受激輻射(stimulated emission)

利用某一特定頻率的入射光場的作用下，處於激發狀態的原子被 迫的放射出一特定頻率(與入射光頻率相同)的光子躍遷至較低能階，

稱為受激放射過程。與自發放射沒有一定的發射方向是截然不同，此

E₂

E1

N1

N₂

hυ

圖4-2 自發輻射示意圖。

14

為產生雷射光的重要機制之一。

𝑑𝑁₂

dt = −𝐵₂₁𝜌(𝜈)𝑁₂ = −^𝑁_𝑑𝑑¹ (4.3) 上式中B21為受激輻射的愛因斯坦係數，_{𝐵21𝜌(𝜈)}為躍遷速率，在熱平 衡下，吸收的躍遷速率等於受激輻射的躍遷速率，即

B12=B21。 (4.4) 各能階的原子濃度必須維持定值，因此各能階的原子濃度總變化速率 為零。即

−^dN_𝑑𝑑¹ = ^𝑑𝑁_𝑑𝑑² = 𝑁₂𝜌(𝜐)𝐵₂₁ + 𝑁₁ρ(υ)𝐵₁₂ − 𝐴₂₁𝑁₂ = 0， (4.5)

可得

A₂₁ =^8𝜋ℎ𝜐_c3 ³ B²¹。 (4.6) 4.1.4 居量反轉(population inversion)

光會因受激輻射而放大，但強度卻始終不如吸收作用下減弱的光

。若要使放大光強度超過衰弱的光，就必須具備粒子數反常分布，也 就是高激發狀態的原子必須多於基本狀態的原子，即

E₂

E1

N1

N2

hν0 2hν0

圖4-3 受激輻射示意圖。

15

N₂ > N₁。 (4.7) 上述條件在熱平衡狀況下或以光照射都無法滿足，只能達到_{N2 = N1}，

因此這種居量反轉的反常狀態只有迂迴經過其他能階才能成立。

如圖 4-4 所示，為四能階系統。基態粒子經激發至 E4，處於 E4的 粒子很快衰落至E3，而 E3是亞穩態，因此在 E3上可以得到粒子數的 累積，如果 E4 E3和E2 E1的躍遷速率都很快，而E3 E2 躍 遷速率很慢，那麼粒子反轉就可以在E3與E2間達到。但由於 E2上的 粒子數不會累積很多，因此在四能階系統要達到居量反轉，只要在 E3上累積的粒子比 E2多就可以了[16]。

4.1.5 自由載子電漿效應(free carrier plasma effect)

受到高能量入射光子的激發時，價帶上的電子可能會被激發到傳 導帶上，此時在傳導帶上會產生電子，在價帶上也會產生電洞，形成 電子-電洞對(electron-hole pair)，額外的電子電洞稱為過量電子(excess electrons)及過量電洞(excess holes)。所以當入射光照射在樣品上時，

E2

E1

E₃ E₄

N

雷射光

E

快速衰退 快速衰退

圖4-4 四能階系統。

16

樣品的自由載子數量增加，會改變材料的折射率。

自由電子的運動在電場E 作用下必須滿足下面的微分方程:

m^{∗ 𝑑}_𝑑𝑑^2𝑥₂ + 𝑚^∗𝑔^d𝑥_𝑑𝑑 = −eE𝐿^𝑖𝑖𝑑。 (4.8) 其中m^∗為載子的有效質量，g 為阻尼係數，x 為位移，電子受力 為F=−eE𝐿^𝑖𝑖𝑑，式(4.8)的解為:

x = _𝑖^{𝑒𝑒/𝑚}_{2−𝑖𝑖𝑖}^∗ 𝐿^𝑖𝑖𝑑。 (4.9)

