(2.29)和(2.30)可寫成矩陣形式：
由(2.19)的定義，(2.32)可改寫為
(2.33)中的 4 x 4 矩陣為無向性待測物(isotropic medium)的穆勒矩陣，即
∆
∆
∆
∆ +
+
−
+
− +
=
cos tan 2 sin tan 2 0
0
sin tan 2 cos tan 2 0
0
0 0
tan 1 tan
1
0 0
tan 1 tan
1
2 2
2 2
ψ ψ
ψ ψ
ψ ψ
ψ ψ
sample
M 48(2.34)
2.5 簡式橢圓儀(Polarizer—Sample—Analyzer, PSA)介紹與系統校正
上式中有三個未知數，我們便旋轉析光片至 0°、60°、120°並測量光強度值，藉 由解三個聯立方程式即可得到(B, C, D)，此方法稱為三點量測法[3]。
))
58(2.40c)
結合(2.38a)、(2.38b)和(2.40a)~(2.40c)，可進一步得到橢圓參數(ψ, Δ)：
ψ
由(2.38c)、(2.42)和(C,D)，可得
ψ
則光強度(2.36)和(2.37)將改寫為：
)]
62(2.44a)
)
cos2(θ −β)
比較(2.44a)和(2.44b)的係數後，得
]
67(2.46a) ]
68(2.46b)
a ψ
利用(2.46a)和(2.46b)，我們可以得到以下結果：
∆
將(2.46c)、(2.47a)和(2.47b)合併為
− 2 2 − + = 2∆
73(2.49a)
同理，當 P= -45°+α 時，推得(L2, T2, θ2-β)後代入(2.48)
74(2.49b)
因為θ1 ≈−θ2，所以合併(2.49a)與(2.49b)為
77(2.52a) 78(2.52b)
將(2.52a)和(2.52b)相乘：
合併(2.52a)和(2.52b)：
tan ( 45 )
+
−
= +
∆
⇒ −
ψ a
ψ a
θ
2 sin ) 45 ( 2 sin
) 2 cos ) 45 ( 2 (cos 2
cos 1 tan 1
81(2.55)
在上述的推導當中，最終得到不受偏光片方位角α 和析光片方位角 β 誤差影響的 橢圓參數(ψ, Δ)。
2.6 表面電漿共振(Surface Plasmon Resonance, SPR)
表面電漿波(surface plasmon wave)是處於金屬層與待測物之間介面的電磁波，能 藉由外加電子或光子來激發，形成表面電子的共振運動。當入射光在金屬層中，
沿著介面的波向量分量 kx 等於表面電漿波的波向量 kspr，也就是滿足色散條件 (kx=kspr)時，表面電漿波便會被激發出來，形成表面電漿共振(Surface plasmon resonance, SPR)。此激發條件和金屬的折射率、待測物的折射率、波長和入射角 度有關。當表面電漿共振產生時，因入射光的能量被大量耦合至金屬—待測物介 面層，生成表面電漿波，出射光的光強度便會大幅度的衰減，相位亦有相當大的 改變，此時的入射角便稱為共振角(resonant angle)。值得一提的是，只有 p 波才 會在光強度與相位有明顯的變化，s 波則不會有顯著的改變。因此在 p 波的反射 係數隨入射角變化的圖形中，可看到如圖 2.7 和圖 2.8 的趨勢，而 s 波的反射係 數則沒有這樣的現象。圖 2.7 顯示ψ 和入射角度的變化關係，在入射角為共振角 時會有最小值，也就是 p 波的反射光最弱的時候。圖 2.8 則是相位Δ 的變化，在 共振角附近，相位有極大的變化，形成圖中斜率最陡峭的區域。
圖 2.7 ψ 隨入射角變化示意圖 在共振角時有最小值
圖 2.8 Δ 隨入射角變化示意圖 在共振角附近時有極大的變化
