動機

隨著電腦科技的進步，使用電腦代替創作、編曲、配伴奏等的演算法技術也 迅速發展。目前電腦音樂的研究主題相當廣泛，除了上述電腦自動創作研究外，

還包括音樂資訊檢索、音樂樣式探勘、音樂結構及和弦分析、音樂風格分類、音 樂個人化及推薦等。

使用演算法來產生音樂已發展數十年之久，其中包括馬可夫鍊 [1, 2, 3]，以基 因演算法為基礎的 evolutionary 方法 [4, 5] 等，另外有些以演算法作曲技術及樂 理為基礎的旋律產生器，則提供專門的介面使產生調性旋律簡單化 [6, 7]。

而本系統的主要目的即為利用演算法來創作樂曲，我們以現代音樂中的音高 類集為理論基礎，希望以此創作出多元化的旋律，系統加入以樂理為基礎的和聲 及結構概念，另搭配節奏複雜度來產生變化豐富的節拍組合，藉以讓產生出的結 果更有音樂性。

1.2 背景介紹背景介紹 背景介紹背景介紹

音樂隨著時間流動，若無記載的方法則無法保存及傳播音樂的內容，因此有 了樂譜，即紀錄音樂的記號 [8]。樂譜是研究音樂的工具，其中，音符為樂譜的基 本單位，代表樂音的符號，可表示音的長短，音符所在的位置可以表示音的高低。

幾個音符會構成一個小節，許多小節構成完整的音樂。

音符本身所表示的長度為半數或倍數關係，通用的種類有七種，如圖 1.2 所 示，全音符的長度為二分音符的兩倍，二分音符為四分音符的兩倍，圖 1.3 為各 種音長之間的關係圖。

全音符

二分音符 八分音符 三十二分音符

四分音符 十六分音符 六十四分音符 圖

圖 圖

圖 1.1 七種通用音符七種通用音符七種通用音符七種通用音符

2

圖 圖 圖

圖 1.2 音符長度關係圖音符長度關係圖音符長度關係圖音符長度關係圖

(資料來源資料來源資料來源資料來源：：：：http://zh.wikipedia.org/wiki/File:YB0104_Valeur_relative_notes.png)

兩音高度上的距離為音程，半音為音程中最小的距離。音符按照其高低排列 數個音的階級即稱為音階，表示音高的連續關係，曲調及和聲皆建立於音階之上。

近代通用的音階為大音階及小音階，兩者皆屬於自然音階，由五個全音及兩個半 音組成，兩者的差異為半音出現的位置，大音階的半音位置有二：一為第三音與 第四音之間，另一個在第七音與第八音之間，小音階則依分類不同，半音出現位 置也不同，圖 1.3 為 C 大調自然音階的範例。

圖 圖圖

圖 1.3 C 大調自然音階大調自然音階大調自然音階大調自然音階

現代音樂家中，曾試用新音階創作音音樂 [8]。新音階裡最著名的為全音階 (Whole-tone scale) 與十二聲音階 (Twelve-tone scale)。全音階全由全音組成，這種 音階迴避了半音的傾向性，因而具有一種游移不定的獨特魅力。十二聲音階則是 一個獨立的音階，建築於此音階之上的音樂便為無調音樂，無調音樂打破有調音 樂和聲上的法則，創作的曲調由不協和的和絃組成，奧國作曲家荀白克為無調音 樂的創始者。。。。

就音樂的本質來看，音樂由許多元素所構成，而樂理為音樂的基礎，其包含 許多規範，作曲家在作曲時的準則即建立在樂理之上，例如：調性、織體、曲式、

和聲、旋律等。在調性音樂中，調性分為大小調共 24 個調，不同的調由不同的

音階組成，聽起來的感覺也不盡相同；織體與曲式為音樂的結構形式，織體為空 間上的形式，曲式則是時間上的形式。一段時間內所聽到的聲響層次即為織體的 密度大小，而音樂在時間上的延續，無論長短都必須有一個結構框架，即為曲式；

和聲的主要功能是用陪襯旋律，不同的和聲會造成不同的效果；旋律則是由音高 及節奏組成，為音樂中最重要的要素，旋律具有其獨特的特徵，通常能讓聽者印 象深刻。

1.3 論文架構論文架構 論文架構論文架構

本論文以音高類集為理論基礎，加入各種樂理規則，及節奏複雜度概念，藉 由音高類集豐富的變化及節奏複雜度多樣組合，來產生出各種不同的樂曲。

因此本論文在第二章相關研究中，先介紹各種樂理知識，包括 Pitch-Class Set 、 節奏複雜度、動機與主題發展等，另外還有講述自動作曲的發展。第三章為研究 方法，我們介紹如何運用這些樂理加入系統中，來產生樂曲，並於第四章系統功 能與實作中，展示我們開發的系統及產生的音樂。第五章為實驗，其中介紹我們 的實驗設計、實驗評估及實驗結果，最後在第六章總結我們的結果，及討論未來 研究可能的方向。

