表面電漿波(surface plasmon wave)是處於金屬層與待測物之間介面的電磁波，能 藉由外加電子或光子來激發，形成表面電子的共振運動。當入射光在金屬層中，
沿著介面的波向量分量 kx 等於表面電漿波的波向量 kspr，也就是滿足色散條件 (kx=kspr)時，表面電漿波便會被激發出來，形成表面電漿共振(Surface plasmon resonance, SPR)。此激發條件和金屬的折射率、待測物的折射率、波長和入射角 度有關。當表面電漿共振產生時，因入射光的能量被大量耦合至金屬—待測物介 面層，生成表面電漿波，出射光的光強度便會大幅度的衰減，相位亦有相當大的 改變，此時的入射角便稱為共振角(resonant angle)。值得一提的是，只有 p 波才 會在光強度與相位有明顯的變化，s 波則不會有顯著的改變。因此在 p 波的反射 係數隨入射角變化的圖形中，可看到如圖 2.7 和圖 2.8 的趨勢，而 s 波的反射係 數則沒有這樣的現象。圖 2.7 顯示ψ 和入射角度的變化關係，在入射角為共振角 時會有最小值，也就是 p 波的反射光最弱的時候。圖 2.8 則是相位Δ 的變化，在 共振角附近，相位有極大的變化，形成圖中斜率最陡峭的區域。
圖 2.7 ψ 隨入射角變化示意圖 在共振角時有最小值
圖 2.8 Δ 隨入射角變化示意圖 在共振角附近時有極大的變化
由於直接從空氣入射至金屬無法產生匹配 kspr的水平分量 kx，色散條件便不能成 立，因此需借助一些光學元件來製造足夠的 kx。常見的架構有[6]：稜鏡耦合式、
法(Attenuated Total Reflection, ATR)，由 A. Otto 提出的架構(如圖 2.9)，為稜鏡—
待測物—金屬層的結構。為了使全反射產生的衰逝波能傳達至金屬層以誘發表面 電漿共振，稜鏡和金屬層的間隙需保持極短的距離。然而此距離不易控制均勻，
因 此 後 來 由 E. Kretschmann 提 出 稜 鏡 — 金 屬 層 — 待 測 物 的 架 構 ， 稱 為 Kretschmann 結構(圖 2.10)。這種結構只需要適當控制金屬的厚度即可有靈敏的 量測效果，所以是目前很普遍使用的方法。
圖 2.9 Otto 結構 圖 2.10 Kretschmann 結構
一般而言，為了誘發表面電漿共振的現象，必須滿足以下兩個條件：
(1) 入射光在金屬層的水平方向之波向量 kx等於表面電漿波向量 kspr
d m
d m x
spr k c
k ε ε
ε ω ε
= +
=
其中ω 為光的頻率，c 為光速，εm為金屬的介電係數，εd為待測物的介電係 數。
(2) 只有 TM 波(p 波)能誘發表面電漿共振。
接下來將以馬克士威爾方程式(Maxwell equations)與邊界條件證明以上兩點。在 無外加電荷與電流之下，馬克士威爾方程式之二式可寫成
t
H E
∂
= ∂
×
∇
ε 82(2.56a)
t
E H
∂
− ∂
=
×
∇
µ 83(2.56b)
假設入射光為平面波且只有單一波長，則電場和磁場可表示為 E =E0exp[−j(k⋅r−ωt)]
84(2.57a) H =H0exp[−j(k⋅r−ωt)]
85(2.57b)
將(2.57a)和(2.57b)代入(2.56a)和(2.56b)，可得[13]
k E0 H0 ωµ
=
× 86(2.58a)
k H0 E0 ωε
−
=
× 87(2.58b)
接著假設光波僅沿著 x-z 平面傳播而無 y 方向分量，如圖 2.11，那麼在金屬層的 TE 模態和 TM 模態的電場向量及磁場向量可分別表示為
TE 模態：
E0m =
(
0,Eym,0)
88(2.59a) H0m =
(
Hxm,0,Hzm)
89(2.59b)
TM 模態：
E0m =
(
Exm,0,Ezm)
90(2.60a)
H0m =
(
0,Hym,0)
91(2.60b)
同樣的，待測物中的 TE 模態和 TM 模態的電場向量及磁場向量為 TE 模態：
E0d =
(
0,Eyd,0)
92(2.61a)
H0d =
(
Hxd,0,Hzd)
93(2.61b)
TM 模態：
E0d =
(
Exd,0,Ezd)
94(2.62a) H0d =
(
0,Hyd,0)
95(2.62b)
圖 2.11 金屬層—待測物層示意圖
首先討論 TE 模態的情形。分別將(2.59a)與(2.59b)、(2.61a)與(2.61b)代入(2.58a)，
即可得到
另外，TE 模態需滿足邊界條件(boundary condition)
根據色散關係(dispersion relation)
推得 TE 模態無法誘發表面電漿共振。現在改為 TM 模態，將(2.60a)與(2.60b)、
(2.62a)與(2.62b)分別代入(2.58b)，得
101(2.67)
另外，TM 模態需滿足邊界條件
將(2.68)代入(2.67)，得 d zm
最後把(2.69)代入色散關係(2.66a)以及(2.66b)，便能得到
spr