材料的相對介電係數以𝜀_r表示: 𝜀_r = _𝜀^𝜀

0 = 1 +_𝜀^𝑃�⃑

0𝑒�⃑。 (4.10) 考慮自由載子情況下，極化向量為

P��⃑ = P���⃑ + P₀ ���⃑。 (4.11) ₁ P₀

���⃑為沒有自由載子的極化向量，P���⃑為含有自由載子的極化向量，整理₁ (4.11)式

𝜀_r = 1 +_𝜀^{𝑃����⃑0}

0𝑒�⃑+_𝜀^{𝑃����⃑1}

0𝑒�⃑ = 𝑛₀² +_𝜀^{𝑃����⃑1}

0𝑒�⃑。 (4.12) 𝑛₀是沒有自由載子的材料折射率，材料為等向性時𝑃�⃑和𝐸�⃑為相同方向。

P₁

���⃑ = −Ne𝑥⃑。 (4.13)

N 為自由載子濃度，單位為 cm^-3，將式(4.9)和式(4.13)代入式(4.12) 𝜀_r = n₀²−^𝑁𝑒_𝑖²₂^/(𝑚_{−𝑖𝑖𝑖}^∗𝜀0)。 (4.14) 將(4.14)式的實部與虛部分離，可得

17

𝑅𝐿 𝜀_r = n₀²−^𝑁𝑒_𝑖^2/(𝑚_2+g^∗₂^𝜀0)， (4.15) Im 𝜀_r = ^{𝑁𝑒2𝑖/(𝑚}_𝑖2+g^∗₂^𝑖𝜀0)。 (4.16) 實部為電漿效應，虛部為自由載子吸收，在此我們先不討論自由載子 吸收效應。由於阻尼係數g 遠小於𝜔，在此可忽略g，可化簡為

𝑅𝐿 𝜀_r = n₀²−_𝑚^𝑁𝑒_∗𝜀 ²

0𝑖²。 (4.17) 當載子濃度為N 時的折射率如下:

△ 𝜀_r =△ (_𝜀^𝜀

0) = 2n △ n = −_𝑚^𝑁𝑒_∗𝜀 ²

0𝑖²， (4.18) n = 𝑛₀−_2𝑛𝑚^𝑁𝑒_∗𝜀²

0𝑖²。 (4.19) 由(4.19)式可得知，載子濃度愈大則材料折射率愈小。

4.1.6 雷射速率方程式

從雷射方程式進行推導[17] ，式(4.20)描述了光子晶體共振腔內 載子密度(carrier density)的變化，式(4.21)描述光子晶體共振腔雷射模 態光子密度(photon density)變化。

𝑑𝑁

𝑑𝑑 = 𝑅_𝑝 −_𝜏^𝑁

𝑠𝑠−_𝜏^𝑁

𝑛𝑛 − 𝑉_𝑖Γ𝑔(𝑁)𝑃， (4.20)

𝑑𝑃

𝑑𝑑 = Γ𝑉_𝑖𝑔(𝑁)𝑃 + 𝛽_𝜏^𝑁

𝑠𝑠−_𝜏^𝑃

𝑠。 (4.21) N 和 P 分別代表載子密度和雷射模態光子密度，Rp為激發速率 (pumping rate)，可由入射光功率換算，如式(4.22)

𝑅_𝑝 = 𝜂_𝑖^𝐿_ℎ𝑐𝑉^{𝑖𝑛𝜆𝑖𝑛}

𝑎 。 (4.22)

18

Γ為侷限係數(confinement factor)，Vg代表光子的群速度(group

velocity)，g(N)為主動層的增益函數(gain function)，我們設為線性增益，

為方程式(4.23)

g(N)=a(N-Ntr)。 (4.23) 𝜏_𝑝為腔體內光子生命週期(photon lifetime)與光子晶體共振腔的品質 因子有關，如式(4.24)

𝜏_𝑝 =^𝑄𝜆_2𝜋𝑐^𝑜𝑜𝑜。 (4.24) 穩態條件下載子和光子密度(即微分項為 0)，利用方程式(4.21)可得載 子和光子密度的關係(4.25)

