引力模式早期是類比牛頓的萬有引力定律，該模式至今已有悠久 的歷史，除了科學領域，目前已廣泛運用於各社會學領域。起初，觀 察到人類的遷移行為可類比於牛頓的萬有引力定律，並將人類的行為 以數學式表示: (Young,1924)
D2
kF
M = / (3-1) 其中 k 為常數，M 是遷移的人口數，F 是區域吸引強度，D 是距離。
隨後，Reilly(1931)將引力模式應用在零售市場，描述消費者選擇 店 家 的 行 為 ； Stewert(1941) 提 出 人 口 統 計 引 力 模 式 (demographic gravitation)，假定人口中心 i 及 j 具有交互作用 Tij，定義為人口質量 Pi 和 Pj的乘積，除以 i 和 j 距離平方，即
−2
= i j( ij)
ij GPP d
T G:人口統計引力常數，(3-2) Stewart(1948、1950)、Dodd(1950)再予以權重(weights)關係，數學 式如下:
−2
= ( i i)( j j)( ij)
ij G wP w P d
T (3-3) 利用權重來表示人口質量的「異質性」；並以能量(demographic energy)來代替力量(demographic force)。
Huff(1963)在零售模型中，藉由消費者的集合探討選擇購物區位，
3.2 廣義 廣義 廣義 廣義引力 引力 引力 引力模式 模式 模式 模式
本研究目的在利用可獲得資料推估交通旅次起迄資料，交通量的 產生源自於運輸需求，然而，運輸需求是一種衍生需求，意即運輸並 非旅行者真正目的，旅行者是為達成某種社會經濟活動而產生對運輸 的需求；在古典引力模式中，僅探討可量測的變項，如:人口分佈、相 異兩質點的距離，但是，交通旅次產生的潛在需求是不易被量測的，
更重要的是，這種不易被量測的潛在需求正是交通量產生之泉源。以 下，我們嘗試利用數學式來描述這些抽像的變項:
3.2.1 空間分隔的量測
Ashish Sen 和 Tony E. Smith(1995)假定:在相異兩質點當中，隱含 數個空間分隔(spatial separation )，在行為者(actors)和機會(opportunity) 中產生交互中作，這些交互作用受到個別行為者(如:通勤者、購物者) 和機會(如:工作、商店各種經濟活動) 的影響，在不同情況下，便產生 相異的空間分隔。我們試圖了解行為者和機會所形成的空間分隔對交 互作用的影響是吸引力或是排斥力，因此具體化上述變項；假定已知 交互作用中，每個行為者集合 A，α∈A，機會集合 B，β∈B，存在有 限相關的分隔屬性(separation attributes)集合k∈K，介於 A 和 B 之間，
空間分隔可表示為有限集合{ck :k∈K}，存在分隔量(separation profile) }
: ) , ( { ) ,
( c k K
cα β = k α β ∈ ，以c(α,β)來具體化表示對交互作用的影響所 需的成本；進而以空間總合假設表達如下:
假設一組行為者形式{αi :i∈I}和一組機會形式{βj: j∈J}，分隔向 量 為 c = {c(αi,βj):i∈I, j∈ J} ， 介 於 行 為 者 αi 和 機 會 βj ，
N n
J j I
i jn
in : },{ : }, ,...,
{α ∈ β ∈ =1 ，觀察的交互作用(observed interactions) )
, ( i j
N α β ，作用頻次(interaction frequency) N(αi,βj)/N，以及估計介於 αi和βj的機率為Pc(αi,βj)。以下為 Ashish Sen 和 Tony E. Smith(1995) 根據假設，所提出的一般性質:
一般性:
R1.(恆正性) C c∈
∀ ,∀s∈S，型態機率Pc(s)恆正。
R2.(對稱性)
給定∀c∈C,和一對s',s∈S ,若s',s的相異僅有排序上的不同，則 )
' ( )
(s P s
Pc = c 。
R3.(連續性)
給定∀s∈S, ∀c∈C,和∀ε >0，必定∃δ >0，使得在所有在c'∈C, δ
<
−c'
c 時，|Pc(s)−Pc(s')|<ε 恆成立。
Ashish Sen 和 Tony E. Smith(1995) 更 進 一 步 定 義 空 間 作 用 過 程 (Spatial interaction process)如下:
