剛性圓板沉埋基礎之垂直振動

在第六章中已經成功的發展出一套程式求出沉埋基礎之扭轉阻抗矩陣，並且以 解析和數值的方法求得彈性波數值，本章節將更深入來探討沉埋基礎之垂直阻 抗矩陣的求解，圖三十二為一圓形無質量的剛性圓板沉埋於土層，假設受到一 垂直振動的諧合載重，對於軸對稱的問題而言，當圓形無質量的剛性圓板受垂 直振動時， (2-2)式中當 n0 時，且只有考量雷利模態 (Rayleigh modes) 發 生時，因此所有的位移和應力只存在於 r 方向和 z方向，我們可知位移和應 力向量與  方向是無關的，我們可以將 (3-28) 式所得到的式子求得阻抗矩陣 並對模態參與係數做數值的分析與求解。

7.1 雷利模態(Rayleigh modes)的頻率方程式

由第二章中可知內外域解的雷利頻率方程式分別為 (2-8) 式與 (2-16) 式。為發展數值解來求得超越函數，我們對於單一土層系統而言，雷利頻率方 程式為

21

0

12 22

11

 t  t  t 

t

(7-1)

我們無法以解析方式求得雷利頻率方程式的解，但我們可以利用 2.4 節中的方 法進行數值程式的求解，當波數值求得後，我們可以知道波數值在外域的條件 下必需滿足輻射的條件，當 r 時 H_n⁽²⁾(kr)0，第二類 Hankel 函數的級 數解的為

) ] 8 (

! 1

1 1 4

)[

4 / 2 / exp(

2) ( ) (

2 )

2

(  









 ix

n n x ix

x

H_n  

 (7-2)

若 k AiB 代入 (7-2) 式，為了滿足輻射的條件必須取複數平面的下半平面 也就是 B為負。我們可以利用 2.4 節中的方法進行數值程式的求解，分別求出 內域與外域的彈性波數與模態。

7.2 特解的模態波數

在土壤表面分別受到t_b1(z)和t_b2(r)方向上的兩個力量作用，在垂直面方向僅受

)

rz(z

 在垂直面作用，因此由第三章的推導可知：

i T i m m

rz(z)h₀(z)S₀ h₁(z)S₁ h (z)S h (z)S

 (7-3)

在水平面我們將垂直振動的諧合載重代入(2-25) 式中，並將 _zz(r) 做 Bessel 函數展開可得特解表面應力為



^

 

































0

0 0

2 ( ) ( )

0 1 0 0

) ( 0 )

(

j

j j

j n

zz

b r r k J k r k

t   (7-4)

其中



 ⁰

0 0

0

0(k _j) ^a r(_zz (r))J (k_jr)dr

 (7-5)

在 (5-3) 式中，為了滿足邊界 ra₀ 牽引力



_zz 不為零，第一個波數取

1 0 0 k.5

k  其餘為

 3 , 2 , 1 ,

0 ) ( ₀

0 k a  j 

J _j (7-6)

7.3 模態函數

我們以經順利將齊解的波數與特解的波數求得後，我們分別將外域解與內域解

的雷利模態(2-10) 式和 (2-18)式代入 (2-3) 式、(2-12) 式、(2-15) 式及 and

z



(7-10)

 and

z

(7-11)

7.4 B 矩陣

對於圖三十一的扭轉振動問題，dS 積分面分別有 S₁ 和S₁，所以在 S₁面上

dz

a

dS

₁

 2

₀ ，在 S₂面上

dS

₂

 2  rdr

，有限元素在扭轉振動問題中形狀函數 分別為 N₁ 1、N₂ 1 ， H 在 (3-3) 式中取 m₁ m₂ m ，因此可以求得 B

矩陣為

) ,

(

_{1 2 2 2}

2

1

 



  

S ^m

T S

T

N dS H N dS col B B B

H

B 

_(7-13)

其中



















 





 

0

0

2 2 2

1

, 0 ,

6 , 1 3

0 6 ,

1 2 )

( 2 ^a _j

j

m j

jb

m j m b

j b

rdr r h B

或 當

當 當



 (7-14)