N = ^𝜏𝑠𝑠_𝜏^{(𝑃+𝑎𝑁𝑜𝑛Γ𝑉𝑔𝜏𝑠𝑃)}

𝑠(𝑎𝜏_𝑠𝑠Γ𝑉_𝑔𝑃+𝛽) 。 (4.25) 再將方程式(4.22)代入(4.20)可得光子密度與激發速率關係式

𝑅_𝑝 =⁽

1−𝛽

𝜏𝑠𝑠+_𝜏𝑛𝑛¹ )(𝑉_𝑔Γ𝑎𝑁_𝑜𝑛+_𝜏𝑠𝑠¹ )𝑃 (𝑉𝑔Γ𝑎𝑃+_𝜏𝑠𝑠^𝛽 ) +_𝜏^𝑃

𝑠。 (4.26) 由方程式(4.26)可得輸入功率和輸出功率的關係

𝐿_𝑜𝑜𝑑 = ^𝜂_𝜆^{0ℎ𝑐𝑉𝑚}

𝑜𝑜𝑜𝜏_𝑠 𝑃。 (4.27)

19 (transparent carrier

density)

𝑚⁻³

𝜂_𝑖

主動層吸收率 (active region absorption

efficiency)

% Nth

臨界載子密度 (threshold carrier

density)

𝑚⁻³

(quality factor)

Γ 侷限係數

(confinement factor) neff

有效折射率 (effective refraction

index) Vg

光子群速度

(group velocity) m 𝐿𝐿𝑠⁻¹ sp

自發性輻射生命周期 (spontaneous emission life time)

Sec

Vs

表面複合速率 (surface recombination

velocity)

m 𝐿𝐿𝑠⁻¹ p

共振腔內光子生命周

期(photon lifetime) Sec

𝜆_𝑖𝑛 雷射入射光波長 (spontaneous emission

coupling efficiency)

% Lth

雷射臨界功率

(threshold power) W

20

4.2 模擬結果

4.2.1 有限時域差分法(FDTD)

K.S. Yee 在 1996 年提出有限時域差分法 (Finite-Difference-Time- Domain，FDTD)[18]，其方法是將時間每個分割空間的電場變化推算相 對應空間中的磁場，再用此空間的磁場變化推算至下一個分割單位時 間點的電場，藉由空間與時間相互計算，可算出電磁波在光子晶體內 的電場和磁場分布。

Active region Pump

Photon reservior

Nonradiactive recombination

Stimulated recombination

Spontaneous recombination coupling part Spontaneous

recombination

Laser

𝛽 𝑁 𝜏_𝑠𝑝 Γ𝑉_𝑠𝑔(𝑁)𝑃

𝑁

𝜏_𝑛𝑛 𝑁

𝜏_𝑠𝑝 𝑅_𝑝

圖 4-5 雷射速率方程式示意圖。

21

4.2.2 光子晶體電場分布模擬

本論文使用的試片是由交通大學光電工程學系李柏璁教授團隊 所設計與製造[19] 。光子晶體 D0 結構共振腔為方形晶格(square lattice) 的共振腔結構，設計如圖4-7 所示，中間四個空氣柱向外退縮，原本 的半徑r 縮減為 r’，在中央形成局部晶格缺陷，產生缺陷模態(defect mode)[7]。晶格常數(lattice constant，a)約為 500nm ，空氣柱半徑 (air-hole radius)為 190nm，而中間向外退縮的空氣柱半徑約為 156nm，