4 Instrument Digital Interface) 格式。由於 MIDI 格式是以事件儲存，因此不需透過 音訊處理技巧就能擷取各種音樂參數，例如：音高 60 等同於中央 C ，只要能正 確解讀 MIDI 事件即能取得想要的結果。

常見的 MIDI 有三種不同的格式。一般最常見的格式為 GM(General MIDI) ， 另外兩種為 GS(General Standard)與 XG(Extended General MIDI) 。其檔案的架構 是由 Header chunk 與多個 Track chunk 所組成。 Header chunk 主要紀錄播放格

Chunck Type Data Length Data

4 bytes 4bytes 6 bytes

2 bytes 2 bytes 2 bytes MThd <length> <format> <tracks> <division>

表 表 表

表 2.2 Track chunck 格式格式格式格式 Track chunck

Event Type Data Length Data

4 bytes 4bytes <length> bytes

MTrk <length> <delta time><event>,<delta time><event>,...

2.2 Pitch Class

6

2.3 Pitch-Class Set

Pitch Class 將所有音高以 12 為一組，以 0 至 11 表示，數字代表任一八度

圖 2.2 Pitch-Class Set

(Schoenberg, Gavotte from Suite for Piano, Op. 25) [9]

圖 2.2 是五個摘錄自荀白克第二十五號鋼琴組曲 “ Gavotte“ 的 Pitch-Class Set 的例子，圈起來的是一組 Pitch-Class Set(D^♭, E, F, G)，這組 Pitch-Class Set 以不

同的表達方式在出現在音樂中，它以旋律形式出現在第一小節開頭 (a) 及第七小 節 (b) ；在第十六小節中開頭時，以雙音的形式出現，此時為樂曲的一半 (c)；到 了第二十四小節時改用和絃 (d) ；最後到了二十七小節結尾時又重新出現，代表 此曲到最後仍使用此 Pitch-Class Set 為音樂想法 (e) 。

2.3.1 Operations on Pitch Classes and Pitch Class Sets

 Transposition

Transposition 是將 Pitch-Class Set 內的所有數字作加(或減)的運算，以 Tn表示，

例如：[2,3,7] = T₂[0,1,5]。若運算後的數字大於 12，則須取 mod 12 後的數字，例 如：[11,0,4] = T11[0,1,5]。

圖 2.3 為 Pitch-Class Set Transposition 的例子，圖中被圈起來的四處為 Pitch-Class Set Transposition 的地方， 的 Pitch-Class Set 為[3,4,7]， 為[2,3,6]，

是[11,0,3]， 為[8,9,0]，其中，[3,4,7] = T₁[2,3,6]，[3,4,7] = T4[11,0,3]，[2,3,6] = T3[11,0,3]，[11,0,3] = T3[8,9,0]。

圖 圖 圖

圖 2.3 Pitch-Class Set Transposition

(Webern, Concerto for Nine Instruments, Op. 24)[9]

8

 Inversion

Inversion 是用 12 去減掉 Pitch-Class Set 內的所有數字，以 I 表示，例如：[0,7,11]

= T₀I[0,1,5]。表 2.5 為 Pitch Class 及 Inversion 的對照表。

表表表

表 2.5 Pitch Class 及及及及 Inversion 對照表對照表對照表對照表 pitch class(n) Inversion (12-n)

0 0

1 11

2 10

3 9

4 8

5 7

6 6

7 5

8 4

9 3

10 2

11 1

圖 2.4 為 Pitch-Class Set Inversion 的 例 子 ， 圖 中 被 圈 起 來 的 前 二 處 為 Pitch-Class Set Inversion 的地方， 的 Pitch-Class Set 為 [7,8,11] ， 為 [1,4,5] ， [1,4,5] = I [7,8,11] ，其中， 7 的 Inversion 為 5 ， 8 的 Inversion 為 4 ， 11 的 Inversion 為 1 。

圖 圖 圖

圖 2.4 Pitch-class set inversion (Schoenberg, Piano Piece, Op. 11)[9]

 TnI

T_nI 為 綜 合 Transposition 及 Inversion 的 變 化 ， 先 將 Pitch-Class Set 作 Inversion 後再 Transposision ，圖 2.4 中被圈起來的第一、三處為 Pitch-Class Set TnI 的地方， 的 Pitch-Class Set 為 [7,8,11] ， 為 [6,9,10] ， [6,9,10] = T5I [7,8,11] ，其中， [1,4,5] = I[7,8,11] ， [6,9,10] = T5 [1,4,5] 。

2.3.2 Normal Form

一個 Pitch-Class Set 可用不同變化形式出現在音樂裡，然而不論它出現的形 式如何，皆可被整理成一個 “Compact“ 的形式，也就是 Normal Form 。 Normal Form 是以 Compact Order 而存在的形式，它表示此 Pitch-Class Set 裡，頭尾 Pitch Class 間 Interval 的值為最小。

