剛性圓板之扭轉振動

本章節中將舉出一簡單的例子來求出阻抗矩陣的方法，並且以解析和數值的 方法對求解彈性波數，圖九為一圓形無質量的剛性圓板置於土層表面，假設受 到一扭轉振動的諧合載重，對於軸對稱的問題而言，當圓形無質量的剛性圓板 受扭轉振動時， (2-2)式中當 n0 時，且只有考量拉夫模態 (Love modes) 發 生時，因此所有的位移和應力只有在  方向上才有值，位移和應力向量只存在

u 和 _z 存在，我們可以將 (3-28) 式所得到的式子求得阻抗矩陣並對模態 參與係數做數值的分析與求解。

4.1 拉夫模態(Love modes)的頻率方程式

由第二章中可知內外域解的拉夫頻率方程式分別為 (2-9) 式與 (2-17) 式。為發展數值解來求得超越函數，我們對於單一土層系統而言，拉夫頻率方 程式為

0

55 

C H

cosh

v



d



t

_(4-1)

由於

d v i d v

e

^ivd cos sin  (4-2)

d

v i d v

e

^ivd cos sin  (4-3) 由 (4-2) 式和 (4-3)式可將 (4-1) 化簡為

0 cos

cosh v  d  i v  d 

(4-4)

因此我們可順利求得解析解的拉夫波數值為 2 , 1 , 0 ,

2 ) 1

(2  

 N N

d v

i  (4-5)

我們可以將 v k² ²/c_s² 代入 (4-5) 式中求得波數的解析解為

 3 , 2 , 1 , 0 ,

2 ) 1 (2 )

( ²  ² 



 N

d N k c

s

  (4-6)

位移向量在圓柱座標下我們可以表示成通解的形式 (General form)：

iwt ikr z v i z

v i iwt

ikr z v i z

v

i Be e e Ce De e e

Ae t

z r

u( , , )[( ^ ^) ] [( ^ ^) ^ ]

若考量波傳方向往 r 的方向入射而無反射波可知 AB0，位移向量為

)

)] (

[(

) , ,

(r z t Ce^ivz De ^ivz e^{i kr wt}

u  ^ ^{  }

當波數值求得後，我們可以知道波數值在外域的條件下必需滿足輻射的條件

，第一類與第二類 Hankel 函數的級數解的為

) 4 / exp(

2) ( )

)(

2 )(

1

( 

  

 ix

x x

H_n (4-7)

可知取第一類與第二類 Hankel 函數分別代表 r 的方向的反射波與入射波，在 本文的例子中僅考量表面波往外傳無反射波故本文取第二類 Hankel 函數，往 若 k AiB 代入 (4-7) 式，為了滿足輻射的條件必需取複數平面的下半平面 也就是 B為負。我們可以利用 2.4 節中的方法進行數值程式的求解，圖十 至 圖 十二 分別為  增加所求到的數值解，我們可以發現到一個有趣的現象，當 

逐漸增加時其波數值的根會往實數軸增加，並且我們比較數值解與解析解的根 如表二所示，可以發現理論解與數值解完成吻合，並且可知在取波數值的根時 應先取靠近實數軸的根，越靠近實數軸的根分別代表越低模態的根因此這些根 在振動上最為重要。

4.2 特解的模態波數

4.3 模態函數

cosh )

(4-13)



cosh )

(4-14)



(4-15)

在 (4-10) 式中我們以經將應力特解的模態求出，將 (4-10) 式代入轉換位移

(4-16)

 sinh cosh

[tanh ) sinh cosh

[tanh )

(4-17)

4.4 B 矩陣

由 (3-24) 中 可知

dS N H B

S S



 T



1 2 (4-18)

對於圖九的扭轉振動問題，dS 積分面只有 S₂ 而已，所以

dS  2  rdr

，有 限元素在扭轉振動問題中形狀函數為 N r ， H 在 (3-3) 式中取 m₂ m ， 因此可以求得 B 矩陣為

) ,

(

_{1 2 1}

2





 

S ^m

T

N dS col B B B

H

B 

_(4-19)

其中

















 

 







 

0

0

3 2

3 2

3

2 1

, 0 6 ,

1 6

12 , 1 4 6

0 12 ,

1 2 )

( 2 ^a _j

j

m j

j b

m j m b

m

j b

dr r r h B

或 當

當 當



 (4-20)

4.5 D 矩陣

在 3.2 節中我們已經知道 _e 和 _h⁽ⁱ⁾ 可表示成 _p 與 V_b1 之間的比率 關係，要求得_p 與 V_b1 首先要求得 D_P1 與 D_P2，在本例題中與上一節一樣，

dS 積分面只有 S₂ 而已故

dS r H r G

D

S

T P

P^{2 }



₂ ^{( ) 2( ) (4-21)}

將 (4-16) 式求得的形狀函數代入(4-21) 式中可得



^



 ⁰

2 ] 2 0 1( ) 1( )

[

D

_{P ij}



^a

k

_i

J k

_i

r h

_j

r rdr

_(4-22)

4.6 K 矩陣

4.7 數值結果與討論

在 4.6 節中我們已經提出如何克服算準模態之間的比率關係，由 (3-28) 式中 可知阻抗矩陣為

B Q B

I 

^{T 1} _(4-27)

於圖九中，圓板的半徑為 a₀ ，土壤的遲滯阻尼 (Hysteretic Damping)

05 .

0

 ，而複數型的剪力波數 (Complex Shear Modulus G 12i )，包 生比為  ，土壤密度為 ；於是我們取各參數值為 a₀ 0.5，d 1，0.05，

i G12 ，

3

1

 ， 1 ；來進行數值程式的撰寫，圖十三和圖十四分別為 無因次扭轉阻抗矩陣的實數部份 Re( ₃)

Ga0

I_T

與虛數部份 Im( ₃) Ga0

I_T

，而橫座標為無 因次的頻率

) Re(

2

0

cs

a



 ；在圖十六和圖十七中表示取齊性解加上特解的波數值

所得的結果，我們可以和 Liou [12] 所做的結果加以比較，我們發現當我們齊 性解加上特解取到 50 個時，阻抗矩陣已經收斂不錯了，並且我們可以觀察出一 個有趣的現象，那就是實部和虛部的尖峰值所對應的橫軸無因次的頻率會相 同，這些特性頻率也就是在當 k 0，由 (4-6) 式中可得

 2 , 1 , 0 2 ,

) 1 2

(  

  N

d N c_s

  (4-28)

若將各數值代入 (c_s  d1, 1) 則可得到

 2 , 1 , 0 2 ,

) 1 2

(  

 N N

 (4-29)

所以無因次頻率為

 2 , 1 , 0 8 ,

1 2 ) Re(

2

0  N  N 

c a

 s

 (4-30)

由 (4-30) 式可求出前四個無因次頻率為 0.125，0.375，0.625，0.875 與圖十三 與圖十四完全吻合。

在文檔中 發展沉埋基礎之土壤-結構互制分析程式(II) (頁 35-42)