利用FDTD 模擬出電場在光子晶體的分布。

r r’

a

圖4-6 Yee 提出單位區域的電磁場配置圖。

圖 4-7 光子晶體 D0 結構示意圖。

X Z

Y

Hy

Hx

Hz

Ex

Ez

Ey

22

1500 1550 1600 1650 1700 WG mode

Wavelength(nm) monopole mode

本節利用FDTD 模擬光子晶體在空間上場分布的情形，其模擬的 步驟為:首先在共振腔內置入脈衝訊號(pulse)，脈衝訊號是由各種頻率 的光所組成，然而只有共振頻率的光才會被侷限在共振腔中，所以透 過計算電磁波的時變資訊並且做傅立葉轉換 (fourier transform)，可以 得到共振模態的頻譜圖，如圖 4-9。第二步為選定共振模態的共振頻 率，並以平面波作為光源，隨著時間能得到共振模態的電場分佈。

1µm

圖 4-8 光子晶體 D0 結構 SEM 示意圖。

圖 4-9 單極模態(Monopole mode)與細語迴廊模態(WG mode)模擬共振波長

23

Monopole mode 7G mode

E

x2

+E

y2

24

Monopole mode 7G mode

E

x2

+E

y2

E

x2

E

y2

y

z x

25

4.2.3 探針誘發光子晶體特性

光纖探針與光子晶體耦合時，會造成局部環境的等效折射率改變

。光纖探針的材料為二氧化矽(SiO2)，其折射率為 1.45。光纖與光子 晶體耦合後，整體的等效折射率會因光纖探針而變大。

圖4-12 為模擬將探針放在不同位置上，觀察光子晶體共振波長的 變化。其中黑色譜線為不受探針干擾的譜線。對照模擬的電場平方圖 可得知在電場越強的地方，探針對於共振波長影響越大，紅移量越 多。

參考文獻[20]，探針導致的波長變化量會隨著電場的強度的改變 而有不同的變化量，與我們模擬的結果十分相近。另外，文獻[20]中 實驗觀察到半寬的變化與電場的變化也很相像。[20][21]

0.3000 0.6120 0.8200

Min Max

1.64

Int ens ity

Wavelength(µm) 1.637 1.633

圖4-12(a)探針放在不同位置共振波長的變化 (b)光子晶體 monopole mode E^x2+E^t2分布。

(a)

(b)

26

第五章 實驗結果與討論

本章節利用掃描式近場光學顯微鏡(SNOM)以及微光激發螢光光 譜探討在不同激發功率下，光子晶體產生雷射的過程。本章內容分為 三部分:第一部分為遠場觀察光子晶體產生雷射的過程。第二部分則 是利用近場顯微技術所測得之圖像與光譜配合樣品形貌，解析光子晶 體產生雷射過程的強度、波長以及半高寬的空間分布情形。第三部分 為光子晶體雷射有雙重模態時，其產生雷射的空間分布特性。

5.1 D0 結構光子晶體模態與雷射化之光譜分析

樣品結構如圖5-1，以磷化銦為基板，中間以氯化氫蝕刻，最 上層為磷化砷銦鎵多層量子井。如圖5-2 則為量子井增益範圍。用 785nm 脈衝二極體雷射作為激發源，脈衝重複率(repetition rate)為 1.25MHz，線寬(linewidth)為 25ns。

InP substrate InGaAsP MQ7

1300 1400 1500 1600

0 5000 10000 15000

In te n si ty ( c.p .s )

Wavelength(nm)

圖5-2 InGaAsP MQW 螢光光譜。

圖5-1 光子晶體結構示意圖。

27

圖5-3(a)為模擬 D0 結構光子晶體之能帶圖，將模態波長對晶格 常數做歸一化，對應r’/a 值後，可以明顯觀察到三個趨勢。此三個趨 勢即為D0 結構光子晶體中存在的三個缺陷模態，由能量低到高分別 為Monopole、WG 以及 Dipole 三種模態。如圖 5-3(b)則為藉由光激 發螢光光譜量測所得不同r’/a 元件的譜線。將模態波長對晶格常數歸 一化後，對上由掃描式電子顯微鏡所得之 r’/a 做圖並且與模擬結果對 照後，可以明確的辨別模態。

(a)

(b)