7.5 D 矩陣

在 3.2 節中我們已經知道 _e 和 _h⁽ⁱ⁾ 可表示成 _p 與 V_b1 之間的比率 關係，要求得_p 與 V_b1 首先要求得 D_P1 與 D_P2，在本例題中因為有沉埋基 礎，dS 積分面有S₁和S₂故：

dS z H z N

D

S

T e

P^{1 }



₁ ^{( ) 1( ) (7-15)}

其中 V_b1 D_p1P₁，

dS r H r G

D

S

T P

P^{2 }



₂ ^{( ) 2( ) (7-16)}

其中 _p D_p2P₂

7.6 K 矩陣

在 2.3 節中_e 和 _h⁽ⁱ⁾的求得必需借由內域外域垂直交界面的積分，在

(2-56) 式中

(7-18)



(7-19)

當我們將新的形狀函數改寫完成，便可以精確求得_e 和 _h⁽ⁱ⁾ 與 _p 之間的比

率關係，便可以進行數值程式的分析。

7.7 數值結果與討論

在 7.6 節中我們已經提出如何克服算準模態之間的比率關係，由 (3-28) 式中 可知阻抗矩陣為

B Q B

I 

^{T 1} _(7-20)

於圖三十二中，圓板的半徑為 a₀ ，土壤的遲滯阻尼 (Hysteretic Damping)

05 .

0

 ，而複數型的剪力模數 (Complex Shear Modulus G 12i )，包 生比為  ，土壤密度為 ；於是我們取各參數值為 a₀ 0.5，d₁ 1，0.05，

i G12 ，

3

1

 ， 1 ；來進行數值程式的撰寫，圖三十三和圖四十分別 為無因次扭轉阻抗矩陣的實數部份 Re( )

Ga0

I_T

與虛數部份 Im( ) Ga0

I_T

由土壤埋入 深d₂並取 R=a₀可得 d2/R=0,d2/R=0.25,d2/R=0.5,d2/R=1，而橫座標為無因次的 頻率 2 Re( )

0

cs

a



 ；在圖三十三和圖四十中表示取齊性解加上特解的波數值所得

的結果，結果顯示當齊性解加上特解達到 20 個以上便有好的收斂結果，我們發 現當我們齊性解加上特解取到 20 個時，阻抗矩陣已經收斂不錯了。

第八章 討論與展望

總結前面幾章所述，我們可以得到以下的結論

1.我們在解析推導動力反矩陣的過程中，首先解析求得彈性波數的控制方 程， 使用有效的數值新方法求得複數根(Complex roots)，並且對於如何 選取無限個複數根(Complex roots)做解析與數值的論證，並已發展出一 套程式可以精確求得超越函數的複數根。

2.我們已經成功的將阻抗矩陣解析推導出，在解析推導的過程中發現齊性解 的模態與特解的模態之間比率關係是為重要。由本文可知在高頻的模態對 阻抗矩陣貢獻雖小但在算模態之間比率關係卻會造成算反矩陣的奇異現 象，因此在發展程式的過程中提出一個新方法克服了高頻率產生奇異矩陣 的現象，並舉出一簡單的例子加以解析和數值的論證。

3.本文雖已成功解析推導動力反矩陣，並做出三個簡單的特例來論證本文的 可行性，包含無沉埋基礎扭轉振動、無沉埋基礎垂直振動、沉埋基礎扭轉 振動、沉埋基礎垂直振動。我們將持續研究求出垂直振動和翻轉振動的沉 埋基礎的阻抗矩陣。

4.在未來我們將解析推導把求得的土壤阻抗勁度矩陣與不同的結構物加以 結合，來進行分析層狀土壤與結構物之間互制系統，並求得結構物與土壤 之間的反應。

5.地震波在分層土壤間的交互行為問題在土壤動力學與地震工程扮演很重 要的角色， 許多發表之期刊對於此問題大多以有限元素法和邊界元素法 來分析， 本文所提方法將避免有限元素法的高計算量且免除邊界元素法 中的奇異值積分問題以大大提昇計算效率， 本論文完成後， 於將來做為 提供地震波傳遞在土層與結構物之間互制系統分析之參考與設計。

參考文獻

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Interior domain Exterior domain For