圖圖

圖圖 2.5 Normal Form

圖 2.5 為 Normal Form 的例子， Pitch-Class Set 組成音為 C 、 G^♯、 B 、 E 、 A ，首先計算頭尾 Pitch Class 間 Interval 的值，從圖中可看出 及 的 Interval 值為最小，而在排法 裡， G^♯ 及 Ｃ 間的 Interval 值比排法 小，因 此排法 [8,9,11,0,4] 為 C、G^♯、B、E、A 的 Normal Form。

2.3.3 Prime Form [9, 10, 11]

Set Classes 有兩種標準的命名方法，第一種是使用由 Allen Forte 所設計的方 法，它定義每種 set class 由一組數字代表，例如： 3-4 ， 3 表示 Pitch-Class Set 裡有幾個 Pitch Class ， 4 則是此 Set Class 在 Forte 所制定的列表裡的位置，此 種方法被廣為運用；第二種方法則是從 Set Class 裡所有的成員中，選出最 Normal 的 Normal Form 來代表，即被稱為 Prime Form ， Prime Form 皆從 Pitch Class 0 開始。每組特定的 Pitch-Class Set 都有一個獨特的 Prime Form ，若兩組 set 的 Prime Form 相同，則表示它們包含相同數目的 Pitch 及音程，所以聽起來的感覺 會是差不多的，例如： Pitch-Class Set [1,2,7] 、 [8,2,3] 及 [0,11,6] 的 Prime Form 皆為 [0,1,6] ，則它們聽起來的聲響差異不大。

Prime Form 的計算方法為：找出此 Pitch-Class Set 的 Nnormal Form 及 Inverted Normal Form ，接著比較二者由左至右 Interval 的 Packed 程度，選出 Packed 程 度 最 大 的 一 個 ， 並 將 此 Normal Form 的 第 一 個 Pitch Class 作 Transposition 至 0 ，即為 Prime Form 。以 Pitch-Class Set[7,8,2,5] 為例，其 Normal Form 為 [2,5,7,8] ， Inverted Normal Form 為 [4,5,7,10] ，由於 Inverted Normal Form 的 Interval 為： 1,2,3 ， Normal Form 的 Interval 為： 3,2,1 ，經 比較， 1,2,3 的 packed 程度較 3,2,1 大，即 [4,5,7,10] 的 packed 程度較 [2,5,7,8]

大，因此將 [4,5,7,10] 的 4 作 Ttransposition 至 0 ，也就是 T₈ ，而得到 Prime Form 為 [0,1,3,6] 。附錄為所有的 Prime Form 列表。

10

2.4 動機與主題發展動機與主題發展動機與主題發展動機與主題發展

動機和主題是作曲的基本想法，動機包含了一組特有的音高結構及節奏樣式，

是主題的一部分。主題是以動機發展而完成，不同主題構成不同段落，再由這些 段落組成一首音樂。

2.4.1 動機動機動機動機

動機是音樂的基本單位，通常出現在作品的開頭，讓人留有印象且具特色 [12] 。動機由音程和節奏組成，是曲調的出發點及要素，藉以構成樂節、分句及 樂句。例如：貝多芬第五號交響曲 ”命運” 第一樂章的主要動機，即最初的四個 音 ”Sol Sol Sol Mi” (圖 2.5) ，不斷在整個交響樂中的第一樂章出現。

圖 圖圖

圖 2.5 動機動機動機 (Beethoven's Fifth Symphony) 動機

(資料來源：http://en.wikipedia.org/wiki/File:FuenfteDeckblatt.png)

動機會藉由不同形式重複出現在整首曲子裡，以避免讓音樂只是單調的重複 同一動機，通常重複形式有 Exact、Modified 或 Developed 。 “Exact” 方法保留 所有特徵及關係，例如： Transposition 、 Inversion 、 Retrograde 、 Retrograde Inversion 、 Diminutions 及 Augmentation (圖 2.6) 。 ” Modified” 方法則會改變 原有動機的一些特徵及保留剩餘的部分 (圖 2.7) 。

圖圖

圖圖 2.6 Exact Repetition

圖圖

圖圖 2.7 Modified Repetition

2.4.2 動機動機動機動機處理處理處理處理

動機處理是描述作曲的程序，在此作曲的程序中，完整的作品或樂節是以主 題的動機為依據，連續的動機結合形成半樂句，連續的半樂句結合而成樂句 [13] 。 以下介紹由 Stein [13, 14] 及 Schoenberg [12] 提出常用的六種動機處理變化特 性：

Repetition

Repetition 可以加強人們對於主題動機的印象，其帶出來的效果並非複製，而 是平衡與對稱的感覺，例如孟德爾頌無言歌 No. 45 的開頭即用 Repetition 的手法 (圖 2.8) 。

圖 圖 圖

圖 2.8 Repeating

(Mendelssohn, Songs Without Words, No. 45)

Sequence(模進模進模進) 模進

Sequence 至少有兩次相同重複的動機，通常為單一行進方向：更高或者更低。

Sequence 至少有兩次相同重複的動機，通常為單一行進方向：更高或者更低。