力平衡沖刷坑深度公式推導

圖 2-15 單位面積流功與抗沖蝕能力指數圖（Annandale, 1995）

本研究藉尾水中動態壓力作用於岩盤表面的單位面積流功Pjet（式 2-10）以及抗沖蝕指數Kh換算（式2-15），在由圖2-9沖刷流程分析步驟（羅 楚鈞, 2012），及可求出詴驗中軟岩極限沖刷深度，由這些數據下去進行 合理的參數設定（流速、尾水深、跌水高）。

2.3.5 力平衡沖刷坑深度公式推導

Liu（2005）認為可將沖刷坑之發展，視為水躍發生在逆坡之行為，

利用動量方程式來計算能量損失之影響，該研究將沖刷坑簡化為圖 2-16，

並以動量平衡的觀念推導沖刷坑深度。因射流壓力分佈的不同，在沖刷 坑下游側會形成一逆坡，Liu（2005）採用沖刷坑最大深度及原始岩盤面

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為邊界，邊界之水壓力為靜態分佈，當射流到達沖刷坑底部後，會隨著 逆坡往下游流動，因此在逆坡的入口與出口分別假設斷面 1 與斷面 2，而 沿著逆坡方向的動量方程式表示如下：

圖 2-16 沖刷坑示意圖（Liu, 2005）

動量方程式

P₁ − P₂ − G sin β′ =^γq

g V₂ − V₁ （2-16）

P1, P2=分別為斷面 1, 2 的靜水壓力 G=選取斷面內單位寬度體積之水重 β’=沖刷坑下游測逆坡角度

V1, V2=斷面 1, 2 的平均流速 h1, h2=斷面 1, 2 的水深

q=單寬流量

P₁ = η_P1^γ

2h₃²cos β′ （2-17）

P₂ = η_P2^γ

2h₂²cos β′ （2-18）

G = γA （2-19）

A = ¹

2 h₃ + h₂ ^Lj

cos β′ （2-20）

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Liu（2005）以三峽大壩作為計算案例，下列表 2-4、表 2-5、圖 2-17 為其計算結果，結果顯示，當尾水深度越深時總沖刷深度（T）也越深，

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表 2-5 在 ke=3.9 的情況下總沖刷深度與沖刷深度之間的差異（Liu, 2005）

尾水深(m) 20 30 40 50 60 70 80 90 100 總沖刷深度(m) 57.01 60.54 61.68 60.97 66.57 75.08 84.02 93.24 102.66

沖刷深度(m) 37.01 30.54 21.68 10.97 6.57 5.08 4.02 3.24 2.66

圖 2-17 沖刷深度與尾水深之間的關係（Liu, 2005）

ke為 Liu（2005）用案例所歸納出來，其中的案例皆以硬岩為主，並 不適用於本研究的軟岩上，由敘述性的岩體描述決定 k_e，其值將因人而 異，羅楚鈞（2011）採用可客觀決定的 K_h函數 f（K_h）取代 k_e，如下式

k_e² = f K_h （2-25）

Y = h + f K_h ^Y

D_jsin α

−0.5q H

g （2-26）

當 K_h越大表示岩體越不易被沖刷，因此 f（K_h）越小才反映出沖刷量

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表 2-8 Annandale 與 Liu 沖刷深度比較

位置 岩性 t (m) t (m)

實際 Annandale Liu

後村堰 砂頁岩互層 18.5 22.5

<10 厚層砂岩 0 6.5

義興壩 極厚層砂岩 20 12 17 石岡壩 層狀砂岩 9 10

厚層頁岩 6 8 5

觸口堰 泥質粉砂岩 14 16 <10

2.4 沖刷坑形狀評估

水流衝擊到岩盤後會向四周擴散，隨著水流的擴散，作用在岩盤表面 的壓力也隨之降低。一般認為，影響射流作用面積擴散及能量消減之主 要控制因素為尾水高度與射流原始直徑或厚度之比值（h/D_j），Ervine et al.

（1998）及 Melo（2006）藉由壓力計量測在不同之尾水高度及圓形射流 直徑之詴驗成果，利用中心位置之壓力值與理論壓力值進行比較，而得 到平均壓力係數（Mean pressure coefficient C_p），其結果如圖 2-19 所示。

當 h/D_i小於 4 時，則中心點仍可維持核心射流狀態。當 h/D_j大於 4〜6 時，

則射流全部呈現擴散射流狀態，且中心點之壓力值隨水深增加而減少，

當比值大於 20 時大部份之能量並未傳遞至底部。

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圖 2-19 圓形射流平均壓力係數與 h/Dj關係圖（Bollaert, 2003）

Melo（2006）建立一水槽詴驗，量測水流擴散後作用於平板上壓力的 變化（實驗範圍侷限於，尾水深/水柱厚=8.42~18.5 之間），研究結果顯示 x/h（衝擊點距離/尾水深）達到 0.4 即無動態水壓作用於平板表面，如圖 2-19，由此判斷水流影響範圍為 0.4 倍的尾水深。評估方式首先是利用作 用於岩盤面的射流流功，接觸岩盤後流功隨著圖 2-19 的衰減曲線衰減，

藉由各點的 C_p值（表 2-9），如此可得到擴散後各點的流功，接著與岩盤 沖刷啟動門檻比較，得到各點深度，即為沖刷坑形狀。

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表 2-9 平均波動壓力與正規化值 x/h 關係表

x/h -0.4 -0.35 -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 Cp 0 0.01 0.04 0.09 0.18 0.36 0.62 0.9 1 0.9 0.62 0.36 0.18 0.09 0.04 0.01 0

圖 2-20 無因次動態壓力（修改自 Melo, 2006）

Beltaos（1976）利用尾水高度、流體寬度及水流射入角度之關係，

計算跌水之能量損失，從式2-28、圖2-21和圖2-22，即可計算出在不同角 度下，距離射流中心點各個位置的流功大小。

P_w

P_jet = e^−0.693η2 （2-28）

0 0.1 0.2 0.3 0.4

x/h

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

C

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Pw=擴散後之流功

η=X₁/b（與射流中心點距/射流角度參數，圖 2-21 ）

圖 2-21 角度- b/H 圖（H 為射流長），Beltaos（1976）

圖 2-22 擴散流功/中心點流功-η 圖（Beltaos, 1976）