Rayleigh modes

Interior domain Exterior domain For

Love modes

Basic equations

Complex wave number

) 0

( 55^e  t

) 0

( 55ⁱ  t

) 0

( 21 ) ( 12 ) ( 22 ) (

11^e t^e t^e t^e  t

) 0

( 21 ) ( 12 ) ( 22 ) (

11ⁱ tⁱ tⁱ tⁱ  t

表一 彈性波數在分層土壤之間傳送的超越方程式

N=5 N=4

N=3 N=2

N=1 N=0

0.10991 - I 16.214 0.13906

- I 12.815 0.1929

- I 9.235 0.3484

- I 5.114 3.6972

- I 0.482 5.7681

- I 0.308

解析解

0.10991 - I 16.214 0.13906

- I 12.815 0.1929

- I 9.235 0.3484

- I 5.114 3.6972

- I 0.482 5.7681

- I 0.308

數值解

N=5 N=4

N=3 N=2

N=1 N=0

0.01153 - I 17.16 0.01414

- I 13.996 0.01831

- I 10.81 0.02606

- I 7.597 0.0463

- I 4.271 1.2324

- I 0.160

解析解

0.01153 - I 17.16 0.01414

- I 13.996 0.01831

- I 10.81 0.02606

- I 7.597 0.0463

- I 4.271 1.2324

- I 0.160

數值解

0.00045 - I 17.274 0.00056

- I 14.1316 0.00072

- I 10.98 0.00101

- I 7.843 0.00168

- I 4.695 0.00521

- I 1.519

數值解

0.00045 - I 17.274 0.00056

- I 14.1316 0.00072

- I 10.98 0.00101

- I 7.843 0.00168

- I 4.695 0.00521

- I 1.519

解析解

N=5 N=4

N=3 N=2

N=1

4

N=0

.

0



2



6



表二 比較彈性波數值的解析解與數值解

h j

j th soil layer

x

z

1

ˆ 1

ˆ  

 _{j j}

j H a H Y

Y

圖一 兩層土壤應力位移轉換矩陣

Rigid bedrock

圖二 結構沉埋於土壤的互制系統

h Structure

Domain

Horizontal Interface

Layer 1

Layer n

Interior Domain

Exterior Domain

S3 S3

S2

S1

Rigid bedrock

圖三 表面應力作用於結構與土壤的交界面

Layer 1

Layer n

Interior Domain

Exterior Domain

S3 S3

S2 S1

t i b

e t

₁ ^

t i b

e t

₂ ^

h d

x

z

Rigid bedrock

Exterior Domain

Exterior Domain Interior

Domain

d

Exterior domain

1

t b

S1

S3

Rigid Bedrock

)

t

(i

Rigid Bedrock S3

S2

Interior domain

圖五 外部區域垂直交界面受力圖

2

t b

t

e

Rigid Bedrock S3

Interior domain

圖六 內部區域垂直交界面受力圖

t

e

S2

x

y

-a a

圖七 複數平面分割區塊  a  x  a 和 0  y  b

) , (

1 x

₁

y

₁

z z 2 ( x

₂

, y

₂

)

) , (

3 x

₃

y

₃

z z 4 ( x

₄

, y

₄

)

0 ) ,

( x y  u

0 ) ,

( x y  v

0 ) , (x y  l_r

0 ) , (x y  l_i

z5

z6

z7 z8

圖八 小區塊內複數根的位置

Rigid bedrock

5 .

0 0

a

Rigid Plate

d=1

Soil properties

Hysteretic damping ratio Shear modulus

Poisson’ s ratio

Mass density 1

3333 .

0 2 1

05 . 0



















i G

圖九 剛性圓板之扭轉振動

t

e i ^

1

0 ) , (

x y



u

0 ) , (x y  v

圖十 (a) 為 ^{  0 . 4} 複數平面的 u ( x , y )  0 和 ^{v ( x , y )  0}

-4.00 0.00 4.00

-8.00 -4.00 0.00 4.00 8.00

-4.00 0.00 4.00

-8.00 -4.00 0.00 4.00 8.00

圖十 (b) 為 ^{  0 . 4} 複數平面上線性內插所得的根

K0

K1

K2

K0

0 ) , (

x y



u

0 ) , (x y  v

圖十一 (a) 為 ^{  2} 複數平面的 u ( x , y )  0 和 ^{v ( x , y )  0}

圖十一 (b) 為 ^{  2} 複數平面上線性內插所得的根

K0

K1

K2

K0

-4.00 0.00 4.00

-8.00 -4.00 0.00 4.00 8.00

-4.00 0.00 4.00

-8.00 -4.00 0.00 4.00

0 ) , (

x y



u

0 ) , (x y  v

圖十二 (a) 為 ^{  6} 複數平面的 u ( x , y )  0 和 ^{v ( x , y )  0}

圖十二 (b) 為 ^{  6} 複數平面上線性內插所得的根

K0

K1

K1

-8.00 -4.00 0.00 4.00 8.00

-8.00 -4.00 0.00 4.00 8.00

K3

K2

K0

-8.00 -4.00 0.00 4.00 8.00

-8.00 -4.00 0.00 4.00

圖十三 土壤扭轉阻抗矩陣的實數部份

] Re[ ₃

Ga0

K_T

) Re(

0

cs

a

0.00 2.00 4.00 6.00

0.00 2.00 4.00 6.00

Ref.(13)