定義 3. 1 空間作用過程(Spatial interaction process)
在 S 中的機率函數集合，P =
{
Pc :c∈C}
，是為空間作用過程，若且 為若，P 滿足一般性 R1、R2、R3。3.2.2 阻抗函數
阻抗函數(deterrence function)是測度行為者針對變動區位 i 和區位 j 距離的意願，阻抗函數有多種型態，以下介紹最常見:
(1) 冪次阻抗函數(Power deterrence function)
( )
−θ= ij cij
F( ) c
(3-6) (2) 指數阻抗函數(Exponential deterrence function)
] c exp[- ij cij
F( )= θ
(3-7) 其中θ可解釋為成本敏感度參數(cost sensitivity parameter)，
Kulldorf(1955)研究首度發現指數型態的阻抗函數比冪次型態更加配適 諸如遷移旅次這類型的資料；這種根據經驗所獲得的結果，在 Morrill 和 Pitts(1967)的實驗中獲得驗證。
3.2.3 定義引力模式
Ashish Sen 和 Tony E. Smith(1995)將引力模式的定義如下:
定義 3.2: (一般引力模式) }
: {Pc c∈C
=
Ρ 被稱為引力模式，若且為若，∀c∈C，∃Ac,Bc,Fc >0， 使得所有起迄對，ij∈I×J
) ( ) ( ) ( )
( ij c c c ij
c N A i B j F c
E = (3-8) 定義 3.3: (指數型態引力模式)
} : {Pc c∈C
=
Ρ 被稱為指數型引力模式，若且為若，∀c∈C，∃Ac,Bc >0 和存在成本敏感度向量θc ∈RK，使得所有起迄對，ij∈I×J
] c exp[- ct ij
c c ij
c N A i B j
E ( )= ( ) ( ) θ (3-9)
3.2.4 模式的原則
已知行為者總和 A，機會總和 B，分隔測度(separation measures), }
:
{ck k∈K ，定義空間總合組合(spatial aggregation scheme)具有一對有 限分割的{αi :i∈I}和{βj : j∈J}，總合函數{Φk:k∈K}，指派到每對 Ai 和 Bj，則分隔量表示為 cij =(cijk :i∈I,j∈J)，並以數學式表示:
c c Ai Bj k K
k k k
ij =Φ [ (α,β):α∈ ,β∈ ] , ∈ (3-10) 則定義cijk的集合分隔量
c (c :k K)
k ij
ij = ∈
(3-11) 表示每對((αi,βj):i∈I, j∈J)的成本總和，進而的，將所有對發生 的成本總合分隔結構(separation configuration)表示如下:
) :
(c ij I J
c= ij ∈ × (3-12)
旅次調查之目的在了解由某一區 i 到另一區 j 的交通量，調查之後 通常將資料表示成二向列聯表的形式(two-way contingency table)。首先 介紹各符號的意義:
區吸引的旅次量。
區產生的旅次量。
旅次需求量的總和。
的旅次需求量。
至迄點 路網中起點
:
: :
:
j D
i O T
j i
T
j i ij
在交通上，一個 IXJ 的二向列聯資料型態如下:
表 3-1 旅次起迄分佈矩陣表 Dj
Oi 1 … j … J T
i1 T
11… T
1j… T
1J
O
1: : : : :
I T
i1T
ijT
iJ
O
i: : : : :
I T
I1… T
Ij… T
IJ
O
IT
jD
1… D
j… D
J
T
由 3-1, 在(i,j)上的觀察值為 Tij, 其中
i ij i
j
T+ =
∑
T =O 為 i 列之和,∑
+ =
i ij
j T
T 為 j 行之和,
T 為總數和。
Wilson( 1967)發現，引力模型可用最大熵法(entropy maximizing) 導出，使得此模型更具推理基礎，且改稱此種模型為空間交互作用 模型(spatial interaction model)。
給定:
i
j
ij O
T =
∑
(3-13)j
i
ij D
T =
∑
