫模的試 體勁度; (c) Martin Stark(Martin Stark et al., 2001)等⼈人提出探針觸及試體 時所造成的壓變形; (d) Andreas Enge(Andreas Enge et al., 1997)等⼈人提出 試體周圍的壓⼒力分佈。︒｡
第⼆二章 數學模型
本研究主要討論探針針尖的額增⽔水壓問題。︒｡ 吾⼈人修改了 Sader 等⼈人 的邊界積分⽅方法(Green and Sader, 2005)，增添來⾃自探針針尖所貢獻的壓
⼒力，得以實踐這個問題。︒｡Sader 等⼈人，運⽤用不穩定流下的納維爾-史托克
⽅方程式(unsteady Navier–Stokes equation)以及邊界積分技術，計算出液體 中振動的微懸臂梁，其⼒力學性質的半解析解。︒｡本研究以此作為基礎，並 於微懸臂梁正下⽅方增加了探針針尖，討論探針⾃自⾝身作⽤用⼒力及對下⽅方基板 所造成之影響(數值成果⾒見於第三章)。︒｡更進⼀一步，於基板上增添⼀一半圓 形狀，模擬真實世界中， 原⼦子⼒力顯微鏡於液體環境下掃描⽣生物試體之情 況。︒｡