35 modes 27 modes 21 modes 15 modes

圖十四 土壤扭轉阻抗矩陣的虛數部份

cs

a



 ₀ ]

Im[ ₃ Ga0

K_T

0.00 2.00 4.00 6.00

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00

35 modes 27 modes 21 modes 15 modes Ref.(13)

Rigid bedrock

5 .

00

a

Rigid Plate

d=1

Soil properties

Hysteretic damping ratio Shear modulus

Poisson’ s ratio

Mass density 1

3333 .

0 2 1

05 . 0



















i G

圖十五 剛性圓板之垂直振動

t

e i ^

1

0 ) , (

x y



u

0 ) , (x y  v

圖十六 (a) 為   0 . 4 複數平面的 u ( x , y )  0 和 v ( x , y )  0

圖十六 (b) 為   0 . 4 複數平面上線性內插所得的根

K0

K1

K8

K0

-10.00 -5.00 0.00 5.00 10.00

-16.00 -12.00 -8.00 -4.00 0.00 4.00

-4.00 -2.00 0.00 2.00 4.00

-16.00 -12.00 -8.00 -4.00 0.00 4.00

K2

K3

K4

K5

K6

K7

0 ) , ( x y  u

0 ) , (x y  v

圖十七 (a) 為   2 複數平面的 u ( x , y )  0 和 v ( x , y )  0

圖十七 (b) 為   ₂ 複數平面上線性內插所得的根

K0

K1

K4

K0

-10.00 -5.00 0.00 5.00 10.00

-15.00 -10.00 -5.00 0.00 5.00

-4.00 -2.00 0.00 2.00 4.00

-15.00 -10.00 -5.00 0.00 5.00

K5

K7

K3

K6

K2

K9 K₈

K1

0 ) , (

x y



u

0 ) , (x y  v

圖十八 (a) 為   6 複數平面的 u ( x , y )  0 和 v ( x , y )  0

圖十八 (b) 為   6 複數平面上線性內插所得的根

K0

K1

K6

K2

K0

-10.00 0.00 10.00

-8.00 -4.00 0.00 4.00

K2

K1

K5

K4 K₃

-10.00 0.00 10.00

-8.00 -4.00 0.00 4.00

cs

a₀



] Re[ ₃

Ga

0

K

_T

圖十 九 土壤垂直振動阻抗矩陣的實數部份

0.00 2.00 4.00 6.00

-10.00 -5.00 0.00 5.00 10.00 15.00

Ref.(13)

33 modes 35 modes

39 modes 43 modes

] Im[ ₃

Ga0

K_T

cs

a₀



圖二十 土壤垂直振動阻抗矩陣的虛數部份

0.00 2.00 4.00 6.00

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00

Ref.(13)

33 modes

35 modes 39 modes

43 modes

Rigid bedrock

5 .

00

a

Rigid Plate

圖二十一 沉埋基礎剛性圓板之扭轉振動

d

2

d

3

d

¹

 d

²

 d

³

e

iwt

1

] Re[ ₃

Ga0

K_T

cs

a₀



圖二十二 沉埋基礎 d2/R=0扭轉阻抗矩陣的實數部份

0.00 4.00 8.00 12.00

0.00 2.00 4.00 6.00

Ref[13

Mode 10 Mode 12 Mode 14

Mode 16 Mode 18

] Im[ ₃

Ga0

K_T

cs

a₀



圖二十三 沉埋基礎 d2/R=0扭轉阻抗矩陣的虛數部份

0.00 4.00 8.00 12.00

0.00 4.00 8.00 12.00 16.00 20.00

Ref[13]

Mode 10

Mode 12,14,16,18

] Re[ ₃

Ga0

K_T

cs

a₀



圖二十四 沉埋基礎 d2/R=0.25 扭轉阻抗矩陣的實數部份

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00

0.00 4.00 8.00 12.00

Ref[15]