(3-14)利用觀察值 Oi、Dj的資訊來估計參數 A(i)、B(j)和θ，以模式
]
(1) Unconstrained
Tij = AiOif(cij) (3-16) (2) Production-constrained
Tij = AiOif(cij) (3-17)
(3) Attraction-constrained
Tij = BjDjf(cij) (3-18)
(4) Doubly-constrained
Tij = AiBjOiDjf(cij) (3-19)
式(3-19)可改寫為Oi分派的雙限制式引力模式:
=
∑
j
ij j j
ij j j i
ij B D f c
c f D O B
T ( )
) (
式(3-19)可改寫為Dj分派的雙限制式引力模式:
=
∑
i
ij i i
ij i i j
ij AO f c
c f O D A
T ( )
) (
3.3 本研究模式
根據以上所述，
為 Dj，意即將迄點的吸引量視為行為者欲達成的機會 在整個起迄資料的關係
量 Dj，簡言之，在
量正可以類比 j 區所提供的經濟活動 因上述關係，所以
正更加配適於交通起迄資料的推估 假設以及性質:
3.3.1 模式建構的
給定起點群體(
population), B，其中
attribute) k∈K，則測度分離
Ai為 A 的子群體 起點集合(origin set)
(spatial aggregation scheme) A 和 B 的有限分割
模式
，我們將 I 視為 Oi，即行為者為起點的
將迄點的吸引量視為行為者欲達成的機會；再仔細探討 在整個起迄資料的關係，j 區位提供的經濟活動多寡，關係著
在 i 點有行為者欲到 j 點進行經濟活動，
區所提供的經濟活動。
所以讓筆者感興趣於進階探討引力模式是否能經修 正更加配適於交通起迄資料的推估。以下是關於引力模式的建構原則
模式建構的原則
(origin population ),A 和迄點群體(destination 其中，存在一個相關的有限分隔屬性集合
則測度分離(separation measures)集合為
{
圖 3-1 子群體示意圖 [資料來源:本研究整理]
的子群體，Bj為 B 的子群體，如上圖 3-1 所示，
(origin set) I，迄點集合(destination set) J，定義空間總合系統 (spatial aggregation scheme)為包含
的有限分割
} :
{Ai i∈I {Bj : j∈J}
為起點的產生量；J 視 再仔細探討 Dj 關係著 j 的吸引
，而 Dj的交通
讓筆者感興趣於進階探討引力模式是否能經修 以下是關於引力模式的建構原則、
destination
存在一個相關的有限分隔屬性集合(separation
{
ck :k∈K}
；，i∈I，j∈J ， 定義空間總合系統
具有總合函數
} :
{Φk k∈K (3-22) 指派到每對 Ai和 Bj，則分隔量為
} ,
, :
{c i I j J k K
cij = ijk ∈ ∈ ∈ (3-23) 並以數學式表示:
K k B A
c
cijk =Φk[ k(α,β):α∈ i,β ∈ j] , ∈ (3-24)
上述，表示每對{(αi,βj):i∈I,j∈J}的分隔集合，ck(α,β)表示介於
β
α, 的 k 類分隔屬性。
進而的，將所有對發生的分隔總合分隔結構(separation configuration)表示如下:
} :
{c ij I J
c= ij ∈ × (3-25)
再者，R 表示實數，R+表示非負整數，若在 K 的非負分隔測度表為
K+，則可能的分隔向量, V，寫為卡氏積(cartesian product)型態
+
+ −
+ ×
= R K R K K
V ( ) ( ) (3-26) 進階的，假設相關的結構類別(configuration class),C
} ,
:
{c c V ij I J
V
C = I×J = ij∈ ∈ × ij∈I×J (3-27) 並定義所有作用型態集合(出象空間,outcome space) 為 S 。
3.3.2 模式建構的基本假設
假設一:
假設所有子群體足夠大，以確保介於 Ai和 Bj的作用所產生的 機率為正，即∀s∈S,∀c∈C,Pc(s)>0。
假設二:
