剛性圓板之垂直振動

在第四章中已經成功的發展出一套程式求出扭轉阻抗矩陣，並且以解析和數值 的方法求得彈性波數值，本章節將更深入來探討阻抗矩陣的求解，圖十五為一 圓形無質量的剛性圓板置於土層表面，假設受到一垂直振動的諧合載重，對於 軸對稱的問題而言，當圓形無質量的剛性圓板受垂直振動時， (2-2)式中當

0

n 時，且只有考量雷利模態 (Rayleigh modes) 發生時，因此所有的位移和 應力只存在於 r 方向和 z方向，我們可知位移和應力向量與  方向是無關 的，我們可以將 (3-28) 式所得到的式子求得阻抗矩陣並對模態參與係數做數 值的分析與求解。

5.1 雷利模態(Rayleigh modes)的頻率方程式

由第二章中可知內外域解的雷利頻率方程式分別為 (2-8) 式與 (2-16) 式。為發展數值解來求得超越函數，我們對於單一土層系統而言，雷利頻率方 程式為

21

0

12 22

11

 t  t  t 

t

(5-1)

我們無法以解析方式求得雷利頻率方程式的解，但我們可以利用 2.4 節中的方 法進行數值程式的求解，當波數值求得後，我們可以知道波數值在外域的條件 下必需滿足輻射的條件，當 r 時 H_n⁽²⁾(kr)0，第二類 Hankel 函數的級 數解的為

) ] 8 (

! 1

1 1 4

)[

4 / 2 / exp(

2) ( ) (

2 )

2

(  









 ix

n n x ix

x

H_n  

 (5-2)

若 k AiB 代入 (5-2) 式，為了滿足輻射的條件必須取複數平面的下半平面 也就是 B為負。我們可以利用 2.4 節中的方法進行數值程式的求解，圖十 六 至 圖十八 分別為  增加所求到的數值解，我們可以發現到一個有趣的現 象，當  逐漸增加時其波數值的根會往實數軸增加，並可以發現數值解的波 數值增多，根據扭轉振動的波數解析解的根的位置，我們可知在取波數值的根 時也應先取靠近實數軸的根，越靠近實數軸的根分別代表越低模態的根。

5.2 特解的模態波數

我們將垂直振動的諧合載重代入(2-25) 式中，並將 _zz(r) 做 Bessel 函數展開可得特解表面應力為



^

 

































0

0 0

2 ( ) ( )

0 1 0 0

) ( 0 )

(

j

j j

j n

zz

b r r k J k r k

t   (5-3)

其中



 ⁰

0 0

0

0(k _j) ^a r(_zz (r))J (k_jr)dr

 (5-4)

在 (5-3) 式中，為了滿足邊界 ra₀ 牽引力



_zz 不為零，第一個波數取

1 0 0 k.5

k  其餘為

 3 , 2 , 1 ,

0 ) ( ₀

0 k a  j 

J _j (5-5)

5.3 模態函數

and

z

和 and

z

有限元素在垂直振動問題中形狀函數為 N1 ， H 在 (3-3) 式中取

m

m₂  ，因此可以求得 B 矩陣為

) ,

(

_{1 2 1}

2





 

S ^m

T

N dS col B B B

H

B 

_(5-11)

其中



















 





 

0

0

2 2 2

1

, 0 ,

6 , 1 3

0 6 ,

1 2 )

( 2 ^a _j

j

m j

jb

m j m b

j b

rdr r h B

或 當

當 當



 (5-12)

5.5 D 矩陣

在 3.2 節中我們已經知道 _e 和 _h⁽ⁱ⁾ 可表示成 _p 與 V_b1 之間的比率 關係，要求得_p 與 V_b1 首先要求得 D_P1 與 D_P2，在本例題中與上一節一樣，

dS 積分面只有 S₂ 而已故

dS r H r G

D

S

T P

P^{2 }



₂ ^{( ) 2( ) (5-13)}

將 (5-9) 式求得的形狀函數代入(5-13) 式中可得



^

 ⁰

2 ] 2 0 0 ( ) 1( )

[

D

_{P ij}



^a

k

_i

J k

_i

r h

_j

r rdr

_(5-14)

5.6 K 矩陣

在 2.3 節中_e 和 _h⁽ⁱ⁾的求得必需借由內域外域垂直交界面的積分，在 (2-56) 式中



 







 

hh he

eh ee

K K

K

K K (5-15)

在 4.6 節中已經成功的描述 K 反矩陣之數值不穩定現象，並發現K 的反矩陣

(5-16)



(5-17)

當我們將新的形狀函數改寫完成，便可以精確求得_e 和 _h⁽ⁱ⁾ 與 _p 之間的比 率關係，便可以進行數值程式的分析。

5.7 數值結果與討論

在 5.6 節中我們已經提出如何克服算準模態之間的比率關係，由 (3-28) 式中 可知阻抗矩陣為

B Q B

I 

^{T 1} _(5-18)

於圖十五中，圓板的半徑為 a₀ ，土壤的遲滯阻尼 (Hysteretic Damping)

05 .

0

 ，而複數型的剪力波數 (Complex Shear Modulus G 12i )，包 生比為  ，土壤密度為 ；於是我們取各參數值為 a₀ 0.5，d 1，0.05，

i G12 ，

3

1

 ， 1 ；來進行數值程式的撰寫，圖十九和圖二十分別為 無因次垂直振動阻抗矩陣的實數部份 Re( ₃)

Ga0

I_V

與虛數部份 Im( ₃) Ga0

I_V

，而橫座標 為無因次的頻率

) Re(

2

0

cs

a



 ；在圖十九和圖二十中表示取齊性解加上特解的波

數值所得的結果，我們可以和 Liou [12] 所做的結果加以比較，我們發現當我 們齊性解加上特解取到 50 個時，阻抗矩陣已經收斂不錯了。

在文檔中 發展沉埋基礎之土壤-結構互制分析程式(II) (頁 42-49)