由於直接從空氣入射至金屬無法產生匹配 kspr的水平分量 kx，色散條件便不能成 立，因此需借助一些光學元件來製造足夠的 kx。常見的架構有[6]：稜鏡耦合式、
法(Attenuated Total Reflection, ATR)，由 A. Otto 提出的架構(如圖 2.9)，為稜鏡—
待測物—金屬層的結構。為了使全反射產生的衰逝波能傳達至金屬層以誘發表面 電漿共振，稜鏡和金屬層的間隙需保持極短的距離。然而此距離不易控制均勻，
因 此 後 來 由 E. Kretschmann 提 出 稜 鏡 — 金 屬 層 — 待 測 物 的 架 構 ， 稱 為 Kretschmann 結構(圖 2.10)。這種結構只需要適當控制金屬的厚度即可有靈敏的 量測效果，所以是目前很普遍使用的方法。
圖 2.9 Otto 結構 圖 2.10 Kretschmann 結構
一般而言，為了誘發表面電漿共振的現象，必須滿足以下兩個條件：
(1) 入射光在金屬層的水平方向之波向量 kx等於表面電漿波向量 kspr
d m
d m x
spr k c
k ε ε
ε ω ε
= +
=
其中ω 為光的頻率，c 為光速，εm為金屬的介電係數，εd為待測物的介電係 數。
(2) 只有 TM 波(p 波)能誘發表面電漿共振。
接下來將以馬克士威爾方程式(Maxwell equations)與邊界條件證明以上兩點。在 無外加電荷與電流之下，馬克士威爾方程式之二式可寫成
t
H E
∂
= ∂
×
∇
ε 82(2.56a)
t
E H
∂
− ∂
=
×
∇
µ 83(2.56b)
假設入射光為平面波且只有單一波長，則電場和磁場可表示為 E =E0exp[−j(k⋅r−ωt)]
84(2.57a) H =H0exp[−j(k⋅r−ωt)]
85(2.57b)
將(2.57a)和(2.57b)代入(2.56a)和(2.56b)，可得[13]
k E0 H0 ωµ
=
× 86(2.58a)
k H0 E0 ωε
−
=
× 87(2.58b)
接著假設光波僅沿著 x-z 平面傳播而無 y 方向分量，如圖 2.11，那麼在金屬層的 TE 模態和 TM 模態的電場向量及磁場向量可分別表示為
TE 模態：
E0m =
(
0,Eym,0)
88(2.59a) H0m =
(
Hxm,0,Hzm)
89(2.59b)
TM 模態：
E0m =
(
Exm,0,Ezm)
90(2.60a)
H0m =
(
0,Hym,0)
91(2.60b)
同樣的，待測物中的 TE 模態和 TM 模態的電場向量及磁場向量為 TE 模態：
E0d =
(
0,Eyd,0)
92(2.61a)
H0d =
(
Hxd,0,Hzd)
93(2.61b)
TM 模態：
E0d =
(
Exd,0,Ezd)
94(2.62a) H0d =
(
0,Hyd,0)
95(2.62b)
圖 2.11 金屬層—待測物層示意圖
首先討論 TE 模態的情形。分別將(2.59a)與(2.59b)、(2.61a)與(2.61b)代入(2.58a)，
即可得到
另外，TE 模態需滿足邊界條件(boundary condition)
根據色散關係(dispersion relation)
推得 TE 模態無法誘發表面電漿共振。現在改為 TM 模態，將(2.60a)與(2.60b)、
(2.62a)與(2.62b)分別代入(2.58b)，得
101(2.67)
另外，TM 模態需滿足邊界條件
將(2.68)代入(2.67)，得 d zm
最後把(2.69)代入色散關係(2.66a)以及(2.66b)，便能得到
spr
2.7 稜鏡之入射光與出射光偏極態之修正式