Mode 14,16,18

] Im[ ₃

Ga0

K_T

cs

a₀



圖二十五 沉埋基礎 d2/R=0.25 扭轉阻抗矩陣的虛數部份

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00

-10.00 0.00 10.00 20.00 30.00 40.00

Ref[15

Mode 14,16,18

] Re[ ₃

Ga0

K_T

cs

a₀



圖二十六 沉埋基礎 d2/R=0.5 扭轉阻抗矩陣的實數部份

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00

6.00 8.00 10.00 12.00 14.00

Ref[15]

Mode 14,16,18

] Im[ ₃

Ga0

K_T

cs

a₀



圖二十七 沉埋基礎 d2/R=0.5 扭轉阻抗矩陣的虛數部份

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00

Ref[15]

Mode 14,16,18

] Re[ ₃

Ga0

K_T

cs

a₀



圖二十八 沉埋基礎 d2/R=0.75 扭轉阻抗矩陣的實數部份

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00

8.00 10.00 12.00 14.00 16.00 18.00

Mode 10

Mode 15,16,17,18

] Im[ ₃

Ga0

K_T

cs

a₀



圖二十九 沉埋基礎 d2/R=0.75 扭轉阻抗矩陣的虛數部份

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00

Mode 10 Mode 16,17,18

] Re[ ₃

Ga0

K_T

cs

a₀



圖三十 沉埋基礎 d2/R=1.0 扭轉阻抗矩陣的實數部份

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00

8.00 12.00 16.00 20.00 24.00

Mode 10 Mode 16,17,18

] Im[ ₃

Ga0

K_T

cs

a₀



圖三十一 沉埋基礎 d2/R=1.0 扭轉阻抗矩陣的虛數部份

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00

0.00 20.00 40.00 60.00

Mode17,18

mode10

] Im[ ₃

Ga0

K_T

cs

a₀



圖三十一 沉埋基礎 d2/R=1.0 扭轉阻抗矩陣的虛數部份

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00

0.00 20.00 40.00 60.00

Mode17,18

mode10

Rigid bedrock

5 .

0 0 a 

Rigid Plate

圖三十二 沉埋基礎剛性圓板之垂直振動

2

d

d3 d¹ d²d³







e

iwt

1

Cs

a₀



]

Re[

Ga0

K_T

圖三十三 沉埋基礎d2/R=0.0 垂直振動阻抗矩陣實數部份 Mode 15

Mode 18,20

0.00 2.00 4.00 6.00

-5.00 0.00 5.00 10.00 15.00

C

s

a

₀

 ]

Im[

Ga

0

K

_T

圖三十四 沉埋基礎d2/R=0.0 垂直振動阻抗矩陣虛數部份 Mode 15

Mode 18,20

0.00 2.00 4.00 6.00

-10.00 0.00 10.00 20.00 30.00 40.00

Cs

a₀



]

Re[

Ga0

K_T

圖三十五 沉埋基礎d2/R=0.25垂直振動阻抗矩陣實數部份 Mode 15

Mode 18,20

0.00 2.00 4.00 6.00

-5.00 0.00 5.00 10.00 15.00 20.00

C

s

a

₀

 ]

Re[

Ga

0

K

_T

圖三十六 沉埋基礎d2/R=0.25垂直振動阻抗矩陣虛數部份 Mode 15

Mode 18,20

0.00 2.00 4.00 6.00

-20.00 0.00 20.00 40.00 60.00

Cs

a₀



] Re[

Ga

0

K

_T

圖三十七 沉埋基礎d2/R=0.5垂直振動阻抗矩陣實數部份 Mode 15

Mode 18,20

0.00 2.00 4.00 6.00

-10.00 0.00 10.00 20.00 30.00

Cs

a₀



] Im[

Ga

0

K

_T

圖三十八 沉埋基礎d2/R=0.5垂直振動阻抗矩陣虛數部份 Mode 15

Mode 18,20

0.00 2.00 4.00 6.00

0.00 20.00 40.00 60.00 80.00

0.00 2.00 4.00 6.00 -40.00

-20.00 0.00 20.00 40.00

C

s

a

₀



] Re[

Ga

0

K

_T

圖三十九 沉埋基礎d2/R=1垂直振動阻抗矩陣實數部份 Mode 15

Mode 18,20

Cs

a₀



] Im[

Ga

0

K

_T

圖四十 沉埋基礎d2/R=1垂直振動阻抗矩陣虛數部份 Mode 15

Mode 18,20

0.00 2.00 4.00 6.00

0.00 40.00 80.00 120.00

在文檔中 發展沉埋基礎之土壤-結構互制分析程式(II) (頁 56-0)