假設所有α ∈Ai對於某一個β所產生的分隔一致，且所有 Bj
β ∈ 對於某一個α亦所產生的分隔一致。
假設三:
假設∀s∈S,∀c∈C,使得Pc(s)為一連續型函數。
3.3.3 模式的特性
本模式的一般性:
恆正性:
根據假設一，可得到機率恆正的性質；相對於到本研究的行為意義 為在交通起迄資訊上結構性不為零的資料，必有起迄事件的發生，
與實際情況一致，符合上述 R1.恆正性。
對稱性:
根據假設二，可得到符合 R2.對稱性的性質，了解到起迄產生的機 率與時間為獨立，可以在下文經過完整定義後得到證明。
連續性:
根據假設一，解釋機率模型為一平滑曲線，使得針對模式作參數校 估時，進行分割求解，仍能得到一個理想的解，亦符合上述 R3.連續 性。
根據 Sen & Smith(1955)所定義的空間作用過程，因為本模式滿足 R1、R2、R3，故機率函數集合
P =
{
Pc :c∈C}
是為一空間作用過程。
為了分析空間作用過程,P =
{
Pc :c∈C}
在Ω空間中的量測特性，指定 對本研究而言，給定一個起迄對(origin-destination pair)，其相對應作 用(ij-interactions)得作用旅次為Tij(s)，對於一個非負整數,nij，其機率定義 3.4: (廣義一般型態引力模式) 機率(interaction probability)定義為
∑
∑
收費站交通量，根據所得的資訊及限制式，利用極大熵法來推導上述所
∑
將 doubly-constrained 加上路段限制式 s
以 Lagrangian multiplier 求解目標式:
)
N
)
第 第
第 第四 四 四 四章 章 章 抽樣分 章 抽樣分 抽樣分析與資料整理 抽樣分 析與資料整理 析與資料整理 析與資料整理
4.1 抽樣方法 抽樣方法 抽樣方法 抽樣方法
抽樣調查(sample surveys)是社會科學常用的一種研究方法，一般適 用於群體、社會、地區，以至整個國家的研究。個別調查研究都有固 定的研究範圍；研究人員利用資料蒐集工具，向範圍內的研究對象收 集資料。但可能全數進行調查，所以在客觀的資源條件下，抽取適當 的樣本，希望能從中獲得可靠的資料，以代表母體的實際情況，此乃 抽樣調查的功能。
抽樣調查的方法已經遍佈於各個領域，對於旅次起迄量的調查者 而言，日益增加的交通量，使得全面普查更加艱鉅，唯有靠著以機率 為基礎的抽樣方法，才能改善調查的困難。因此，以下就針對旅次交 通量的特性，提出一個可行的抽樣方法，以進行實際資料問題的分析。
4.1.1 系統抽樣
系統抽樣(Systematic sampling)，其抽樣方法是按母體中各元 素之連續序列，有系統地每經一定間隔抽取一個元素作為調查對 象的方法。設間距是 k，若用 i=1,2,3,…,k 分別代表由任某 i 值為起 點用系統抽樣抽到的樣本，若我們將這些 k 個樣本視為 k 個集群，
則母體即由這 k 個集群集成，因此系統抽樣即是由此 k 集群抽出一 群為樣本(林進田,民 82)。
優點:
(1) 抽樣手續簡便易行，省掉編製底冊及抽取號碼的手續。母 體之大小可以不必事先知道。
(2) 若母體元素之順序不呈某種週期序列，則系統抽樣的樣本
通常有很好的代表性，所做的估計精確性高。
使用限制:
(1) 因系統抽樣是集群抽樣抽出一群的情況，故無法計算估計 的誤差，只能由抽樣架構知道此估計的好壞。
(2) 若母體元素之順序呈某種週期序列，則系統抽樣間隔與週 期一致時或呈倍數關係，則所得樣本之代表性將受到質 疑。
適用時機:
(1) 當母體還沒形成就要抽樣時。
(2) 當母體元素是不可數時。
(3) 當母體很大，不呈周期性排列時，可採本法較為簡單。
雖然系統抽樣有其使用限制，但由於母體個數無法事先預知、元 素之順序組成不呈週期序列時，系統抽樣是一很好的調查方法，
而本研究之旅次起迄分佈矩陣之調查方法，正滿足上述之條件，
因此本研究將以系統抽樣之調查方法，並進一步探討問題。
4.2 檢定方法 檢定方法 檢定方法 檢定方法
在往後的研究當中，需要藉由檢定方法來檢視(1) 不同抽樣比例的 樣本與觀察資料的分配是否相同；(2) 所推估的起迄表與觀察資料的分
在往後的研究當中，需要藉由檢定方法來檢視(1) 不同抽樣比例的 樣本與觀察資料的分配是否相同；(2) 所推估的起迄表與觀察資料的分