當光從一種介質進入到另一種介質時，因折射率的不同，在介面出現部分反射與 部分穿透的現象，而 p 波和 s 波的反射率與穿透率可能因此而有所不同。如果入 射光垂直入射於介面，由 Fresnel 方程式(2.21a)~(2.21d)可得知，p 波和 s 波的反 射係數與穿透係數分別一致；然而當入射角非垂直入射時，p 波和 s 波的反射係 數與穿透係數便出現差異，這會讓入射光的偏極態改變，進而影響橢圓參數值(ψ, Δ)。在本論文的表面電漿共振實驗裡，當雷射光從空氣入射至稜鏡，與從稜鏡出 射至空氣時，在這兩者介面上的雷射光往往非垂直入射，因此會製造「額外」的 偏極態改變。以下即推導在「空氣稜鏡」與「稜鏡空氣」這兩個介面的光偏 極態修正式。
圖 2.12 稜鏡內/外電場示意圖
圖 2.12 中的(θ, θ’)與 θi彼此是相互關聯的，為了將θ 和 θ’以 θi表示，我們可以幾 何關係尋找它們的關係式。首先由圖 2.12 中的各個已知角度，推出
θ'=θi −45 105(2.71)
而θ 可由 Snell’s law
na ⋅sinθ =np ⋅sinθ' 106(2.72)
得
( )
將(2.76a)與(2.76b)代入(2.75)，並和(2.74)比較後，得
' ' ' '
3
第三章 實驗步驟與結果
3.1 矽標準片量測架構與結果 3.1.1 實驗目的
藉由標準片 SiO2/Si 的水平多入射角量測，來驗證會聚光束應用於簡式影像式橢 圓儀的可行性與可靠度。
3.1.2 實驗架構
在此實驗中，採用的待測物為 SiO2/Si 標準片，也就是以 Si 為基底，上面為 95nm 厚的 SiO2薄膜。擴束光經柱狀透鏡聚焦後，中心入射角為 70°，向兩旁延伸約±
2°。毛玻璃(Ground glass)是用來破壞光斑(speckle)，避免對影像截取的干擾。
圖 3.1 SiO2/Si 影像橢圓儀架構圖
Laser：Melles Griot He-Ne Laser, 波長為 632.8nm, 15mW 輸出 Beam expander：7X 擴束；表面有鍍膜，為波長 632.8nm 所用 Polarizer (P)/Analyzer (A)：Melles Griot 03FPG005 sheet polarizer Cylindrical lens：BK7 (n=1.515)
Sample：SiO2/Si, 95nm thickness of SiO2
CCD：AVT Pike F-032
3.1.3 量測步驟
(1) 調整待測物的旋轉角，使中心入射角為 70°。
(2) 用光擴束器擴束。
(3) 將 P 的穿透軸旋轉至-45°，再由柱狀透鏡會聚光束。
(4) 依次將 A 的穿透軸旋轉至 0°、60°、120°，並拍攝各個二維影像。
(5) 此時將 P 的穿透軸旋轉至 45°，並重覆步驟 4。
至此，實驗量測已全部完成。然而原始影像因通過毛玻璃後才被 CCD 拍攝，影 像的光強度分佈會變得較雜亂而無法呈現高斯光束的分佈特性(如圖 3.2)，所以 需將每張二維影像利用高斯平滑濾鏡(Gaussian smoother filter)來還原雷射光的高 斯分佈狀態(如圖 3.3)。接著利用 2.5 節的公式計算出每個像素所量測到的橢圓參 數(ψ, Δ)。
圖 3.2 未經高斯平滑濾鏡處理之影像
圖 3.3 高斯平滑濾鏡處理後之影像
3.1.4 實驗結果
在上一節中，我們已經得到每個像素位置所擁有的橢圓參數(ψ, Δ)。接下來，必 須找出像素位置與入射角度之間的關聯。如此一來，我們便能還原入射角與橢圓 參數的對應關係。運用 2.3 節單層膜的數學式(2.25a)和(2.25b)，將 SiO2的折射率、
厚度，以及 Si 的折射率等常數代入理論計算，得到理論的橢圓參數值，接著與 實驗值相比較，以求得每個像素位置對應的入射角度。圖 3.4 為入射角和像素位 置的關係圖。圖中虛線部分為實驗值，粗實線為擬合線，線性式為入射角和像素 位置的轉換關係式。