Dipole 7G

Monopole

圖5-3 (a)共振腔模態模擬 (b) 不同 r’/a 共振腔模態辨認。

28

圖5-4 為 Monopole 模態的變功率微光激螢光光譜，將光譜訊號 強度做歸一化處理，從圖中可以觀察到隨著激發功率增加，模態波長 藍移;半高全寬則是變窄。並且在激發功率高於 42µW 之後，模態半 寬急遽變窄

利用高斯(Gauss)函數擬合 monopole 模態的變功率螢光光譜後，

可得圖5-5 之激發功率對應模態強度、波長以及半寬的變化分布。利 用線性內插法可得此缺陷模態的臨界值功率(threshold power)47µW。

1580 1590

91 µW

15 µW 19 µW 24 µW 30 µW 42 µW 51 µW 67 µW 78 µW

N or m al ized I nt ensi ty

Wavelength (nm)

150 µW

圖5-4 monopole 模態變功率的微光激螢光光譜。

29

1E-5 1E-4 1E-3 0.01 0.1 1

Int ensi ty ( M c. p. s)

10 100

0.2 0.4 0.6 0.8

Power ( ^µW )

F W H M ( n m)

1584 1586 1588

W avel engt h( nm )

0.16nm System resolution

圖5-5 Monopole 模態的 (a)發光強度 (b)波長 (c)半高全寬 隨著激發功率的變化。

30

在達臨界功率之前，隨著激發功率增加，強度增強，波長藍移，

半高寬變窄。以低功率激發時，發光機制為自發性輻射。自發性輻射 產生的光子可能再度被量子井吸收，隨著激發功率的增加，此量子井 吸收效應被抑制[22] ，因此半高寬變窄。當激發功率超過臨界功率後，

居量反轉發生且發光機制轉為受激輻射，半寬不再變化。

模態波長的變化主要是受到自由載子效應[23] 。以低於臨界功率 激發，隨著注入的載子越多，根據自由載子效應可得知磷化砷銦鎵的 折射率會變小，波長藍移。激發功率大於臨界功率後，載子濃度都會 被箝止不動如圖5-6。因為高於臨界功率所激發載子都會立刻藉由受 激輻射轉換成光子，使得載子濃度得以維持動態的平衡，因此激發功 率高於臨界功率後，模態波長維持不動。

圖5-6 載子濃度增益曲線。

10 100

6.0x10

¹⁷

8.0x10

¹⁷

1.0x10

¹⁸

1.2x10

¹⁸

1.4x10

¹⁸

1.6x10

¹⁸

C ar ri er dens ity ( cm

-3

)

Power (µW)

0.0 2.0x10

⁵

4.0x10

⁵

6.0x10

⁵

8.0x10

⁵

1.0x10

⁶

P hot on dens ity ( cm

-3

)

31

5.2 D0 結構光子晶體之空間分布

傳統的光學量測因為會受到繞射極限的限制，所以空間解析度無 法準確判斷場強分布。近場的量測距離為數十奈米，遠小於一個光波 長，不會受到繞射的限制，所以能有較高的空間解析度。

圖5-7(a)、(b)分別為不同探針近場掃描量測不同元件的結

果。(a)為 monopole 模態，(b)為 WG 模態。將近場掃描所觀察到光 強度變化和模擬在薄膜中心的電場平方分布對照。從模擬可以觀察到 monopole 模態場強主要分布在中心內縮的四個空氣柱上以及介質交 界處。而WG 模態的場強主要分布在中心內縮的四個空氣柱上。兩 個模態之間主要的差異在於monopole 模態場分布的範圍比 WG 模態 集中。與實驗結果比對，發現由近場掃描得到的場分布比模擬結果發 散。這是由於我們使用的探針為裸針，並未將光纖側壁屏蔽起來，所 以可能會收到遠場的訊號。為了驗證此假設，所以模擬距離光子表面 上方200 奈米的電場分布，如圖 5-7 所示。

在文檔中 光子晶體雷射之近場光學影像分析 (頁 21-0)