反向分歧(Backward bifurcation)

此小節中，我們將對模型進行更多感染面向的探討，藉此希望能找到如文獻[6]中 Backward bifurcation 的情境，我們對感染模型(2.6)中器官 1 新增了細胞跟細胞間的 感染途徑、器官 2 新增了病毒對細胞的感染途徑，以及對不同器官的參數做更詳細的區 分，其模型如下：

^dT_dt¹= a₁− b₁T₁ − β₁𝑇₁𝑉 − β₄𝑇₁I₁

^dI_dt¹ = β₁𝑒^;𝑎1𝜏1𝑇₁(𝑡 − 𝜏₁)𝑉(𝑡 − 𝜏₁) − 𝜇₁I₁+ β₄𝑒^;𝑎1𝜏1𝑇₁(𝑡 − 𝜏₁)I₁(𝑡 − 𝜏₁) ^dT_dt²= a₂− b₂T₂− β₂𝑇₂𝐼₂− β₃𝑇₂𝑉

^dI_dt² = β₂𝑒^;𝑎2𝜏2𝑇₂(𝑡 − 𝜏₂)𝐼₂(𝑡 − 𝜏₂) − 𝜇₂I₂+ β₃𝑒^;𝑎2𝜏2𝑇₂(𝑡 − 𝜏₂)𝑉(𝑡 − 𝜏₂)

^dV_dt = 𝛾₁𝑒^;𝑎3𝜏3I₁(𝑡 − 𝜏₃) + 𝛾₂𝑒^;𝑎3𝜏3I₂(𝑡 − 𝜏₃) − 𝜇̃V − β̃₁𝑇₁𝑉 − β̃₂𝑇₂𝑉， (3.18)

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T₁:器官 1 之中健康身體細胞的數量 I₁:器官 1 之中受感染身體細胞的數量 T₂:器官 2 之中健康肝臟細胞的數量 I₂:器官 2 之中受感染肝臟細胞的數量

𝑉:HBV 細胞的數量 a_𝑖:健康細胞的生成率

𝑏_𝑖: 健康細胞的死亡率 β_𝑖:病毒感染率

𝑒^{;𝑎𝑖𝜏𝑖}:受感染細胞經𝜏_𝑖期間的存活率 𝜇_𝑖:受感染細胞的死亡率 𝛾_𝑖: 受感染細胞的病毒產生率 𝜇̃: 病毒的死亡率 β̃_𝑖:病毒感染時的病毒消耗率

此處我們透過數值模擬觀察器官 2 中，透過病毒對細胞的感染率β₃的改變，觀察各種病 毒的起始數量隨時間的趨近情形，可得以下 3 種情境：

a₁ = 10⁵ a₂ = 10⁸ b₁ = 0.03 b₂ = 0.003 β₁ = 2.001 × 10^;10 β₂ = 2.2 × 10^;15 β₄ = 2 × 10^;15 β̃₁ = 2.001 × 10^;10

β̃₂ = 2 × 10^;10 𝜇₁ = 1.000000001 𝜇₂ = 1 𝜇̃ = 1 𝑎₁ = 0.1 𝑎₂ = 0.15 𝑎₃ = 0.2 𝛾₁ = 2000 𝛾₂ = 0.94 𝜏₁ = 10^;20 𝜏₂ = 1.5 × 10^;20 𝜏₃ = 1.3 × 10^;20

表 8：系統參數-7 (1) 當β₃ = 2 × 10^;11時，

圖 17：在表 8 參數下，當β₃ = 2 × 10^;11時，V 隨時間變化圖

此圖可觀察到，當器官 2 的病毒感染率很小時，疾病的感染會漸漸消退，使得感染 模型的病毒數量趨近到零，也就是會趨近於無病平衡點。

此情境就像是一種沒什麼感染力的病毒，不管空間中有再多病毒，其對器官的影響 幾乎微乎其微。

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(2) 當β₃ = 2 × 10^;10時，

圖 18：在表 8 參數下，當β₃ = 2 × 10^;10時，V 隨時間變化圖

此圖可觀察到，當器官 2 的病毒感染率略為增加但還沒過大時，此時有兩種趨近情 形，其一為感染模型的病毒起始數量夠多時，使得感染模型的病毒數量趨近到一非零的 數值，也就是會趨近於共生平衡點，另一種為感染模型的病毒起始數量不多時，使得感 染模型的病毒數量趨近到零，也就是會趨近於無病平衡點。

此情境為感染率再增強一些的病毒，此時當環境中病毒量多於某數值時，對器官就 會產生影響，但病毒數量不夠時，對器官的影響就不顯著。

(3) 當β₃ = 5 × 10^;10時，

圖 19：在表 8 參數下，當β₃ = 5 × 10^;10時，V 隨時間變化圖

此圖可觀察到，當器官 2 的病毒感染率很大時，疾病變會開始蔓延，使得感染模型 的病毒數量趨近到一非零的數值，也就是會趨近於共生平衡點。

此情境就像是一種感染力很強的病毒，不管空間中有多少病毒，其對器官都能產生 影響。

由此三種情境中，我們可觀察到器官 2 的病毒感染率β₃對此模型的影響，隨著β₃的

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增加，從全部趨近到無病平衡點變成有部份趨近到共存平衡點再變成全部趨近到共存平 衡點，因此可發現如同文獻[6]的反向分歧(Backward bifurcation)現象存在。

由於我們前面有提到病毒感染率會跟病毒感染時的消耗率可能會相似，因此以下我 們將會對上面數值模擬再加上此條件觀察，此結果如下：

(1) 當β₃ = β̃₂ = 2 × 10^;11時，

圖 20：當β₃ = β̃₂ = 2 × 10^;11時，V 隨時間變化圖 (2) 當β₃ = β̃₂ = 2 × 10^;10時，

圖 21：當β₃ = β̃₂ = 2 × 10^;10時，V 隨時間變化圖

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(3) 當β₃ = β̃₂ = 2 × 10^;9時，

圖 22：當β₃ = β̃₂ = 2 × 10^;9時，V 隨時間變化圖

以上三種情境中，我們可觀察到器官 2 的病毒感染率β₃以及感染器官 2 時的病毒消 耗率β̃₂對此模型的影響，其結果與上一個結果有些不同，可能原因為病毒感染消耗率對 病毒數量有一定程度的影響，隨著β₃與β̃₂的增加，從全部趨近到共存平衡點變成有部份 趨近到無病平衡點再變成全部趨近到無病平衡點，但還是能得到如同文獻[6]的反向分 歧(Backward bifurcation)現象存在。

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