圖 3.4 入射角與像素位置關係
藉由圖 3.4 中的轉換式，橢圓參數(ψ, Δ)和入射角的關係為圖 3.5 和圖 3.6 所示。
虛線為實驗值，粗實線為理論值。
圖 3.5 ψ 與入射角的關係圖
Δ 與入射角的關係圖
3.2 SPR量測架構與結果 3.2.1 實驗目的
以往使用表面電漿共振方法量測時，常使用單一入射角，其缺點因表面電漿共振 的動態範圍狹窄，而無法測量高濃度(或折射率)變化的待測物。以圖 3.7 與圖 3.8 為例，假設起始溶液在ψ 與 Δ 圖形中的變化為折射率 1.332 之曲線所示，入射角 固定在共振角(約 72°)附近。當溶液濃度有些許改變時(如折射率 1.335 曲線)，圖 形發生了位移(shift)，因入射角對應到圖形的區間落在敏感量測區段(斜率最大的 區段)，可依此特性進行高精準度的測量。然而當溶液濃度過高，致使圖形(如折 射率 1.350 曲線)的偏移量過大，此時入射角對應到圖形的位置不再是敏感量測區 間，使得量測的精準度大幅降低。如果為了量測不同的濃度而挪動光學元件，很 可能引入人為誤差，增加實驗的困難度與準確性。因此沿用上一節的想法，於架 構中加入柱狀透鏡以產生連續多入射角。在不需移動任何光學元件之下，一次完 成多入射角的量測。以下使用兩種待測物：空氣和水，來驗證此一想法。
圖 3.7 不同待測物折射率之下的 Ψ vs.入射角示意圖
圖 3.8 不同待測物折射率之下的 Δ vs.入射角示意圖
3.2.2 待測物為空氣的量測 3.2.2.1 實驗架構
實驗架構與上個實驗大致相同(圖 3.9)，唯獨將待測物的部分換為 SPR cell，新的
待測物為空氣。由於空氣的共振角約為 45°，會聚光的中心入射角依此改為 45°，
向兩旁延伸約±2°。圖 3.10 顯示 SPR cell 的結構側面圖，由上而下分別為稜鏡、
載玻片、黏接層、金層與待測物。稜鏡的選用為 BK7 (n=1.515)材質，載玻片亦 使用 BK7。為了使稜鏡與載玻片之間能無縫隙接合，加入折射率匹配油(n=1.517) 於兩者之間。載玻片與金層之間，有一層厚度約為 2.05nm 的黏接層，材質為鎳 金屬(Ni)。接著是厚度為 47.5nm±3nm 的金層。最後是待測物：空氣。
圖 3.9 SPR-PSA 影像橢圓儀架構圖(待測物為空氣)
圖 3.10 SPR cell 結構側面圖
3.2.2.2 量測步驟
(1) 調整中心入射角為 45°。
(2) 用光擴束器擴束。
(3) 將 P 的穿透軸旋轉至-45°，再由柱狀透鏡會聚光束。
(4) 依次將 A 的穿透軸旋轉至 0°、60°、120°，並拍攝各個二維影像。
(5) 此時將將 P 的穿透軸旋轉至 45°，並重覆步驟 4。
和 3.1.3 節相同，在這實驗中拍攝的影像需使用高斯平滑濾鏡來還原雷射光的高 斯分佈狀態，然後利用 2.5 節的公式計算出每個像素所量測到的橢圓參數(ψ, Δ)。
3.2.2.3 實驗結果
同樣的，一開始我們必須找出像素位置與入射角度之間的關聯，然後還原入射角 與橢圓參數的對應關係。運用 2.3 節雙層膜結構的數學式(2.28a)和(2.28b)，將稜 鏡折射率、鎳黏接層的折射率與厚度、金層的折射率與厚度等常數代入理論計算，
得到理論的橢圓參數值，並利用 2.7 節的偏極態修正式修正(ψ, Δ)。接著與實驗 值相比較，以求得每個像素位置對應的入射角度。圖 3.11 為入射角和像素位置
得到理論的橢圓參數值，並利用 2.7 節的偏極態修正式修正(ψ, Δ)。接著與實驗 值相比較，以求得每個像素位置對應的入射角度。圖 3.11 為入射角和像素位置